人教版九年级下册数学 27.3位似 同步练习(含解析)

3 位似专题一 开放探究题1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和△ABC.(1)请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△C B A '''；(2)请用适当的方式描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置.专题二 实际应用题2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm ，则投影三角形的对应边长为( )A.8 cmB.20 cmC.3.2 cmD.10 cm3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm 2，两边空白各0.5 dm ，上下空白各1 dm ，设印刷部分从上到下长是x dm ，四周空白的面积为S dm 2.(1)求S 与x 的关系式；(2)当要求四周空白处的面积为18 dm 2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?专题三 一题多变题4．已知五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O 是位似中心，OD ∶OD ′=2∶3，如图所示，求S 五边形ABCDE 与S 五边形A′B′C′D′E′之比是多少？（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE 的周长为32 cm ，求五边形A′B′C′D′E′的周长；（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE 与△OD′E′是位似图形吗？专题四 阅读理解题5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．”（1）选择：如图1，点O 是等边△PQR 的中心，P′、 Q′、R′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P′Q′R ′与△PQR 是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR 的位似比、位似中心分别为( )A ．2，点PB ．12 ，点PC ．2，点OD ．12，点O （2）如图2，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法： ①在△AOB 内画等边△CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上，②连结OE 并延长交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C′∥EC ，交OA 于点C′，过点E ′作E ′D′∥ED 交OB 于点D′；③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB 的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．【知识要点】1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或者－k .【温馨提示】1．位似图形的位似中心可以在任何位置.2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.【方法技巧】1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.参考答案1． 解:（1）按位似作图在O 点与△ABC 同侧把△ABC 缩小一半，得到△C B A '''；第（2）问是一个开放性问题，对描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置的方式不确定，如果建立直角坐标系来描述C B A ''',,的位置，假设以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，-1），C′的坐标为（-2，-1）.2．B 【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5.3．解:(1)根据题意,得S =32(2)(1)32x x ++-=x +x 64+2. (2)根据题意,得x +x64+2=18,整理,得x 2-16x +64=0,∴(x -8)2=0,∴x =8,∴x +2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为832+2×0.5=5(dm). (3)内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2, ∴45=''=''=''=''A D DA D C CD C B BC B A AB . ∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.∵AC 和BD ,A′C′和B′D′都相交于O 点,∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′是位似图形.4．解:∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD ：OD′=2：3，∴ABCDEA B C D E S S '''''五边形五边形=2OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=223⎛⎫ ⎪⎝⎭=49． （1）由题意可知五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′的位似比为′OD OD =23， ∴ABCDE A B C D E C C '''''五边形五边形=OD OD '=23． ∵C 五边形ABCDE =32cm ，∴C 五边形A′B′C′D′E′=C 五边形ABCDE ×32=32×32=48（cm ）． （2）∵五边形ABCDE 与五边形A 'B 'C 'D 'E '是位似图形，∴OD OD '=OE DE OE D E '=''=23，• ∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ODE 与△OD′E′的对应点的连线都经过点O ，∴△ODE 与△OD′E′是位似图形．5．解:(1)由位似的定义，观察图l 知：点O 是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D ．(2)证明：∵EC∥E′C′，∴CE OE C E O E =''''，∠CEO=∠C′E′O ． ∵ED∥E′D′，∴ED OE E D O E =''''，∠DEO=∠D′E′O ′， 故′′′′DE ED E C CE =，∠CED=∠C′E′D′． ∵△CDE 是等边三角形，∴CE=DE ，∠CED =60°.∴C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°，∴△C′D′E′是等边三角形．。

练习 位 似一、自主学习1.位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm 和15 cm ，则它们的相似比为_________2.如图27-33，蜡烛与成像板之间的距离为3m ，小孔纸板距蜡烛1m ，若蜡烛AB 长20cm ，则所成的像长为_________cm.图27-333.四边形ABCD 和四边形A ＇B ＇C ＇D ＇是位似图形，O 为位似中心，若OA ∶OA ＇，=1∶2，那么AB ∶A ＇B ＇=________，S 四边形ABCD ∶S 四边形A ＇B ＇C ＇D ＇=________. 二、基础巩固4.如图27-34所示，点O 是等边△PQR 的中心，P ，Q ＇，R ＇分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ＇Q ＇R ＇与△PQR 是________，点O 是_____，相似比是________.图27-34 图27-355.如图27-35所示，矩形AOBC 与DOEF 是位似图形，且O 为位似中心，相似比为1∶2，若A(0，1)、B(2，0)，则F 点的坐标为________.6.下列两个图形不是位似图形的是( )7.把△ABC 三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A ＇B ＇C ＇，的坐标A ＇，(0，3)、B ＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________8.把△ABC 三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以-3，得△A ＇B ＇C ＇，的坐标A ＇(0，-3)、B (-6，0)、C ＇(-9，-6)，那么△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是_____图形，位似中心是_____，相似比为_____.9.如图27-36所示，按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的21，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，则下列说法： (1)△ABC 与△DEF 是位似形. (2)△ABC ∽△DEF.