北京理工大学2022-2022学年第二学期数学分析B期末试题(A卷)答案

(工科)数学分析B 期末试题(A 卷)一. 解以下各题〔每题6分〕1. .设)ln(),,(22z y x z y x u y ++=, 求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,及全微分)2,1,(e du . 2. 求曲线32,,t z t y t x =-==的与平面0193=-++z y x 平行的切线方程.3. 将⎰⎰+=x x dy yx dx I 222101化为极坐标系下的累次积分, 并计算I 的值. 4. 判断级数∑∞=12tan 1n n n 和∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的敛散性.二. 解以下各题〔每题7分〕1. 设函数)(u f 具有二阶连续导数, 且)sin (y e f z x =满足方程 z e yz x z x 22222=∂∂+∂∂, 求)(u f 的表达式. 2.计算第一类曲面积分⎰⎰∑=zdS I , 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的局部.3. 设)(x S 函数⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x f 002)(2的以π2为周期的傅里叶级数展开式的和函数, 求)3(),2(),6(),6(ππS S S S -的值.4. 计算曲线积分⎰-+=Ldz z xdy dx y I 222, 其中L 是平面2=+z x 与柱面122=+y x 的交线, 假设从z 轴正向往负向看去, L 取逆时针方向.三. (8分〕把函数)3(1)(-=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域. 四. 〔8分〕设V 是由曲面z z y x 2222=++围成的立体, 其上任一点处的密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为)k , (1)求V 的质量; (2) 求V 的质心坐标.五.〔8分〕证明曲面m xyz =0(≠m 为常数)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之积为常数.六.〔8分〕求幂级数∑∞=---121)12()1(n n n x n n 的收敛区间及和函数. 七. (8分)计算曲面积分,)]([])([333⎰⎰∑-+++=dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I 其中函数f 有连续的导函数, ∑为上半球面221y x z --=的上侧.八. (8分) 设函数)(y f 在+∞<<∞-y 内有连续的导函数, 且y ∀, 0)(≥y f ,1)1(=f , 对右半平面}0,),{(>+∞<<∞-x y y x 内任意一条封闭曲线Γ, 都有0)(2=+-⎰Γy f x xdy ydx , 求)(y f 的表达式.。

