条件概率条件分布与条件数学期望

计量经济学中的“条件”与“⽆条件”初学者难免困惑于计量经济学中诸多的 “条件” 与 “⽆条件”，⽐如条件概率与⽆条件概率，条件分布与⽆条件分布，条件期望与⽆条件期望，条件⽅差与⽆条件⽅差，条件中位数与⽆条件中位数，条件分位数与⽆条件分位数。

这些 “条件” 与 “⽆条件” 的概念，究竟有什么区别与联系，在实践中⼜该如何应⽤呢？本⽂将为你逐⼀辨析。

条件概率 vs ⽆条件概率什么是概率？简单说，概率（probability）就是在⼤量重复试验下，随机事件发⽣的频率趋向的某个稳定值。

⽐如，记随机事件 “下⾬” 为，则其发⽣的概率⼀般记为。

“⽆条件概率”（unconditional probability）其实就是我们⼀般所说的概率，只是为了与 “条件概率” 相区别，有时才强调它是 “⽆条件的”。

事实上，计量经济学更关⼼条件概率。

⽐如，记事件 “出太阳” 为，则在出太阳的前提条件下降⾬的 “条件概率” (conditional probability) 可定义为其中，为与同时发⽣的概率，参见下⾯的维恩图（Venn diagram）。

在此图中，矩形的⽅框表⽰整个世界（包括所有可能的随机试验结果，即样本空间），不妨将其⾯积标准化为 1。

圆形的⾯积即为事件发⽣的（⽆条件）概率，⽽圆形的⾯积则为事件发⽣的（⽆条件）概率。

考虑在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。

此时，世界所处的状态只能是，⽽之外的状态均为不可能。

进⼀步，在发⽣的情况下，如果也发⽣，则表明与同时发⽣，故为集合与集合的交集，即。

因此，将此交集的概率除以 “全集” 的发⽣概率，即为在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。

在实践中，究竟应该使⽤（⽆条件）概率还是条件概率呢？看⼀个简单例⼦就能明⽩。

⽐如，假设股市崩盘的（⽆条件）概率为万分之⼀；⽽在经济陷⼊严重萧条的情况下，股市崩盘的条件概率为百分之⼀。

此时，如果已知经济已陷⼊严重萧条，你会使⽤哪种概率来预测股市崩盘的可能性呢？如果仍使⽤万分之⼀的⽆条件概率，就显得过于僵化，因为既然经济已经严重萧条，⾃然应将此条件考虑在内，⽽使⽤百分之⼀的条件概率。

第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。

考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。

命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。

由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。

此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。

设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。

若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。

命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。

证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。

条件概率及条件分布知识点整理
1. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。

用符号表示为 P(A|B)，表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。

条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。

2. 条件分布
在概率论和统计学中，条件分布是指在给定某个条件下，随机变量的概率分布。

条件分布可以通过条件概率来计算。

给定随机变量 X 和随机变量 Y，条件分布可以表示为
P(X|Y=y)，表示在事件 Y=y 发生的条件下，随机变量 X 的概率分布。

条件分布的计算公式为：
P(X|Y=y) = P(X∩Y=y) / P(Y=y)
其中，P(X∩Y=y) 表示随机变量 X 和事件 Y=y 同时发生的概率，P(Y=y) 表示事件 Y=y 发生的概率。

3. 应用
条件概率和条件分布在概率论和统计学中有广泛的应用。

一些
常见的应用包括：
- 贝叶斯定理：用于计算后验概率，即在已知观测数据的情况下，更新先验概率。

- 马尔科夫链：用于建模状态转移过程，在给定当前状态的情
况下，预测未来状态的概率分布。

- 事件独立性检验：通过计算条件概率是否等于边缘概率，来判断事件是否独立。

- 条件随机场：用于序列标注、自然语言处理等任务，通过建模给定条件下，序列输出的概率分布。

以上是关于条件概率和条件分布的简要介绍。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的概率模型和方法来进行推断和计算。

一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);P(A )=1-P(A);B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn PkP1P2...pnX 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。

分布函数：F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1);P{X>a}=1-P{X<a}离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k tp k ;(把X<x 的概率累加）连续型rvX ；F(x)=−∞xf x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=1b−a,a t0,其它=0,x x−a b−a1,x≥b,a t分布函数F(x)=−∞x f x dx④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t0,其它F(x)=1−e−xθ0,x 0;⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。

上课材料之三：第二节 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。

一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。

换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。

频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。

对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。

对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。

有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。

概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件： （i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。

推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ； 推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。