(3)△ABC 与△DEF 周长的比为2∶1(4)△ABC 与△DEF 面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )图27-36A.1B.2C.3D.410.图27-36中，△ABC 与△DEF 是位似图形.那么，DE 与AB 平行吗?为什么?EF 与BC 呢?DF 与AC 呢?11.如图27-37所示，O 为四边形ABCD 上一点，以O 为位似中心，将四边形ABCD 放大为原来的2倍.12.如图27-38所示，O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的32(要求对应顶点在位似中心的同旁). 13.如图27-39所示，O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍(要求对应顶点在位似中心的两旁).图27-37 图27-38 图27-39三、能力提高14.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的31，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( )A.9B.3C.3D.332 15.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )A.一定点B.原三角形三边垂直平分线的交点C.原三角形角平分线的交点D.位置不定的一点 16.下列说法正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形; ②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也是位似的且相似比相等.A.1个B.2个C.3个D.4个17.若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( )A.每对对应点所在的直线相交于同一点;B.两个图形上的对应线段之比等于相似比C.两个图形上对应线段必平行D.两个图形的面积比等于相似比的平方18.如图27-40所示，在直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD.作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点.图27-4019.(1)如图27-41所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；(2)若已知AB=2cm，BC=3cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.图27-4120.正方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，2)，D(1，2)，以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A＇B＇C＇D＇的边是正方形边的3倍。

位似第1课时 位似图形的概念及画法 [见A 本P76]1．以下四个命题中 ,属于真命题的是( D )A ．假设a 2＝m ,那么a ＝mB ．假设a >b ,那么am >bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形2．如图27－3－1 ,△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的 ,点O 是位似中|心 ,D ,E ,F 分别是OA ,OB ,OC 的中点 ,那么△DEF 与△ABC 的面积比是( B )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶6 【解析】 ∵△DEF ∽△ABC ,∴S △DEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14,应选B.图27－3－1图27－3－2 3．如图27－3－2 ,△EFH 和△MNK 是位似图形 ,那么其位似中|心是( A )A ．点B B ．点CC ．点D D ．点A【解析】根据位似图形的性质 ,连接对应点E与M ,F与N ,H与K ,看它们的交点是哪一个 ,易知它们相交于点B ,那么B点就是它们的位似中|心．4．如图27－3－3 ,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的 ,假设AB∶FG＝2∶3 ,那么以下结论正确的选项是( B )图27－3－3A．2DE＝3MN B．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F【解析】位似图形是相似图形 ,所以对应边的比都等于相似比 ,那么有DEMN＝ABFG＝23,所以3DE＝2MN.5．如图27－3－4 ,四边形ABCD的周长为12 cm ,它的位似图形为四边形A′B′C′D′ ,位似中|心为O ,假设OA∶AA′＝1∶3 ,那么四边形A′B′C′D′的周长为( B )图27－3－4A．12 cm B．24 cmC．12 cm或24 cm D．以上都不对【解析】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形 ,∴ADA′D′＝OA OA′,又∵OAAA′＝13,∴设OA＝k ,那么AA′＝3k ,∴OA′＝AA′－OA＝3k－k＝2k ,∴AD A ′D ′＝OA OA ′＝k 2k ＝12, 即A ′D ′＝2AD ,同理A ′B ′＝2AB ,B ′C ′＝2BC ,C ′D ′＝2CD ,∴四边形A ′B ′C ′D ′的周长为A ′B ′＋B ′C ′＋C ′D ′＋D ′A ′＝2(AB ＋BC ＋CD ＋DA )＝24 cm.6．如图27－3－5 ,放映幻灯片时 ,通过光源 ,把幻灯片上的图形放大到屏幕上．假设光源到幻灯片的距离为20 cm ,到屏幕的距离为60 cm ,且幻灯片中图形的高度为 6 cm ,那么屏幕上图形的高度为__18__cm.图27－3－57．如图27－3－6 ,以点O 为位似中|心 ,将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′ ,OA ＝10 cm ,OA ′＝20 cm ,那么五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是__12__．图27－3－68．如图27－3－7 ,五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形 ,且AA ′＝OA ′ ,那么五边形ABCDE 是将五边形A ′B ′C ′D ′E ′放大到原来的__2__倍 ,S五边形ABCDE ＝__4__S 五边形A ′B ′C ′D ′E ′.图27－3－7【解析】 因为AA ′＝OA ′ ,所以OA ′OA ＝12,所以五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的相似比为2∶1 ,面积比为4∶1.9．如图27－3－8 ,分别按以下要求作出四边形ABCD 以O 点为位似中|心的位似图形．图27－3－8(1)沿AO 方向放大为原图的2倍； (2)沿OA 方向放大为原图的2倍．解：(1)如下图 ,四边形A ′B ′C ′D ′符合题意；(2)如下图 ,四边形A ″B ″C ″D ″符合题意．10．关于位似图形的表述 ,以下命题正确的选项是__②③__.(只填序号)①相似图形一定是位似图形 ,位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中|心；③如果两个图形是相似图形 ,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点 ,那么 ,这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中|心的距离之比等于位似比．11．图27－3－9中的小方格都是边长为1的正方形 ,△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．图27－3－9(1)以点O为位似中|心 ,在方格图中将△ABC放大为原来的2倍 ,得到△A′B′C′；(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90° ,画出旋转后得到的△A″B′C″ ,并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．【解析】利用位似图形的性质和旋转解决问题．解：(1)如图中△A′B′C′；(2)如图中△A″B′C″ ,边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积为S＝90360π×(22＋42)＝14π×20＝5π.12如图27－3－10 ,正三角形ABC的边长为3＋ 3.(1)如图 ,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上 ,顶点N在边AC上 ,在正三角形ABC及其内部 ,以点A 为位似中|心 ,作正方形EFPN 的位似正方形E ′F ′P ′N ′ ,且使正方形E ′F ′P ′N ′的面积最|大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E ′F ′P ′N ′的边长；图27－3－10解：(1)如图 ,正方形E ′F ′P ′N ′即为所求．(2)设正方形E ′F ′P ′N ′的边长为x ,∵△ABC 为正三角形 ,∴AE ′＝BF ′＝33x . ∵E ′F ′＋AE ′＋BF ′＝AB ,∴x ＋33x ＋33x ＝3＋ 3 , ∴x ＝9＋3323＋3,即x ＝33－3.