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条件分布与期望(1)2010122002

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3.6 条件分布与条件期望--概率论课件

3.6 条件分布与条件期望--概率论课件

=
-r
r x
2 2
r 2 x2
x r


r x r x
2
2
2
2
0,
1 dy, 2 r
r xr
其他
r xr 其他
2 r 2 x 2 , 2 r 0,
同理，
fY ( y ) f ( x, y )dx
2 r y , r y r 2 r 0, 其他
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
( x a1 )( y a2 )
1 2
( y a2 ) 2 2 2
1 e 2 2
( y a2 )2 2 2 2
1 ( x a1 )2 ( x a1 )( x a2 ) 2 ( y a2 )2 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 21 1 2(1 ) 1 1
2 x a1 1 1 y a2 exp 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 1
条件概率,条件分布,条件期望

条件概率,条件分布,条件期望


FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件分布与条件期望

条件分布与条件期望




这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2


．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0

PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1


n 0
k 1
n
n!
e 0
nk

n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
条件概率、条件分布与条件数学期望

条件概率、条件分布与条件数学期望


A)
P(AB) P(A)
10 3
1 2
5
法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
P(BA)n(AB)61 n(A) 12 2
法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
Ω
B
A
P(B |A)相当于把Ａ看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P(B A) P(AB) P( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）
51
B3
A
2
P(B| A)n(AB) 2
4,6
n(A) 3 解法一（减缩样本空间法）
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；
（2）若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率
由 古 典 概 型 可 知 ， 最 后 一 名 同 学 抽 到 中 奖 奖 券 的
概 率 为 ： P(B)n(B)1 n( ) 3
一般地，我们用来 表示所有基本事件 的集合，叫做基本 事件空间（或样本 空间）
思考1：
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少？
条件分布与条件期望

条件分布与条件期望


p j P Y y j pij 0
i
的 y j ，称
P X xi Y y j
P X xi , Y y j
2,
3,
为在给定 Y y j 条件下，随机变量 X 的条件分布列．
7
同理，对一切使得
pi PX xi pij 0
布（无此限制下体重的分布）会有很大的不同．
4
1．离散型随机变量的条件分布
5
设二维离散型随机变量 X , Y 的联合分布列为
pij P X xi , Y y j ， i 1, 2, , j 1, 2, ．
仿照条件概率的定义，我们很容易地如下给出离散型随机变量的 条件分布列．
6
定义 5.1 对一切使得
件下， X i 的取值为 0 或者1．而且
P
Xi 0 X1 X2
Xn r
PXi 0, PX1
X1 X2 X2
Xn
Xn r
r
PX i
0,
X1 X i1 X i1
PX1 X 2 X n r
Xn
r
22
1 p Cnr1 pr 1 p Cnr pr 1 p nr
是 p 0 p 1 ， 设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 成 功 的 次 数 ， i 1, 2, , n ．试在 X1 X 2 X n r 0 r n 的条件下，给出 X i 1 i n的分布列．
21
解：
由于 X1 X 2 X n ~ Bn, p，所以在 X1 X 2 X n r 的条
17
所以，
P Y
k
PX
nPY
k
X
n
n0
k 1
PX
nPY
k
§3.5 条件分布与条件期望

§3.5 条件分布与条件期望


P(Ｘ x, y Ｙ y y ) lim y 0 P( y Y y y )
y 0
F ( x, y y) F ( x, y) lim y 0 F ( y y ) F ( y ) Y Y

分子、分母同除 y
[ F ( x, y y ) F ( x, y )]/ y lim y 0 [ F ( y y ) F ( y )]/ y Y Y
例3. . .设(X, Y)的联合密度为： 55 24(1 x) y 0 x 1, 0 y x P( x, y ) 其它 0 求条件密度函数 PX|Y ( x | y )和 PY|X ( y | x)
解:PX ( x) P( x, y)dy 24(1 x) ydy
一、离散场合下的条件分布
例2.2.1 袋中有5个形状相同的球，其中3个新的，个旧的， 2 从中任取一球，无返回地取两次， 1 第一次取新球 1 第二次取新球 设 X Y 第一次取旧球 第二次取旧球 0 0 求 X，Y 得联合分布列，边际分布列，条件分布列。 2 1 2 解：P X 0，Y 0 P(X 0)P(Y 0 | X 0) 5 4 20
P X 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0)
2 3 6 5 4 20 3 2 6 P X 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1) 5 4 20 3 2 6 P X 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1) 5 4 20
P( x，y) PY ( y)P( x | y)

求关于X的边际密度函数：
PX ( x)
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归

概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归


p(u, y)du.

