数学(冀教版)九年级上册同步练习：25.7 相似多边形和图形的位似

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25.7 相似多边形和图形的位似[第1课时相似多边形]知｜识｜目|标1．通过观察图形,了解相似多边形的性质，会利用相似多边形的性质求多边形的边与角．2．通过对相似多边形概念的理解，会判定两个多边形相似．目标一利用相似多边形的性质求多边形的边或角例1 教材例题针对训练在如图25－7－1所示的两个相似的四边形中，求未知数x，y的值和∠α的度数．图25－7－1例2 教材补充例题两个相似多边形的相似比为5∶3，其中较小多边形的周长为15，则较大多边形的周长为________．【归纳总结】相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．目标二利用相似多边形的定义判定两个多边形相似例3 教材补充例题如图25－7－2，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，A′，B′，C′，D′分别在OA，OB，OC，OD上，且错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，试判断菱形A′B′C′D′与菱形ABCD是否相似，并说明理由．图25－7－2【归纳总结】判定相似多边形的方法由定义可知,若两个多边形各角对应相等，各边对应成比例,则这两个多边形相似，两个条件缺一不可．知识点一相似图形________相同的图形叫做相似图形．知识点二相似多边形一般地，如果两个多边形的____________________________，那么这两个多边形就叫做相似多边形．相似多边形的对应边________，对应角________________．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．如图25－7－3,矩形草坪长20 m，宽10 m,沿草坪四周外围有1 m宽的环形小路．小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？图25－7－3教师详解详析备课资源详解详析【目标突破】例1解：∵这两个图形是相似图形，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

拓展训练2020年冀教版数学九年级上册25.7 相似多边形和图形的位似(1)基础闯关全练1．下列各组图形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个等腰三角形2．已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是( ) A. B. C. D.3．如图，如果五边形ABCDE∽五边形PQGMN且对应高之比为3:2，那么五边形ABCDE和五边形PQGMN的面积之比是( )A.2 : 3B.3 : 2C.6 : 4D.9 : 4能力提升全练1．复印纸的型号之间存在着这样一种关系：将其中某一型号的复印纸的型号有A₀、A₁、A₂、A₃、A₄等，它们有如下的关系：将上一个型号（如A₃）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号(A₄)的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长与宽的比为( )A．B．C．D．3：12.如图，一个矩形广场的长为60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？三年模拟全练一、选择题1．（2019河北保定定兴二中三校联考期中，14，★☆☆）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a，b应满足的条件是( )A. B.a=2b C. D.a=4b二、填空题2．（2019河北邢台临城镇中学期中，18，★★☆）两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm和4.5 cm，如果它们的面积之和为130 cm²，那么较小的多边形的面积是_________cm²．三、解答题3．（2017河南模拟，18，★★☆）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC 于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF.(1)求证：BF平分∠ABC;(2)若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC的长．五年中考全练选择题1．（2018重庆中考B卷，5，★☆☆）制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是( )A.360元B.720元C.1 080元D.2 160元2.（2014四川凉山州中考，7，★☆☆）若两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为( )A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：核心素养全练（2019河北唐山滦州期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将相邻两边长分别为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对25.7相似多边形和图形的位似(1)基础闯关全练1．C A中，两个矩形的边的比不一定相等，故不一定相似；B中，两个菱形的角不一定对应相等，故不一定相似；C中，两个正方形的边的比对应相等，角对应相等，故两个正方形一定相似；D中，两个等腰三角形的边的比不一定对应相等，角也不一定对应相等，故不一定相似．故选C．2．A ，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，故选A．3．D ∵五边形ABCDE∽五边形PQGMN且对应高之比为3：2．∴相似比为3：2．∴五边形ABCDE 和五边形PQGMN 的面积比是9:4，故选D ．能力提升全练1．A 设这些型号的复印纸的长、宽分别为b 、a ，∵得到的矩形都和原来的矩形相似． ∴ba a b2，∴b ²=2a ²,∴， ∴这些型号的复印纸的长与宽的比为：1．故选A ．2．解析 ∵小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，∴，即，解得x=1．答：当x 为1时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．三年模拟全练一、选择题1.B 对折两次后的小长方形的长为b ，宽为，∵小长方形与原长方形相似．∴∴a=2b.