2青岛版九年级下册数学第一章图形的相似1.4.图形的位似(同步练习)

专题27.3 位似（5个考点）【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是（）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中与△AOB位似的三角形是（）．A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．【详解】解：∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC，∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE，∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（）A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；∵M是边AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥BC，同理可得MN∥BD，ON∥AB，∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．故选B．5．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．6．如图是与△ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可．【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．7．下列语句中，不正确的是（）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．8．下列每组的两个图形，是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA:OD =1:2，∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2．∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4，故选：B ．10．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE EA =32，则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于（ ）A ．94B ．925C ．32D ．3511．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4:9，则OA:OD 为（）A．4:9B．2:3C．2:1D．3:112．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（）．A．2:3B．4:9C．9:4D．3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若O B′:B′B=3:2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（ ）A．3:5B．4:9C．4:25D．9:2514．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是A．1:1B．1:2C．1:4D．1:915．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:A A′=1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：9D．4：9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键．根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA:A A′=1:2，∴OA:O A′=1:3，∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9，故选：C．16．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14，则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:1617．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA:OD=1:2，S△ABC =3，那么S△DEF=（）A．6B．9C．12D．18【答案】C18．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，AC:DF=2:3，若OC=8，则CF的长为（）A．12B．8C．6D．419．如图，点O是两个位似图形的位似中心，若O A′=A′A，则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=3:2，则△ABC与△DEF的面积比为．【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵OA:AD=3:2，∴OA:OD=3:5，∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的位似比为3:5，∴△ABC与△DEF的相似比为3:5，∴△ABC与△DEF的面积比为9:25，故答案为：9:25．【考点3 位似图形的点坐标】21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,3)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．(2,4)B．(6,8)C．(4,2)D．(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′，且C(3,3)，∴C′(2×3,2×3)，即C′(6,6)，故选：D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A′上，A A′=2OA．若点B的坐标为(2,1)，则点B′的坐标为（）A．(4,2)B．(6,3)C．(8,4)D．(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形，A A′=2OA，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，∵点B的坐标为(2,1)，∴点B′的横坐标为2×3=6，点B′的纵坐标为1×3=3，∴点B′的坐标为(6,3)，故选：B．23．如图，△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，若点B的坐标为(−1，3)，则点B1的坐标为（ ）A．(2，−6)B．(1，−6)C．(−1，6)D．(−6，2)24．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是（）A．(3,3)B．(4,4)C．(5,5)D．(6,6)25．如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1，再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°，得到的△A2B2C2，若点C、C1、C2是对应点，则C2的坐标是（）1A ．(−5,2)B ．(−6,3)C ．(6,−4)D ．(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A 2B 2C 2即为所求．观察图象可知：C 2(−6,4)故选D ．26．已知关于原点位似的两个图形中，一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x )，则x 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．12D ．−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．27．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1:3，则点D的坐标为（）A．(−1,−2)B．−2,−2C．(−2,−1)D．−2,−328．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(−3,−1)，(−1,−2)．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是(6,2)，则点B′的坐标是．【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为−2，根据位似图形的性质即29．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为．【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：由题意得：A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2))，∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2)，故答案为：(−2,2)或(2,−2)．30．如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(5,−2)，则点A的坐标为．【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．【详解】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′(5,−2)，且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2))，即点A的坐标是(−10,4)．故答案为：(−10,4)．31．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【答案】(2，1)【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．故答案为：(2，1)．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【考点4 判定位似中心】32．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是（）A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0,3)D．(0,4)∵∴GF//CD，CD=4，GF=∴∠PCD=∠PFG，∠DPC=∴△PFG∽△PCD，∴CD=PD，33．把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（）A．D点B．E点C．F点D．G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，故选：C34．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O，即可．【详解】解：如图，连接A A′,C C′交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．35．已知△ABC与△DEF是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形，∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是O1．故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．36．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．37．如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．(1)请在方格图中画出位似中心O；(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；（2）由（1）可知，OC:O C′=1:2，则连接OB并延长，使O B′=2OB，再连接A B′、B′C即可．【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；（2）解：补全△A′B′C′如图所示：38．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．(1)请在图中画出点O的位置；(2)若AB=2DE=36，BC=20，求EF的长．【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；（2）根据位似性质即可求得答案．【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．经过位似变换得到的，【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39．如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以A 为位似中心，在网格中画出△ADE ，使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；（2）以A 为位似中心，作出点A 、B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形．；（2）解：如图，△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形．140．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，；41．如图，△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1；(2)点A 1的坐标为______，点C 1的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)(3,0)，(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．（1）在网格中作出A 1、C 1，连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1；（2）根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可．【详解】（1）△A 1B 1C 1即为所作；（2）点A 1的坐标为(3,0)，点C 1的坐标为(−3,−3)，故答案为：(3,0)，(−3,−3)．42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求．B2C2即为所求．2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．。

章节测试题1.【答题】“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A. 左上B. 左下C. 右下D. 以上选项都正确【答案】B【分析】本题考查了位似变换的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下的“E“是位似图形．【解答】根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下的“E“是位似图形．选B．2.【答题】如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了位似变换的性质，根据已知得出FO＝a，CF＝a+1，CE＝（a+1），是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO＝a，CF＝a+1，CE＝（a+1），进而得出点B的横坐标．【解答】∵点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO＝a，CF＝a+1，∴CE＝（a+1），∴点B的横坐标是（a+1）﹣1＝（a+3）．选D．3.【答题】在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为______．【答案】【分析】本题考查了位似变换以及待定系数法求反比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．直接利用位似图形的性质得出A′坐标，进而求出函数解析式．【解答】∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为．故答案为．4.【答题】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝______．【答案】【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【解答】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，∴．故答案为．5.【答题】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝______．【答案】【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【解答】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，∴，则．故答案为．6.【答题】如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为______．【答案】（﹣9，﹣2）或（3，2）【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌握位似的概念是解决问题的关键．首先根据直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．【解答】∵y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3，∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，∴，∴O′B′＝2，AO′＝6，∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．故答案为（﹣9，﹣2）或（3，2）．7.【答题】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则＝______．【答案】【分析】本题考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．【解答】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．故答案为．8.【答题】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF 面积的，则AB：DE＝______．【答案】2：3【分析】本题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积＝，得到AB：DE=2：3．【解答】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积＝，∴AB：DE＝2：3，故答案为2：3．9.【答题】如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是______．【答案】12【分析】本题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．由△ABC与△A1B1C1为位似图形，位似比是1：2，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵位似比是1：2，∴相似比是1：2，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是3×4＝12．故答案为12．10.【答题】如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是______．【答案】（2，0）或【分析】本题考查了位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．【解答】①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF解析式为y＝kx+b，将C（﹣4，2），F（﹣1，1）代入，得解得，即y＝，令y＝0得x＝2，∴O′坐标是（2，0）；②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC解析式为y＝，直线DE解析式为y＝x+1，联立解得即．故答案为（2，0）或．