1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y

lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)

0.
F
(
x
y)

x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)

P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(

xi


yj)

Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y


那么称 xP (


x y
), 如果

x
P

(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(

y)


xP

(y
§3.5条件分布与条件期望

§3.5条件分布与条件期望


解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 + y 2 ≤ 1, p( x , y ) = 0, 其 它.
已知条件概率密度
p( x , y ) p( x y ) = , pY ( y )
又知边际概率密度为
pY ( y ) =
∫
+∞ −∞
p( x , y ) d x
x −∞
p( u, y ) d u. pY ( y )
同理, 定义在 X = x 的 条件下 Y 的 条件概率 密度为
p( x, y ) p( y x ) = pX ( x )
⇔
p( x, y ) = pX ( x ) p( y x ).
称∫ p( y x )d y = ∫
−∞
y
x
−∞
p(u, y ) d u 在 X = x 的条件下, pY ( y)
(1) 求在Y = 1 的条件下,X 的条件分布列; (2) 求在 X = 0 的条件下, 的条件分布列. Y
解 由上述分布律的表格可得
P{ X = 0,Y = 1} 0.030 2 = = , P{ X = 0 Y = 1} = 0.045 3 P{Y = 1}
P{ X = 1,Y = 1} 0.010 2 P{ X = 1 Y = 1} = = = , P{Y = 1} 0.045 9
2 2 1 1− y dx = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1, ∫− 1− y 2 = π π 0, 其他 .
于是当 − 1 < y < 1 时, 有
1π 1 , − 1 − y2 ≤ x ≤ 1 − y2 , = p( x y) = (2 π ) 1 − y2 2 1 − y2 其他 . 0,
3.6条件分布与条件数学期望

3.6条件分布与条件数学期望

6
称

x
f ( x y )d x
x
f ( u, y ) d u 为在 Y y 的 fY ( y )
条件下, X 的条件分布函数，记为
P{ X x Y y } 或 F ( x y ), 即 F ( x y ) P{ X x Y y }
x
f ( u, y ) d u. fY ( y )
当X 1与X 2相互独立时， E ( X 1 X 2 Y y ) E ( X 1 Y y ) E ( X 2 Y y ). 等等.
20
③ X在Y=y的条件下的条件期望是y的函数,它是一个 变量. 这不同于无条件期望E(X).
E( X | Y y)
Y取确定值y的条件下
E( X | Y )
pY ( y )


p( x, y )d x
y 1 d x ln(1 y ),0 y 1, 0 1 x 其它. 0,
16
四、条件数学期望
定义 条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望， 其定义如下： xi P ( X xi Y y ), ( X , Y )为离散型； i E ( X Y y) + xp( x y )dx , ( X , Y )为连续型. -
证 仅就连续型给出证明，离散型类似可证.
设( X , Y )的联合密度函数为 p( x , y )，Y 的边际分布 密度pY ( y )，记 g( y ) E ( X Y y )，g(Y ) E ( X Y ) 由公式 p( x , y ) pY ( y ) p( x y )，得
22
25
例7 设电力公司月供某厂的电力X ～U (10, 30)(单位： 104 kw),而该厂月实际需要电力Y ～U (10, 20)当满足 供电时，每104 kw 可创利润30万元，供电不足时，缺 口由工厂自行解决，但自行解决的电力每104 kw 的利 润只有10万元，试求该厂的月期望利润.
概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望

概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望




边际分布列：pig
pij
p 2 q 2
j i1
j i1
p2qi1 pqi1, i 1, 2,...
1j1q
j 12
i 1
i 1
( j 1) p2q j2 , j 2, 3,...
条件分布列为pi/j pij pgj p2q j2 [( j 1) p2q j2 ]

证明
E{ / bj}P( bj )
j 1
而
E{ / bj}

ai pi / j
i1

i1
ai
gpij pgj
E(E{ /})
j 1

ai
i 1
pij pg j
pgj


ai
i 1
j 1
pij


ai pig E
i 1
三小结
概念 E{ / bj}
条件数学期望
E(C / bj ) C.