第2课时 位似图形的坐标变化规律 [见B 本P76]1．如图27－3－11 ,在直角坐标系中 ,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点 ,边OA 在x 轴上 ,OC 在y 轴上 ,如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似 ,且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 的面积的14,那么点B ′的坐标是( D )图27－3－11A ．(3 ,2)B ．(－2 ,－3)C ．(2 ,3)或(－2 ,－3)D ．(3 ,2)或(－3 ,－2)2．如图27－3－12 ,将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△A 1B 1C 1(顶点均在格点上) ,它们是以P 点为位似中|心的位似图形 ,那么P 点的坐标是( A )图27－3－12A ．(－4 ,－3)B ．(－3 ,－3)C ．(－4 ,－4)D ．(－3 ,－4)3．如图27－3－13 ,△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ,其中A ,B 的对应点分别为A ′ ,B ′点A ,B ,A ′ ,B ′均在图中的格点上．假设线段AB 上有一点P (m ,n ) ,那么点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为( D )图27－3－13A ．(m 2,n ) B ．(m ,n ) C ．(m ,n 2) D ．(m 2 ,n 2) 【解析】 ∵△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ,其中A ,B 的对应点分别为A ′ ,B ′点A ,B ,A ′ ,B ′均在图中的格点上 ,A 点坐标为(4 ,6) ,B 点坐标为(6 ,2) ,A ′点坐标为(2 ,3) ,B ′点坐标为(3 ,1) ,所以假设线段AB 上有一点P (m ,n ) ,那么点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为(m 2 ,n 2)． 应选D.,点E (－4 ,2) ,F (－2 ,－2) ,以原点O 为位似中|心 ,相似比为12,把△EFO 缩小 ,那么点E 的对应点E ′的坐标是( D )A ．(－2 ,1)B ．(－8 ,4)C ．(－8 ,4)或(8 ,－4)D ．(－2 ,1)或(2 ,－1)【解析】 根据题意画出相应的图形 ,找出点E 的对应点E ′的坐标即可．根据题意得：那么点E 的对应点E ′的坐标是(－2 ,1)或(2 ,－1)．5．四边形ABCD 在直角坐标系中各顶点的坐标为A (6 ,0) ,B (－2 ,－6) ,C (－8 ,2) ,D (0 ,8) ,现将四边形ABCD 以坐标原点为位似中|心作四边形A 1B 1C 1D 1 ,且使四边形ABCD 的周长是四边形A 1B 1C 1D 1的4倍 ,那么C 1的坐标为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 12B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 －12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 －12 【解析】 相似图形的周长比等于相似比 ,根据图形位似变换的坐标变化规律 ,知C 1的坐标为⎝ ⎛－8×14 ⎭⎪⎫2×14或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ,即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2 12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 －12 ,应选D. 6．如图27－3－14 ,△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形 ,且顶点都在格点上 ,那么位似中|心的坐标是__(9 ,0)__．图27－3－14【解析】 连接C ′C ,A ′A ,并延长得它们的交点就是位似中|心．作图后观察得交点坐标为(9 ,0) ,所以位似中|心的坐标为(9 ,0)．7．如图27－3－15 ,△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形 ,点O 为位似中|心 ,假设△OAB 内点P (x ,y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点 ,那么点P ′的坐标是__(－2x ,－2y )__．图27－3－158．在平面直角坐标系中 ,△ABC 顶点A 的坐标为(2 ,3) ,假设以原点O 为位似中|心 ,画△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′ ,使△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比等于12,那么点A ′的坐标为__(4 ,6)或(－4 ,－6)__．【解析】 由关于原点位似的两图形在坐标平面内对应点的坐标变化规律知A ′(2×2 ,2×3)或A ′(－2×2 ,－2×3) ,∴点A ′的坐标为(4 ,6)或(－4 ,－6)．9．[2021·泰州]如图27－3－16 ,平面直角坐标系xOy 中 ,点A ,B 的坐标分别为(3 ,0) ,(2 ,－3) ,△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形 ,且O ′的坐标为(－1 ,0) ,那么点B ′的坐标为__(53,－4)__．图27－3－1610．如图27－3－17 ,△ABC与△DOE是位似图形,且A(0 ,3) ,B(－2 ,0) ,C(1 ,0) ,E(6 ,0) ,那么D点的坐标为__(4 ,6)__ ,△ABC与△DOE的位似中|心M的坐标为__(－4 ,0)__．图27－3－17【解析】位似中|心M为直线AD与x轴的交点．11．如图27－3－18 ,在平面直角坐标系中 ,△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1 ,2) ,B(－3 ,4) ,C(－2 ,6)．图27－3－18(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1.(2)以原点O为位似中|心 ,画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.解：如图 ,(1)△A1B1C1即为所求；(2)△A2B2C2即为所求．12．如图27－3－19 ,△ABC在方格纸中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系 ,使A点坐标为(2 ,3) ,C点坐标为(6 ,2) ,并求出B点坐标；(2)以原点O为位似中|心 ,相似比为2 ,在第|一象限内将△ABC放大 ,画出放大后的图形△A′B′C′；(3)计算△A′B′C′的面积S.图27－3－19解：(1)将A点向下平移3个单位 ,再向左平移2个单位得坐标原点 ,即可建立平面直角坐标系 ,此时B的坐标为(2 ,1) ,如图．(2)求出放大后的△A ′B ′C ′的三点坐标分别为A ′(4 ,6) ,B ′(4 ,2) ,C ′(12 ,4) ,顺次连接即得△A ′B ′C ′ ,如图．(3)S ＝12A ′B ′·(x C ′－x A ′)＝12×(6－2)×(12－4)＝16.13．如图27－3－20 ,在△ABC 中 ,A ,B 两个顶点在x 轴的上方 ,点C 的坐标是(－1 ,0)．以点C 为位似中|心 ,在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ,并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ,那么点B 的横坐标是( D )图27－3－20A ．－12aB ．－12(a ＋1) C ．－12(a －1) D ．－12(a ＋3) 【解析】 可以分别过点B 和B ′向x 轴作垂线BM 和B ′N ,分别交x 轴于点M 、N ,那么△BMC ∽△B ′NC ,∵点B ′的横坐标是a ,那么CN ＝1＋a ,∴MC ＝12(1＋a ) ,∴点M 的横坐标是－1－12(1＋a )＝－12(a ＋3) ,那么点B 的横坐标也是－12(a ＋3)．。