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}33,3,0,1,2A x x B =-<<=-，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}3,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【分析】直接根据交集的定义计算即可.【详解】由题意，{}{}33,3,0,1,2A x x B =-<<=-，则{0,1,2}A B ⋂=.故选：B2．已知命题:3,21p x x ∃≤-≤，则p ⌝为（）A ．3,21x x ∃≤->B ．3,21x x ∃>-≤C ．3,21x x ∀≤->D ．3,21x x ∀>->【答案】C【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】p ⌝为3,21x x ∀≤->,故选：C3．已知{}n a 为等比数列，公比23150,12,81q a a a a >+=⋅=，则5a =（）A ．81B ．27C ．32D ．16【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.【详解】根据1581⋅=a a 可得()2111428181a q a a q ⋅=⇒=，所以39a =或39a =-，若39a =-，则32321221,0a a a q a +===<-不符合要求，若39a =，则3232123,30a a a q a +=-===>符合要求，故25381a a q ==，故选：A4．下列四个函数中，在区间[]0,1上的平均变化率最大的为（）A ．y x =B ．e x y =C ．sin y x =D ．11y x =+【答案】B【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.【详解】对于A ，y x =在[]0,1上的平均变化率为10110-=-，对于B ，e x y =在[]0,1上的平均变化率为e 1e 110-=--，对于C,sin y x =在[]0,1上的平均变化率为sin10sin110-=-，对于D ，11y x =+在[]0,1上的平均变化率为1112102-=--，由于1e 11sin12->>>-，故e x y =在[]0,1上的平均变化率最大，故选：B5．已知a b <，则（）A ．22a b <B ．e e a b --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b<【答案】D【分析】根据反例可判断AC ，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，但不能得到22a b <，故A 错误，对于B ，由于a b <，所以a b ->-，又e x y =为单调递增函数，所以e e a b -->，故B 错误，对于C ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，()()ln 1ln 2ln 1ln10a b +=>+==，故C 错误，对于D ，若0a b <<，则22,a a a b b b =-=-，函数2y x =-在(),0∞-上单调递增，所以22a a a b b b =-<=-，当0a b ≤<，则22,a a a b b b ==，函数2y x =在[)0,∞+上单调递增，所以22a a ab b b =<=，当0a b <≤，则22a a ab b b =-<=，综上可知D 正确，故选：D6．已知函数()2sin f x x x =⋅，则π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．πC ．2π4D ．2π4-【答案】B【分析】由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.【详解】()22sin cos f x x x x x '=⋅+，所以ππ2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选：B7．从,,,A B C D 这4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（）A ．24B ．18C ．6D ．4【答案】B【分析】按照A 读物是否被选出来进行分类讨论即可.【详解】若A 读物没被选出，则选出的,,B C D 读物直接全排列分给3人，有33A 6=种方法；若A 读物被选出，然后选其他的读物，有23C 种，甲有2种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有22A 种方法，共22322C A 12=种.故一共有18种.故选：B8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据等差数列项的符号特点和前n 项和最值的关系进行分析.【详解】若0d <，当10a ≤时，则等差数列从第二项开始都是负数，显然1S 取到最大值，当10a >，则等差数列的项必然先正后负，不妨设10,0m m a a +≥<，则m S 取到最大值，故0d <可以推出n S 有最大值；若n S 有最大值，当0d =时，1n S na =，若10a <，则1S 取到最大值,充分性不成立.于是“n S 有最大值”是“0d <”的必要不充分条件.故选：B9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（）A ．14B ．23C ．37D ．415【答案】C【分析】根据组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从8名候选人中选4名同学，共有48C 70=种选择，甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的个数有2235C C 30=，所以概率为303707=，故选：C10．已知函数()323f x x x bx c =+++．