4.3.2空间两点间的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点空间两点间的距离公式思考如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案a2＋b2＋c2.梳理(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.类型一求空间两点间的距离例1如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求|MN|的长．解建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MF⊥NF，因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|.又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，所以|NF |＝|FC |＝13|AB |＝a3，同理|MF |＝23|CC ′|＝2a3，因此，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，2a 3，0，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，a ，2a3， 所以|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 3－a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 3－a 2＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＝53a .反思与感悟 在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得 D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5， |EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6. 类型二 求空间点的坐标例2 已知点A (4,5,6)，B (－5,0,10)，在z 轴上有一点P ，使|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为_____． 答案 (0,0,6)解析 设P (0,0，z )，由|P A |＝|PB |，得(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z )2， 解得z ＝6.∴点P 的坐标为(0,0,6)．引申探究1．若本例中已知条件不变，问能否在z 轴上找一点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？解 与例2的结论一样，P (0,0,6)．2．若本例中“在z 轴上”改为“在y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？ 解 设P (0，y,0)，由|P A |＝|PB |，得(4－0)2＋(5－y )2＋(6－0)2＝(－5－0)2＋(0－y )2＋(10－0)2， 解得y ＝－245.∴点P 的坐标为(0，－245，0)．反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P 在x 轴上，使它到点P 1(0，2，3)的距离是到点P 2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P 的坐标．解 因为P 在x 轴上，所以设P 点坐标为(x,0,0)． 因为|PP 1|＝2|PP 2|，所以(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2， 所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 类型三 空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜ 2)． (1)求|MN |的长；(2)当a 为何值时，|MN |的长最小． 解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ， ∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0. (1)|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12.(2)由(1)得当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ |的最小值． 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (12，12，12)．∵Q 点在CD 上，∴设Q (0,1，z )，z ∈[0,1]， ∴|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－z )2＝12＋(12－z )2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22.1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( ) A ．(1,1,1) B ．(1,2,2) C ．(2，－3,5) D ．(3,0,4)答案 C2．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2答案 D解析 由空间两点间的距离公式，得 (x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26， 解得x ＝6或x ＝－2.3．已知三角形的三个顶点A (2，－1,4)，B (3,2，－6)，C (5,0,2)，则过A 点的中线长为( ) A.11 B ．211 C ．11 2 D ．311 答案 B解析 ∵BC 的中点坐标为(4,1，－2)，∴过A 点的中线长为(4－2)2＋(1＋1)2＋(－2－4)2＝211.4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．a D.12a 答案 B解析 ∵A ′(a,0，a )，C (0，a,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)， ∴E 点坐标为(a 2，a 2，a 2)，F 点坐标为(a ，a2，0)，∴|EF |＝a 24＋02＋a 24＝22a . 5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为________． 答案 3 6解析 |AB |＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5(a ＋1)2＋54.当a ＝－1时，|AB |的值最小，最小值为54＝3 6.1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．课时作业一、选择题1．点A 在z 轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则A 点的坐标为( ) A ．(0,0，－1) B ．(0,1,1) C ．(0,0,1) D ．(0,0,13)答案 C解析 设A (0,0，c )，则(22)2＋(5)2＋(1－c )2＝13，解得c ＝1.所以点A 的坐标为(0,0,1)． 2．设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则A ，B 两点的距离为( ) A ．10 B.10 C.38 D ．38 答案 A解析 ∵点B 是A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，∴点B 的横坐标和纵坐标与点A 相同，竖坐标相反，∴B (2，－3，－5)，∴AB 的长度是5－(－5)＝10.故选A.3．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.63答案 A解析 如图，不妨设B 1点为定点．由题意知，|B 1A |＝|B 1C |＝|B 1D |＝1.|OB 1|＝|B 1D |2＋|OD |2＝1＋12＝ 62. 4．已知△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上的射影图形的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 △ABC 的三个顶点A 、B 、C 在yOz 平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz 平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1. 5．已知三点A (－1,0,1)，B (2,4,3)，C (5,8,5)，则( )A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形 答案 D解析 ∵|AB |＝(2＋1)2＋(4－0)2＋(3－1)2＝29， |AC |＝229，|BC |＝29，∴|AB |＋|BC |＝|AC |， ∴三点A ，B ，C 共线，构不成三角形，故选D.6．