11.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．【答案】见解答.【分析】本题考查了作图﹣相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．（1）尺规作图作出∠APD＝∠ABP，即可得到∠DPC＝∠PAB，从而得到△PCD∽△ABP；（2）根据题意得到∠DPC＝∠ABC，根据平行线的的判定即可证得结论．【解答】（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB．12.【题文】如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．【答案】见解答.【分析】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O为旋转中心的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．【解答】（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．13.【答题】如图，（）图形是将已知图形按2：1放大后得到的图形．A. AB. BC. CD. D【答案】D【分析】本题考查位似图形.【解答】原图占2×3格，则放大2倍后图形应该占4×6格，选D.14.【答题】如图，△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若AB＝4，AO＝8，CO＝2，则线段CD的长度为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【分析】本题考查位似图形.【解答】∵△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABO∽△CDO，∴，即，解得CD＝1．选B．15.【答题】下列图形中不是位似图形的为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查位似图形.【解答】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．选B．16.【答题】如图所示的是两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】D【分析】本题考查位似图形.【解答】如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点D．选D．17.【答题】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）A. ①和④B. ②和③C. ①和②D. ②和④【答案】B【分析】本题考查位似图形.【解答】①和④、①和②、②和④，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；②和③，对应边不平行，不是位似图形，选B．18.【答题】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF＝3：2，则S△ABC：S△DEF＝______．【答案】9：4【分析】本题考查位似图形.【解答】∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，∵BC：EF＝3：2，∴，故答案为9：4．19.【答题】如图，根据所给信息，可知的值为______．【答案】【分析】本题考查位似图形.【解答】由题意可得，两三角形位似比为2，故的值为．故答案为．20.【答题】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，点B在OD上，AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，则AE：CB的值为______.【答案】1：2【分析】本题考查位似图形.【解答】∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，又∵AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，∴AE：CB.。

图形的位似一、填空题1．如图1，点O 是四边形ABCD 与A B C D ''''的位似中心，则AB AB ''=________＝________＝________；ABC ∠= ________，O CB '∠= ________．2．如图2，2DC AB OA OC =∥，，则OCD △与OAB △的位似比是________．3．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．4．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．5．位似图形的相似比也叫做________．6．位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比．二、解答题7．画出下列图形的位似中心．8．将四边形ABCD 放大2倍．要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部．（2）对称中心在两个图形的同侧．（3）对称中心在两个图形的内部．9．如图3，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''′位似，位似比12k =，四边形A B C D ''''和四边形A B C D ''''''''位似，位似比21k =．四边形A B C D ''''''''和四边形ABCD 是位似图形吗？位似比是多少？10．请把如图4所示的图形放大2倍．11．请把如图5所示的图形缩小2倍．参考答案1．B CBC''，C DCD''，D ADA''；A B C'''∠，OCB∠2．1 23．2 54．相交于一点5．位似比6．位似中心7．略．8．略．9．是位似图形，1 210．略．11．略．。

图形的位似学习目标1.通过实验、操作、思考活动认识位似形.2.会利用位似形原理将一个图形放大或缩小.3.经历“探索—发现—猜想”，通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题的能力；4.懂得数学在现实生活中的作用，增强学好数学的信心.学习重点：理解位似是由位似中心和相似比决定的.学习难点：作位似图形以及求位似图形的相似比.学习过程：一、创设情景，感悟新知1.怎样作一个三角形的内接正方形呢？二、探索规律，揭示新知两个图形相似且对应点的连线相交于一点，像这样的相似形叫做位似形.三、尝试反馈，领悟新知1.如图，已知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.2.如图，已知O是坐标原点，B.C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）.（1）以O为位似中心在y轴的将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B.C两点的对应点B‘、C‘的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M’的坐标.3.如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.（1）如图（1），点O是等边△PQR的中心，P‘、Q’、R‘分别是OP、OQ、OR的中点，则△P’Q‘R’与△PQR是位似三角形，△P’Q‘R’与△PQR的位似比，位似中心分别为（）A.2、点PB.、点PC.2、点OD.、点O（2）如图（2），用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问题.画法：①在△AOB画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E‘，过E’作E‘C’∥EC，交OA于点C‘，作E’D‘∥ED，交OB于点D’；③连结C‘D’.则△C‘D’E‘是△AOB的内接三角形.求证：△C‘D’E‘是等边三角形.四、课堂练习，巩固新知1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）修正栏：A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置2.两个图形是位似图形，则它们一定相似，反过来，两个图形相似，则它们（）A.一定位似B. 一定不位似C.不一定位似D.对应点的连线交于一点3.如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4），画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA’B‘C’，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A’、B‘、C’三点的坐标.4.印刷一张矩形的广告牌，如图，它的印刷面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下的长为xdm。

第一章1.4一、选择题1.以下说法错误的选项是()A. 如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍B. 相似三角形对应高的比等于对应中线的比C. 如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的5倍D. 相似多边形的面积比等于周长比的平方2.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积与△DEF面积之比为9：4，那么AO：DO的值为()A. 3：2B. 3：5C. 9：4D. 9：53.以下说法正确的选项是()A. 四条边相等的平行四边形是正方形B. 一条线段有且仅有一个黄金分割点C. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形D. 位似图形一定是相似图形4.在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(4,6)，假设把线段AB扩大2倍得线段A′B′，假设A′(2,4)，那么B′的坐标可以是()A. (2,3)B. (3,2)C. (8,12)D. (12,8)5.以下说法中，正确的个数是()①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形假设全等，那么位似中心在两个图形之间；④假设五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，那么其中△ABC与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等．A. 1B. 2C. 3D. 4欢迎下载6.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在()A. 原图形的外部B. 原图形的内部C. 原图形的边上D. 任意位置7.△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1:2，△ABC的面积是2，那么△DEF的面积是()A. 2B. 4C. 6D. 88.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=5，那么ABCD的值为()A. 27B. 57C. 25D. 359.如图，△OCD和△OAB是位似三角形，那么位似中心是()A. 点AB. 点CC. 点OD. 点B10.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0)，以原点为位似中心，将线段放大得到线段AB.假设点B的坐标为(6,0)，那么点A的坐标为()A. (3,6)B. (2,6)C. (3,5)D. (2.5,5)二、填空题11.如图，△ABO顶点A(−2,4)，以原点O为位似中心，把△ABO，那么与点A对应的点A′的坐标是______．缩小到原来的1212.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3,1)，B′(6,2)假设△ABC的面积为m，那么△A′B′C′的面积=______．13.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−4,4)、(0,4)，点C、D的坐标分别为(0,1)、(2,1).假设线段AB和CD是位似图形，且位似中心在y轴上，那么位似中心的坐标为______．14.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF=3：2，那么S△ABC：S△DEF=______．三、解答题15.如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上)，点A的坐标为(−4,3)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．(2)以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，欢迎下载且点A2的坐标为(8,−6)．(3)△ABC与△A2B2C2的位似比是______．16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(1,1)．(1)将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)在第三象限内，以O为位似中心，将△ABC放大到原大的2倍，画出放大后对应的△A2B2C2；(3)写出A2的坐标______，C2的坐标______．17.如下图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,2)，B(−1,3)，C(−1,1)，请按如下要求画图：(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．欢迎下载。

章节测试题1.【答题】如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD. 若CD=2，则端点C的坐标为（）A. （2，2）B. （2，4）C. （3，2）D. （4，2）【答案】A【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），∴AB＝1．∵以原点O 为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，CD＝2，∴两图形的位似比为1︰2，∴端点C的坐标为（2，2）．选A．2.【答题】已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个【答案】B【分析】本题考查了对位似图形的认识．根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．【解答】如图，∴这样的图形可以作出2个．选B.3.【答题】下列说法中：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，则在五边形中连线组成的△ABC与△A'B'C'也是位似的．正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形；但是相似图形不一定是位似图形，∵它是一种特殊的相似，∴①正确②错误，两个位似图形若全等，根据对应点一定相交于一点，可得到位似中心在两个图形之间，③正确；④若五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′'位似，则在五边形中连线组成的△ABC与△A′B′C′，画出图形，可得它也是位似．④正确．∴①③④正确．选C．4.【答题】如图所示，正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到，点O是位似中心，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是（）A. 1：6B. 1：5C. 1：4D. 1：2【答案】C【分析】本题考查位似变换，解题关键在于利用相似的性质进行解答．由正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，易求得位似比等于EH：AD=1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得正方形EFGH与正方形ABCD的面积比．【解答】∵正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，∴正方形EFGH∽正方形ABCD，∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴EH=AD，即位似比为EH：AD=1：2，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：4．选C．5.【答题】如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积，则=（）A. 1︰2B. 1︰3C. 1︰4D. 2︰3【答案】B【分析】本题考查了位似变换和相似三角形的性质，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，根据面积比等于相似比的平方可知S1：S2=1：4．【解答】∵以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，∴△ABC∽△ADE，∴它们的面积比是1：4，∴，选B.6.【答题】下列说法正确的是（）A. 两个位似图形对应点连线有可能无交点B. 两个位似图形对应点连线交点个数为或C. 两个位似图形对应点连线只有一个交点D. 两个位似图形对应点连线交点个数不少于个【答案】C【分析】本题考查位似图形的定义，多边形不仅相似，而且对应点连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，逐一进行判断即可．【解答】两个位似图形对应点连线必有交点，故A选项错误，两个位似图形对应点连线只有1个交点，故B选项错误，两个位似图形对应点连线只有一个交点正确，故C选项正确，两个位似图形对应点连线的交点只有1个，故D选项错误．选C．7.【答题】用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A. 原图形的外部B. 原图形的内部C. 原图形的边上D. 任意位置【答案】D【分析】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法．画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【解答】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的．选D．8.【答题】如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A. 四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B. AD与AE的比是2：3C. 四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D. 四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【答案】B【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A.四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B.AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误；C.四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D.则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．选B．9.【答题】把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为______. 【答案】2:5【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．根据相似形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，即可解决．【解答】∵一个正多边形放大到原来的2.5倍，设原边长为1，则放大后为2.5，原图与新图的相似比为，即2：510.【答题】如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为______cm．【答案】50【分析】本题考查了位似变换．【解答】两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，则相似比是3：5，而周长的比等于相似比，较小图形周长为30cm，则较大图形周长为50cm．11.