故选B ．二、填空题2．答案 40解析 两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm 和4.5 cm ．则相似比是3：4.5=2：3．面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9．因而可以设较小的多边形的面积是4x cm ²．则较大的多边形的面积是9x cm ²,根据面积的和是130 cm ²．得到4x+9x= 130,解得x= 10,则较小的多边形的面积是40 cm ²．故答案为40．三、解答题3．解析 (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∴∠EAF=∠AEB,∵EF//AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AE 平分∠BAD ，∴∠FAE= ∠BAE,∴∠BAE= ∠AEB,∴AB=EB,∴四边形ABEF 是菱形，∴BF 平分∠ABC ．(2)∵四边形ABEF 为菱形，∴BE=AB=6．∵四边形ABCD ∽四边形CEFD ，∴，即，解得（负值舍去），∴BC=3+35．五年中考全练选择题1.C3×2=6 m²,∴每平方米长方形广告牌的成本是120÷6= 20元，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则长方形广告牌的面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54 m²，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1 080元，故选C．2.D设相似比为a：b，则，则a：b=1：，故选D．核心素养全练A如图1，甲：根据题意得AB//A'B'，AC//A'C'，BC//B'C'，∴∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A’B’C’．∴甲说法正确;如图2，乙：∵根据题意得AB=CD=3,AD=BC=5,则A’B’=C'D’=3+2=5，A'D’=B’C’=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似，∴乙说法正确，故选A．。

25.7相似多边形和图形的位似基础巩固JICHU GONGGU1．下列说法中，正确的是()A．两个菱形一定相似B．两个正五边形一定相似C．两个梯形一定相似D．两个等腰梯形一定相似2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是()A．87°B．60°C．75°D．120°3．若五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且AB＝20cm，A′B′＝16cm，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为__________．4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DF的长为__________．5．已知两个相似六边形一组对应边的比是3∶5，如果它们的面积之差为80cm2，则较大的六边形的面积是__________．6．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是__________．7．如图，在△ABC内任意取一点O，连接OA，OB，OC，在OA，OB，OC上分别取点A′，B′，C′，使得A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，则△A′B′C′与△ABC是位似图形吗？为什么？(第6题图)(第7题图)能力提升NENGLI TISHENG8．我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．(1)选择：如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P′，Q′，R′分别是OP ，OQ ，OR 的中点，则△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形．此时△P′Q′R′与△PQR 的位似比、位似中心分别为()A ．2，点PB ．12，点PC ．2，点OD ．12，点O(2)如图，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；②连接OE 并延长，交A B 于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA 于点C′，作E′D′∥ED，交OB 于点D′； ③连接C′D′，则△C ′D′E′是△AOB 的内接等边三角形． 求证：△C′D′E′是等边三角形．9．如图：已知A(0，－2)，B(－2，1)，C(3，2)．(1)求线段AB ，BC ，AC 的长．(2)把A ，B ，C 三点的横坐标，纵坐标都乘以2，得到A′，B′，C′的坐标，求A′B′，B′C′，A′C′的长．(3)△ABC 与△A′B′C′的形状相同吗？(4)△ABC 与△A′B′C′是位似图形吗？若是，请指出位似中心和位似比．参考答案1．B 点拨：对应角相等，对应边成比例的两个多边形是相似多边形，对于菱形，各边对应成比例，但各角不一定对应相等，所以两个菱形不一定相似；对于两个梯形或两个等腰梯形，它们的各角不一定相等，各边也不一定成比例，所以选项C ，D 错误；只有正五边形同时满足这两个条件．2．A 点拨：相似多边形的对应角相等．3．5∶4点拨：相似多边形的周长比就是对应边的比．4．6点拨：位似图形的对应线段的比等于位似比，AB DF ＝23，DF ＝6.5．125cm 2点拨：因为两个相似六边形的相似比是3∶5，所以其面积比为9∶25，设较大的六边形面积为x cm 2，较小的六边形面积为(x －80)cm 2，列比例式解答即可．6．(2，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23点拨：(1)当两个位似图形在位似中心O′同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点，设直线CF 解析式为y ＝kx ＋b ，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，－k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝23，即y ＝－13x ＋23.令y ＝0，得x ＝2，∴O′坐标是(2，0)．