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《数学分析下册》期末考试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知uln某2y2，则uu，，y某du2、设L：某2y2a2，则某dyyd某L某=3cot，L：3、设（0t2），则曲线积分（某2+y2）d=y=3int.L4、改变累次积分dy（f某，y）d某的次序为2y33某y1，则(51)d某dy=5、设D：D得分阅卷人二、判断题（正确的打“O”;错误的打“某”；每题3分，共15分）p某0，y0）p某0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一f某，y）f某，y）阶偏导数。
()p某0，y0）p某0，y0）2、若函数（在点（可微，则函数（在点（连续。
f某，y）f某，y）()p某0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数f某y(某0,y0)和fy某(某0,y0)，则f某，y）必有f某y(某0,y0)fy某(0某,0y) L(B,A)()()4、L(A,B)f(某,y)d某f(某,y)d某。
5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（在D上可积。
()f某，y）f某，y）第1页共5页得分阅卷人三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分I(e某iny3y)d某(e某coy3)dy，AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆某2y2a某上半部分的路线。
其中2、计算三重积分------线--------------------------------------(某V2y2)d某dydz，其中是由抛物面z某2y2与平面z4围成的立体。
第2页共5页3、计算第一型曲面积分IdS，S其中S是球面某2y2z2R2上被平面za(0aR)所截下的顶部（za）。
4、计算第二型曲面积分22Iy(某z)dydz某dzd某(y某z)d某dy，S其中S是立方体V0,b0,b0,b的外表面。
第3页共5页5、设D(某,y)某2y2R曲顶柱体的体积。
得分阅卷人四、证明题(每小题7分，共14分)1、验证曲线积分第4页共5页2.求以圆域D为底，以曲面ze(某2y2)为顶的(某22yz)d某(2y2某)zdy2(z2，某)ydzL与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(某,y,z)。
西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x xcpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(yxxy f u =， 求y x u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx x xp的敛散性。
数学分析第二学期考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，共32分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ b ） A 、连续 B 、有界 C 、无间断点 D 、有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ b ） A 、⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 、0)(=⎰-aa dx x fC 、⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D 、)(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A 、⎰11dx xB 、 ⎰∞+11dx xC 、 ⎰+∞sin xdx D 、⎰-1131dx x 4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ c ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充分必要条件D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A 、10arcsin xdx ⎰B 、11ln eedx x x ⎰ C 、1-⎰D 、10sin x dx x ⎰ 6、下面结论错误的是（ b ）A 、若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界；B 、若)(x f 在),(b a 内连续，则 )(dx x f ba ⎰存在；C 、 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积；D 、 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积。
7、下列命题正确的是（ d ）A 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 、 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D 、)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为（ c ） A 、xe B 、x sin C 、)1ln(x + D 、x cos二、计算题：（每小题7分，共28分）9、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf 。