【答题】△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是______．【答案】△ABC【分析】本题考查位似变换，三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义．利用三角形中位线定理以及位似变换的定义得出即可．【解答】∵点D.E.F分别是AB、BC、AC的中点，∴DF∥BC，ED∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，则△ADF与△ABC是位似图形．故答案为△ABC．12.【答题】雨后操场，小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．【答案】15【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用相似三角形对应线段成比例解题，∵人和旗杆均垂直于地面，∴平行，构成两个相似三角形．【解答】假设旗杆高x米，则，∴x=15．13.【题文】如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为．（1）根据题意确定D、E的位置，画出简图；（2）求AD、AE和DE的长．【答案】（1）两种情况，图见解答；（2）第一种情况：AD=4，AE=2，DE=；第二种情况：AD=2，AE=4，DE=.【分析】本题考查了的是相似三角形的性质．（1）根据题意直接画出图形；（2）利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】（1）如图．（2）当DE∥BC时，如图1，根据相似三角形的相似比可得，△ADE∽△ABC，∴，即，解得AD=4，AE=2，DE=．当△ADE∽△ACB，即，如图2，，解得AD=2，AE=4，DE=．14.【题文】如图，方格中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间的连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得△A2B2C2，画出△A2B2C2的图形并写出B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，画出△AB3C3的图形．【答案】（1）作图见解答，（-9，-1）；（2）作图见解答，（5，5）；（3）作图见解答．【分析】本题的难点是第三问，即把△ABC以点A为位似中心放大，就是在AB、AC的延长线上取点B3、C3，使B3C3=2BC，也就是说，BC是△AB3C3的中位线．（1）△ABC各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△A1B1C1；（2）△ABC的另两点绕点C按顺时针方向旋转90°后得到新的两点，顺次连接得△A2B2C；（3）利用位似放大的性质作图．【解答】（1）画出的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为（-9，-1）；（2）画出的△A2B2C的图形如图所示，点B2的坐标为（5，5）；（3）画出的△AB3C3的图形如图所示．15.【题文】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A （3，0），B（4，4），C（-2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以-2．（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．【答案】（1）答案见解答；（2）位似，O（0，0），2.【分析】本题考查作图-位似变换，解题关键在于掌握作图法则．（1）将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以-2得O（0，0），A′（-6，0），B′（-8，-8），C′（4，-6），顺次连接各点即可；（2）根据位似图形的定义可知得到的四边形与四边形OABC位似，根据图形可得出位似中心及位似比．【解答】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以-2可得出四边形OA′B′C′，∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2.16.【答题】将反比例函数的图象以原点为位似中心，按相似比放大得到的函数的图象，则的值为______．【答案】4【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意找到对应点是解题关键．先在反比例函数y=找出一点（1，1），根据位似图形性质找到对应点（2，2）即可求出k的值．【解答】由题意可得（1，1）在y=反比例函数的图象上，∵将反比例函数y=的图象以原点为位似中心，按相似比2：1放大得到的函数y=的图象，∴对应点为：（2，2），∴k=4．故答案为4.17.【答题】三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是______．【答案】1:3【分析】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．【解答】∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是1：3．故答案为1：3．18.【答题】下列说法：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③位似图形对应顶点的连线相交于一点；④位似图形的对应边互相平行．其中正确的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【分析】本题考查了位似变换的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题关键．如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，再利用相似图形的性质得出对应边和对应顶点之间的关系．【解答】①位似图形一定是相似图形，此选项正确；②相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，此选项错误；③位似图形对应顶点的连线相交于一点，根据位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，此选项正确；④位似图形的对应边互相平行（或共线），此选项错误．故正确的有2个，选B．19.【答题】下列说法正确的是（）A. 相似两个五边形一定是位似图形B. 两个大小不同的正三角形一定是位似图形C. 两个位似图形一定是相似图形D. 所有的正方形都是位似图形【答案】C【分析】本题考查了相似图形与位似图形的联系与区别，属于简单题，熟悉位似图形的概念是解题关键．根据相似图形与位似图形的概念进行解题．【解答】A.相似两个五边形不一定是位似图形，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似，故错误，B.两个大小不同的正三角形不一定是位似图形，要看是否能找到位似中心，故错误，C.两个位似图形一定相似图形，正确，D.所有的正方形都是位似图形，错误，∵不一定找到位似中心，选C．20.【题文】如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．【答案】图见解答；点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1．【分析】本题考查了位似图形的性质，找到位似中心，根据网格结构求出对应边长是解题关键．连接对应点并延长，交点即为位似中心，对应边的比即为相似比．【解答】如图所示，点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1．。

青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题2（附答案详解） 1．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)-，AB x ⊥轴于点B ，以原点O 为位似中心，将OAB 放大为原来的2倍，得到11△OA B ，且点1A 在第二象限，则点1A 的坐标为（ ）．A ．(2,4)-B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2,4)-D ．(2,4) 2．如图，将△ABC 的三边缩小为原来的12，下列说法：①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长之比为2∶1；④△ABC 与△DEF 的面积之比为4∶1.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE =1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．4D ．14．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，点D 是线段AB 上的一点，连接CD ．过点B 作BG⊥CD，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下三个结论：①AG AF AB FC =；②若点D 是AB 的中点，则AF=23AB ；③若12BD AD =，则S △ABC =6S △BDF ；其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③ 5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为()1,2C ，()2,0D ，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为()6,0，则点A 的坐标为( )A ．()2,5B ．()2.5,5C ．()3,5D ．()3,6 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1是以点P 为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣3，﹣3）D ．（﹣4，﹣4） 7．观察右图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（ ）A ．平移B ．轴对称C ．旋转D ．位似 8．如图，点G 是△ABC 的重心，则△GEC 与△BGC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．2∶1D ．3∶19．如图，以点O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF ，若AD OA ABC =，的面积为4，则DEF 的面积为（ ）A ．2B ．8C ．16D ．2410．已知()1,2A ，()3,0B ，将AOB 以坐标原点O 为位似中心扩大到OCD （如图），()4,0D ，则点C 的坐标为________．11．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点E 的坐标为(3，3)，则点A 的坐标是________．12．如图，平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，已知△DEF 的面积为1，则四边形ABFE 的面积为_____．13．如图，E 、P 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，则四边形AEPF 与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）位似图形．14．如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，若点B 的坐标为()2,4，点E 的坐标为()1,2-，则点P 的坐标为______．15．如图，将边长为4的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是______．16．ABC 与111A B C 是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4:9，已知位似中心O 与A 的距离为2，则A 到1A 的距离为________．17．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，且5BC =，3AD =，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，如果设边EF 的长为(03)x x <<，矩形EFGH 的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是________．18．如图，以O 为位似中心将四边形ABCD 放大后得到四边形''''A B C D ，若4OA =，'8OA =，则四边形ABCD 和四边形''''A B C D 的周长的比为________．19．已知：如图，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为()0,3A 、()3,4B 、()2,2C （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．()1以点B为位似中心，在网格内画出111A B C与ABC位似，且位似比A B C，使111为2:1，点1C的坐标是________；()2A BC的面积是________平方单位．111A B C是位似图形，且顶点都在格点上，每个小正方形的边长20．如图，ABC与'''都为1．(1)在图上标出位似中心D的位置，并写出该位似中心D的坐标是________；A B C的面积比．(2)求ABC与'''21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点都在格点上，且坐标分别为A（-2,4），B（-2,1），C（-5,2）.（1）在坐标系中，标出三个顶点坐标，并画出△ABC；（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）将的三个顶点的横坐标和纵坐标同时乘以，得到对应的点、、，画出22．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1；（3）四边形AA 2C 2C 的面积是 平方单位．23．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC 与 A B C '''∆是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．()1画出位似中心点O ；()2直接写出ABC 与'''A B C 的位似比；()3以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出'''A B C 各顶点的坐标．24．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，()1,1B --，() 1把ABC 绕点C 按顺时针旋转90后得到111A B C ，请画出这个三角形并写出点1B 的坐标；() 2以点A 为位似中心放大ABC ，得到222A B C ，使放大前后的面积之比为1:4，请在下面网格内出222A B C ．25．数学活动课上，励志学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB ，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB ，过点C 作CH⊥AD 于点H ，求证：AE=2FH ；在证明这道题时，励志学习小组成员小颖同学进行如下书写，请你将此证明过程补充完整证明:设DH=x ，由由题意，CD=2x ，3，∴AD=2AB=4x ，∴AH=AD ﹣DH=3x ，∵CH ⊥AD ，∴22AH CH +3，（3）深入探究在（2）的条件下，励志学习小组成员小漫同学探究发现23AE AF AC +=，试判断小漫同学的结论是否正确，并说明理由26．类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.（1）尝试探究如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC边上一点，AE与BD交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F，若BECE=2，则EFEG的值是；（2）拓展迁移如图（2），在矩形ABCD中，过点B作BH⊥AC于点O，交AD相于点H，点E是BC 边上一点，AE与BH相交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F.①若∠BAE=∠ACB，sin∠EAF=23，求tan∠ACB；②若BEaCE，BCAB=b（a＞0，b＞0），求EFEG的值（用含a，b的代数式表示）．图（1）图（2）27．已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC5BF=1，连接CF，则CF的长度为 .参考答案1．A【解析】∵点A 的坐标为(1,2)-，以原点O 为位似中心，将OAB 放大为原来的2倍，得11△OA B ，且点1A 在第二象限，∴点1A 的坐标为(2,4)-，故答案为：A ．2．D【解析】【分析】由题意可知△ABC 与△DEF 是位似图形，△ABC ∽△DEF ，相似比为：2：1，面积比为：4：1，据此即可得答案.【详解】由题意可知将△ABC 的三边缩小为原来的12得△DEF ， ∴△ABC ∽△DEF ，相似比为：2：1，∴面积比为：4：1，∴①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长之比为2：1；④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1，∴其中正确的有：①②③④共4个，故选D.【点睛】本题考查了位似图形的定义与性质．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．注意位似图形是特殊的相似图形． 3．A【解析】试题解析：如图所示：，作E 关于BC 的对称点E ′,点A 关于DC 的对称点A ′,连接A ′E ′，四边形AEPQ 的周长最小， ∵AD =A ′D =3,BE =BE ′=1，∴AA ′=6,AE ′=4.∵DQ ∥AE ′,D 是AA ′的中点，∴DQ 是△AA ′E ′的中位线，∴123212DQ AE CQ DC CQ ='==-=-=；， ∵BP ∥AA ′，∴△BE ′P ∽△AE ′A ′， ∴BP BE AA AE '=''， 即164BP =， 解得：BP =1.5，∴CP =BC −BP =3−1.5=1.5，S 四边形AEPQ =S 正方形ABCD −S △ADQ −S △PCQ −S △BEP =1119222AD DQ CQ CP BE BP -⋅-⋅-⋅， 1131393211322222，=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 故选A.点睛：相似三角形对应边成比例.4．C【解析】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG ∥BC ，∴△AFG ∽△CFB ， ∴AG FG AB FB=， ∴①正确．∵∠BCD +∠EBC=∠EBC +∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG ，∵AB=BC ，∴△CBD ≌△BAG ，∴AG=BD ，∵BD=12AB ， ∴12AG BC =， ∴12AF FC =， ∴13AF AC =，∵AB ，∴AF=AB ， ∴②正确；∵AG ∥BC ， ∴AG AF AB CF=， ∵AG=BD ，12BD AD =， ∴13BD AB =， ∴13AF CF =， ∴AF=14AC ， ∴S △ABF =14S △ABC ； ∴S △BDF =13S △ABF ，∴S △BDF =112S △ABC ， 即S △ABC =12S △BDF∴③错误；故选C【点睛】相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．5．D【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出A 点坐标．【详解】∵以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，D （2，0），点B 的坐标为（6，0）， ∴13OD OB ， ∴位似比为13， ∵C （1，2），∴点A 的坐标为：（3，6）．故选D ．【点睛】此题主要考查了位似图形以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键． 6．A【解析】【分析】延长A 1A 、B 1B 和C 1C ，从而得到P 点位置，从而可得到P 点坐标．【详解】如图，点P 的坐标为（-4，-3）．