②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC 解析式为y ＝－12x ，直线DE 解析式为y ＝14x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y ＝14x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝23，即O′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23.7．分析：△A′B′C′与△ABC 是位似图形要满足两个条件：对应顶点所在直线交于一点，两三角形相似． 解：∵A′B′∥AB，∴∠A′B′O＝∠ABO. ∵B′C′∥BC，∴∠OB′C′＝∠OBC. ∴∠A′B′C′＝∠ABC. 同理，∠A′C′B′＝∠ACB， ∴△A′B′C′∽△ABC.又∵直线AA′，BB′，CC′都经过点O ， ∴△A′B′C′与△ABC 是位似图形．8．分析：(1)根据中位线定理，可知△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2，所以位似比是1∶2，位似中心为点O.∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2， ∴位似比是1∶2，位似中心为点O.故选D.。

冀教新版九年级数学上册《25.7 相似多边形和图形的位似（一）》同步练习卷一、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．任意两个等腰三角形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个正五边形都相似D．对应角相等的两个多边形相似2．（3分）经过矩形一组对边中点的直线把矩形分成相同的两个矩形，这两个矩形与原矩形的关系（）A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．以上说法都不对二、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）3．（3分）如图，各组图形中，相似的是．（填序号）4．（3分）如图，两个菱形相似吗？说明理由．三、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）5．（3分）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为（）A．46.8cm2B．42 cm2C．52 cm2D．54 cm26．（3分）一个多边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边是（）A．12B．18C．24D．307．（3分）如图，矩形ABCD的面积是72，AE＝DC，EF＝AD，那么矩形EBGF的面积是（）A．24B．18C．12D．98．（3分）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL四、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）9．（3分）两个相似菱形的相似比为2：3，周长之差为13cm，则这两个菱形的周长分别为．10．（3分）如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度x．五、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）11．（3分）有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（）A．100m2B．270m2C．2 700m2D．90 000m212．（3分）如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（）A．2：1B．3：1C．：1D．4：1六、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）13．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝27cm，E、F分别在两腰AB、CD上，且EF∥AD，如果梯形AEFD∽梯形EBCF，则EF＝．七、解答题（共4小题，满分45分）14．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE：EB．15．（10分）如图，矩形草坪的长是30m，宽是10m，现要修建一条平行于草坪边缘的矩形小路，使得小路的形状与原来草坪的形状相似，求小路的宽．16．（15分）如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF∥BC，FG∥CD，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论．17．（10分）把一个长为2的矩形剪去一个正方形，所剩矩形与原矩形相似，求原矩形的宽．冀教新版九年级数学上册《25.7 相似多边形和图形的位似（一）》同步练习卷参考答案一、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）1．C；2．C；二、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）3．②；4．；三、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）5．D；6．B；7．B；8．B；四、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）9．26cm和39cm；10．；五、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）11．C；12．C；六、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）13．18cm；七、解答题（共4小题，满分45分）14．；15．；16．；17．；。

《25。

