3.6 条件分布与条件期望--概率论课件

条件分布定义及其在随机过程中的应用在概率论中，条件分布是指在给定一些信息或事件时，随机变量的概率分布。

简单地说，条件分布是指事件发生的条件下，其他事件发生的概率。

条件分布在随机过程中有很多应用，本文将对条件分布的定义及其在随机过程中的应用进行深入讨论。

一、条件分布的定义条件分布的定义可以由条件概率来推导。

设A、B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A的条件概率为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

如果X和Y是两个随机变量，P(Y=y)>0，则在Y=y的条件下X的条件概率为：P(X=x|Y=y) = P(X=x，Y=y) / P(Y=y)其中，P(X=x，Y=y)表示X=x和Y=y同时发生的概率，P(Y=y)表示随机变量Y=y的概率。

进一步地，可以得到X的条件分布函数：F(x|Y=y) = P(X≤x|Y=y)X的条件概率密度函数f(x|Y=y)则由条件分布函数求导得到：f(x|Y=y) = d/dx F(x|Y=y)二、条件分布的特性条件分布具有以下一些特性：1. 相互独立性：如果X和Y是独立的，则P(X=x|Y=y) =P(X=x)。

2. 概率归一性：条件概率和等于1，即∑ P(X=x|Y=y) = 1。

3. 乘法公式：由条件概率的定义可以得到乘法公式：P(X=x，Y=y) = P(Y=y|X=x)P(X=x)4. 全期望公式：设X和Y是两个随机变量，则：E(X) = E[E(X|Y)]其中，E(X|Y)表示在Y条件下X的期望。

三、条件分布的应用条件分布在随机过程中有很多应用，本节将讨论其中的一些应用。

1. 马尔可夫性质在马尔可夫链中，当前状态只与前一状态有关，在这种情况下，当前状态的条件分布只与前一状态有关。

具体地说，可以得到下面的等式：P(Xn+1 = j|Xn=i,Xn-1=k,Xn-2=l,…,X0) = P(Xn+1=j|Xn=i)其中，Xn表示第n个状态，Xn+1表示第n+1个状态，i、j、k、l是两个状态之间的节点。

概率论中的条件期望计算公式概率论中的条件期望计算公式通常用于计算在给定条件下某一随机变量的期望值。

在概率论中，条件期望是指在已知条件下对随机变量的期望值进行计算。

条件期望计算公式可以帮助我们更准确地预测随机变量的取值，对于实际问题的分析和解决具有重要意义。

条件期望的计算公式可以表示为：$$ E(X|Y) = \sum_{y}P(Y=y)E(X|Y=y) $$其中，$ E(X|Y) $ 表示在给定随机变量 Y 的条件下随机变量 X 的期望值。

$ P(Y=y) $ 表示随机变量 Y 取值为 y 的概率，$ E(X|Y=y) $ 表示在 Y 取值为 y 的情况下随机变量 X 的期望值。

在实际问题中，条件期望计算公式可以应用于各种概率分布，如离散分布和连续分布。

下面将分别介绍在离散和连续情况下的条件期望计算公式。

**离散情况下的条件期望计算公式：**对于离散情况下的随机变量 X 和 Y，条件期望的计算公式为：$$ E(X|Y) = \sum_{y}P(Y=y)E(X|Y=y) $$其中，$ E(X|Y=y) $ 表示在 Y 取值为 y 的情况下 X 的期望值，$ P(Y=y) $ 表示 Y 取值为 y 的概率。

**连续情况下的条件期望计算公式：**对于连续情况下的随机变量 X 和 Y，条件期望的计算公式为：$$ E(X|Y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y)E(X|Y=y)dy $$其中，$ f_Y(y) $ 表示随机变量 Y 的概率密度函数，$ E(X|Y=y)$ 表示在 Y 取值为 y 的情况下 X 的期望值。

条件期望的计算公式可以帮助我们更准确地处理概率相关的问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。