位似测试时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.如图，在网格中，小正方形边长为1，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是()A. (−3,−4)B. (−3,−3)C. (−4,−4)D. (−4,−3)2.如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A(2,1)，则点C的坐标为A. (1,2)B. (2,1)C. (2,4)D. (4,2)3.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2)，B(2,0)，D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是()A. (2,5),5)B. (52C. (3,5)D. (3,6)4.下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A. 4：9B. 2：5C. 2：3D. √2：√36.按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的1，如图，任取一点O，连AO、BO、2CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是()①△ABC与△DEF是位似图形②△ABC与△DEF是相似图形③△ABC与△DEF的周长比为1：2 ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)，B(8,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1后得到线段CD，则端点C的坐标为()2A. (3,3)B. (4,3)C. (3,1)D. (4,1)8.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1,0)，以点C位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是()A. −2aB. 2a−2C. 3−2aD. 2a−3二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）9.△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0)，A(4,6)，B(3,0)，以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的12，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为______．10.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，OEOA =35，则FGBC=______．11.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，D(3,0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心.若AB=1.5，则DE=______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数.若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是______．13.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(6,0)，O(0,0)，，可以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3,0)，则点A′的坐标是______．14.已知，如图，A′B′//AB，B′C′//BC，且OA′：A′A=4：3，则△ABC与______ 是位似图形，位似比为______ ；△OAB与______ 是位似图形，位似比为______ ．15.已知在平面直角坐标系中，点A(−3,−1)、B(−2,−4)、C(−6,−5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为______．16.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为______．三、计算题（本大题共4小题，共20.0分）17.如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上．(1)请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1；(2)直接写出(1)中C1点的坐标为______．18.(10分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如下图所示，其中点B(−3,1)，解答下列问题：(1)将△ABC绕着点O(0,0)顺时针旋转90∘得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；(5分)(2)在网格图中，以O为位似中心在另一侧将△A1B1C1放大2倍得到△A′B′C′，并写出B′的坐标.(5分)19.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______ ；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______ ．20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3,1)，B′(6,2)．(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：,3)，则A′的坐标为______ ；①若点A(52②△ABC与△A′B′C′的相似比为______ ；(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）21.如图，网格图的每个小正方形边长均为1.△OAB的顶点均在格点上.已知△OA′B′与△OAB是以O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3．(1)请在第一象限内画出△OA′B′；(2)试求出△OA′B′的面积．22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0,4)，B(−2,0)，C(4,0)(1)以原点O为位似中心，画出所有满足条件的△DEF，使△DEF和△ABC位似，且DE:AB=EF:BC=1:2。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《27.3位似》同步题型分类练习题（附答案）一．位似变换1．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（）A．4：7B．4：3C．6：4D．9：52．如图平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形ABCD的边长为3，则F点坐标为（）A．（16.5，9）B．（18，12）C．（16.5，12）D．（16，12）3．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，能够与四边形ABCD是位似图形的为（）A．四边形NGMF B．四边形NGME C．四边形NHMF D．四边形NHME 4．如图所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），C（﹣2，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：2放大，放大后的图形记作△A'B'C'，则C'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（﹣5，2）C．（﹣4，2）D．（﹣3，2）5．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD与矩形EFGO位似，矩形ABCD的边CD在y轴上，点B的坐标为（﹣4，4），矩形EFGO的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为（2，1），则矩形ABCD与EFGO的位似中心的坐标是．6．如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（0，2），C、D 两点的坐标分别为C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．若线段AB和线段CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为．8．《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．9．如图，△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（1，2）在第一象限的对应点A1的坐标是．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，以点O为位似中心，△A1B1C1和△ABC 相似比为2：1，在网格中画出新图象△A1B1C1，若每个小正方形边长均为1，请写出A1，B1，C1的坐标．11．如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△A n B n∁n组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点…A n是OA n﹣1的中点，顶点B2，B3，…，B n．C2，C3，…，∁n都在B1C1边上．（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；（2）求出第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长．12．如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．（1）求证：四边形PQMN为正方形；（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．13．