若函数()()e xg x f x -=有三个极值点,1,m n ，且1m n <<，则mn的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-【答案】D【分析】根据极值点的条件，先可推出,b c 的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出b 的范围，最后利用韦达定理求解.【详解】()()32ee (3)xx g x f x x x bx c --==+++，则3()e (6)x g x x b x c b -'⎡⎤=---+-⎣⎦，由题意(1)0g '=，得到5c =，从而3()e(6)5xg x x b x b -'⎡⎤=---+-⎣⎦，而332(6)5(5)(1)(1)(1)(5)(1)(5)(1)x b x b x x b x x x x b x x x b x --+-=----=+----=++--，故2()e (1)(5)x g x x x x b -'=--++-，令2()5h x x x b =++-，由2()0(1)(5)0(1)()g x x x x b x h x '=⇔-++-==-，于是()0h x =有两个根,m n ，满足1m n <<，注意到二次函数()h x 开口向上，对称轴为112x =-<，故Δ2140(1)30b h b =->⎧⎨=-<⎩，解得3b <，于是()0h x =有两个根,m n ，满足1m n <<，根据韦达定理，52mn b =-<-.故选：D二、填空题11．在4(13)x +的展开式中，2x 的系数为．（用数字作答）【答案】54【分析】利用二项展开式的通项求解.【详解】4(13)x +展开式的通项为：14C (3)rrr T x +=，0,1,2,3,4r =，由题意，取2r =，22234C (3)54T x x ==.故答案为：5412．不等式111xx-<+的解集是．【答案】{1x x <-或}0x >.【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.【详解】111xx -<+等价于1101x x --<+，即201x x-<+，等价于()10x x +>，解得：1x <-或0x >.即不等式111xx-<+的解集是{1x x <-或}0x >.故答案为：{1x x <-或}0x >.13．已知函数()2e 1xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的取值范围是．【答案】2a e ≥-【分析】将单调性转化为e 2xa x-≤在()0,∞+上恒成立，构造函数()e ,x g x x =利用导数求解最值即可求解.【详解】由题意可知()e 20xf x ax '=+≥在()0,∞+上恒成立，所以e 2x a x-≤在()0,∞+上恒成立，记()()()221ee e e ,xx x x x x g x g x x x x --'===，当()()1,0,x g x g x '>>单调递增，当()()10,0,x g x g x '>><单调递减，故当()1,x g x =取极小值也是最小值，且()1e g =，故()min 2a g x -≤，即2e a -≤，所以2a e≥-，故答案为：2a e ≥-14．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为()2x x ≥万条时，推荐系统的准确率约为1x p x =+，平台软件收入为40000p 元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．【答案】19【分析】由()40000100,21xy x x x =-≥+结合导数得出答案.【详解】设收益为y 元，则()40000100,21xy x x x =-≥+，()()()210019211x x y x --+'=+.当0'>y 时，219x <<；当0'<y 时，19x >.即函数()40000100,21xy x x x =-≥+在()2,19上单调递增，在()19,+∞上单调递减.即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益．故答案为：1915．已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是1,n S a a =，且()11,2,n n n S a a n +==⋅⋅⋅．给出下列四个结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*1,n n n a a +∀∈>N ，则a 的取值范围是()0,1；④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a --<+．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】根据,n n S a 的递推关系可得21n n a a +-=，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得212(1,)n n a n n a a -=+-=，即可结合选项求解.