通过灵活运用条件期望计算公式，我们可以更好地理解随机变量之间的关系，为数据分析和决策提供有力支持。

总之，概率论中的条件期望计算公式是一个重要的工具，可以帮助我们更深入地理解随机变量之间的关系，为实际问题的分析和解决提供有效的方法。

概率论中的条件期望计算方法概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。

而条件期望是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某些条件下的随机变量的平均值。

在实际应用中，计算条件期望是非常常见的，因此学习条件期望的计算方法对于理解概率论的核心思想和解决实际问题非常重要。

条件期望的计算方法有多种，下面将介绍其中的两种常见方法：条件概率法和条件分布法。

首先，我们来看看条件概率法。

条件概率法是一种直观的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的定义。

条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。

对于一个随机变量X和一个条件Y，条件概率P(X|Y)表示在给定Y发生的条件下X发生的概率。

条件期望的计算方法可以通过条件概率来实现。

假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。

首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的取值的概率分布。

然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。

举个例子来说明。

假设X表示一个硬币的正面朝上的次数，Y表示掷硬币的次数。

我们想要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的期望。

首先，我们需要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的概率分布。

然后，我们将硬币正面朝上的次数乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。

接下来，我们来看看条件分布法。

条件分布法是一种更加抽象的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的性质和条件分布的定义。

条件分布是指在某个条件下随机变量的概率分布。

对于一个随机变量X和一个条件Y，条件分布P(X|Y)表示在给定Y的条件下X的概率分布。

条件期望的计算方法可以通过条件分布来实现。

假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。

首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的概率分布。

然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。

举个例子来说明。

假设X表示一个学生的考试成绩，Y表示学生的学习时间。

条 件 数 学 期 望我们曾经引进条件分布函数的概念，现在介绍条件数学期望的概念。

为了方便起见，我们讨论两个随机变量ξ与η的场合，假定它们具有密度函数(),p x y ，并以()|p y x 记已知x ξ=的条件下，η的条件密度函数，以()1p x 记ξ的密度函数。

定义 在x ξ=的条件下，η的条件数学期望定义为{}()||E x yp y x dy ηξ∞-∞==⎰例 ： 某射击手进行射击,每次射击击中目标的概率为P(0<P<1),射击进行到击中目标两次时停止.令ξ表示每一次击中目标时的射击次数, η表示每二次击中目标时的射击次数,试求联合分布列ij p ,条件分布列i j j i p p ||,及数学期望}|{j E =ηξ解 据题意知),(j i p p ij ===ηξ,3,21,22=<≤=-j i q p i其中q=1-p,又∑∑∞+=-∞+=⋅==1221i j j i j iji q ppp,2,1,1112==-=--i pq q q p i i ∑∑-=--=⋅==112211j i j j i ij j q p p p3,2,)1(22=--j q p j j于是条件分布列为3,21,11)1(2222|=<≤-=-==--⋅j i j q p j q p p p p j j j ijj i 2,1,,1122|=>===----⋅i i j pq pqq p p p p i j i j i iji j 这时∑-===11|}|{n i n i ip n E ηξ21111nn i n i =-⋅=∑-= 在这个例子中，条件期望}|{n E =ηξ的意义都很直观的。

如果已知第二次击中发生在第n 次射击，那么第一次击中可能发生在第1,,1-n 次，并且发生在第i 次的概率都是11-n ，因为11|-=n p n i ，也就是说已知n =η的条件下，ξ取值为1,,1-n 是等可能的，从而它的均值为2n.条件期望具有与普通数学期望相类似的性质,例如有 (1)若b a ≤≤ξ则}|{j b E =ηξ存在,具有a ≤}|{j b E =ηξ≤b;特别,当C 是常数时, }|{j b E =ηξ=C; (2)若21,k k 是两个常数,又}|{1j b E =ηξ,}|{2j b E =ηξ存在,则}|{2211j b k k E =+ηξξ}|{}|{2211j j b E k b E k =+==ηξηξ这是在固定j b =η的条件下考察条件期望性质,由条件期望的定义可知,当给定ξ时,对于η的每一个可能的取值)2,1( =j b j 就有一个确定的实数}|{j b E =ηξ与之对应.因而}|{j b E =ηξ是η单值函数,当j b =η时,这个函数的值就等于}|{j b E =ηξ,∑∞====1)(}|{})|({j j j b p b E E ηηξηξ而∑∑∞=∞=⋅===11|}|{i i jij ij i i j p p a p a b E ηξ把它代入前面的式子中,即可得到∑∑∑∑∞=∞=⋅∞=∞=⋅==1111})|{(j ij i i j j i jij ip a p p p a E E ηξξE p a i i i ==∑∞=⋅1由此可见,随机变量ξ对η求条件期望后再求期望,等于对这个随机变量直接求期望.这是条件期望的一个重要的基本性质. 下面在随机变量是连续情况下也略作证明： 因为 ()()2E yp y dy η∞-∞=⎰(),y p x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰(),yp x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰而 ()()||E yp y x dy ηξ∞-∞=⎰()()1,p x y ydy p x ∞-∞=⎰ (){}()()()11,|p x y E E ydy p x dx p x ηξ∞∞-∞-∞=⎰⎰(),yp x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰ 证毕。