09--10(1)数学分析（1）期末考试（A 卷）评分标准一、定积分部分（每小题6分，共36 分）： 1．计算122100(14)x x dx -⎰．解:1212102102201(14)(14)(14)8x x dx x d x -=---⎰⎰3分 121121(14)88x =--5分 188=．6分2．计算x x dx 206[]⎰,其中[]表示取整．解:623456222222012345[]2345x x dx x dx x dx x dx x dx x dx=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰5分 285=．6分3．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-.0,11,0,)(2x e x xe x f xx 计算⎰-=41)2(dx x f I ．解: 令2t x =-，1分则21()I f t dt -=⎰22021101()()1t t f t dt f t dt dt te dte ---=+=++⎰⎰⎰⎰4分d 202210(1)112t t t d e e dt e ----+=-++⎰⎰ 411ln(1)22e e -+=+-．6分4．求⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x u xu x due du e 022022lim ．解:()222222002202limlimx x u x u x x x x u e duee duee du→+∞→+∞=⎰⎰⎰求导3分222lim02x x x e xe→+∞==．6分注：知道利用罗必达法则但求导时有错给2分． 5．记V ()ξ是曲线y xx =+12在x ∈[,]0ξ的弧段绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积，求常数a 使得满足V a V ()lim ()=→+∞12ξξ． 解: 由)1(2)1()(22022a a dx x x a V a+=+=⎰ππ，3分 可知2)(lim πξξ=+∞→V ，于是得到21122=+aa ，解得 1=a ．6分注：求出1a =±，不舍去1-不扣分；没求a 给4分．6．讨论下列函数在 [0,1] 的可积性f x ()1,,1,.x x -⎧=⎨⎩为有理数为无理数解: 因为对[0,1]的任意划分P ，总有 2=i ω，3分 所以21=∆∑=ni ii xω，可知)(x f 在[0,1]上不可积．6分注：仅知道振幅2=i ω给3分；运用积分定义讨论也相应给分．二、反常积分部分（每小题6分，共12分）： 1．计算⎰∞+∈0)(e 2R a dx x ax ．解: 当0≥a 时积分发散；2分当0<a 时，⎰∞+02edx x ax ⎰∞+=02)(e 212ax d a ax a21-=．6分注：知道用比较法给2分；计算过程不分情况讨论给3分；运用其它方法也相应给分． 2．判断反常积分⎰∞++131tan arc dx xx的敛散性． 解: 当+∞→x 时，31arctan x x +～32xπ，3分又3311122dx dx x x ππ+∞+∞=⎰⎰收敛，所以积分⎰∞++131tan arc dx x x 收敛．6分三、常数项级数部分（每小题6分，共18分）：1．求级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-13121n nn之和． 解: ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k k k n S 1312121121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n31131131-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-n，4分所以21lim ==∞→n n S S ．6分注：利用等比级数求和写出公式但过程存在问题给3分2．讨论正项级数∑∞=122n n n 的敛散性．解: 设22n n n u =，则1分1limn n nu u +→∞121<=，5分 由D ’Alembert 判别法，∑∞=122n n n 收敛．6分注：利用比值判别法或者根植判别法时不带极限符号给4－5分．3．设)(x f 在]1,1[-上具有二阶连续导数，且0)(lim=→xx f x ．证明级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 证: 由0)(lim=→xx f x 可知0)0(=f ,0)0('=f , 2分 ()()()()()22001!2!2f f f f x f x x x ξξ'''''=++=，ξ介于0与x 之间，4分于是⎪⎭⎫⎝⎛n f 1～212)0("n f ⋅（∞→n ）， 所以级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．6分注：知道泰勒展开但有错给3分．四、函数项级数部分（每小题8分，共16分）： 1．证明函数序列()nx n S x e -=()1,2,3,n =在区间)1,0(上不一致收敛性，但在),1(+∞上一致收敛．证: 固定x ∈)1,0(，()lim lim nxn n n S x e-→∞→∞=0)(=x S =()S x ，2分)()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n -=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在(0,1)上非一致收敛．