【详解】由()11,2,n n n S a a n +==⋅⋅⋅得121n n n S a a +++=，相减可得()1211112n n n n n n n n n n S a a S a a a a a a +++++++--=⇒=-，由于{}n a 各项均不为零，所以21n n a a +-=，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，对于①，121121a a S a a ==⇒=，故正确；对于②，由于1a a =，21a =，无法确定21,a a 的大小关系，所以无法确定{}n a 为递增数列；故错误，对于③，由于{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以212(1,)n n a n n a a -=+-=，若*1,n n n a a +∀∈>N ，则需要*21221(1),n n n a n n a a a n a n +-∀>⇒+>+∈>->N ，则a 的取值范围是()0,1；故正确，对于④，若10221111e 11k k a k a a a k a k ---+==+<++-+-，则10111ea a k -+<+-，只要k 足够大，一定会有10a k +->，此时1k a >-时，此时只需要()101e1a k a +->-,即()()10e 11k a >+-，所以存在*m ∃∈N ，当*m ∈N 且m 比()()101,e 11a a -+-大的正整数时，此时k m >时，总有102211e kk a a --<+，故正确故答案为：①③④【点睛】本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前n 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析1,2n n =≥，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分n 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．三、解答题16．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足438,12a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 前n 项和为n T ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n M ．条件①：1238b b b =；条件②：22T S =；条件③：639T T =．【答案】(1)2n a n =(2)见解析【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解；（2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.【详解】（1）设等差首项和公差分别为1,a d ，由438,12a S ==得11183,12332a d a d a d =+=+⇒==，所以()112n a a n d n =+-=；（2）设等比首项和公差分别为1,b q ，若选①②，由1238b b b =得32282b b =⇒=；由22T S =得1112264a b b b a =⇒+==+，所以公比为2112b q b ==，故1142n n b -=⨯，故11242n n n n c a n b -=⨯+=+，故()21122824812212n n n nn n n M S T n n -+=+=+⨯=++--；若选②③，由639T T =可知公比不为1，所以3663392111T q qq T q -==+⇒-==，由22T S =得111226b b b ⇒+==，所以2nn b =，故22nn n n c a b n =+=+，故()()2+12122222212n n n n nM n n S T n n -+=+=+=++--；若选①③，由639T T =可知公比不为1，所以3663392111T q qq T q -==+⇒-==，由1238b b b =得32282b b =⇒=；所以12n n b -=，故122n n n n c a b n -++==，故()2221221212n n n nn M n n S T n n +-=+=+=++--.17．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020(1)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；(2)若从流水线上随机抽取3件产品，记X 为这3件产品中一等品的件数，Y 为这3件产品的利润总额．①求X 的分布列；②直接写出Y 的数学期望()E Y ．【答案】(1)310(2)①分布列略；②225【分析】（1）利用乘法公式得出所求概率；（2）①由13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭得出X 的分布列；②先得出Y 的分布列，进而得出数学期望()E Y ．【详解】（1）记()1,2i A i =表示“第i 件产品是一等品”；记()1,2i B i =表示“第i 件产品是二等品”；记C 表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；此时1221C A B A B =+，易知()()13,210i i P A P B ==，则()()()()122113133()21021010P C P A P B P A P B =+=⨯+⨯=；（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，此时1111(0)2228P X ==⨯⨯=；131113(1)C 2228P X ==⨯⨯⨯=；231113(2)C 2228P X ==⨯⨯⨯=；1111(3)2228P X ==⨯⨯=；所以X 的分布列如下：X0123P18383818②由①可得，Y 的分布列如下：Y150200250300P18383818则()13115020025030022588838E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.18．已知函数()1ln f x a x x=+．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当2a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对任意的[)1,x ∞∈+，都有()f x x ≤，求实数a 的最大值．