（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴t，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是，若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'点E重合，则点E表示的数是．（2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4），对△ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同个实数a，将得到的点先向右平移m单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到△A′B′C′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′（1，2），B′（3，2）．△ABC内部是否存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，若存在，求出点F 的坐标；若不存在请说明理由．14．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．二．作图-位似变换15．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．116．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（1，1），17．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（）A．（m，n+3）B．（m，n﹣3）C．（m，n+2）D．（m，n﹣2）18．如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为．19．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA ＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是．21．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A 不在同一象限内，则点A1的坐标为．22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．23．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，0），B（3，1），C （2，3）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△DEF，△ABC 与△DEF的位似比为；（2）如果△ABC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M'的坐标（，）．24．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．（1）在平面直角坐标系中画出位似中心；（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，确定点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．25．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．（1）在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心M点的位置并写出M点的坐标．（2）若以点A1为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1．（3）直接写出（2）中C2点的坐标．26．如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并写出A2的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．28．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．参考答案一．位似变换1．解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴＝，∵AC∥DF，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝，∴AO：AD＝4：7，故选：A．2．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，∴＝＝，即＝＝，解得：EF＝12，OB＝4，∴F（16，12）．故选：D．3．解：如图，四边形ABCD的位似图形是四边形NGMF．故选：A．4．解：∵以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作△AB'C'，∴AC＝AC′，∴点C是线段AC′的中点，∵A（1，0），C（﹣2，1），∴C'的坐标为（﹣5，2）．故选：B．5．解：连接BF交y轴于点P，∵C和F是对应点，∴点P为位似中心，由题意得，GF＝2，AD＝4，GC＝4﹣1＝3，∵BC∥GF，∴△BPC∽△FPG，∴＝，即＝2，解得，GP＝1，∴OP＝2，∴位似中心的坐标是（0，2），故答案为：（0，2）．6．解：作BE⊥OA于E，则∠BEO＝90°，∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，∴点B的坐标为：（3，），∵以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2），即（6，2），故答案为：（6，2）．7．解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，∵A（﹣1，2）、B（0，2），C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．∴AB＝1，CD＝2，BC＝3，∵线段AB和CD是位似图形，∴AB∥CD，∴＝，即＝，解得BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝1，∴位似中心点E的坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．8．解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．9．解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，∵A（1，2），点A（1，2）在第一象限的对应点是A1，∴点A1的坐标为：（2，4）．故答案为：（2，4）．10．解：如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，8），B1（6，6），C1（6，2）．11．解：（1）∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，∴正△A2B2C2的边长为，正△A3B3C3的边长为（）2，正△A10B10C10和的边长为（）9，正△A7B7C7的边长为（）6，∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝；它们的位似中心为点O；（2）∵第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的边长为（）n﹣1，∴第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长为．12．（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，∴四边形PQMN为矩形，∵四边形P'Q'M'N'是正方形，∴PN∥P′N′，∴＝，∵MN∥M′N′，∴＝，∴＝，而P′N′＝M′N′，∴PN＝MN，∴四边形PQMN为正方形；（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，∵△ABC的面积＝1.5，∴AB•AC＝1.5，∴AB＝2，∴BC＝＝2.5，∵BC•AD＝1.5，∴AD＝＝，设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即PN的长为m．13．解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；故答案为：0，3，；（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+2＝x，y+2＝y，解得x＝y＝4，所以，点F的坐标为（4，4），∵点F的坐标为（4，4）不在△ABC内，故△ABC内部不存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合．14．解：（1）在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0，即0＝﹣x2+x+2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），令x＝0，即y＝2，∴C（0，2）；（2）如图，当抛物线经过A1（2，6），B1（﹣4，6）时，设抛物线的解析式，y＝﹣x2+bx+c，则有，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+14＝﹣（x+1）2+15，当抛物线经过A2（﹣2，﹣2），B2（4，﹣2）时，同法可得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7．