4分固定x ∈)1,0(，()lim lim nxn n n S x e-→∞→∞=0)(=x S =()S x ，)()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n -=+∞∈n e -=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在(1,)+∞上一致收敛．8分注：知道方法法但求极限时有错给2分；证明不一致收敛时也可以取点列{}n x ；运用其他方法相应给分． 2．证明函数级数∑∞=-02)1(n n x x 在区间[]0,1一致收敛性．证: 设n n x x x u 2)1()(-=，则在]1,0[上()211()2(1)(1)(1)21n n n n u x x x n x x x x x n x --'=--+-=--+-⎡⎤⎣⎦()1(1)2n x x n n x -=--+⎡⎤⎣⎦3分令()0.n u x '=解得唯一驻点2nx n =+，比较知 )2()(0+≤≤n n u x u n n 2)2(4+<n ，6分由于∑∞=+02)2(4n n 收敛，7分由Weierstrass 判别法，∑∞=-02)1(n n x x 在]1,0[上一致收敛．8分注：若转化成函数列的情况但有错酌情给分2－4分；运用其他方法相应给分．五、幂级数部分（每小题6分，共12分）：1．求幂级数∑∞=+0212n n n x 的和函数．解: 22222222321limlim 2321n n nn n n x n x n xn x x n ++→∞→∞++==++，由比值判别法知21x <时级数收敛，21x >时级数发散，级数收敛半径为1=R ，当1±=x 时，级数发散，所以收敛域为)1,1(-=D ．3分设∑∞=+=0212)(n nn x x S ，()xS x =∑∞=++01212n n n x ，利用逐项求导，得到 []221()1n n xS x x x ∞='==-∑， 所以20()1xdx xS x x =-⎰11ln 21xx+=-，0x ≠时．()S x =11ln 21xx x+-，0x =时，(0)1S =．6分注：不求收敛域最多给5分；知道逐项求导或者逐项积分但过程问题较大给2分；不考虑0x =的情况最多给5分．2．将()ln f x x =展开为()2x -的幂级数．解: ()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑()11x -<≤2分ln ln[2(2)]x x =+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=221ln 2ln x ()110(1)ln 2(2)12n n n n x n ∞++=-=+-+⋅∑．5分由211222042x x x --<≤⇒-<-≤⇒<≤．6分注：仅写出ln ln[2(2)]x x =+-给2分；知道展开公式但错误较大给2分；． 六、多元函数的极限（6分）： 1．讨论函数yx yx y x f +-=),(当),(y x 趋于)0,0(时的极限是否存在． 解： 当动点(),x y 沿直线y kx =趋近于()0,0时1分 001lim (,)limlim 1y kxy kxx x x x y x kx kf x y x y x kx k==→→→---===+++4分此极限随着k 的变化而变化5分所以当),(y x 趋于)0,0(时函数(,)f x y 极限不存在．6分。
《数学分析（二）》期末试题一、选择题（共20分） 1、dxx dxd b a⎰2sin =（ ） A 、22sin sinab - B 、22cos cos ab - C 、2sinxD 、02、下列积分中不是非正常积分的是( ) A 、 dx x⎰+∞+0211 B 、dxx⎰-1211 C 、dx x⎰-42211 D 、dxx ⎰-22)1(13、若任意的),(b a x ∈，有0)0(,0)(>''>'f x f 则)(x f 在),(b a 内是（ ） A 、单调增加的凸函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调减少的凸函数 D 、单调增加的凹函数4、cx dx x f x+='⎰2ln2)(ln 1且1)0(=f ，则=)(x f （ ）A 、122+xB 、x 2ln 2C 、22xD 、c x +2ln 25．下列级数中条件收敛的是（） A 、∑!sin n x B 、1)1(+-∑n n nC 、∑+-]11)1[(nnnD 、nn2sin)1(∑-6、曲线1)1(3--=x y 的拐点是（ ）A 、)0,2(B 、)1,1(-C 、)2,0(-D 、无拐点 7、若级数∑∞=+0)1(n nu 收敛，则=∞→n n u lim （）。
A 、1B 、-1C 、0D 、不存在。
8、设)(x f 为连续函数，则dtt f dxd xx⎰2)(=（ ）A 、)()(22x f x xf-B 、)(22x xf C 、)(x f D 、)()21(x f x -9、若1n n μ∞=∑收敛，1nn k k S μ==∑，则下列命题中正确的是（ ）。
A 、lim 0nn S →∞=B 、lim n n S →∞存在C 、lim n n S →∞不存在 D 、}{n S 单调 10、13n nn xn ∞=⋅∑的收敛半径为（ ）A 、0B 、1C 、3D 、13二、填空题（共20分） 1、=⎰-xdx x arccos117（ ）2、23sin limxx t dt x→=⎰（ ）3、=--⎰dx x x)cos 312(2（ ）曲线)10(,2≤≤=x x y 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积是（ ） 5、dxxx p⎰+∞1sin 条件收敛，那么p 的取值范围为（ ）6、设13--=ax x y 在1=x 处存在极值，则=a （ ）7、函数)1()1()(>-+=p x xx f pp在]1,0[上的最大值为（ ）8、曲线2y x=和2y x=所围城的平面图形的面积为（ ） 9.级数()111n n n ∞=+∑的和为（ ）。
