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§1-2 条件分布与条件数学期望

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第五节__条件分布与条件期望

第五节__条件分布与条件期望

2.重期望公式
定理: 设(X,Y)为二维随机向量, 且E(X)存在, 则
E ( X ) E ( E ( X | Y )).
证明:略.
特殊的情形
(1) Y离散情形下
E ( X ) Eg(Y ) E ( X | Y y j ) P (Y y j ).
j
给定Y=y时算X的 条件期望,然后按 Y=y的可能性大小 进行加权平均
(2) Y连续情形下
E ( X ) Eg(Y )



E ( X | Y y ) pY ( y ).
条件期望的应用 例 设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能ξ是一个随机 变量,且 ξ 在[10, 30]上服从均匀分布.该公司对于电能的需 要量η也是一个随机变量,且 η 在[10, 20] 上服从均匀分布. 对于所供给的电能,公司取得每千瓦0.03元利润,如果需要量 超过所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能 加以补充,并取得每千瓦0.01元利润,问在所考虑的指定时间 内,公司所获得的利润的期望值是多少? 解:设 T 是公司所获得的利润,则
当 x [20, 30] 时,
1 E (T | x ) 0.03 y dy 0.45 10 10
由条件概率密度定义知, p( x , y ) pY ( y ) p X |Y ( x | y ) p X ( x ) pY | X ( y | x ), 故
pX ( x ) pY ( y ) pX |Y ( x | y )dy.

pY ( y ) pX ( x ) pY | X ( y | x )dx.
2
2,),求
( x 1 )( y 2 )

常用分布的数学期望及方差

常用分布的数学期望及方差

方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。

条件概率,条件分布,条件期望

条件概率,条件分布,条件期望

FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定

条件分布与条件期望

条件分布与条件期望



这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2


．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0

PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1


n 0
k 1
n
n!
e 0
nk

n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1

条件分布与条件期望

条件分布与条件期望

p j P Y y j pij 0
i
的 y j ，称
P X xi Y y j
P X xi , Y y j
2,
3,
为在给定 Y y j 条件下，随机变量 X 的条件分布列．
7
同理，对一切使得
pi PX xi pij 0
布（无此限制下体重的分布）会有很大的不同．
4
1．离散型随机变量的条件分布
5
设二维离散型随机变量 X , Y 的联合分布列为
pij P X xi , Y y j ， i 1, 2, , j 1, 2, ．
仿照条件概率的定义，我们很容易地如下给出离散型随机变量的 条件分布列．
6
定义 5.1 对一切使得
件下， X i 的取值为 0 或者1．而且
P
Xi 0 X1 X2
Xn r
PXi 0, PX1
X1 X2 X2
Xn
Xn r
r
PX i
0,
X1 X i1 X i1
PX1 X 2 X n r
Xn
r
22
1 p Cnr1 pr 1 p Cnr pr 1 p nr
是 p 0 p 1 ， 设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 成 功 的 次 数 ， i 1, 2, , n ．试在 X1 X 2 X n r 0 r n 的条件下，给出 X i 1 i n的分布列．
21
解：
由于 X1 X 2 X n ~ Bn, p，所以在 X1 X 2 X n r 的条
17
所以，
P Y
k
PX
nPY
k
X
n
n0
k 1
PX
nPY
k

§3.5 条件分布与条件期望

§3.5 条件分布与条件期望

P(Ｘ x, y Ｙ y y ) lim y 0 P( y Y y y )
y 0
F ( x, y y) F ( x, y) lim y 0 F ( y y ) F ( y ) Y Y

分子、分母同除 y
[ F ( x, y y ) F ( x, y )]/ y lim y 0 [ F ( y y ) F ( y )]/ y Y Y
例3. . .设(X, Y)的联合密度为： 55 24(1 x) y 0 x 1, 0 y x P( x, y ) 其它 0 求条件密度函数 PX|Y ( x | y )和 PY|X ( y | x)
解:PX ( x) P( x, y)dy 24(1 x) ydy
一、离散场合下的条件分布
例2.2.1 袋中有5个形状相同的球，其中3个新的，个旧的， 2 从中任取一球，无返回地取两次， 1 第一次取新球 1 第二次取新球 设 X Y 第一次取旧球 第二次取旧球 0 0 求 X，Y 得联合分布列，边际分布列，条件分布列。 2 1 2 解：P X 0，Y 0 P(X 0)P(Y 0 | X 0) 5 4 20
P X 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0)
2 3 6 5 4 20 3 2 6 P X 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1) 5 4 20 3 2 6 P X 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1) 5 4 20
P( x，y) PY ( y)P( x | y)

求关于X的边际密度函数：
PX ( x)

数学期望的性质与条件期望

P{ j 1}
1 3

P{ 1, j } P{ 1}

P{ 1, j }
2 3
j 0,1,2

0 1 2
2 0 5
Hale Waihona Puke 0 1 2P{ 0}
3 5
1 6 3 P{ 1} 10 10 10
2 3 8 E( 0) 0 0 1 2 5 5 5 6 3 6 1 1 2 E ( 1) 0 10 10 5 10
E x y ( y x )dy