【答案】(1)0x y -=(2)0(3)(,2]-∞【分析】（1）当2a =时，求得()212f x x x'=-+，得到()11f '=且()11f =，即可求得切线方程；（2）当2a =时，求得()221x f x x -'=，求得函数()f x 的单调性与最小值1()02f >，即可得到函数()f x 的零点个数；（3）转化为任意的[)1,x ∞∈+，不等式1ln 0a x x x +-≤成立，令()1ln x a x x xϕ=+-，求得()211ax x xϕ'=-+-，结合()10ϕ=，要使得()0x ϕ≤恒成立，则满足()10ϕ'≤，得到2a ≤，根据()12ln x x x x ϕ≤+-，令()[)12ln ,1,h x x x x x=+-∈+∞，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.【详解】（1）解：当2a =时，函数()12ln =+f x x x，可得()212f x x x '=-+，所以()11f '=且()11f =，即切线的斜率为1k =且切点坐标为(1,1)，所以切线方程为11y x -=-，即0x y -=.（2）解：当2a =时，函数()12ln =+f x x x，可得()221,0x f x x x -'=>，当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以当12x =时，函数()f x 取得极小值，也为最小值11()22ln 22ln 2022f =+=->，所以()0f x >，所以函数()f x 没有零点，即函数()f x 的零点个数为0.（3）解：由对任意的[)1,x ∞∈+，都有()f x x ≤成立，即1ln 0a x x x +-≤成立，令()[)1ln ,1,x a x x x x ϕ=+-∈+∞，可得()211a x x xϕ'=-+-，因为()10ϕ=，要使得()0x ϕ≤恒成立，则满足()10ϕ'≤，即2a ≤，下面证明：当2a ≤时，符合题意，此时()[)12ln ,1,x x x x x ϕ≤+-∈+∞，令()[)12ln ,1,h x x x x x=+-∈+∞，可得()22212(1)10x h x x x x--'=-+-=≤，所以()h x 为单调递减函数，因为[)1,x ∞∈+，所以()()10h x h ≤=，即12ln 0x x x+-≤所以()12ln 0x x x xϕ≤+-≤恒成立，即当2a ≥时，对任意的[)1,x ∞∈+，都有1ln 0a x x x +-≤成立，综上可得，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．给定整数2n ≥，对于数列12:,,,n A a a a L 定义数列B 如下：{}112min ,b a a =，{}{}{}223111min ,,,min ,,min ,n n n n n b a a b a a b a a --=== ，其中{}12min ,,,k x x x 表示12,,x x ，k x 这k 个数中最小的数．记1212,n n n n S a a a T b b b =+++=+++ ．(1)若数列A 为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列B ；(2)求证：若n n T S =，则有12n a a a === ；(3)若0n S =，常数n C 使得{}12min ,,,n n n T C a a a ≤⋅ 恒成立，求n C 的最大值．【答案】(1)0,0,0,1；1,2,3,4,5,6,1(2)证明见解析；(3),(2,N )1n n n n *≥∈-.【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求得数列B ；（2）由,1,2,3,,i i b a i n ≤= 时，可得n n T S ≤，当且仅当i i b a =时等号成立，结合n n S T =，即可得证；（3）不妨设{}112min ,,,n a a a a = ，当10a ≥，得到n C 取任意实数都满足条件；当10a <时，转化为1n n T C a ≤，假设{}12max ,,,n j a a a a = ，求得111j n a a T a ≥-，结合111j a a n ≤--，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，若数列A 为1,0,0,1，可得12340,0,0,1b b b b ====，即数列B 为：0,0,0,1；若数列A 为1,2,3,4,5,6,7，可得12345671,2,3,4,5,6,1b b b b b b b =======，即数列B 为：1,2,3,4,5,6,1.（2）证明：由题设条件知，若,1,2,3,,i i b a i n ≤= 时，可得n n T S ≤，当且仅当,1,2,3,,i i b a i n == 时，等号成立，所以1231n a a a a a ≤≤≤≤≤ ，所以当n n S T =，则1234,N n a a a a a n *=====∈ 成立.（3）解：不妨设{}112min ,,,n a a a a = ，若10a ≥，因为0n S =，所以120n a a a ==== ，此时显然n C 取任意实数都满足条件；下面设10a <，则{}12min ,,,n n n T C a a a ≤⋅ 的充分必要条件时1n n T C a ≤，假设{}12max ,,,,2n j a a a a j n =≤≤ ，因为0n S =，所以0j a >，当2j n ≤≤时，由1122111121,,,,,,j j j j j j n n n n b a b a b a b a b a b a b a --+++-=≤≤≤≤≤= ，所以11n n j j T S a a a a ≤-+=-，当j n =时，有112211,,,,n n n n b a b a b a b a --=≤≤= ，仍然有11n n j j T S a a a a ≤-+=-成立，所以11111j n j a a a a a T a -≥=-，因为1(1)0j n a n a S +-≥=，所以111ja a n ≤--，所以11n T a n n ≥-，取1231,1n a n a a a =-==== ，所以1n n C n ≥-，所以n C 的最大值为,(2,N )1n n n n *≥∈-.。