7 相似多边形和图形的位似(二）》一、选择题1．下列命题中，正确的是（）A．全等的图形一定是位似图形B．相似的图形一定是位似图形C．位似图形一定是全等图形D．位似图形一定是相似图形2．下列各组图形中，不是位似图形的是（）A．B．C．D．3．位似图形的位似中心可以在（）A．原图形外B．原图形内C．原图形的边上D．以上三种都可以4．若两个图形中,对应点到位似中心的线段比为2：3，则这两个图形的位似比为（) A．2：3 B．4：9 C．:D．1：25．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形,且AC：AF=2：3,则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2:3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4:96．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上)，它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3) B．（﹣3，﹣3）C．(﹣4，﹣4）D．(﹣3，﹣4）7．如图，△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．8．如图，将平面直角坐标系中图案的六个点的纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍，连接各点所得图案与原图案相比（）A．相同B．横向缩短一半C．横向拉长2倍D．纵向拉长2倍二、填空题9．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′,已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是______．10．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1)，点C的坐标为（﹣4,2），则这两个正方形位似中心的坐标是______．三、解答题11．（8分）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O，确定点O的位置，如果OC=3。

第二十五章图形的相似25. 7 相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形复习回顾1．下列说法正确的是( )A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．锐角三角形都相似D．等腰直角三角形都相似2．在比例尺是1∶1 000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是( )A．200平方米B．500平方米C．2 000平方米D．20 000平方米3．相似三角形的对应角________，对应边的比________，对应边的比等于________．预习效果监测1．若两个图形外形相似，则它们的形状________，而与它们的____________无关．2．相似多边形的特征：相似多边形的________相等，对应边的比________，反之，如果两个多边形的________相等，__________的比相等，那么这两个多边形相似．3．[2023保定莲池区期中]如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是( )A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶14．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列角的度数正确的是( ) A．∠D＝81°B．∠F＝83°C．∠G＝78°D．∠H＝76°(第4题) (第5题) 5．如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3∶4，CD ＝2.4 cm，则C′D′＝________cm.课堂导学知识点1 相似图形下列图形中，不是相似图形的有( )A．0组B．1组C．2组D．3组变式1下列给出的图形中，不是相似图形的是( )A．所有的圆B．复印出来的两个“谁”字C．一副乒乓球拍D．仅宽度不同的长方形木板知识点2 相似多边形如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.(1)α＝________，它们的相似比是________；(2)求x，y的值．变式2如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求α，β的大小和EH的长度．第2课时图形的位似复习回顾1．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝23，若EC＝0.9，则AE长为( )A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.5(第1题) (第2题)2．如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3 cm，则CD的长是( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．3预习效果监测1．位似图形的定义：两个多边形不仅________，而且经过每对对应顶点的直线____________，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________．2．位似图形的特点：(1)位似图形是________图形，各对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)每组对应点所在的直线相交于________；(3)对应边________(或在同一直线上)．3．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC各边扩大为原来2倍所得到的图形，这样的图形可以作________个．4．[2023衡水二模如图，已知△ABC与△DEF位似，且相似比为k.(1)k＝________；(2)位似中心的坐标为________．课堂导学知识点1 位似图形如图所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的12，任取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的有( )如图所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的12，任取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的有( )①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.A．1个B．2个 C．3个 D．4个变式1如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点________．知识点2 位似作图如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)5变式2如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2)．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．25. 7 相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形复习回顾1．