∵原来的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，∴+1＝，15﹣＝，∴原来抛物线向左平移，再向上平移单位得到y＝﹣x2﹣2x+14．1﹣＝，7﹣＝，原来抛物线向右平移单位，再向上平移单位得到y＝﹣x2+2x+6．二．作图-位似变换15．解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．故选：A．16．解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），k的值为：＝．故选：B．17．解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x，y），则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1，∴＝＝，即＝＝，解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），故选：A．18．解：由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点C的坐标为（3×，6×），即（1，2），当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．19．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；AO：AA'＝2：1；点C、O、C'三点在同一直线上，①①②④正确，故答案为：①②④．20．解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．21．解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），故答案为：（﹣1，2.5）．22．解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．23．解：（1）如图，△DEF即为所求；（2）M′（﹣2a，﹣2b）．故答案为：﹣2a，﹣2b．24．解：（1）如图点O即为位似中心；（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标（2a，2b）．25．解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）C2（﹣4，2）．26．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．A2的坐标（﹣2．，﹣2）．27．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．28．解：（1）如图，（2）2：1，（3）A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）．。

3 位似专题一 开放探究题1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和△ABC.(1)请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△C B A '''；(2)请用适当的方式描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置.专题二 实际应用题2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm ，则投影三角形的对应边长为( )A.8 cmB.20 cmC.3.2 cmD.10 cm3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm 2，两边空白各0.5 dm ，上下空白各1 dm ，设印刷部分从上到下长是x dm ，四周空白的面积为S dm 2.(1)求S 与x 的关系式；(2)当要求四周空白处的面积为18 dm 2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?专题三 一题多变题4．已知五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O 是位似中心，OD ∶OD ′=2∶3，如图所示，求S 五边形ABCDE 与S 五边形A′B′C′D′E′之比是多少？（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE 的周长为32 cm ，求五边形A′B′C′D′E′的周长；（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE 与△OD′E′是位似图形吗？专题四 阅读理解题5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．”（1）选择：如图1，点O 是等边△PQR 的中心，P′、 Q′、R′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P′Q′R ′与△PQR 是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR 的位似比、位似中心分别为( )A ．2，点PB ．12 ，点PC ．2，点OD ．12，点O （2）如图2，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法： ①在△AOB 内画等边△CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上，②连结OE 并延长交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C′∥EC ，交OA 于点C′，过点E ′作E ′D′∥ED 交OB 于点D′；③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB 的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．【知识要点】1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或者－k .【温馨提示】1．位似图形的位似中心可以在任何位置.2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.【方法技巧】1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.参考答案1． 解:（1）按位似作图在O 点与△ABC 同侧把△ABC 缩小一半，得到△C B A '''；第（2）问是一个开放性问题，对描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置的方式不确定，如果建立直角坐标系来描述C B A ''',,的位置，假设以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，-1），C′的坐标为（-2，-1）.2．B 【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5.3．解:(1)根据题意,得S =32(2)(1)32x x ++-=x +x 64+2. (2)根据题意,得x +x64+2=18,整理,得x 2-16x +64=0,∴(x -8)2=0,∴x =8,∴x +2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为832+2×0.5=5(dm). (3)内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2, ∴45=''=''=''=''A D DA D C CD C B BC B A AB . ∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.∵AC 和BD ,A′C′和B′D′都相交于O 点,∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′是位似图形.4．解:∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD ：OD′=2：3，∴ABCDEA B C D E S S '''''五边形五边形=2OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=223⎛⎫ ⎪⎝⎭=49． （1）由题意可知五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′的位似比为′OD OD =23， ∴ABCDE A B C D E C C '''''五边形五边形=OD OD '=23． ∵C 五边形ABCDE =32cm ，∴C 五边形A′B′C′D′E′=C 五边形ABCDE ×32=32×32=48（cm ）． （2）∵五边形ABCDE 与五边形A 'B 'C 'D 'E '是位似图形，∴OD OD '=OE DE OE D E '=''=23，• ∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ODE 与△OD′E′的对应点的连线都经过点O ，∴△ODE 与△OD′E′是位似图形．5．解:(1)由位似的定义，观察图l 知：点O 是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D ．(2)证明：∵EC∥E′C′，∴CE OE C E O E =''''，∠CEO=∠C′E′O ． ∵ED∥E′D′，∴ED OE E D O E =''''，∠DEO=∠D′E′O ′， 故′′′′DE ED E C CE =，∠CED=∠C′E′D′． ∵△CDE 是等边三角形，∴CE=DE ，∠CED =60°.∴C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°，∴△C′D′E′是等边三角形．。