数学分析（下）_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1. 4. 设y=f(x1,...,xn)是Rn上连续函数，E={(x1,..xn,y):y=f(x1,...xn),(x1,...,xn)属于Rn}。

则：E是【图片】上的闭集。

参考答案:正确2. 2. 函数【图片】在(0,0)点可微。

参考答案:正确3. 1. 已知三角形ABC的三个顶点为A(2,1,3),B(1,2,1),C(3,1,0)，求BC边上的高AD的长。

参考答案:根号35/64. 5. 求以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为α的直圆锥面方程为【图片】.参考答案:正确5. 2. 已知平面经过点M(4,-3,-2),且垂直于平面x+2y-z=0和2x-3y+4z-5=0,求这个平面的方程。

参考答案:5x-6y-7z-52=06.8. 证明：Rn中点列{Pk}收敛的充要条件是：参考答案:{Pk}是基本列7.7. E是Rn中紧集的充要条件是：参考答案:E是有界闭集8. 6. 设z=f(x,y)在区域D有定义，关于x和y分别都是连续函数，且关于x单调. 则z=f(x,y)在区域D内连续.参考答案:正确9.7.设【图片】,若【图片】是由【图片】所确定的隐函数，【图片】.求【图片】参考答案:-110. 1. 设【图片】则【图片】在【图片】点是否连续？偏导数是否存在？参考答案:不连续，存在11. 3. 函数【图片】在(0,0)点可微。

参考答案:错误12. 3. P是E的聚点的充要条件是：存在E中点列{Pk}，且，Pk不等于P，k=1，2，...,使得k趋于无穷时，Pk的极限是P..参考答案:正确13. 5. 函数【图片】的稳定点是____，此点是____（填极小值点或极大值点）。

参考答案:(1,2)极小值点##%_YZPRLFH_%##(1,2)，极小值点##%_YZPRLFH_%##(1,2) 极小值点14.8. 设【图片】可微，它所表示的曲面与【图片】平面的交线为【图片】且【图片】.求【图片】.参考答案:-215. 1. 设E是Rn的一个子集，E0是E的内点构成的集合. 则E0是开集.参考答案:正确16. 6. 设【图片】,若【图片】是由【图片】所确定的隐函数，【图片】.求【图片】参考答案:-217.9. 设【图片】是由方程【图片】所确定的隐函数，并且满足【图片】.则【图片】的极值为____.参考答案:818. 2. 设E是Rn中开集，F是Rn中闭集. 则E-F是开集，F-E是闭集.参考答案:正确19. 5. 设P是Rn上任意一点，E是Rn中给定的一个子集. 定义P到E的距离为:d(P,E)=inf{d(P,Q),Q属于E}。