D 2.C 3.相等；相等；相似比预习效果监测1．相同；位置及大小 2.对应角；相等；对应角；对应边3．C 4.D 5.3.2课堂导学例1 C 变式1.D例2 解：(1)83°；3∶2(2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴x8＝y11＝96，解得x＝12，y＝332.变式2.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，∴β＝360°－83°－78°－118°＝81°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴EH∶AD＝EF∶AB，∴x∶21＝24∶18，解得x＝28，∴EH＝28 cm.第2课时图形的位似复习回顾1．A 2.D3．解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO.∴OAOD＝OBOC.∴69＝10－OCOC.解得OC＝6.∵AD⊥BC，∴OC2＋OD2＝CD2.∴CD＝62＋92＝3 13.预习效果监测1．相似；相交于一点；位似中心2．(1)相似；相似比(2)位似中心(3)互相平行3．2 4.(1)12(2)(3，6)课堂导学例1 D 变式1.P例2 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)由图易知AA′＝CC′＝2.在Rt△OA′C′中，OA′＝OC′＝2，易得A′C′＝2 2；同理可得AC＝4 2.7∴四边形AA′C′C的周长＝4＋6 2.变式2.解：(1)如图，△A1B1C1即为所作；(2)如图，△A2B2C2即为所作，点B2的坐标为(－4，－6)．。

25.7 第1课时相似多边形一、选择题1．下列说法正确的是( )A．对应边成比例的多边形相似B．对应角相等的多边形相似C．边数相等且边长不等的正多边形相似D．所有的矩形都相似2．图26－K－1中有三个矩形，其中相似的是( )图26－K－1A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．没有相似的矩形3．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边长为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对4．一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是( )A.5－12B.32C.3－52D.5＋12二、填空题5．若五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且AB＝25 cm，A′B′＝20 cm，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为________．6．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A′∶∠B′∶∠C′∶∠D′＝4∶1∶2∶3，则四边形ABCD各角的度数为__________________．7．已知六边形ABCDEF的最长边与最短边的比为3∶2，与它相似的六边形A′B′C′D′E′F′的最长边为15，则六边形A′B′C′D′E′F′的最短边长为________.8．已知一个五边形的各边长依次为1，3，5，7，9，与其相似的另一个五边形的周长为75，则另一个五边形的最大边的长为________.三、解答题9．如图26－K－2，E是菱形ABCD对角线CA延长线上的任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝3，求GD的长.图26－K－210【探究题】把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为22、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是________．1．C 2.B 3． A4．D [解析] 设矩形的长是a ，宽是b ， 则DE ＝CF ＝a －b. ∵矩形ABCD∽矩形FCDE ， ∴AD FE ＝AB FC ， 即a b ＝b a －b， 整理，得a 2－ab －b 2＝0，两边同除以b 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－ab－1＝0，解得a b ＝5＋12或1－52(不合题意，舍去)．故选D.5．45 [解析] ∵A′B′AB ＝2025＝45，且五边形A ′B ′C ′D ′E ′∽五边形ABCDE ，∴五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE 的相似比为45.6．∠A ＝144°，∠B ＝36°，∠C ＝72°，∠D ＝108° [解析] 因为∠A′∶∠B′∶∠C′∶∠D′＝4∶1∶2∶3，四边形的内角和为360°，所以∠A′＝410×360°＝144°，同理求得∠B′＝36°，∠C ′＝72°，∠D ′＝108°.因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，所以∠A ＝∠A′＝144°，∠B ＝∠B′＝36°，∠C ＝∠C ′＝72°，∠D ＝∠D ′＝108°.7．108．27 [解析] ∵以1，3，5，7，9为边长的五边形的周长为1＋3＋5＋7＋9＝25， ∴这两个五边形的相似比为25∶75＝1∶3， ∴另一个五边形的最大边长为 9×3＝27.9． 解：(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD ， ∴∠EAG ＝∠BAD，∴∠EAG ＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB， 即∠EAB＝∠GAD. ∵AE ＝AG ，AB ＝AD ， ∴△AEB ≌△AGD ，∴EB ＝GD. (2)连接BD 交AC 于点P ，则BP⊥AC. ∵∠DAB ＝60°，∴∠PAB ＝30°， ∴BP ＝12AB ＝1，AP ＝AB 2－BP 2＝ 3.∵AE ＝AG ＝3，∴EP ＝AE ＋AP ＝23， ∴EB ＝EP 2＋BP 2＝12＋1＝13， ∴GD ＝EB ＝13. 10 42＋154。