E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
E(E{ /}) E
二、离散型随机变量条件数学期望
❖ 定义 若随机变量 分布列为 pi / j 又

在条件"
bj " 下的条件

ai pi / j

i 1
称 ai pi/ j 为 在 bj 条件下的条件数学期望 i 1
记作： E{ / bj}
例2 某射手进行射击，每次设计击中目标的
2.对任意实数k1,k2,又E{1 / bj}，E{2/=bj}存在， 则E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
条件分布与条件期望

条件分布与条件期望

解
由上述分布律的表格可得
P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{Y 0 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 , P{Y 1 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 , P{Y 2 X 1} 0.045 P{ X 1}
射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目 标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击 次数.试求 X 和 Y 的联合分布律 取 m 且 Y 取 n 时, 有

P{ X m ,Y n} p p (1 p) (1 p)(1 p)
x

f ( x, y) d x. fY ( y )
同理定义在 X x 的条件下Y 的条件概率密度为
FY X ( y x ) P{Y y X x }
y

f ( x, y) d y. f X ( x)
请同学们思考
为什么不能用条件概率 的定义来直接定义条 件分布函数 FX Y ( x y ) ? 答 条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .

联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .

条件分布与条件数学期望


(X，Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而， F (xε,y)-F (x ,y)
F Y |X(y|x)ε l 0 iF m (xε, )-F (x , ) lim F X(xε)F Y(y)-F X(x)F Y(y) ε 0 F X(xε)F Y( )-F X(x)F Y( )
.
例题 3
一个工人看管分布在一直线上的 n 台同 类型机床，相求工人两次
调整机床之间所走路程的数学期望。
设Y ：工人两次调整机床之间所走路程
X ：第一次调整的机床号码 Y | X=i (i -1)a … a 0 a … (n- i) a
P 1/n … 1/n 1/n 1/n … 1/n
条件分布函数
lim P{Yy|xXxε} ε 0
的
计算公式
F X |Y(x|y)ε l 0 iF m F (( x,,y y ε ε) )- -F F ( ( x,,y y ))
F Y |X(y|x . )ε l 0 iF m F ((x x ε ε,, y) )- -F F ( (x x,, y))
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )
(X,Y)连续 E (Y|： x) yY f|X(y|x)dy
-
全数学期望公式的证明：假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得
E{E(Y|X)} E(Y|x)fX(x)dx {[yY f|X(y|x)d]yfX(x)} dx
若对于固定的 x ， f X ( x ) > 0，则

条件概率、条件分布与条件数学期望


练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝

概率论结课论文

条件期望的性质和应用1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。

定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j j j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x x x x F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()()j j i j i j i y y y y F y x P Y y X x p ≤≤====∑∑。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下()()i i i E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j jE Y X x y P Y y X x ====∑。

定义2 连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为 ()X p x 和()Y p y 。

对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,)()()xY p u y F x y du p y -∞=⎰，()()(),Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度函数分别为(,)()()yX p x v F y x dv p x -∞=⎰，()()(),X p x y p y x p x =。

概率3.5节-条件分布和条件期望.ppt

1 2 1 2 1 e 2
1 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 2 2 1 2 2 (1 ) 1 2

1 e 2 2
( y 2 )2 2 2 2

2 2 2 fY X ( y x) ~ N 2 ( x 1 ), 2 (1 ) 1
条件数学期望
离散r.v.的条件期望
E ( X | Y y ) xk P( X xk | Y y )
k 1