2022-2022年高二下册期末教学统一检测数学理带参考答案和解析（北京市东城区）填空题随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：粉色系列黄色系列玫? 瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配? 叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有________种．【答案】108【解析】若选粉色系列有种选法，若选黄色系列有种选法，佳佳可定制的混合花束一共有种.填空题定积分的值为______．【答案】0【解析】.填空题是虚数单位，复数_________．【答案】【解析】.选择题函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】由于函数满足，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除B，当时，，，若时，，当时，，而，显然，从而可知，函数在上为增函数，选.选择题一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为A. 4种B. 12种C. 24种D. 120种【答案】C【解析】一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，则不同的站法为种，选C.填空题若，则的值为___________．【答案】-1【解析】令得：则.解答题已知函数，．（I）求的单调区间；（II）若对任意的，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：对函数求导，针对参数进行讨论，研究函数得单调性；第二步为恒成立问题，当时，由于不满足题意要求，当时，求出函数的最大值，要使在上恒成立，只需，从而求出的范围.试题解析：（I），当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，则．则在区间上单调递增，在区间上单调递减．（II）方法1：当时，因为，所以不会有，．②当时，由（I）知，在上的最大值为．所以，等价于．即．设，由（I）知在上单调递增．又，所以的解为．?故，时，实数的取值范围是．方法2：，等价于.令，则．令，则．?因为当，恒成立，所以在上单调递减．?又，可得和在上的情况如下：+-单调递增单调递减所以在上的最大值为．因此，等价于．故，时，实数的取值范围是．解答题电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．观看方式年龄（岁）电视网络15025012080求：（I）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：【答案】(1)41;(2)详见解析.【解析】试题分析：根据频率分布直方图计算每个区间的频数和频率，再利用平均值公式计算；再填写列联表中的总计数，计算随机变量的观测值，根据临界值表，利用独立检验思想，判断是否具有相关关系.试题解析：（I）平均年龄为：．?（II）根据列联表中的数据，利用公式可得的观测值．，有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关．填空题在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．则该运动员在时的瞬时速度为___．【答案】1.6【解析】根据导数的几何意义知：，.选择题甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．1排4号1排5号1排8号2排4号3排1号3排5号4排1号4排2号4排8号丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A. 4排8号B. 3排1号C. 1排4号D. 1排5号【答案】B【解析】甲不能确定故排除2排4号，甲肯定乙一定不能确定，所以拿到的排数必然不是乙能直接确定的的4排2号所在的排数，故排除4排；然后乙说那么他能确定了，由于3号对应两个位置，而4号，1号，8号对应的位置唯一确定，所以必是三个中的一个；甲思考乙既然能确定，必然是上述三个，根据最后甲也确定，1排有两个可以，而3排唯一，所以是3排1号.选择题袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】从大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，有种取法，所取出的两个球中恰有1个红球有种取法，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为，故选.选择题直线（为参数）的斜率为A. B. C. D.【答案】A【解析】削去参数得：，直线的斜率为，选A.解答题为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．（I）求X的分布列和数学期望；（II）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：）【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用可能取值为2，4，6，求出出总交通费用X值对应得概率，列出概率分布列并求出数学期望；计算王老师6月22个工作日平均每天出行的费用，利用计算出，比较与，给出结论.试题解析：（I）依题意，X可能的取值是2，4，6，因此X的分布列为X246P0.360.480.16由此可知，X的数学期望为．?（II）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．?理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，平均每天出行的费用（元）．又，则．有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化．填空题已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设的值为1，根据已知条件，计算出_________，__________，_________．猜想：_______.然后用数学归纳法证明．证明过程如下：①当时，________________，猜想成立②假设（N*）时，猜想成立，即_______．那么，当时，由已知，得_________．又，两式相减并化简，得_____________（用含的代数式表示）．所以，当时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．思路2：先设的值为1，根据已知条件，计算出_____________．由已知，写出与的关系式：_____________________，两式相减，得与的递推关系式：____________________．整理：____________．发现：数列是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列的通项公式____，进而得到____________．【答案】? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 2? 2? ?【解析】试题分析：思路1.由于，令，可求出的值，再令，可求出的值，再令，可求出的值，利用不完全归纳法，归纳猜想出，再用数学归纳法加以证明, 这是一种“归纳?猜想?证明”思维方式，从特殊到一般的归纳推理方式；思路 2.采用构造法直接求出数列得通项公式.试题解析：思路1.由于，令，；令，，，令，，则，由此猜想；下面用数学归纳法证明，证明过程如下：①当时，，得，符合，猜想成立.②假设（N*）时，猜想成立，即,那么，当时，由已知，得,又，两式相减并化简，得，? （用含的代数式表示）．所以，当时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．思路2. 先设的值为1，根据已知条件，计算出，由已知，写出与的关系式：，两式相减，得与的递推关系式：，整理：，发现：数列是首项为2，公比为2的等比数列．得出：数列的通项公式，进而得到．选择题在极坐标系中，点到直线的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】把极坐标化为直角坐标为，直线极坐标方程化为直角坐标方程为，点到直线的距离1，选.选择题在的展开式中，的系数为A. B. C. D.【答案】A【解析】,令，则，的系数为，选A.解答题已知随机变量的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为：12n其中（）满足：，且．定义由生成的函数，令．（I）若由生成的函数，求的值；（II）求证：随机变量的数学期望，的方差；（）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值．【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)441.【解析】试题分析：本题为新定义信息题，根据知：，而，则；根据数学期望公式写出，由于，求出的表达式，根据方差公式写出并推到证明；第三步写出的取值2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数并求出的值.试题解析：（I）．（II）由于，，所以．?由的方差定义可知由于，所以有，这样，所以有．（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为：．投掷骰子两次次对应的生成函数为:．所以．方法2：的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．则的分布列为23456789101112．则．解答题已知函数．（I）求函数在点处的切线方程；（II）求函数的极值．【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：利用导数的几何意义，对函数求导，求出函数在的导数值，借助点斜式求出切线方程；对函数求导，解出极值点，研究函数单调性，求出出极值.试题解析：（I），．则,则函数在点处的切线方程为，化简得．（II）令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：+-+单调递增1单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．?填空题已知平面向量，平面向量，（其中）．定义：．若，，则=_____________；若，且，，则_________，__________（写出一组满足此条件的和即可）．【答案】? （0,5）? ?【解析】本题自定义：，，（其中），已知若，，则=.又，且，，则，，不妨在内任取两组数和，为了满足，即，取和，此时恰好满足，则.选择题复数，则在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点所在象限在第二象限，选。