[第2课时位似图形]知|识|目|标1．在学习位似图形概念的基础上，经历观察和思考，能辨别位似图形并能确定位似中心．2．通过对位似图形概念的理解，掌握位似图形的性质．3．通过自主探究，熟悉画位似图形的步骤，能对图形进行位似变换．目标一能确定位似中心例1 教材补充例题如图25－7－4，在边长为1的小正方形图25－7－4组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( )A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)【归纳总结】根据位似图形的定义，可知对应点的连线交于一点，交点就是位似中心，即位似中心一定在对应点的连线上．目标二掌握位似图形的性质例2如图25－7－5，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE等于( )图25－7－5A．2 B．3 C．4.5 D．6【归纳总结】位似图形的性质(1)对应顶点的连线经过位似中心；(2)位似图形的对应边平行或在一条直线上；(3)对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比；(4)位似图形的周长比等于位似比，面积比等位似比的平方．目标三会画位似图形例3 教材补充例题如图25－7－6，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2.图25－7－6【归纳总结】画位似图形时，如果没有说明在位似中心的同侧还是异侧，那么就要作出两个图形，但有的时候只需作出一种，比如本题说明所作的图形在第三象限，所以只有一种情况．知识点一位似图形的有关概念两个相似多边形，________________________________，对应边互相平行(或在同一条直线上)．我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称________．知识点二画位似图形步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部或图形的边上)；(2)连接图形各顶点与位似中心；(3)在位似中心与各顶点所连的线段(或延长线)上取点，使其到位似中心的距离与已知多边形的顶点到位似中心的距离之比等于位似比；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求作的图形．已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)(－1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B′，C′，则△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形．你认为上述说法正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的结论．教师详解详析详解详析【目标突破】例1 C [解析] 如图所示，点P即为所求，故点P的坐标为(－3，2)．例2 C [解析] ∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点A 的坐标为(1，0)，点D的坐标为(3，0)，∴AO＝1，DO＝3，∴AO DO ＝AB DE ＝13. ∵AB ＝1.5，∴DE ＝4.5.例3 解：(1)△A 1B 1C 1如图所示．(2)△A 2B 2C 2如图所示．【总结反思】[小结] 知识点一 经过每对对应顶点的直线相交于一点 位似比[反思] 解：不正确．∵△ABC 三个顶点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，(－1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B ′，C ′，∴点A′，B ′，C ′的坐标分别为(2，4)，(－4，6)，(－2，0)，∴直线AA′，BB ′，CC ′的函数表达式分别为y＝2x ，y ＝－32x ，y ＝0， ∴直线AA′，BB ′，CC ′交于原点，∴△A ′B ′C ′与△ABC 是位似图形，位似中心是(0，0)．。

25.7 相似多边形和图形的位似一、选择题1.（山东省聊城，11，3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（）A.BC=2DEB. △ADE∽△ABC C. D.第1题图第2题图第3题图2.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．3.（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC与△DG的面积之比为（）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：95.（2012贵州铜仁，8，4分）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B. BC=2HI C. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJK6.（2012陕西5，3分）如图，在是两条中线，则（）A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶47.（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A．(，0) B．(，) C．(，) D．(2，2)第5题图第6题图第7题图8.(2012山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，ACABAEAD=ADEABCSS∆∆=32363123183243B'B'BEADABC,中，∆=∆∆ABCEDCSS:22232322连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则的值是（）A. B. C. D.9.（2012贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B． 10 C．12 D．13二、填空题1.（2012·湖南省张家界市·10题·3分）已知与相似且面积比为4∶25，则与的相似比为．2.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似(2)基础闯关全练1.在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F( -2，-2)，以原点O 为位似中心把△OEF 缩小得到△OE ’F ’，使OE ’：OE=1：2，则点E 的对应点E ’的坐标是 ( )A.（-2.1） B ．（-8，4）C.（ -8，4）或（8，-4） D ．（-2，1）或（2，-1）2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为31，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为 ( )A.（3，2） B ．(3，1) C ．(2，2) D ．(4，2)3.如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．