连续r.v.的条件期望
E ( X | Y y)
为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布列
若
P( X xi , Y y j ) pij P( X xi Y y j ) 则称 P(Y y j ) p j
p j P(Y y j ) pij 0,
i 1

i 1,2,
为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布列 类似于乘法公式，有
P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j X xi )
或
P(Y y j ) P( X xi Y y j )
i, j 1,2,
类似于全概率公式，有
P( X xi ) pij P( X xi ,Y y j )
r 2 y2

f ( x , y ) f X Y ( x y) fY ( y ) 1 , r 2 y2 x r 2 y2 2 2 2 r y 其他 0,
故当Y = y 时，
y

r 2 y2
X ~U r y , r y

条件分布与条件期望

注意: X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立．
P(Xk| XYn)P(Xk,XYn) P(XYn)
P(Xk,Ynk) P(XYn)
k
nk
1 e1 2 e2
P(XP(X k) PY (Ynn)k)k(!12()nn e k()1!2)
n!
k !(n n !k )!(1 1 k 2 n 2 k )n C n k 1 12 k 1 22 n k
例:若X表示中国人的年收入，则 注意:条件期望E(X|y)与 E(X)表示: 中国人的平均年收入. (无条件)期望E(X)的不同含义.
若用Y表示中国人受教育的年限，则
E(X|y)表示: 受过y年教育的中国人群中的平均年收入.
E(X)只有一个，而E(X|y)根据Y的取值范围可有很多个， 一般E(X|y)是y的函数，随y值变化.
0,
其它
求fY|X(y| x)．
解：X的边际密度为
2
当|x|<f1X 时(x，) 有 f(x,y)dy 0,
1x2,
|x|1 |x|1
fY|X(y|
x)
f(x,y) fX(x)
(2
1 ) 1 x2
2
1 ,
1 x2
1x2y1x2
即 当|x|<1时，有
X作为已知变量
fY|X (
y
|
x)
2
k=0,1,2,,n．X 的条件分布是二项分布: b(n, 1/(1+ 2))
二、连续型r.v的条件分布
设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意 x, y,
P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率 公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概 率密度的定义.

第五节__条件分布与条件期望


2.重期望公式
定理: 设(X,Y)为二维随机向量, 且E(X)存在, 则
E ( X ) E ( E ( X | Y )).
证明:略.
特殊的情形
(1) Y离散情形下
E ( X ) Eg(Y ) E ( X | Y y j ) P (Y y j ).
j
给定Y=y时算X的 条件期望,然后按 Y=y的可能性大小 进行加权平均
(2) Y连续情形下
E ( X ) Eg(Y )



E ( X | Y y ) pY ( y ).
条件期望的应用 例 设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能ξ是一个随机 变量,且 ξ 在[10, 30]上服从均匀分布.该公司对于电能的需 要量η也是一个随机变量,且 η 在[10, 20] 上服从均匀分布. 对于所供给的电能,公司取得每千瓦0.03元利润,如果需要量 超过所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能 加以补充,并取得每千瓦0.01元利润,问在所考虑的指定时间 内,公司所获得的利润的期望值是多少? 解:设 T 是公司所获得的利润,则
当 x [20, 30] 时,
1 E (T | x ) 0.03 y dy 0.45 10 10
由条件概率密度定义知, p( x , y ) pY ( y ) p X |Y ( x | y ) p X ( x ) pY | X ( y | x ), 故
pX ( x ) pY ( y ) pX |Y ( x | y )dy.