故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．7．A【解析】试题分析：观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．解：A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．故选A．点评：考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．8．A【解析】试题解析：点G是ABC△的重心，:1:2.GE BG∴=GEC和BGC同高，它们的面积比等于底边之比.故选A.9．C【解析】【详解】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA:OD=1:2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1:4，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为：16.故选C.【点睛】相似三角形的的面积比等于相似比的平方.10．48, 33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD（如图），D（4，0），B（3，0），即可求得其位似比，继而求得答案．【详解】∴OB:OD=3:4，∵将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD，∴位似比为：3:4，∵A(1,2)，∴点C的坐标为：(43,83)，故答案为：(43,83).【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握位似变换的概念进行解答. 11．(0，1)【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为13：，∴OA：OD=13：.∵E的坐标为(3，3)，∴D的坐标为(0，3)，∴OD=3,∴OA=331÷=，∴A点的坐标为：（0，1）．12．5．【解析】【分析】根据平行四边形的性质和三角形的相似性即可求解.【详解】解：在ABCD中, E为AD的中点,AD//BC,DE=BC,△DEF∽△BCF, 相似比为,设△DEF 的高为h, 则△BCF的高为2h ,△DEF 的面积为1,即DE·h=1,即,h=,=12.,故答案：5.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质.13．是【解析】由已知易得：AF:AD=AP:AC=AE:AB ，∴PF ∥CD ，PE ∥BC ，∴△APF ∽△ACD ，△AEP ∽△ABC ，∴四边形AEPF ∽四边形ABCD ，∴根据位似图形的定义：“两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，则这两个图形叫位似图形”可知：四边形AEPF 和四边形ABCD 是位似图形.即答案为：“是”.14．()2,0-【解析】分析：由矩形OABC 中，点B 的坐标为（2，4），可求得点C 的坐标，又由矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，点C 的对应点点E 的坐标为（-1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．详解：∵四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2， ∴点C 的坐标为：（0，4），∵矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，点E 的坐标为（-1，2）， ∴位似比为：2， ∴OP ：AP=OD ：AB=1：2， 设OP=x ，则1x 22x =+， 解得：x=2， ∴OP=2， 即点P 的坐标为：（-2，0）．点睛：此题考查了位似变换的性质，难度中等．注意求得矩形OABC 与矩形ODEF 的位似比是解此题的关键．15．8【解析】分析：首先根据勾股定理求出EF 的长度；然后证明AEF BGE ∽，列出关于BGE △的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．详解：由题意得：EF=DF(设为x)，则AF=4−x；而AE=2，由勾股定理得：2222(4)x x=+-，解得：52x=；53422AF=-=；由题意得：90,90GEF D A B∠=∠=︒∠=∠=︒，∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，∴∠AFE=∠BEG；∴△AEF∽△BGE，∴EF AF AEEG BE BG==，∴52102282,333322EG BG⨯⨯====，∴△EBG的周长10828.33=++=故答案为：8.点睛：考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 16．1【解析】【分析】利用位似图形的性质得出位似比进而求出位似中心O与A1的距离即可得出答案.【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，∴两图形的位似比为：2：3，∵位似中心O 与A 的距离为2，∴位似中心O 与A 1的距离为3，∴A 到A 1的距离为：1．故答案为1.【点睛】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出O 与A 1的距离是解题关键.17．2553y x x =-+ 【解析】【分析】设边EF 的长为x （03x <<），则3AN x =-，进而利用已知得出AEH ABC ~，进而得出EH 的长，即可得出答案.【详解】设边EF 的长为x （03x <<），则3AN x =-，//EH BC ，∴AEH ABC ~，∴AN EH AD BC=， ∴335x EH -=， 解得：()533EH x =-， 矩形EFGH 的面积为y ， ∴y 关于x 的函数解析式是：()2553533y x x x x =-⨯=-+. 故答案为：2553y x x =-+. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出EH 的长是解题关键.18．1:2【解析】【分析】由以O 为位似中心将四边形ABCD 放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA=4，OA ′=8，可求得四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位似比，继而求得四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比．【详解】∵以O 为位似中心将四边形ABCD 放大后得到四边形A′B′C′D′，OA=4，OA′=8， ∴四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位似比为：OA ：OA′=4：8=1：2，∴四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比为：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了位似变换与相似多边形的性质．注意位似就是相似，相似三角形的周长的比等于相似比．19．()1,0； 10【解析】【分析】（1）如图，根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（2）利用等腰直角三角形的性质得出△111A B C 的面积．【详解】（1）如图，根据位似图形的性质，△111A B C 为所求作的图形．点1C 的坐标为：（1，0），（2）∵211A C =2224+=20，211B C =2224+=20，211A B =2226+=40，∴211A C +211B C =211A B∴△111A B C 是等腰直角三角形，∴△111A B C 面积是：12××平方单位．故答案为（1）（1，0）；（2）10【点睛】主要考查位似图形，尺规作图，熟练掌握位似图形的性质是解题关键.20．(1)见解析，（7，0）；(2)14.【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质得出位似中心即可；（2）利用相似三角形的性质得出△ABC与△A′B′C′的面积比．【详解】(1)如图所示：()7,0D；(2)∵ABC A B C'''∽，∴2'''11()24ABCA B CSS==．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，根据题意得出D点位置是解题关键．21．详见解析【解析】【分析】（１）在平面直角坐标系xOy中，分别描出点A、B、C三点并连接出△ABC（２）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（３）直接利用将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2，得出各对应点，进而得出答案；【详解】(1)如图所示：，△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求(2)如图所示：将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2,得到△A2B2C2的各点坐标，图中△A2B2C2即为所求；【点睛】本题考查了作图-位似变换, 作图-轴对称变换，熟练掌握这两种图形变形性质是解题关键. 22．（1）图见解析，C1（2，﹣2）；（2）图见解析；（3）7.5【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置连线成图即可；（3根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：（3）四边形AA 2C 2C 的面积1151527.522=⨯⨯+⨯⨯= 故答案为7.5．【点睛】 此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键23．（1）见解析；（2）2:1；（3）()'6,0A -，()'3,2B -，()'4,4C -．【解析】【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O ；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC 与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O 并延长，使OB″=OB′，延长A′O 并延长，使OA″=OA′，C′O 并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．【详解】（1）图中点O 为所求；（2）△ABC 与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）．【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．24．见解析.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．【详解】()1如图所示：111A B C ，即为所求，点1B 的坐标为：()5,5； ()2如图所示：222A B C ．【点睛】考查了位似变换和旋转变换，解题关键是正确得出对应点位置．25．（1）①见解析，②见解析；（2）见解析；（3）正确【解析】（1）先证△ABC ，△ACD 都是等边三角形，再证△BCE 和△ACF 全等即可；（2）先证△ACE ∽△HCF ，再利用相似三角形的性质即可得出答案；（3）利用（2）中证得的结论利用等量代换即可得出答案.解：（1）①∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD =120°， ∴∠D =∠B =60°，∵AD =AB ，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∴∠B =∠CAD =60°，∠ACB =60°，BC =AC ， ∵∠ECF =60°， ∴∠BCE +∠ACE =∠ACF +∠ACE =60°， ∴∠BCE =∠ACF ，在△BCE 和△ACF 中，B CAF BC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCE ≌△ACF ．②∵△BCE ≌△ACF ，∴BE =AF ，∴AE +AF =AE +BE =AB =AC ．（2）∴AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD =90°， ∴∠BAC =∠ACD =90°， ∴∠CAD =30°， ∴∠ACH =60°， ∵∠ECF =60°， ∴∠HCF =∠ACE ，∴△ACE ∽△HCF ， ∴AE AC FH CH==2， ∴AE =2FH ．(3)结论正确如图2中，由（2）可知，设FH a =，则2AE a =，设HC =，则3AH x =，易知AC =，∴3AF x a =-，∴()22236AE AF a x a x +=+-==.点睛：本题是一道操作探究题.熟练应用几何图形的性质是解题的关键.26．（1）12；（2）①5；②1ab 【解析】【分析】 （1）过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BD 于M ，由四边形ABCD 是正方形，得到AC ⊥BD ，∠ACB=∠DBC=45°，于是得到四边形OMEN 是矩形，△BEM 与△CEN 是等腰直角三角形，求得2ME NE=，然后根据△EMG ∽△ENF ，即可得到结论； （2）①过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BD 于M ，根据四边形ABCD 是矩形，②过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BH 于M ，得到四边形OMEN 是矩形，由△MEG ∽△NEF ，得到 EF EN EG EM =， 由于△ABC ∽△CNE ，求出CN EN b=，由于△BEM ∽△BCO ，得到 EM BE OC BC=， 求出EM=a•CN ，即可得到结论． 【详解】(1)过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BD 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ,∠ACB =∠DBC =45°， ∴四边形OMEN 是矩形，△BEM 与△CEN 是等腰直角三角形，∴2290,,MEN EM EN ∠===， ∵BE CE=2,∴2ME NE =, ∵EF ⊥AE ，∴∠MEG =∠NEF ，∴△EMG ∽△ENF ，∴12EF NE EG ME ==；故答案为：12；(2) ①过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，sin∠EAF=2,3ENAE=设2,3,EN x AE x==则5,AN x=90,90, BAE AEB ACB OBC∠+∠=∠+∠=∠BAE=∠ACB，,AEB OBC∠=∠,GB GE∴=同理可得：,BAG ABG∠=∠,GB AG=13,22AG EG BG AE x∴====点G是AE的中点，1,2OG EN x==容易证明AOG△≌,EMG,MG OG x==15,22ME OA AN x===31,22BM BG MG x x x=-=-=152tan tan5xBMACB BEMEMx ∠=∠===②过E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，∵BH ⊥AC ，∴四边形OMEN 是矩形，∴90MEN ∠=，∵AE ⊥EF ，∴∠MEG =∠NEF ，∴△MEG ∽△NEF , ∴ EF EN EG EM=， ∵90ABC CNE ACB ACB ∠=∠=∠=∠，，∴△ABC ∽△CNE ， ∴BC CN b AB EN==， ∴CN EN b =， ∵EM ⊥BH ，AC ⊥BH ，∴EM ∥AC ，∴△BEM ∽△BCO ， ∴EM BE OC BC=， ∵BE a CE=， ∴1BE a BC a =+， ∴1EM a OC a =+， ∵ON =EM ，∴EM a CN=， ∴EM =a ⋅CN ，∴1.CNEF EN bEG EM a CN ab===⋅故答案为：1.ab【点睛】属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.27．(1)见解析;(2)见解析;(3)2.【解析】试题分析：（1）根据题意补全图形；（2）由旋转的性质得到∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，进而得到∠CAD+∠E=90°，即可的得到结论；（3）易证△ADC∽△BDF，△ADB∽△CDF，由相似三角形的性质即可得到结论．试题解析：解：（1）补全图形如下：（2）证明：∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到，∴ΔCBE≌ΔCAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE．（3）∵∠ACB=∠DFB=90°，∠CDA=∠FDB，∴△ADC∽△BDF，∴AD BD ACDC DF BF==，∴AD CDBD DF=．∵∠ADB=∠CDF，∴△ADB∽△CDF，∴AB DBCF DF=，∴51AB ACCF BF==，∴1051CF=，∴CF2．。

1.4 图形的位似1．在平面直角坐标系中，已知点A (－3,6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(－9,18)C ．(－9,18)或(9，－18)D ．(－1,2)或(1，－2)2．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶1第2题图 第3题图3．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1,0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)4．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1∶2，已知△ABC 的面积为3，那么△A 1B 1C 1的面积是__ __.第4题图 第5题图5．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，点O 是位似中心，若OA ＝2AA ′，S △ABC ＝8，则S △A ′B ′C ′＝__ __.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，且O ′的坐标为(－1,0)，则点B ′的坐标为 .第6题图7．已知：如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．（第7题图）8．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．（第8题图）9．如图，在△ABC的内部任取一点O，连结AO，BO，CO，并在AO，BO，CO这三条线段的延长线上分别取点D，E，F，使ODOA＝OEOB＝OFOC＝12，连结DE，EF，FD，于是得到△DEF.你认为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你认为它们也具有位似图形的特征吗？(第9题)10．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB 上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA ，OB 和AB ︵上，有一部分同学是过样画的，如图①，若在扇形OAB 内画出正方形CDEF ，使得点C ，D 在OA 上，点F 在OB 上，连结OE 并延长，交AB ︵于点G ，过点G 作GJ ⊥OA 于点J ，作GH ⊥GJ 交OB 于点H ，再过点H 作HI ⊥OA 于点I .(1)请问他们画出的四边形GHIJ 是正方形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．(2)还有一部分同学是用另外一种不同于图①的方法画出的，请你参照图①的画法，画出这个正方形(保留痕迹，不要求证明)．(第10题)参考答案1．D 2．D3．D 【解析】把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标与原点O 重合，与B 对应点的B ′的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点为位似中心的位似图形是△A ′B ′C ，则与点B ′对应的点的横坐标为－12(a ＋1)，把该点的横坐标向左平移一个单位长度则得到点B 的横坐标为－12(a ＋1)－1，即为－12(a ＋3)．4．125．18 【解析】△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形且由OA ＝2AA ′.可得两位似图形的位似比为2∶3，所以两位似图形的面积比为4∶9，又由△ABC 的面积为8，得△A ′B ′C ′的面积为18.6． (53，－4) 【解析】如答图，过点B ′作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D 两点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，∴BE ∥B ′C ，∴BE B ′C ＝AB AB ′＝AE AC.∵△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，∴OB ∥B ′O ′.∴AO AO ′＝AB AB ′，∴BE B ′C ＝AE AC ＝AO AO ′.∵A (3,0)，O ′(－1,0)，B (2，－3)，∴AO ＝3，AO ′＝4，BE ＝3，AE ＝1，∴3B ′C ＝34，1AC ＝34，∴B ′C ＝4，AC ＝43，∴OC ＝AO －AC ＝3－43＝53，又∵B ′在第四象限， ∴B ′(53，－4)．第6题答图7．【解】(1)如答图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2);(2)如答图，△A 2BC 2即为所求，C 2(1,0)，△A 2BC 2的面积等于10.第7题答图8．【解】∵矩形ABCD 的周长＝24，∴AB ＋AD ＝12，设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB ′＝x ＋4，AD ′＝14－x . ∵矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形， ∴AB AB ′＝AD AD ′，即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4. 9．【解】 △DEF ∽△AB C.理由如下： ∵OD OA ＝OE OB ＝OFOC，∠EOF ＝∠BOC ，∠DOE ＝∠AOB ，∠FOD ＝∠COA ，∴△DOE ∽△AOB ，△EOF ∽△BOC ，△FOD ∽△COA ， ∴DE AB ＝OE OB ＝EF BC ＝OF OC ＝FDCA，∴△DEF ∽△ABC .它们具有位似图形的特征，且它们是以点O 为位似中心的位似图形． 10．【解】 (1)四边形GHIJ 是正方形．证明如下： ∵GJ ⊥OA ，GH ⊥GJ ，HI ⊥OA ，∴∠GJI ＝∠JIH ＝∠JGH ＝90°， ∴四边形GHIJ 是矩形． 易知FC ∥HI ，EF ∥GH ，∴△FOC ∽△HOI ，△EFO ∽△GHO ， ∴OF OH ＝FC HI ，OF OH ＝EFGH ，∴FC HI ＝EF GH. 又∵FC ＝EF ， ∴HI ＝GH .∴矩形GHIJ 是正方形．(2)如答图，正方形MNGH 即为所求．第10题答图。