△AOB 与△A'OB ’是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3:2，点A ，B 都在格点上，则点B ’的坐标是_____.4．如图所示的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A'B'C ’是以O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O;(2)直接写出△ABC 与△A ’B ’C ’的位似比；(3)以位似中心O 为坐标原点，格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A'B'C ’关于点O 对称的△A ’’B ’’C ’’，并直接写出△A ’’B ’’C ’’各顶点的坐标.能力提升全练1．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大后得到△DEF ，已知△ABC 与△DEF 的面积比为1：9，则OC ：CF 的值为 ( )A ．1：2B ．1：3C ．1：8D ．1：92．如图，△A'B'C'是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ’B ’C ’的面积与△ABC 的面积比是4:9，则OB ’：OB 为 ( )A ．2：3B ．3：2C ．4：5D ．4：93．如图，矩形EFGO 的两边在坐标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD ，且点B ，F 的坐标分别为（-4，4），(2，1)，则位似中心的坐标为 ( )A.(0，3)B.(0，2.5)C.(0，2)D.(0，1.5)4.如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，B 点的坐标为（-1，-1）．(1)把△ABC 绕点C 按顺时针旋转90°后得到△A ₁B ₁C ₁，请画出这个三角形并写出点B ₁的坐标；(2)以点A 为位似中心放大△ABC ，得到△A ₂B ₂C ₂，使放大前后的面积之比为1：4，且B ₂在AB 的延长线上，请在网格内画出△A ₂B ₂C ₂.三年模拟全练一、选择题1．（2018河北石家庄长安一模．13，★★☆）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB 的位似比为k 的位似△CDE ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( )A.（0，0），2B.212,2），（ C.（2，2），2 D.211,1），（ 二、填空题2．（2019湖南张家界永定期中．12．★★女）如图，四边形ABCD 与四边形A ₁B ₁C ₁D ₁是以O为位似中心的位似图形，满足OA ₁=A ₁A ，E ，F ，E ₁，F ₁分别是AD ，BC ，A ₁D ₁，B ₁C ₁的中点，则=EF F E 11__________.五年中考全练一、选择题1．（2018山东潍坊中考，8，★☆☆）在平面直角坐标系中，点P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为( )A ．（2m ，2n ）B ．( 2m ，2n)或（-2m ，-2n ）C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛n 21,m 21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛n 21m,21或⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 21,m 21 二、填空题2．（2018山东菏泽中考，13，★☆☆）如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B 的坐标是(6，0)，则点C 的坐标是______．3．（2017甘肃兰州中考，17，★☆☆）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是点O ，53OA OE =，则=BC FG _____.三、解答题4.（2014辽宁营口中考，18，★★★）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，1），B(-1，4)，C （-3，2）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ₁B ₁C ₁，并直接写出C ₁点坐标；（2）以原点O 为位似中心，位似比为1：2，在y 轴的左侧画出△ABC 放大后的图形△A ₂B ₂C ₂，并直接写出C ₂点坐标；（3）如果点D(a ，b)在线段AB 上，请直接写出经过(2)的变化后点D 的对应点D ’的坐标， 核心素养全练1．如图，正方形ABCD 的两边BC 、AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴上，正方形A'B ’C'D ’与正方形ABCD 是以AC 的中点O ’为位似中心的位似图形，已知23AC =，若点A ’的坐标为(1，2)，则正方形A ’B ’C'D'与正方形ABCD 的相似比是 ( )A ．61B ．31C ．21D ．322．如图，正方形ABCD 与正方形EFGH 是位似图形，已知A(0，5)，D(0，3)，E(0，1)，H(0，4)，则位似中心的坐标是____．25.7 相似多边形和图形的位似(2)基础闯关全练1.D ∵点E （-4，2），以原点O 为位似中心把△OEF 缩小得到△OE ’F ’，使OE ’：OE=1：2， ∴点E 的对应点E ’的坐标是或，即(-2，1)或(2，-1)，故选D ．2.A 因为正方形BEFG 的边长为6，正方形ABCD 与正方形BEFG 的相似比为31，所以正方形ABCD 的边长为2，设OA=x ，易知△OBC ∽△OEF ，所以31EF BC OE OB ==，所以3182x =++x ，解得x=1，所以点C 的坐标为(3，2)，故选A ．3．答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-342， 解析 由题意，知将点B 的横、纵坐标分别乘32-，得点B ’的坐标，由B 的坐标为（3，-2），得B ’的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-342，．4．解析 (1)如图，点O 即为所求．(2)△ABC 与△A ’B'C ’的位似比等于2:1．(3)如图，△A ’’B ’’C ’’即为所求．A ’’(6，0)，B ’’（3，-2），C ’’（4，-4）．能力提升全练1．A ∵△ABC 与△DEF 位似， ∴， ∴，∴，故选A 。