pY ( y ) pX ( x ) pY | X ( y | x )dx.
2
2,),求
( x 1 )( y 2 )
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−∞
+∞
例3 矿工困在矿井里，他的面前有三扇门，走第一 扇门3个小时后到达安全区；第二扇门走5个小时又 ∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = 回到原处；第三扇门走7个小时也回到原处。y j ) 离散 j E( X ) = +∞ 假定矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他 E ( X | Y = y ) pY ( y )dy 连续 ∫−∞ 的平均要用多少时间到达安全区。
−∞
p ( x, y ) = p ( x | y ) pY ( y ) p X ( x) = ∫ p ( x | y ) pY ( y )dy
−∞ +∞
二、条件数学期望
∑ xi P ( X = xi | Y = y ) 离散 i E ( X | Y = y) = +∞ ∫ xp( x | y )dx 连续 −∞
例2 设（X,Y）服从G={(x,y)|x2+y2≤1}上的均匀分布， 试求给定Y=y的条件下X的条件密度函数p(x|y) • 解：
1 p ( x, y ) = π 0 x2 + y2 ≤ 1 其他
2 1− y2 pY ( y ) = π • Y的边际密度函数为 0 • 当-1<y<1时，有 1 1 p( x, y) = π = p( x | y) = 2 2 2 1− y2 pY ( y) 1− y
P ( X = 1 | Y = 3) =
X 1 2 Pj
Y 1 0.1 0.2
0.3
2 0.3 0.05
0.35
3 0.2 0.15
0.35
Pi
0.6 0.4
P ( X = 1, Y = 3) 0.2 4 = = 0.35 7 P (Y = 3)
练习:198页 7、8
P ( X = 2, Y = 3) 0.15 3 P( X = 2 | Y = 3) = = = P(Y = 3) 0.35 7
p i| j = P ( X = x i | Y = y j ) =
• 给定X= xi 条件下的X的条件分布列
p j|i = P(Y = y j | X = xi ) =
P ( X = xi , Y = y j ) P ( X = xi )
=
pij pi•
例1 设二维随机变量（X,Y）的联合分布列为 • 求P(X|Y=3) • 求P(X|Y=2) 求P(X|Y=1) • 求P(Y|X=1) • 求P(Y|X=2)
2、连续随机变量的条件分布
• 定义 p( x, y) p(x | y) = • 对一切使pY(y)>0的 pY ( y) y，给定Y= y 条件下 X的条件密度函数和 P( X ≤ x | Y = y) = 分布函数
p(u, y) ∫−∞ pY ( y) du
x
p ( x, y ) • 对一切使pX(x)>0的 p( y | x) = x，给定X= x 条件下 p X ( x) Y的条件密度函数和 y p ( x, v ) 分布函数 P(Y ≤ y | X = x) = ∫ dv −∞ p ( x) X
注意： 1、E(X|Y=y) 是y的函数 记g(y)= E(X|Y=y) 2、与E(X)含义的不同 3、条件期望是条件分布的期望，因此具有期望的 一切性质
重期望公式
• 定理 设（X,Y）是二维随机变量，且E(X)存在，则 E(X)= E{E(X|Y)} 证明
∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = y j ) 离散 j E( X ) = +∞ E ( X | Y = y ) p Y ( y ) dy 连续 ∫− ∞
• 无法列出X的分布列，无法求出E(X) • 新思路：设Y=i:第一次所选择的门 i=1,2,3 • E(X)=E{E(X|Y)} P(Y=1)= P(Y=2)= P(Y=3)=1/3 • E(X|Y=1)=3 E(X|Y=2)=5+ E(X) E(X|Y=3)=7+ E(X)
• E(X)=1/3*[3+5+E(X)+7+E(X)]=1/3*(15+2E(X)) • E(X)=15
条件分布与条件期望
一、条件分布
• 一条裤子有哪些要素组成 呢？ • 中国女性的裤长是多少呢？ • 身高为1.6m的中国女性， 裤长应该是多少呢？
二维随机变量（X,Y），在给定条件Y=y时，求X 的分布【X的条件分布】
1、离散随机变量的条件分布
• 定义 • 给定Y=
yj 条件下的X的条件分布列
P ( X = xi , Y = y j ) P(Y = y j ) = pij p• j
−1 ≤ y ≤ 1 其他
当y=0时可得 ？ 练习：197页2
π
当 − 1− y2 ≤ x ≤ 1− y2
3、连续场合的全概率公式
p ( x, y ) p ( y | x) = p X ( x)
p ( x, y ) = p ( y | x ) p X ( x )
求Y的边际密度函数
+∞
同理
pY ( y ) = ∫ p ( y | x) p X ( x)dx
+∞ +∞ −∞ −∞
E (X) = ∫∫ xp(x, y)dxdy = ∫
+∞ +∞
∫
xp( x | y ) pY ( y )dxdy
+∞
= ∫ {∫ xp( x | y )dx} pY ( y )dy = ∫ E ( X | Y = y ) pY ( y )dy
−∞ −∞ −∞
= ∫ g ( y ) pY ( y )dy = E ( g (Y )) = E ( E ( X | Y ))