2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ） A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1 B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1 C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ） A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ） A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．y =1x+15．已知a ＜b ，则（ ） A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则f ′(π2)的值为（ ） A ．0B ．πC ．π24D ．−π247．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ） A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ） A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京市名校2022届数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( ) A ．192B ．202C ．212D ．2222．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶。

现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是34。

则打光子弹的概率是（ ） A ．9256B ．13256C ．45512 D ．910243．角α的终边与单位圆交于点52555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,则cos2=α（ ） A ．15B ．-15C ．35D ．35-4．已知函数()()()()2102ln 10x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()y f x kx =-有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞5．已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩„„…，则目标函数2z x y =+的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．106．函数()ln f x x =过原点的切线的斜率为（ ） A ．1eB ．1C ．eD ．2e7．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 8．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=9．函数在区间上存在极值点，则实数a 的取值范围为A ．B ．C ．D ．10．甲、乙、丙、丁4个人跑接力赛，则甲乙两人必须相邻的排法有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种11．在高台跳水运动中，s t 时相对于水面的高度（单位：m ）是()24.9 6.510h t t t =-++，则该高台跳水运动员在1t s =时瞬时速度的大小为（ ） A ．11.6m /sB ．1.6m/sC ．3.3m /sD ．4.9m /s12．设离散型随机变量X 的分布列如右图，则()2E X =的充要条件是（ ）X1 2 3P1p 2p 3pA ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p ==二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在1，2，3，…，80这八十个数中，随机抽取一个数作为数a ，将a 分别除以3，5，7后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数b ，例如，22a =时，121;33b a ==时，035b =．若140b =，则a =_____.14．已知点(0,2)A ，(1,3)B -，(1,5)C -，则△ABC 的面积是________ 15．命题“x R ∃∈，330x x +-=”的否定是______.16．若随机变量ξ的分布列如表所示，则()21D ξ-=______.ξ1-0 1Pa142a17．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，5AB =，6AC =，点,E F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置，10OD '=.（1）证明：D H OH '⊥；（2）求二面角B D A C '--的正弦值. 18．已知函数()11f x x a x =++-，a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()f x 在区间[)1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.19．（6分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.20．（6分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 170 178 166 176 1807480777681（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．21．（6分）已知函数()e e x x f x a -=+⋅，x ∈R ．（1）当1a =时，证明：()f x 为偶函数；（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =，求实数m 的取值范围，使[(2)2]()1m f x f x +≥+在R 上恒成立．22．（8分）已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a>b>0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里336+=，6410+=）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为105621++=，又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有333333212345621+++++=，故选C.点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可. 2．B 【解析】 【分析】打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。

课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。

（精品）大学2022年期末考试题库（完整版）微积分 知识要点一、单项选择1．函数4x f =)( B ）． A ．),(22- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ D ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 2．='⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 25．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-43．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =4． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(5．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ C ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--πD ．dx x x ])([2222201--⎰π1．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量3．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim 000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2- D ．1-44． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f5．=+'⎰dx x f 24)(（A ）．AB ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 21．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．设00=)(f ，10=')(f ，则=→x x f x 2)(lim 0（B ）．A ． 0 C ． 13．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量4．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ A ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin5．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-46． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x f D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f7． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(8．=+'⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． Cx f ++)(ln 2 9． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ B ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸10.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211x y -= D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：错2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x xe xf x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：错 3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：对4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：对5. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：错6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z2yxe y x y)(+-31． 答案：对7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：对8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：错9．更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1102),(),(． 答案：对10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：对1．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：对2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:错3．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错4．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:对5．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案:对 6．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:错7．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:对8．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:错9．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:对10. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:对11. 若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:对12. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:错13. 设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:对14. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:对15．13lim(13)xx x e-→-=答案:对 15. 设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z 22x yye +． 答案:错16. 更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1012),(),(． 答案:对17. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰． 答案:错18. 微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x e Cx y -=． 答案:对19. 曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错三、解答题1．求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．.解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(xx P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2. 求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→ 解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3.求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程． 解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅- 化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='e e y cos cos ),(故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.1．设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xzF F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=cos cos2．（本题7分）求微分方程x y xy =-'1的通解． 解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则)()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=23．（本题8分）求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .4．（本题9分）计算.dx e x ⎰-1解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→.ee edt e te tde tdt e dx e tt tt t x 42122221110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(7．（本题9分）计算dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下 {}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r三、解答题（共52分）1．求极限.limcos 2102x dte xt x ⎰-→解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰2．求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y 化简可得yex yy +-='e e y 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .exy -=13．设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.4．求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：)cos (x xy --=11π5．求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f 因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f6．（本题9分）求dx x x ⎰-1023 .解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(232331531331 42213210 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dtt t dt t t dx x x7．计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 解：积分区域为右图所示阴影部分，则 =⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==10 21 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy1．（本题5分）求极限.sin lim3xtdt t xx ⎰→解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x2．（本题7分）求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos 化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=3．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x z y x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--；y yz z xy xyz xz xy e xz F F y z yx z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x z xz dz +--=.4．（本题7分）求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程. ,)(x x P 2=,)(21xx x Q -= )())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dx x P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222 将初始条件11=)(y 代入上式，得 23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： 223121x x y +-=5．（本题8分）求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x x x f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .6．（本题9分）求dx x x ⎰-23 0231. 解： 令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t . 2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 1303302302303230 23=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x7．计算,⎰⎰D dxdy xy 其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围 解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D =⎰⎰D dxdy x y ⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d .2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd r d。