第27章 相似 27.3 位似 同步训练题1. 位似图形的位似中心可以在( )A ．原图形外B ．原图形内C ．原图形上D ．以上三种可能都有2. 如图所示3个图形中是位似图形的有( )A ．1个B ．2个 C.3个 D ．0个3. 已知：△ABC ∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 与△A′B′C′不存在位似关系的是( )4. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，以点A 为位似中心把△ABC 的各边放大2倍后得到△AB′C′，则∠B 的对应角∠B′的度数为( )A ．36°B ．54° C.72° D ．144°5．如图是△ABC 的位似图形的几种画法，其中正确的有( )A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个6. 下列图形中不是位似图形的是( )7．如图，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D 是以O 为位似中心的位似图形，若OA ∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D 的面积比是( )A ．4∶9B ．2∶5 C.2∶3 D ．2∶ 38. 按如下方法，将△ABC 的三边缩小到原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1A ．1B ．2 C.3 D ．49. 如图，A′B′∥AB ，B′C′∥BC ，且OA′∶A′A＝4∶3，则△ABC 与 是位似图形，相似比为 ；△OAB 与 是位似图形，相似比为 .10. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE OA ＝35，则FG BC＝ .11. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA ＝10cm ，OA ′＝20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B ′C′D′E′的周长的比值是______．12. 如图，原点O 是△ABC 和△A ′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A′B′C′的面积是________．13．如图，以O 为位似中心，将边长为256的正方形OABC 依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA 1B 1C 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变化后得正方形OA 2B 2C 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变化后得正方形OA 3B 3C 3，其边长OA 3缩小为OA 2的12，…，依此规律，经第n 次变化后，所得正方形OA n B n C n 的边长为正方形OABC 边长的倒数，则n ＝________.14. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a ，b)对应小鱼上的点的坐标是_____________________．15. 如图，△DEO 与△ABO 是位似图形，△OEF 与△OBC 是位似图形，试说明：OD·OC＝OF·OA.16. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)17. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BC 于E 点，连接DE 交OC 于F 点，作FG ⊥BC 于G 点，则△ABC 与△FGC 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．参考答案;1---8 DBDCD CAC9. △A′B′C′ 7∶4△OA′B′ 7∶410. 3511. 1212. 613. 814. (－0.5a ，－0.5b)15. 证明：∵△DEO 与△ABO 是位似图形，∴△DEO ∽△ABO ，∴OD OA ＝OE OB ＝DE AB，同理：OF OC ＝OE OB ，∴OD OA ＝OF OC，∴OD·OC＝OF·OA. 16. 解：(1)如图(2)四边形AA′C′C 的周长为4＋6 2.17. 解：△ABC 与△FGC 是位似图形，位似中心是点C.因为在矩形ABCD 中，AD∥BC ，所以∠FAD ＝∠FCE ，∠FDA ＝∠FEC ，所以△AFD ∽△CFE ，所以CF AF ＝CE AD.因为AD ＝BC ，所以CF AF ＝CE CB.因为∠ABC ＝90°，OE ⊥BC ，所以OE ∥AB.因为OA ＝OC ，所以CE ＝12BC ，所以CF AF ＝12，所以CF AC ＝13.即△ABC 与△FGC 的相似比为3∶1.。

第二十七章 相似27.3位似基础导练1. 下列说法不正确的是 （ ）A ．位似图形一定是相似图形B. 相似图形不一定是位似图形C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行2. 下列说法正确的是 （ ）A. 分别在△ABC 的边AB,AC 的反向延长线上取点D,E,使DE ∥BC,则△ADE 是△ABC 放大后的图形B. 两位似图形的面积之比等于位似比C. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比D. 位似图形的周长之比等于位似比的平方3． 如图,点D E F ，，分别是()ABC AB AC >△各边的中点,下列说法中,错误．．的是（ ）A. AD 平分BAC ∠B. 12EF BC =C. EF 与AD 互相平分D.△DEF 是△ABC 的位似图形4． 用作位似形的方法,可以将一个图形放大或缩小,位似中心 （ ）A. 只能选在原图形的外部B. 只能选在原图形的内部C. 只能选在原图形的边上 D ．可以选择任意位置5． 将一个菱形放在2倍的放大镜下,则下列说法中不正确的是 （ ）A ．菱形的边长扩大到原来的2倍B ．菱形的角的度数不变C ．菱形的面积扩大到原来的2倍D ．菱形的面积扩大到原来的4倍6．把一个正多边形放大到原来的2.5倍,则原图与新图的相似比为________．7. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm,且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为 .8．如图,DC ∥AB,OA=2OC,则OCD △与OAB △的位似比是________．A B D E FC CD能力提升9．在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和ABC△．（1）请以点O为位似中心,把ABC△缩小为原来的一半（不改变方向）,得到A B C'''△．（2）请用适当的方式描述A B C'''△的顶点A',B',C'的位置．10．如图,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似,位似比12k=,四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似,位似比21k=．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？参考答案1．D 2．C 3．A 4．D 5．C6．2︰5 7．50cm 8．1︰29．略B CAO1 2．10．是位似图形,位似比为。

人教版九年级数学下册《27.3位似》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD,S△ABC=4，则S△DEF等于（）A．6B．8C．9D．123．如图，△ABC与△DEF是位似三角形，位似比为2:3，已知AB=3，则DE的长等于（）A．49B．2C．92D．2744．如图，四边形EFGH与四边形ABCD位似，其位似中心为点O，且相似比为59，若四边形ABCD的周长为9，则四边形EFGH周长为（）A．5B．259C．815D．729255．在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)，以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（）A．(−2,1)B．(−8,4)C．(−8,4)或(8,−4)D．(−2,1)或(2,−1)6．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2:1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为(1,2)，则点N的坐标为（）A．(2,3)B．(2,4)C．(3,4)D．(1,4)7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FDE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（）．