条件概率,条件分布,条件期望

P{Y yFra Baidu bibliotekj X x i }
P { X x i ,Y y j } P{ X x i }

pij pi
,
为在X x i 条件下随机变量Y 的条件分布律. 其中i , j 1,2,.
例 在只有3个红球和4个黑球的袋子中逐次 抽取一球，令 1, 若第一次抽取红球 X , 0, 若第一次抽取黑球
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
1, 若第二次抽取红球 Y , 0, 若第二次抽取黑球 无放回抽样的条件下求(X, Y)的联合分 布律及X=0条件下Y的条件分布。
（2）无放回抽样
Y
X
0 1
0
1
2 7
2 7
2 7
1 7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y ( x y)
条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值 的条件下, 另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y ) P{ X x Y y } .
条件分布函数与条件密度函数的关系
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
3 3 1 P ( A) , P ( B ) , P ( AB ) 4 4 2
2 1 / 2 P ( AB ) P ( B | A) P ( B) 3 3/4 P ( A)
定义1 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
由于P{Y y }可能为零(连续型时一定为零 ).故直接 用条件概率来定义时 , 会出现分母为零 . 因此, 在条件分布中 , 作为条件的随机变量的 取值是
确定的数.
定义
给定y , 对任意的 0, P { y Y y } 0, 若 P{ X x , y Y y } lim P{ X x | y Y y } lim 0 0 P{ y Y y } 存在，称此极限为Y = y 条件下X 的条件分布函数，记 F X |Y ( x | y ) P { X x | Y y }.
又知边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x , y ) d x


2 1 1 y 2 2 d x 1 y , 1 y 1, 1 y 2 π π 0, 其他.
于是当 1 y 1 时, 有
1π 1 2 2 , 1 y x 1 y , 2 2 f X Y ( x y ) ( 2 π) 1 y 2 1 y 0, 其他.
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
的 j , 若 P{Y y j } 0, 则称 P{ X x i Y y j } P { X x i ,Y y j } P{Y y j } pij p j ,
为在Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律. 对于固定的 i , 若 P{ X x i } 0, 则称

联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
边缘分布 联合分布 条件分布 联合分布
例3 设( X , Y ) 在区域 x 2 y 2 1 上服从均匀分布, 求
件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 y 2 1, f ( x, y) 0, 其它,
条件数学期望
定义
xi P( X xi | Y y ) i E( X | Y y) xf X |Y ( x | y )dx
15/22
1.2
随机事件的概率
注意点
• E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。