青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题2（附答案详解） 1．如图所示，正方形EFGH 是由正方形ABCD 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积比是（ ）A ．1：6B ．1：5C ．1：4D ．1：22．如图，DEF ∆是由ABC ∆经过位似变换得到的，O 点是位似中心，OD 2DA 3=，则DEF ∆与ABC ∆的面积比为（ ）A ．2：3B ．4：9C ．2：5D ．4：253．如图，在平面直角坐标系中，与ΔABC 是位似图形的是A ．①B ．②C ．③D ．④4．已知正△ABC 的中心为O ，边长为1．将其沿直线l 向右不滑动的翻滚一周时，其中心O 经过的路径长是（ ）A 433πB 233C ．4πD ．2π 5．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）6．在直角坐标系中，已知点(6 3)A -，，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段OA 缩小为'OA ，则点A '的坐标为（ ）A ．(21)-，，(21)--，B ．(21)-，，(21)，C ．(21)，，(21)--， D ．(21)-，，(21)-， 7．如图,已知BC ∥DE ，则下列说法不正确的是( )A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．AE ∶AD 是相似比 D ．点B 与点E ，点C 与点D 是对应位似点 8．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）A ．(0,9)B ．(8,0)C ．(9,0)D ．(10,0)9．如图，点()8,6P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到'''A B C ∆，点P 在''A C 上的对应点P'的的坐标为( )A ．()4,3B ．()3,4C ．()5,3D ．()4,410．在平面直角坐标系中，将一个四边形各顶点的横、纵坐标都乘2，所得图形与原图形相比，下列说法正确的是( )A ．所得图形相当于将原图形横向拉长为原来的2倍，纵向不变B ．所得图形相当于将原图形纵向拉长为原来的2倍，横向不变C ．所得图形形状不变，面积扩大为原来的4倍D ．所得图形形状不变，面积扩大为原来的2倍11．在平面直角坐标系中，点C 、D 的坐标分别为C(3，-2)、D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB=2则点C 的对应点A 的坐标为______.12．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC 缩小，使变换得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标为____．13．如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．14．如图，在平面直角坐标系中，ABC 和A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OB BB =, 如果点(23)A ，，那么点A '的坐标为_______．15．ABC ∆三个顶点坐标分别为()()()2,2,4,5,5,2A B C ---，以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍. 相应坐标是_____ （写出一种即可）16．△ABC 与△DEF 是位似图形，且△ABC 与△DEF 的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是____．17．在Rt △ABC 中，∠BAC =90，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，P 是线段AD 上的一个动点，以点P 为直角的顶点，向上作等腰直角三角形PBE ，连接DE ，若在点P 的运动过程中，DE 的最小值为3，则AD 的长为____．18．如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是______．19．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为____．20．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．（1）如图2，当点F与点B重合时，求CE和CG的长；（2）如图3，当点E是BD中点时，求CE和CG的长；（3）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明．21．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE （1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；（2）直接写出△DEF 的面积．22．如图，正方形ABCD ，点P 在射线CB 上运动(不包含点B 、C)，连接DP ，交AB 于点M ，作BE ⊥DP 于点E ，连接AE ，作∠FAD=∠EAB ，FA 交DP 于点F ．(1)如图a ，当点P 在CB 的延长线上时，①求证：DF=BE ；②请判断DE 、BE 、AE 之间的数量关系并证明；(2)如图b ，当点P 在线段BC 上时，DE 、BE 、AE 之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明；(3)如果将已知中的正方形ABCD 换成矩形ABCD ，且AD ：AB=3：1，其他条件不变，当点P 在射线CB 上时，DE 、BE 、AE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．23．如图，在方格运中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和ABC ∆.(1)画图：以点0为位似中心，把ABC ∆缩小为原来的一半（不改变方向），得到A B C '''∆；(2)ABC ∆与A B C '''∆的相似比为______.24．如图，已知△PAB 的三个顶点落在格点上．（注：每个小正方形的边长均为1）．（1）△PAB 的面积为 ；（2）在图①中，仅用直尺画出一个以A 为位似中心，与△PAB 相似比为1：2的三角形；（3）在图①中，画一个以AB 为边且面积为6的格点三角形ABC ，符合条件的点C 共 个；（4）在图②中，只借助无刻度的直尺，在图中画出一个以AB 为一边且面积为12的矩形ABMN ．25．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的三个顶点都在小正方形的格点上，按照下列要求作图：（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的的A B C '''∆；（2）以点O 为位似中心，作出ABC ∆的位似图形A B C ''''''∆，使它们分别位于点O 的两侧，且位似比1:2.26．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动，同时动点Q 从点A 出发沿对角线AC 向终点C 运动．过点P 作PE ∥DC ，交AC 于点E ，动点P 、Q 的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x 秒，当点P 运动到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设PE ＝y ；（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）探究：当x 为何值时，四边形PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点P 和点Q ，使P 、Q 、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，0)，B(0，−2)，C(2，−1)；（1）以原点O为位似中心，在第二象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；（2）点P（a，b）为线段AC上的任意一点，则点P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为．参考答案1．C【解析】【分析】由正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点，易求得位似比等于EH：AD=1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得正方形EFGH与正方形ABCD的面积比．【详解】∵正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，∴正方形EFGH∽正方形ABCD，∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴EH=12 AD，即位似比为：EH：AD=1：2，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是：1：4．故选C．【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于利用相似的性质进行解答.2．D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC，∵OD2 DA3=，∴25ODOA=，即△DEF与△ABC的相似比为25，∴△DEF与△ABC的面积比是4：25，故选D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质解答即可．【详解】因为图③与△ABC这两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，所以与△ABC是位似图形的是③．故选C．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．4．B【解析】【分析】先过C点作AB的垂线，求出旋转是弧的半径，旋转的角度，再根据旋转的次数即可得到结果.【详解】如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，∵CD＝32BC＝32．∴OC＝23CD＝33．根据等边三角形的性质，∠BCD＝12∠ACB＝12×60°＝30°，∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°﹣2×30°＝120°，等边三角形翻滚3次翻滚一周，∴点O旋转的角度为：120°×3＝360°，∴中心O经过的路径长是：2π•OC＝故选：B【点睛】此题重点考察学生对图形旋转的理解，把握旋转前后的图形性质是解题的关键.5．D【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．6．D【解析】【分析】根据相似比将线段OA缩小，又因为原点O为位似中心可得有两个符合的点，即可求出本题答案.【详解】∵相似比为13，当A点在第四象限时，所以可得A1’＝(6×13，－3×13)＝（2，－1）；根据位似的性质可知在第二象限亦有一点，因为第二象限的点和第四象限的点互为相反数，所以可得A2’（－2，1）.故答案为：D.【点睛】本题考查了位似的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.7．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质与定义分别进行分析可得答案.【详解】解：A.∵BC∥DE，且BE与CD相交于点A，∴两个三角形是位似图形，正确，不符合题意；B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不符合题意；C. AE︰AB是相似比，故此选项错误，符合题意；D. 点B与点E，点C与点D分别是对应点，正确，不符合题意.故选C.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义与性质是解题的关键. 8．C【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．【详解】解：如图所示：点D即为所求，坐标为：（9，0）．故选：C．【点睛】本题考查位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是解题关键．9．A【解析】【分析】根据位似的性质解答即可.【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．10．C【解析】【分析】根据图形的相似判断出前后两个图形是相似图形,再利用相似图形面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】解：由相似的性质可知, 将一个四边形各顶点的横、纵坐标都乘2，图形的形状不发生改变,并且这两个图形为相似图形,相似比为2:1,∴图形的面积比为4:1,∴图形的面积扩大4倍,故选C.【点睛】本题考查了图形的相似,相似图形坐标的特征,中等难度,熟悉相似图形的性质是解题关键. 11．（6，-4）或（-6,4）【解析】【分析】正确画出图形，利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．注意有两解．【详解】解：如图，由题意，位似中心是O，位似比为2，∴OC=AC，∵C（3，-2），∴A（6，-4）或（-6，4），故答案为（6，-4）或（-6，-4）【点睛】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，学会正确画出图形解决问题，注意一题多解．解题的关键是正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．12．(2，32)或(－2，－32) 【解析】【分析】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．本题中k ＝2或−2．【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−12）或1：12，AC 的中点是（4，3）， ∴对应点是（2，32）或（−2，−32）． 【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．13． 【解析】【分析】利用点B 和点D 的坐标之间的关系得到线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，然后确定C 点坐标．【详解】解：∵将线段AB 缩小得到线段CD ，点B （5，0）的对应点D 的坐标为（2.0）， ∴线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，∴点C 的坐标为（1，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14．46（，）【解析】【分析】观察点B 点和B ′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A ′的坐标.【详解】∵'OB BB =，∴1'2OB OB =∴位似比为2，∵A 的坐标是()23，， ∴点A '的坐标为()46，故答案是：()46，【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．15．(4,4),(8,10),(10,4)A B C '''---或(4,4),(8,10),(10,4)A B C '''---【解析】【分析】把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2或﹣2即可．【详解】把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2得：A ′（4，－4），B ′（8，－10），C ′（10，－4）；把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以﹣2得：A ′（－4，4），B ′（－8，10），C ′（－10，4）． 故答案为：A ′（4，－4），B ′（8，－10），C ′（10，－4）或A ′（－4，4），B ′（－8，10），C ′（－10，4）．【点睛】本题考查了位似变换．掌握以原点为位似中心的图形的坐标特点是解答本题的关键． 16．8【解析】【分析】根据位似图形面积比等于位似比的平方，知道其中一个面积，就可以求出另外一个面积.【详解】位似图形面积比等于位似比的平方，位似比是1:2，所以面积比是1:4，已知△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是8故答案为8【点睛】此题重点考察学生对位似图形面积的计算，抓住面积比等于位似比的平方是解题的关键.17．32【解析】【分析】当DE ⊥CE 时，DE 的有最小值，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】当DE ⊥CE 时，DE 的有最小值．连接CE ．∵△BAC 和△EBP 是等腰直角三角形，∴∠EBC +∠CBP =∠CBP +∠PBA =45°，BC =2BA ，BE =2BP ，∴∠EBC =∠PBA ，2BE BC BP BA==，∴△EBC ∽△PBA ，∴∠ECB =∠P AB ． ∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴∠P AB =45°，BD =DC =AD ，∴∠ECD =45°． ∵∠DEC =90°，∴△DEC 是等腰直角三角形，∴DC =2DE =32，∴AD =32． 故答案为：32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．（-2，0）【解析】【分析】利用如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而得出位似中心．【详解】解：如图所示：点P（-2，0）即为所求．故答案为：（-2，0）．