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C.87 D.1914答案 C解析 ∵|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19， ∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．7．一束光线自点P (1,1,1)发出，遇到平面xOy 被反射，到达点Q (3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )A.37B.47C.33D.57 答案 D解析 点P (1,1,1)关于平面xOy 的对称点M 的坐标为(1,1，－1)．一束光线自点P (1,1,1)发出，遇到平面xOy 被反射，到达点Q (3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57. 二、填空题8．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则点M 的坐标为________． 答案 (0，－1,0)解析 设点M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0， ∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．9．已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是________． 答案 64解析 |AB |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＋(－1－3)2 ＝4 3.又因为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)不在同一平面上，所以A ，B 两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a ，则3a ＝43，即a ＝4，所以正方体的体积为64. 10．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P 的坐标为P (x ，y ，z )，则x ，y ，z 满足的关系式为______________． 答案 x 2＋y 2＋z 2＝25解析 由空间两点间距离公式可得x 2＋y 2＋z 2＝25.11.如图，在空间直角坐标系中，|BC |＝2，原点O 是BC 的中点，点A (32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则三棱锥D －ABC 的体积为__________．答案 14解析 因为∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，|BC |＝2. 所以|BD |＝1，|CD |＝|BC |cos 30°＝3， 所以S △BCD ＝12×|BD |×|CD |＝32.因为A (32，12，0)，即点A 到BC 的距离为32， 所以三棱锥D －ABC 的体积为V ＝13×32×32＝14.三、解答题12．在空间直角坐标系Oxyz 中，(1)在z 轴上求一点P ，使得它到点A (4,5,6)与到点B (－7,3,11)的距离相等； (2)已知点M 到坐标原点的距离等于23，且它的坐标分量相等，求该点的坐标． 解 (1)设P 点坐标为(0,0，c )， 因为|P A |＝|PB |，所以16＋25＋(c －6)2＝49＋9＋(c －11)2， 所以c ＝515，所以P 点坐标为(0,0，515)．(2)设M 点坐标为(a ，a ，a )， 由a 2＋a 2＋a 2＝2 3. 得a 2＝4，所以a ＝±2，所以M 点坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．13．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，P ，Q 分别是D ′B ，B ′C 的中点，求|PQ |.解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得B (a ，a,0)，D ′(0,0，a )， 所以P (a 2，a 2，a2)．又C (0，a,0)，B ′(a ，a ，a )，所以Q (a 2，a ，a2)．所以|PQ |＝(a 2－a 2)2＋(a 2－a )2＋(a 2－a2)2 ＝a2. 四、探究与拓展14．对于任意实数x ，y ，z ，则x 2＋y 2＋z 2＋(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2的最小值为________． 答案6解析 设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)，则x 2＋y 2＋z 2＋(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＝|PO |＋|PM |， 由于x ，y ，z 是任意实数， 即点P 是空间中任意一点，则|PO |＋|PM |≥|OM |＝1＋4＋1＝6， 即所求的最小值为 6.15．在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)．试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |. 因为M 在y 轴上，所以可设M (0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10，故y轴上存在点M使△MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。
两点间的距离公式在数学中，我们经常需要计算两点之间的距离，无论是在平面上还是在空间中。
为了解决这个问题，数学家们提出了几种距离公式，其中最常用的是欧几里得距离公式和曼哈顿距离公式。
1. 欧几里得距离公式欧几里得距离是计算两点之间最短直线距离的方法，也称为直线距离或欧几里得度量。
它可以用于平面上的任意两点计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的欧几里得距离可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，`√`表示开平方根，`(x2 - x1)²`表示横坐标之差的平方，`(y2 - y1)²`表示纵坐标之差的平方。
利用这个公式，我们可以轻松计算出平面上任意两点之间的距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用欧几里得距离公式计算出它们之间的距离：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
2. 曼哈顿距离公式曼哈顿距离是计算两点之间沿着网格（或坐标轴）移动的最短距离的方法，也称为城市街区距离。
它可以被看作是沿着曼哈顿街道行走的距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的曼哈顿距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中，`|x2 - x1|`表示横坐标之差的绝对值，`|y2 - y1|`表示纵坐标之差的绝对值。
通过这个公式，我们可以简单地计算平面上任意两点之间的曼哈顿距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用曼哈顿距离公式计算它们之间的距离：d = |5 - 2| + |7 - 3|= |3| + |4|= 3 + 4= 7因此，点A和点B之间的距离为7个单位。
综上所述，欧几里得距离和曼哈顿距离是计算两点之间距离的常用公式。
两点间距离公式用法
两点间距离公式用法：
两点间距离公式是用来计算平面上或空间中两个点之间距离的公式。
在平面上，我们可以使用勾股定理来计算两点间的距离，而在三维空间中，我们需要使用三维勾股定理来计算。
在平面上，如果给定两个点的坐标为 (x1, y1)和 (x2, y2)，那么可以使用勾股定
理来计算它们之间的距离。
勾股定理的公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)，其中
d 表示两点之间的距离。
在三维空间中，如果给定两个点的坐标为 (x1, y1, z1)和 (x2, y2, z2)，我们可以
使用三维勾股定理来计算它们之间的距离。
三维勾股定理的公式为：d = √((x2 -
x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)，其中 d 表示两点之间的距离。
使用这些公式时，我们需要将两个点的坐标代入相应的公式中，然后进行计算。
最终得到的结果就是两点之间的距离。
需要注意的是，这些公式只适用于平面上或空间中的直线距离计算。
如果需要
计算两点之间的其他类型的距离，如曲线或曲面上的距离，可能需要使用其他公式或方法进行计算。
总而言之，两点间距离公式是用来计算平面上或空间中两个点之间距离的数学
工具。
通过代入坐标并使用相应的公式，我们可以准确计算出这两点之间的距离。