表示在 x 的条件下关于 的条件期望
E y x ( x y )dx

表示在 y 的条件下关于 的条件期望
0 1 2 例6 设 与 的联合分布为 3 2 0 求在 0 和 1 时， 0 15 15 关于 条件期望. 6 1 3 P{ 0, j } 1 15 15 15 解 P{ j 0} P{ 0} P{ 0, j } j 0,1,2
E ( b) E ( ) x ( x )dx x ( x b)dx
令 z x b, 有


E ( b) ( z b) ( z )dz z ( z )dz b ( z )dz



E ( k b) E ( k ) b kE b
n
n
i 1
6 若与独立，则 E ( ) E E
证 假设 , 是离散型随机变量， 由于 与 独立
(1) i ( 2) j
所以pij p p , E ( ) xi y j pij xi y j p(i 1) p(j2)

条件数学期望


F(x| y)
x
P(X xi |Yy)
xi x
p(t| y)dt x p(t, y)dt
p(y)
大家好
18
二、条件数学期望
定义：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分 布列为 pi j ,又
xi pi j ，
i1
则称
xi pi j
i 1
为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，
3、随机变量X对Y求条件期望后再求期望，等于
对这个随机变量直接求期望。
大家好
31
条件分布数学期望的性质
4.若X与Y独立，则 EXYyEX
5.条件期望有所谓平滑性：
E E X X Y y d Y y F E E X Y
6.对随机变量X，Y的函数 X,Y恒有：
E X , Y Y y E X ,y Y y
记为 E{XYyj}
大家好
19
例1设(X,Y)的联合分布律为
YX 1
2
3
-1 0.2 0.1
0
0 0.1 0
0.3
1 0.1 0.1
0.1
（ 1 ） E { Y |X 求 2 } ( 2 ) E ; { X |Y 0 }.
解题思路： （ 1）写X 出 2的 在条Y 件 的下 概率分布即 ，可 再求 按得 定； 义 （ 2）写 Y 出 0的 在 条 X 的 件概 下率分即 布可 ，求 再得 按
大家好
小结
• 1、条件分布 • 2、条件数学期望及运算 • 3、条件数学期望性质及证明
大家好
33
谢谢
大家好
34
条件密度
fY
X
x
y
f x,y fX x

1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望PPT优秀课件

意的n个实数 x1,x2, ,xn，均有 P X 1 x 1 , X 2 x 2 , , X n x n P X 1 x 1 P X 2 x 2 P X n x n
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差

条件分布与条件期望课件

“给定X时，Y的条件分布”:
P(Y=1|X=1)=0.1/0.6=1/6 P(Y=1|X=2)=0.2/0.4=1/2
P(Y=2|X=1)=0.3/0.6=1/2 P(Y=2|X=2)=0.05/0.4=1/8 P(Y=3|X=1)=0.2/0.6=1/3 P(Y=3|X=2)=0.15/0.4=3/8
身高Y
体重X 的分布
体重X
条件分布与条件期望
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身 高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑 出的学生中求其体重的分布．
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样．
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加．
条件分布与条件期望
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机 变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率.
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P (X A |Y y )A p X |Y (x |y )d x
特别，取 A(,u),
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
1, pX(x)0,
0x1，p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及P(Y>0.5).
解：
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其 它
条件分布与条件期望
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
2
e
21 12
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y
FY|X ( y | x)
f (x,v)dv


fX (x)
y f (x,v) dv f X (x)
(X，Y )为二维连续型随机向量
条件概率密度的 计算公式
在 Y = y 的条件下 X 的条件概率密度
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)
条件数学期望的 性质
（1）当 X 、Y 相互独立时， E ( Y | X ) = E ( Y )
（2）E ( c | X ) = c （c为常数）
（3）E ( g ( X ) | X ) = g ( X ) （4）E ( a Y + b Z | X ) = a E ( Y | X ) + b E ( Z | X )
X
Y
1 2 34
2
p2 0 0 0
3
p2 (1-p) p2 (1p) 2 p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 0
•••
•••
•••
•••
•••
••• ••• ••• •••
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布函数的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布函数

-



y[ f X (x) fY|X ( y | x)dx]dy y[ f (x, y)dx]dy yfY ( y)dy E(Y )
-
-

条件数学期望的 性质
（6）E ( g ( X ) Y | X ) = g ( X ) E ( Y | X ) （7）E [Y - E ( Y | X )]2 ≤E [Y – g ( X )]2
f (x, y) f X (x) fY|X ( y | x) f (x, y) fY ( y) f X|Y (x | y)
（4）连续型随机变量X、Y 相互独立的充要条件
fY|X ( y | x) fY ( y) f X |Y (x | y) f X (x)
(X，Y )为二维连续型随机向量
lim P{X x | y Y y ε}
ε0
存在，则称此极限为在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数， 记为
FX|Y (x | y) P{X x | Y y} lim P{X x | y Y y ε}
ε0
(X，Y )为二维连续型随机向量
条件数学期望的 性质
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )

( X ,Y )连续：E(Y | x) yfY|X ( y | x)dy
-
全数学期望公式的证明：假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得


E{E(Y | X )} E(Y | x) f X (x)dx {[ yfY|X ( y | x)dy] f X (x)}dx
E(Y|X=i) = (i -1)a .1/n+(i -2)a .1/n + … + a .1/n
+a .1/n+ 2a .1/n + … + (n- i ) a .1/n
X 1 2… n P 1/n 1/n … 1/n
= a [2 i 2 - 2(n+1) i + n (n+1)]/2n
n
E ( Y ) = E { E ( Y | X ) } E(Y | X i)P{X i}
f
X
|Y
(
x
|
y)


2(1 x) (1 y)2
0
y x1 其他
1
y=x
y G
0
1
(X，Y )为一般二维随机向量
条件分布函数的 定义
FX|Y (x | y) P{X x | Y y} lim P{X x | y Y y ε}
ε0
FY|X ( y | x) P{Y y | X x}
(X，Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而，
FY |X
(y|
x)

lim
ε0
F(x ε, y) F(x ε, ) -
P{ X = xi | Y = yj } （ i = 1, 2, … ） 称为在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律。
在事件{ X = xi }已发生的条件下，事件{Y = yj }发生的 条件概率
P{ Y = yj | X = xi } （ j = 1, 2, … ） 称为在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律。
条件分布函数的 计算公式
设 f ( x，y ) 是二维连续型随机向量(X，Y )的联合概率密度， 若对于固定的 y ， fY ( y ) > 0，则
x
FX|Y (x | y)
f (u, y)du


fY ( y)
x f (u, y) du fY ( y)
若对于固定的 x ， f X ( x ) > 0，则
F(x, y) F(x, )
lim FX (x ε)FY ( y) - FX (x)FY ( y) ε0 FX ( x ε)FY () - FX ( x)FY ()

lim
ε0
FX FX
(x ε) - FX (x ε) - FX
(x) (x)
FY ( y)
FY ( y)
§1-2 条件分布与条件数学期望
一．条件分布 二．条件数学期望
一．条 件 分 布
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布律的 定义
设 pij = P{ X = xi , Y = yj }（ i, j = 1, 2, … ）是二维离散 型随机向量(X，Y )的联合分布律， 则在事件 {Y = yj } 已 发生的条件下，事件 {X = xi } 发生的条件概率
i
j
i
j
i
P{X x ,Y y } P{Y y }P{X x |Y y }
i
j
j
i
j
（4）离散型随机变量X、Y 相互独立的充要条件
P{Y y j | X xi} P{Y y j}
P{X xi | Y y j} P{X xi}
(X，Y )为二维离散型随机向量
P{Y y | X
xi}

yjy
pi•
ij y j y i•
(X，Y )为二维连续型随机向量
条件分布函数的 定义
设 F ( x, y ) 是二维随机向量 (X，Y )的联合分布函数。
给定 y ，设对于任意固定的正数 ，P{ y Y < y + } > 0，
且若对于任意实数 x ，极限
i 1
n a[2i2-2(n 1)i n(n 1)] / 2n 1 a (n2 1)
i 1
n 3n
例题4
设二维连续型随机变 量( X , Y ) 的联合概率密 度函数为
f
(x,
y)


24(10
x)
y
0 y x1 其它
求 E ( X | y ) ，0 < y < 1．
例题2
设二维连续型随机变量 ( X , Y) 的联合概率密度函数 为，
f
(x,
y)


24(10
x)
y
0 y x1 其它
求 fX\Y ( x | y ) ，0 < y < 1．
fX|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)

fY ( y) f (x, y)dx
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布律的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律
P{X xi | Y y j} P{X xi ,Y y j} pij （i 1,2, ）
P{Y y j}
p• j
在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律
条件分布函数
lim P{Y y | x X x ε} ε0
的 计算公式
F ( x, y ε)-F ( x, y)
FX |Y
(x
|
y)

lim
ε0
F (,
y

ε)-F (,
y)
FY |X
(y
|
x)

lim
ε0
F(x ε, y) F(x ε, )
-
F(x, y) F(x, )
例题 1
P{ X = m , Y = n } （m < n ） = P{ 共射击 n 次，其中第 m , n 次击中目标，
其余 n-2 次不击中目标 }
= p2 (1-p) n-2
一战士进行射击，击中目 标的概率为 p（0 < p <1），射 击到击中目标两次为止，设 X 以表示首次击中目标所进行的 射击次数，以Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和Y 的联 合分布律及条件分布律。
二．条 件 数 学 期 望
条件数学期望 的
定义

如果 R-S 积分 xdFX|Y (x | y) 绝对收敛，
-