【点睛】本题考查位似变换，根据题意得出位似中心的位置是解题的关键．19．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．【详解】把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（12-，1），把点（12-，1）先上平移1个单位得到（12-，2），所以D点坐标为（12-，2）．故答案为：（12-，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．20．（1）CE＝245，CG＝185，（2）CE＝5，CG＝154；（3）结论：△EBG是直角三角形．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；（3）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断．【详解】解：（1）如图2中，在Rt△BAD中，BD＝22AD AB+＝10，∵S△BCD＝12•CD•BC＝12•BD•CE，∴CE＝245．CG＝BE＝222465⎛⎫- ⎪⎝⎭＝185，（2）如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．∵DE＝BE，∴CE＝12BD＝5，∵△CME∽△ENF，∴CM EN CE EF=，∴CG＝EF＝154．（3）结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH＝CH，∴BH＝FH＝CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH＝HG＝HF＝HC，∴BH＝EH＝HG，∴△EBG是直角三角形．【点睛】四边形的综合题，主要考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题．21．（1）作图见解析；（2）7.5．【解析】【分析】（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=5，BC=2，AC=5，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=10；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；（2）△DEF 的面积=12×5×3=7.5． 【点睛】 本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（1）详见解析；②AE ，理由详见解析；（2）AE ﹣BE ；（3）或DE=2AEBE ．【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得到AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，判断出△ABE ≌△ADF ，即可；②由①得到△ABE ≌△ADF ，并且判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE ≌△ADF ，再用判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE ∽△ADF ，AF，DF，再判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理结合图形可得结论．【详解】（1）①正方形ABCD 中，AD=AB ，∠ADM+∠AMD=90°∵BE ⊥DP ，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME ，∴∠EBM=∠ADM ，在△ABE 和△ADF 中，FAD EAB EBM ADM AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF ，∴DF=BE ；②，理由：由（1）有△ABE ≌△ADF ，∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴EF=2AE，∵DE=DF+EF，∴DE=BE+2AE；（2）DE=2AE﹣BE；理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°∵BE⊥DP，∴∠BEA+∠AEF=90°，∴∠BEA=∠AFE，∵∠FAD=∠EAB，AD=AB∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，BE=DF∵∠EAF=90°∴EF=2AE，∵EF=DF+DE=2AE，∴DE=2AE﹣DF=2AE﹣BE；（3）DE=2AE+3BE或DE=2AE﹣3BE．①如图1所示时，正方形ABCD 中，∠ADM+∠AMD=90° ∵BE ⊥DP ，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME ，∴∠EBM=∠ADM ，∵∠FAD=∠EAB∴△ABE ∽△ADF ，∴AB AE BE AD AF DF==， ∵AD ：AB=3：1，∴3AE BE AF DF ==， ∴AF=3AE ，DF=3BE∵∠FAD=∠EAB∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，∴EF=22AE AF +=2AE=DE ﹣DF=DE ﹣3BE ，即：DE=2AE+3BE ；②如图2所示，∵∠DAF=∠BAE ，∴∠EAF=∠BAD=90°，∵∠DAF=∠BAE ，∴△BAE ∽△DAF ，∴AB AE BE AD AF DF==，∵AD ：AB=3：1，∴3AE BE AF DF ==， ∴AF=3AE ，DF=3BE ，∵∠EAF=90°，根据勾股定理得，EF=22AE AF +=2AE=DE+DF=DE+3BE ，∴DE=2AE ﹣3BE ．【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理得到线段的关系． 23．(1)见解析；（2）2：1【解析】【分析】（1）运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图．（2）利用相似三角形对应边的比值即是相似比求出即可．【详解】(1)利用三角形相似作图,连接OA,OB,OC,分别找出这三条线段的中点A′、B′、C′,顺次连接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如图所示：(2)根据相似三角形的性质，因为ABC ∆与A B C '''∆是相似三角形，且BC:B′C′=2:1，故答案为2:1.【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握相似三角形的性质.24．（1）132；（2）见解析；（3）见解析，3；（4）见解析.【解析】 【分析】 （1）利用分割法取三角形面积即可．（2）利用三角形中位线定理，分别取PA ，AB 的中点E ，F 即可．（3）利用数形结合的思想，根据三角形的面积公式以及平行线间的距离相等解决问题即可． （4）过点B 作BJ ⊥C 1C 2于点M ，过点A 作BN ⊥C 1C 2于点N ，可得矩形ABMN ．【详解】解：（1）S △PAB ＝4×4﹣12×1×4﹣12×4×3﹣12×1×3＝132． 故答案为132. （2）△PEF 如图①中所示．∵CD=PD,DE ∥AC,∴AE=PE,即E 是AP 的中点，同理可证F 是AB 的中点，∴EF 是△ABP 的中位线，∴△AEF 与△PAB 相似比为1：2；（3）满足条件的点C 如图所示，有3个.S △ABC1=11143622AC BH ⨯=⨯⨯=, 同理可求△ABC 2的面积=6，∴C 1C 2∥AB ，∴△△ABC 3的面积=6，故答案为3．（4）矩形ABMN如图②中所示．过点B作BJ⊥C1C2于点M，过点A作BN⊥C1C2于点N，∵△ABC1的面积=6，∴矩形ABMN的面积=12.【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据旋转的性质及方格纸的特点找出对应点，然后连接即可；（2）根据位似的性质及方格纸的特点找出对应点，然后连接即可【详解】解：（1）如图；（2）如图.【点睛】本题考查了旋转的性质，以及位似的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.旋转的性质：对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角. 位似图形的性质，①位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.26．（1）y＝﹣34x+3（2）当x＝45时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形（3）当x＝43或x＝2013或x＝2827或x＝83时，△PQE为等腰三角形【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ 与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ＝PE，PQ＝EQ，PE＝QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE＝QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．【详解】（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y，DC＝3，∴AP AE PEAD AC DC==，即4453x AE y-==，∴y＝﹣34x+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣54x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴PA AQ AQBC CE AC AE==-，即445455(5)4x x xxx-==--+，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝45，∴当x＝45时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣54x+5﹣x＝5﹣94x，（i）当QE＝PE时，5﹣94x＝﹣34x+3，解得：x＝43；（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣94x，解得：x＝20 13；（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，可得：FE＝12 QE＝12（5﹣94x）＝2098x-，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝35CDAC=，∵cos∠AEP＝FEPE＝2098334xx--+＝35，解得：x＝2827；当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣54x+5，PE＝﹣34x+3，∴﹣34x+3＝x﹣（﹣54x+5），解得：x＝83．综上，当x＝43或x＝2013或x＝2827或x＝83时，△PQE为等腰三角形．【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．27．（1）见解析；（2）坐标为（-2a，-2b）【解析】【分析】（1）依据以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1作图即可；【详解】解：（1）如图所示，以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则△AB1C1即为所求；（2）如图所示，∵P（a，b）为线段AC上的任意一点，点P，P1以原点O为位似中心，∴点P1在线段A1C1上，并且P1坐标为：（-2a，-2b）.【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换以及位似变换进行作图．。

章节测试题1.【题文】画图题．在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．请画出符合下列要求的图形：（1）图1中将三角形A的各条边按1：3放大，得到三角形B；（2）图2中将长方形C的各条边按2：1缩小，得到长方形D．【答案】见解答.【分析】本题考查位似作图.【解答】（1）如图1，三角形B为所作；（2）如图2，长方形D为所作.2.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC边上利用尺规求作一点P使得△APB∽△BAC（不必写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解答.【分析】本题考查位似作图.【解答】如图所示，△APB∽△BAC，点P即为所求．3.【答题】如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF 的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（）A. 4：7B. 3：5C. 9：4D. 9：5【答案】A【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴△ABC的面积与△DEF的相似比是4：3，即，∵AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴，∴，选A．4.【答题】如图，四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，则位似中心是（）A. 点AB. 点BC. 点FD. 点D【答案】B【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，∴点A与点G是对应点，点C 与点E是对应点，∵AG、CE交于点B，∴位似中心的点B，选B．5.【答题】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．以点A为位似中心，把△ABC放大2倍后得△AB′C′，则∠B′等于（）A. 72°B. 54°C. 36°D. 144°【答案】A【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（180°﹣36°）＝72°，∵△ABC放大2倍后得△AB′C′，∴∠B′＝∠B＝72°．选A．6.【答题】如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：5，则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为（）A. 3：5B. 3：8C. 9：25D.【答案】C【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝3：5，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝3：5，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：9：25．选C．7.【答题】如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A. （0，3）B. （0，2.5）C. （0，2）D. （0，1.5）【答案】C【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】如图，连接BF交y轴于P.∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），选C．8.【答题】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点______．【答案】P【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】如图所示，这两个三角形的位似中心是点P．故答案为P．9.【答题】某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是______．【答案】（﹣2a，﹣2b）【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵大鱼与小鱼是位似图形，由图形知一组对应点的坐标分别为（2，0），（﹣1，0），∴位似比等于2：1，∴小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（﹣2a，﹣2b）．10.【答题】如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝______．【答案】16【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】由图形的变化规律可得256，解得n＝16．故答案为16．11.【答题】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O 为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为______．【答案】（2，）或（﹣2，）【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵两个图形的位似比是1：（）或1：，AC的中点是（4，3），∴对应点是（2，）或（﹣2，）．12.【题文】操作与探索：（1）用数对表示图中三角形的顶点A、O的位置，A______，O______．（2）将图中三角形绕点O顺时针旋转90°，并画出旋转后的图形．（3）画出图中原来三角形按2：1放大后的图形．【答案】（1）（2，6），（3，3）；（2）见解答；（3）见解答.【分析】本题考查旋转作图和位似作图.【解答】（1）A（2，6），O（3，3）；故答案为（2，6），（3，3）；（2）如图，△OA′B′为所作；（3）如图，△OA″B″为所作．13.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．【答案】见解答.【分析】本题考查尺规作图.【解答】（1）如图，作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB．14.【答题】下列说法不正确的是（）A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形不一定是位似图形C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D【分析】本题考查了位似图形的定义．如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心.【解答】根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．选D.15.【答题】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A. （2，5）B. （2.5，5）C. （3，5）D. （3，6）【答案】B【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质．【解答】∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为（2.5，5），选B．16.【答题】如图，点D、E、F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法错误的是（）A. AD平分∠BACB. △AEF∽△ABCC. EF与AD互相平分D. △DFE是△ABC的位似图形【答案】A【分析】本题考查位似图形.【解答】由中位线定理可知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，故B正确；由中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴EF与AD互相平分，故C 正确；∵DE∥AC，EF∥BC，DF∥AB，∴△DFE∽△ABC，又AD、BF、CE相交于一点，∴△DFE是△ABC的位似图形，故D正确．综上所述，排除B、C、D，选A．17.【答题】如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积比是（）A. 1：6B. 1：5C. 1：4D. 1：2【答案】C【分析】本题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，根据位似图形的性质，即可得AC∥DF，即可求得AC：DF=OA：OD=1：2，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．【解答】∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC：DF=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．选C．18.【答题】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法中不正确的是（）A. 菱形的边长扩大到原来的2倍B. 菱形的角的度数不变C. 菱形的面积扩大到原来的2倍D. 菱形的面积扩大到原来的4倍【答案】C【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质求解即可．【解答】∵原来的菱形放在2倍的放大镜下，按照1：2的比例放大，∴它们是相似多边形，由题意可知，菱形的角的度数不变，相似多边形的边长之比=相似比=1：2，而面积之比=相似比的平方=1：4．选C．19.【答题】如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F 分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】由题意可知△DEF与△ABC位似比为1︰2，∴其面积比是1︰4，选B．20.【答题】如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A. 两个三角形是位似图形B. 点A是两个三角形的位似中心C. AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点【答案】C【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A.两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C.AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D.点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，选C．。