A．(3,1)B．(4,2)C．(5,2)D．(6,0)8．如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0)以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．−12a B．−a+12C．−a−12D．−a+32二、填空题9．已知点A(0,3)，B(−4,8)，以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的1，点D与点B对应．则点D的坐4标为．10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=6，则A′B′的长为．11．如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为．12．在△ABC中A(−2,1)，B(3,2)，C(1,−4)，将△ABC以O为位似中心放大为原来的3倍，成为△A′B′C′，则A′点的坐标为．，在位似13．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13中心同侧把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是．14．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是点．15．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为(−2,−1),(−1.5,0)．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为(4.5,0)，则点C的坐标为．三、解答题17．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′．(1)沿OA方向放大为原图的2倍；(2)沿AO的方向放大为原图的2倍．18．在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(3,1)，O(0,0)．以原点O为位似中心，在第三象限画出△OA1B1，使它与△OAB的相似比是2．19．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB和格点O．(1)在所给网格中，以格点O为位似中心将线段AB放大2倍得到线段A1B1，画出线段A1B1；(2)把线段AB绕端点B顺时针旋转90°得到线段BA2，画出线段BA2．20．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．(1)在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心M点的位置并写出M点的坐标．(2)若以点A1为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2:1．(3)直接写出（2）中C2点的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,−2)，B(4,−1)(1)画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的面积比为4:1，并写出点B1的对应点B2的坐标；(3)若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为(a−5,b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a ，b 的代数式表示）．参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCAC BCD1．解：A 、是位似图形，故本选项不符合题意； B 、是位似图形，故本选项不符合题意； C 、是位似图形，故本选项不符合题意； D 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：D ．2．解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形且OA =2AD ． ∵两位似图形的位似比为2:3 ∵两位似图形的面积比为4:9 又∵S △ABC =4 ∵S △DEF =9． 故选：C ．3．解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2:3 ∵ABDE =23 ∵AB =3 ∵DE =92故选：C ．4．解：∵四边形EFGH 与四边形ABCD 位似，且相似比为59∵C 四边形EFGHC四边形ABCD=59∵C 四边形ABCD =9 ∵C 四边形EFGH =5 故选A ．5．解：∵原点O 为位似中心，将△EFO 放大为原来的2倍，点E 的坐标为(−4,2) ∵点E 的对应点E 1的坐标为(−4×2,2×2)或(−4×(−2),2×(−2))，即(−8,4)或(8,−4) 故选：C ．6．解：∵两个“E”的相似比为2:1，点M的坐标为(1,2)∵点N的坐标为(2,4)故选B．7．解：如图，点G为位似中心，则它们位似中心的坐标是(5,2)故选：C．8．解：以点C为坐标原点建立新的坐标系点C的坐标是(−1,0)点B′的横坐标为：a+1以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′则点B在以C为坐标原点的坐标系中的横坐标为：−a+12点B在原坐标系中的横坐标为：−a+12−1=−a+32故选：D9．解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的14，B(−4,8)∴点D的坐标为(−4×14,8×14)或[−4×(−14),8×(−14)]即：(−1,2)或(1,−2)故答案为：(−1,2)或(1,−2)．10．解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3 AB＝6∵AB A′B′=23即6A′B′=23解得，A′B′＝9故答案为：9．11．解：∵菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形∴菱形A'BC'D'与菱形ABCD 的位似比=A′D′AD=46=23故答案为：2∶3．12．解：∵△ABC 以原点O 为位似中心，将△ABC 以O 为位似中心放大为原来的3倍A (−2,1) ∵A ′的坐标为(−2×3,1×3)或[−2×(−3),1×(−3)] 即A ′的坐标为(−6,3)或(6,−3)． 故答案为：(−6,3)或(6,−3)．13．解：∵以原点O 为位似中心，相似比为13，在位似中心同侧把△ABO 缩小∵点B (−9,−3)的对应点B ′的坐标是(−3,−1)． 故答案为：(−3,−1)． 14．解：如图，连接AO 并延长∵以点O 为位似中心，点D 是点C 的对应点 ∴位似比为OC OD=24=12∴则点A 的对应点是H 故答案为：H ． 15．解：∵OA =AD∴OA ：OD =1：2∵△ABC 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似图形∴△ABC ∽△DEF ，AB ∥DE ∴∠ODE =∠OAB,∠OBA =∠OED∴△AOB ∽△DOE ∴AB DE =OA OD =12∴△ABC 与△DEF 的面积比为：(12)2=14故答案为：1：4．16．解：∵顶点A，B的坐标分别为(−2,−1),(−1.5,0)．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D 的坐标为(4.5,0)∴A点的对应点C的坐标为[−2×(−3),−1×(−3)]，即(6,3)故答案为：(6,3)．17．（1）解：沿OA方向放大为原图的2倍的图如下图所示（2）解：沿AO的方向放大为原图的2倍的图如下图所示18．解：∵△OAB的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(3,1)，O(0,0)，△OA1B1在第三象限，且与△OAB的相似比是2∵A1(−4,−6),B1(−6,−2)如图所示：△OA1B1即为所求；19．（1）解：连接OA并延长至A1，使AA1=OA，连接OB并延长至B1，使BB1=OB，连接A1B1，所作线段A1B1如图所示；（2）解：以B中心，把线段AB顺时针旋转90°得到线段BA2，如图所示，线段BA2为求作的．20．（1）解：如图所示，连接AA1，CC1，线段AA1，CC1交与点M∵点M即为所求位似中心∵点M的坐标为(0,2)故答案为：(0,2)．（2）解：位似比为2:1，位似中心为点A1，如图所示，延长C1A1，反向延长C1A1，使得A1C2=12A1C1，A1C2′=1 2A1C1延长B1A1，反向延长B1A1，使得A1B2=12A1B1，A1B2′=12A1B1∵△A1B2C2与△A1B2′C2′均为所求图形．（3）解：由（2）作图可知∵C2(−4,2)或C2′(−4,6)故答案为：(−4,2)或(−4,6)．21．（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1(−1,2)；（2）解：如图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2(−2,4)；（3）解：∵在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的面积比为4:1∵△A2B2C2和△A1B1C1的相似比为2:1∵P1(a−5,b+3)∵P2(2a−10，2b+6)．第11 页共11 页。