青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题1（附答案详解） 1．下列命题中真命题是（ ）A ．2a =（a ）2一定成立B ．位似图形不可能全等C ．正多边形都是轴对称图形D ．圆锥的主视图一定是等边三角形2．如图，△OAB 与△OCD 是以点0为位似中心的位似图形，相似比为1:2，∠OCD=90︒，CO=CD ．若B(2，0)，则点C 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(1，2)C ．（2，22）D ．(2，1)3．如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，点F 是AB 的中点， AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE =∠BAD ．有下列结论：①FD =FE ；② AH =2BD ； ③AD ·BC =AE ·AB ； ④2CD 2=()22+EH 2．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，已知点()4,2E -，点()1,1F --，以O 为位似中心，把EFO 放大为原来的2倍，则E 点的对应点坐标为（ ）A ．()2,1-或()2,1-B ．()8,4-或()8,4-C ．()2,1-D ．()8,4- 5．如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A (4,2),B (3,0),以原点为位似中心,A'B'与AB 的相似比为12,得到线段A'B'.正确的画法是( ) A ． B ． C ． D ．6．关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数()A．1个B．2个C．3个D．4个7．观察右图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似8．小敏的圆规摆放如图所示，则几个和小明的圆规形状一样的圆规中，与小明摆放的位似的是（）A．B．C．D．△9．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把EFO 缩小，则点E的对应点E 的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）10．下列各组图形中，不是位似图形的是A．B．C．D．11．如图，在ABC 中，正方形DEFM 的边MF 在BC 上，点D 、E 分别在AB 、AC 上，若1ADE S =，4DEFM S =正方形，则ABC S =________．12．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小得到△A′B′C ，若AA′= 2OA′，则△ABC 与△A′B′C′的周长比为_____．13．如图，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是以O 为位似中心的位似图形，满足OA 1=A 1A ，E ，F ，E 1，F 1分别是AD ，BC ，A 1D 1，B 1C 1的中点，则11E F EF=_____．14．如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为(1，1)，点C 的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是______15．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC=______．16．将反比例函数1y x=的图象以原点为位似中心，按相似比2:1放大得到的函数k y x=的图象，则k 的值为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，2），AB ⊥x 轴于点B ，以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的2倍得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1的坐标为_____．18．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，以点A 为位似中心把△ABC 的各边放大2倍后得到△AB ′C ′，则∠B 的对应角∠B ′的度数为____. 19．如图，原点O 是ABC 和'''A B C 的位似中心，点()1,0A 与点()'2,0A -是对应点，点()2,2B ，则'B 点的坐标________．20．已知点C 的坐标是()1,0-，以点C 为位似中心，把ABC 的边长放大到原来的2倍，所得的像是''A B C 、且点'B 的横坐标是a ，则点B 的横坐标为________． 21．如图，点E 、F 分别是ABCD 的边AB 和CD 的延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点H 、G ，写出图中的位似三角形．22．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（3，﹣1）．(1)以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将△OBC 放大到原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出放大后的△OB′C′；(2)在(1)的基础上写出点B′，C′的坐标；(3)在(1)的基础上，如果△OBC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M′的坐标．23．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在原点的另一个侧画出△A2B2C2．使22ABA B=12，并写出A2、B2、C2的坐标．24．如图12，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm. 点P从点A出发，沿AB 边以2 cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C 匀速移动. 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t(s).（1）当PQ∥AC时，求t的值；（2）当t为何值时，QB=QP；（3）当t为何值时，△PBQ的面积等于4.8cm 2.25．在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC 交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．26．已知四边形ABCD及点O,试以点O为位似中心,将如图所示四边形放大为原来的2倍.27．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其点B，C，D的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E点和A点的坐标；(2)试以点B为位似中心，作出位似图形A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为3∶1；(3)直接写出图形A1B1C1D1E1的面积．28．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，请完成下列任务：（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C；（2）求线段AC旋转到A1C的过程中，所扫过的图形的面积；（3）以点O为位似中心，位似比为2，将△A1B1C放大得到△A2B2C2（在网格之内画图）．参考答案1．C【解析】【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．【详解】A、2a=（a）2，当a＜0时不成立，假命题；B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；C、正多边形都是轴对称图形，真命题；D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题，故选C．【点睛】本题考查了真命题与假命题，涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.2．A【解析】连接CB.∵∠OCD=90°，CO=CD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠COB=45°.∵△OAB与△OCD是位似图形，相似比为1:2，∴2OB=OD，△OAB是等腰直角三角形.∵2OB=OD，∴点B为OD的中点，∴BC⊥OD.∵B（2，0），∴OB=2，∵△OAB 是等腰直角三角形，∴∠COB =45°.∵BC ⊥OD ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴BC =OB =2，∴点C 的坐标为（2，2）.故选A.3．D【解析】分析：由直角三角形斜边上的中线性质得出FD =12AB ，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE =BE ，证出FE =12AB ，延长FD =FE ，①正确； 证出∠ABC =∠C ，得出AB =AC ，由等腰三角形的性质得出BC =2CD ，∠BAD =∠CAD =∠CBE ，由ASA 证明△AEH ≌△BEC ，得出AH =BC =2CD =2BD ，②正确；证明△ABD ～△BCE ，得出AB BC =AD BE，即BC •AD =AB •BE ，③正确；△ABE 是等腰直角三角形，得到AB =AC AE ，从而有EC -1)AE ，变形得AE 1 )EH ，变形得2BE =2(3EH +，由22BE CE +=2(2)CD ，变形即可得到④正确；即可得出结论．详解：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB =∠AEB =∠CEB =90°．∵点F 是AB 的中点，∴FD =12AB ． ∵∠BAC =45°，∴∠ABE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =BE ． ∵点F 是AB 的中点，∴FE =12AB ，∴FD =FE ，①正确； ∵∠CBE =∠BAD ，∠CBE +∠C =90°，∠BAD +∠ABC =90°，∴∠ABC =∠C ，∴AB =AC ．∵AD ⊥BC ，∴BC =2CD ，∠BAD =∠CAD =∠CBE ．在△AEH 和△BEC 中，{AEH CEB AE BE EAH CBE ∠∠∠∠===，∴△AEH ≌△BEC （ASA ），∴AH =BC =2CD =2BD ，②正确；∵∠BAD =∠CBE ，∠ADB =∠CEB ，∴△ABD ～△BCE ，∴AB BC =AD BE，即BC •AD =AB •BE ．故③正确； ∵△ABE 是等腰直角三角形，∴AB =2AE ，∴AC =2AE ，∴EC =(2-1)AE ， ∴AE =21-EH =(21+ )EH ，222(21)AE EH =+=2(322)EH +，∴2BE =2(322)EH +，∴22BE CE +=2(422)EH +，∴2BC =2(422)EH +，∴2(2)CD =2(422)EH +，∴2CD 2=()22+EH 2，故④正确．故选D ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．4．B【解析】【分析】E （-4，2）以O 为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO 放大，则点E 的对应点E ′的坐标是E （-4，2）的坐标同时乘以2或-2．【详解】解：根据题意可知，点E 的对应点E ′的坐标是E （-4，2）的坐标同时乘以2或-2． 所以点E ′的坐标为（8，-4）或（-8，4）．故选B ．本题考查了位似变换的知识，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．5．D【解析】【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断．【详解】解：画出图形，如图所示：故选D．【点睛】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．6．B【解析】【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；位似图形一定有位似中心，②正确；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，③正确；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．7．A【解析】试题分析：观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．解：A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．故选A．点评：考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．8．D【解析】∵位似是相似的特殊形式，∴位似图形的对应边平行且对应顶点的连线交于一点．据此判断，只有D选项符合题意，9．C【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．【详解】以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（-4×12，2×12）或[-4×（-12），2×（-12）]，即（2，-1）或（-2，1），故选C．【点睛】平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．10．B【解析】【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】根据位似图形的定义，可得A，C，D是位似图形，A与C的位似中心是交点，D的为中心是圆心；B不是位似图形．故选B．【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．11．9【解析】根据正方形的面积求出边长是2，再根据三角形的面积求出三角形的高AP是1，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出.【详解】过点A作AQ BC⊥于点Q，交DE于P，4DEFMS=正方形，∴2DE=，1ADES=三角形，∴1AP=，又//DE BC，∴ADE ABC，∴2ABCADES AQS AP⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21291ABC ADES S+⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭.故答案为：9.【点睛】此题主要考查了相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知此知识是解题关键.12．3：1【解析】【分析】由位似的定义可得其位似比为3：1，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．由题意可知△ABC ∽△A′B′C′，∵AA′=2OA′，∴OA=3OA′， ∴3,1AC OA A C OA ==''' ∴△ABC 与△A′B′C′的周长比3,1AC A C ''== 故答案为：3：1．【点睛】考查位似图形的性质，掌握位似图形的周长比等于位似比是解题的关键.13．12． 【解析】【分析】依据OA 1=A 1A ，可得四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的位似比为12，再根据E ，F ，E 1，F 1分别是AD ，BC ，A 1D 1，B 1C 1的中点，即可得到11E F EF =12 ． 【详解】：∵OA 1=A 1A ， ∴112A O AO =，即四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的位似比为12， 又∵E ，F ，E 1，F 1分别是AD ，BC ，A 1D 1，B 1C 1的中点， ∴11E F EF =12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握：对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 14．(−2,0)或42,.33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知可知需分当位似中心在两个正方形同旁和位似中心在两个正方形之间进行讨论；两个图形位似时，位似中心就是CF 与x 轴的交点，设直线CF 解析式为y =kx +b ,将C (4,2),F (1,1)代入，得 421k b k b +=⎧⎨+=⎩ ,解得1323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即1233y x =+， 令y =0得x =−2，∴O ′坐标是(−2,0).当OC 是对应点时，BG 是对应点，则OC 和NG 的交点就是对称中心，设OC 的解析式是y =mx ，则4m =3，解得：34m =,则OC 的解析式是3.4y x = 设BG 的解析式是y =nx +d ，则140d n d =⎧⎨+=⎩， 解得：114d n =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 则直线BG 的解析式是114y x =-+，则34114y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：4323xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则交点是42,. 33⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：(−2,0)或42,. 33⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】考查位似变换，两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点．15．4 7【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE4 EA3=，OE4 OA7∴=，则FG OE4 BC OA7==，故答案为：47．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键. 16．4【解析】【分析】先在反比例函数y=1x找出一点（1，1），根据位似图形的性质找到对应点（2，2）即可求出k的值. 【详解】解：由题意可得：（1，1）在y=1x反比例函数的图象上，∵将反比例函数y=1x的图象以原点为位似中心，按相似比2：1放大得到的函数y=kx的图象，∴对应点为：（2，2），∴k=4．故答案为4【点睛】本题考查位似图形的性质，根据题意找到对应点是解题关键.17．（﹣2，4）【解析】根据题意，可由将△OAB放大为原来的2倍得到△OA1B1，可知位似图形的位似比为1：2，因此可知A1的坐标为（-1×2，2×2），即（﹣2，4）.故答案为（﹣2，4）.18．72°【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°∵△ABC∽△AB′C′∴∠B′=∠B=72°．故答案是：72°.19．(-4, -4)【解析】【分析】根据位似关系和对应点的坐标可知两个三角形的位似比，即可知道B′点的坐标.【详解】∵△ABC与△A′B′C'是位似图形，点A（1，0），A′（-2，0），∴△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2∵B（2，2），O是位似中心，∴B′点的坐标为（-4，-4），故答案为（-4，-4）【点睛】本题考查位似图形的位似比，图形的相似比等于位似比，熟练掌握相关知识是解题关键.20．12a-，()132a-+【解析】【分析】延长BC到B′，使CB′＝2BC，分别过B，B′作x轴的垂线，构造两个相似三角形，利用对应边比为2:1求解；延长CB到B′，使CB′＝2BC，分别过B，B′作x轴的垂线，构造两个相似三角形，利用对应边比为1：2求解.【详解】解：设点B的横坐标为x，当延长BC到B′，使CB′＝2BC时，（a＋1）：（﹣1－x）＝2：1，解得x＝1 (3) 2a﹣＋；当延长CB到B′，使CB′＝2BC时，（﹣1－x）：（﹣1－a）＝1:2，解得x＝12a－，∴点B的横坐标为12a－，1(3)2a﹣＋.故答案为12a－，1(3)2a﹣＋.【点睛】本题主要考查位似图形，画位似图形时，确定了位似中心和位似比可画出两种不同的图形；位似图形是相似图形，对应边的比等于位似比.21．.图中的位似三角形有△EBG与△EAH、△EBG与△FCG、△EBG与△FDH、△EAH 与△FCG、△FDH与△FCG、△EAH与△FDH【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AB∥CD，又有相似三角形的判定，即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴图中相似三角形有：△EBG与△EAH、△EBG与△FCG、△EBG与△FDH、△EAH与△FCG、△FDH与△FCG、△EAH与△FDH.【点睛】考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 22．(1)画图见解析；(2)B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）；(3)M的对应点M′的坐标为（﹣2a，﹣2b）．【解析】【分析】（1）延长BO到B′，使OB′=2OB，则B′就是B的对应点，同样可以作出C的对称点，则对应的三角形即可得到；（2）根据（1）的作图即可得到B′、C′的坐标．（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（a，b），写出M的对应点M′的坐标为（-2a，-2b）．【详解】(1)如图所示，△OB′C′是所求的三角形；(2)B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．(3)由图可得，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，∵M的坐标为（a，b），∴M的对应点M′的坐标为（﹣2a，﹣2b）．【点睛】本题考查的知识点是位似图形的性质，解题关键是得出对应点位置．23．（1）作图见解析；（2）画图见解析，A 2（﹣2，﹣6），B 2（﹣8，﹣4），C 2（﹣4，﹣2）．【解析】试题分析：（1）根据关于x 轴对称点的坐标的变化得出A ，B ，C 关于x 轴的对称点，即可得出答案；（2）根据关于原点对称点的坐标以及使2212AB A B =，得出对应点乘以-2即可得出答案． 解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求；∵=，A （1，3），B （4，2），C （2，1），∴A 2（﹣2，﹣6），B 2（﹣8，﹣4），C 2（﹣4，﹣2）．点睛：此题主要考查了位似图形的性质，关于x 轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 24．（1）t=3011（2）t=258（3）当t 为2s 或3s 时，△PBQ 的面积等于4.8cm 2 【解析】 试题分析：()1 //PQ AC ,则PBQ ABC ∽，对应边成比例BP BQ BA BC=，即可求出t 的值. ()2当QB QP =时，过点Q 作QD AB ⊥于D ,由90.BDQ C B B ∠=∠=︒∠=∠，可以推出BDQ BCA ∽，对应边成比例，则BD BQ BC BA=，即可求出t 的值. ()3过点P 作PE BC ⊥于E ，则//,PE AC 则BPE BAC ∽，可以用t 表示出PE ，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程即可.试题解析：（1）//PQ AC ,PBQ ABC ∴∽，∴BP BQ BA BC=， 即 102106t t -=， 解得 t=3011. （2）解法1：当QB QP =时，过点Q 作QD AB ⊥于D （如图4），则.BD DP =90.BDQ C B B ∠=∠=︒∠=∠，BDQ BCA ∴∽，∴BD BQ BC BA=， 即()11021062t t -⋅=， 解得 t=258. 解法2：当QB QP =时，过点Q 作QD AB ⊥于D （如图4），则.BD DP =∵ 在Rt ABC △中，cos B =35BC AB =， ∴ 在Rt BQD 中， cosB=35BD BQ =，即()1102325t t -=， 解得t=258.（3）在Rt ABC △中，22221068AC AB BC =-=-=.过点P 作PE BC ⊥于E ，则//,PE AC （如图4.2）.∵//PE AC .BPE BAC ∴∽，∴BP PE BA AC =，即 102108t PE -=， 解得()4 102.5PE t =- ∴1 · 4.82PBQ S BQ PE ==， 即()14··102 4.8.25t t -= 整理得:2560.t t -+= 解这个方程，得122 3.t t ==，05t ，<< ∴ 当t 为2s 或3s 时，PBQ △的面积等于4.8cm 2.25．（1）答案见解析（2）证明见解析（3）tan 2DF AE α= 【解析】分析：（1）按要求作图即可；（2）①延长AE ，交BC 于点H ，由等腰三角形三线合一的性质得出AH ⊥BC 且BH=HC ．然后利用平行线分线段成比例定理即可证明结论；②延长FE ，交AB 于点G ，利用等腰三角形的性质证得GE=EF ，再证△BEG ≌△DEF 即可得出DF 与AB 的位置关系；（3）利用锐角三角形即可得出答案.详解：（1）补全图1；（2）①延长AE，交BC于点H．∵AB=AC， AE平分∠BAC，∴AH⊥BC于H，BH=HC．∵CD⊥BC于点C，∴EH∥CD．∴BE=DE．②延长FE，交AB于点G．由AB=AC，得∠ABC=∠ACB．由EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．得AG=AF．由等腰三角形三线合一得GE=EF．由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF．可得∠ABE=∠FDE．从而可证得DF∥AB．（3）如图所示，由DF∥AB且GE=EF，BGE ∆≌DFE ∆,∴BG =DF ,由EF ∥BC ，BD 平分∠ABC ，可证BGE ∆是等腰三角形，∴BG =GF ,∵tan GE GAE AE ∠=， ∴2DF tan AE α=． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识.画出辅助线并综合运用所学知识是解题的关键.26．详见解析.【解析】【分析】根据以点O 为位似中心，将如图所示四边形放大为原来的2倍，则找到各点的对应点，顺次连接即可．【详解】如图所示.【点睛】本题考查画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．27．(1) E(3，2)，A(2，23)；（2）作图见解析；（3）3．【解析】【分析】（1）由平面直角坐标系与网格，得出E的坐标，由等边三角形ABE的边长为2，求出BE 边上的高，确定出A的纵坐标，而A的横坐标为2，即可求出A的坐标；（2）连接BA并延长，使BA1=3BA，连接BE并延长，使BE1=3BE，连接BD并延长，使BD1=3BD，连接BC并延长，使BC1=3BC，连接A1E1，E1D1，D1C1，C1B，五边形A1B1C1D1E1为所求作的图形；（3）由五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1相似，且相似比为1：3，得到面积之比为1：9，求出五边形ABCDE的面积，即可得出五边形A1B1C1D1E1的面积．【详解】解：(1)由图形可得E(3，2)，∵△ABE为边长为2的等边三角形，∴BE边长的高为3，∴A(2，2＋3)；(2)如图所示，五边形A1B1C1D1E1为所求的图形；(3)∵△ABE为边长是2的等边三角形，∴S△ABE 3223又矩形BCDE的面积为1×2＝2，∴五边形ABCDE的面积为23∵五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1相似，且相似比为1∶3，则五边形A1B1C1D1E1的面积为9(23)＝18＋3【点睛】此题考查了作图-位似变换，涉及的知识有：相似图形的性质，等边三角形的性质，以及坐标与图形性质，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．28．（1）见解析；（2）5π2；（3）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用扇形面积求法得出扫过的图形的面积；（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△A1B1C即为所求；（2）AC所扫过的图形的面积：S=()290π10360=5π2；（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．【点睛】本题考查了旋转变换以及位似变换和扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．。

1.4 图形的位似考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，面积是，则的面积为（）A. B. C. D.2.如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（）A.，B.，C.，D.，3.下列说法正确的是（）A.两个位似图形对应点连线有可能无交点B.两个位似图形对应点连线交点个数为或C.两个位似图形对应点连线只有一个交点D.两个位似图形对应点连线交点个数不少于个4.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点，，以原点为位似中心，与的相似比为，得到线段．正确的画法是（）A.B.C.D.5.下列实际生活事例，形成位似关系的是（）①放电影时，胶片和屏幕上的画面；②放映幻灯片时，幻灯片上的图片与屏幕上的图形；③照相时人物的影像与被缩小在底片上的影像．A.个B.个C.个D.个6.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点对应大鱼上的点（）A. B.C. D.27.已知与是关于点的位似图形，它们的对应点到点的距离分别为和，则与的面积比为（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（）A. B.C.或D.或9.如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（）A. B. C. D.10.把的每一个点横坐标都乘，得到，这一变换是（）A.位似变换B.旋转变换C.中心对称变换D.轴对称变换二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知：如图，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；的面积是________平方单位．12.如图，，，且，则与________是位似图形，位似比为________；与________是位似图形，位似比为________．13.如果两个位似图形的对应线段长分别为和，且两个图形的面积之差为，则较大的图形的面积为________．14.如图，，，，以点为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________．（请在直角坐标系中画）15.如图，五边形和五边形是位似图形，且，则等于________．16.如图，点、、在同一平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．点的坐标为________；在第一象限，画出以点为位似中心，以为位似比的位似，其中，点、的对称点分别为、；则点的坐标为________，点的坐标为________．417.如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做________图形，这个点叫做________，这时的相似比又称为________．18.已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．向下平移个单位长度得到的，点的坐标是________；以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________；（画出图形）的面积是________平方单位．19.如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，点，则点的坐标________．20.如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，已知，，．求证：四边形位似于四边形；若，，求．22.如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为，．在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为；分别写出、的对应点、的坐标．23.在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点为放映机的光源，是胶片上面的画面，为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是，放映的银幕规格是，光源与胶片的距离是，则银幕应距离光源多远时，放映的图象正好布满整个银幕？624.如图是几组三角形的组合图形，图①中，；图②中，；图③中，；图④中，．小说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是和．小说：图③、④是位似变换，其位似中心是点．请你观察一番，评判小，小谁对谁错．25.如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．求证：；若，，求的长．26.如图，正三角形的边长为．如图①，正方形的顶点、在边上，顶点在边上，在正三角形及其内部，以点为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；求中作出的正方形的边长；如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得、在边上，点、分别在边、上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理答案1.B2.A3.C4.D5.D6.B7.B8.D9.C10.D11.；）的面积是：．故答案为：．12.13.14.或或15.16.17.位似位似中心位似比18.所求图形如下图所示：即：为所求作的图形．点的坐标为：故答案为：的面积（平方单位）故答案为：平方单位19.20.21.证明：∵，，，8∴，又∵四边形与四边形对应顶点相交于一点，∴四边形位似于四边形；∵，∴，∴四边形与四边形的位似比为：，∵，∴．22.解：如图所示：；如图所示：，．23.解：图中是的位似图形，设银幕距离光源为时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比，解得．即银幕应距离光源为时，放映的图象正好布满整个银幕．24.解：根据位似图形的定义得出：小对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为、，③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．25.证明：∵四边形、是正方形，∴，，，∴，在和中，，∴；∵，∴，∵四边形是正方形，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴．26.解：如图①，正方形即为所求．设正方形的边长为，∵为正三角形，∴．∵，∴，∴，即，（也正确）如图②，连接、、，则．设正方形、正方形的边长分别为、，它们的面积和为，则，．∴．10∴，延长交于点，则．在中，．∵，即，化简得．∴①当时，即时，最小．∴；②当最大时，最大．即当最大且最小时，最大．∵，由知，．∴…．（也正确）综上所述，，．11。

图形的位似一、请你填一填（1）如果a∶b=3∶2，则（a+b）∶b=________.（2）如果一张地图的比例尺为1∶3000000，在地图上量得长春到大连的距离为25 cm，长春到大连的实际距离为________千米.（3）如果梯形的中位线长是12 cm，一条对角线与中位线所成两条线段的比是2∶1，则梯形两底的长分别为________.（4）如图4—9—1，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm， OB=15 cm，则火焰的长度为________.图4—9—1 图4—9—2（5）如图4—9—2，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为. 若五边形ABCDE的面积为17 cm2，周长为20 cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________，周长为________.二、认真选一选图4—9—3（1）如图4—9—3，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：①= ②= ③=，其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③（2）若===k，则k=（）A.0B.C.－1D.或－1（3）某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4—9—4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30 cm，AB=50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形彩条a1、a2、a3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（）A.24B.25C.26D.27三、举一反三（1）将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.（2）一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.一、（1）5∶2 （2）750 （3）8 cm、16 cm（4）8 cm （5）cm2 10 cm二、（1）B （2）D （3）B三、（1）1∶3 1∶3（2）位似中心取点不同，所得D.E.F各点坐标不同，即答案不惟一.。

图形的位似
1.已知，如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
2.下列说法中正确的是（）
3.小明在一块玻璃上画上了一幅画，然后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们认为玻璃上的画和墙上的画是位似图形.请你再举出一些生活中的位似图形来？并说明一对对应线段的位置关系.
4.将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
5.一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.
6.经过不同位似中心将同一图形进行放大和缩小，试问放大后的图形和缩小后的图形能否也是位似图形？谈谈你的看法.
参考答案
1、△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4
2、D
3、略
4、(1)1∶3 1∶3
5、位似中心取点不同，所得D.E.F各点坐标不同，即答案不惟一.
6、由放大或缩小猴图形中对应线段与原图形中对应线段互相平行，故而放大后的图形和缩小后的图形的对应线段也互相平行，因而它们也是位似图形.。