利用整体思想,巧解数列问题

高中数学用整体思想解决不等式问题学法指导徐加生在解答某些不等式的问题中，若将题设或结论视为整体，通过对整体结构的调节或转化，可以收到简化运算、降低思维难度、缩短推证过程之功效。

下面举例说明。

一、整体求解视所求问题的多个结论为整体，根据结构特征，合理变形，直接求出欲求的答案。

例 1 设函数bx ax )x (f 2+=且满足不等式4)1(f 2,2)1(f 1≤≤≤-≤，求)2(f -的取值X 围。

分析：由已知得2b a 1≤-≤①4b a 2≤+≤②而b 2a 4)2(f -=-，设)b a (n )b a (m b 2a 4++-=-，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+-=+1n ,3m 2n m ,4n m 即)b a ()b a (3b 2a 4)2(f ++-=-=-，由不等式相加得.10)2(f 5≤-≤二、整体换元有一些轮换式，初看关系不明显，通过对相关式子整体换元后，可找到解题突破口。

例2 已知+∈R z ,y ,x ，求证：.43z 2y x z z y 2x y z y x 2x ≤++++++++ 分析：在证明分式不等式时，如果分母是多项式，可将分母视为一个整体，这将有利于问题的解决。

解：设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,c z 2y x ,b z y 2x ,a z y x 2 则,4b a c 3z 4a c b 3y 4c b a 3x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--= 于是z2y x z z y 2x y z y x 2x ++++++++ ,43)2229(41)]c b b c ()c a a c ()b a a b (9[41)4b a c 34a c b 34a b a 3(41=---≤+-+-+-=--+--+--= 故.43z 2y x z z y 2x y z y x 2x ≤++++++++三、整体变形把某一相关的知识块看作一个整体，进行整体变形，寻找各知识块之间内在的联系。

例谈整体思想在数学解题中的应用摘要：整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体上把握全局，注重问题的整体结构和特征，分析条件和结论的联系，从而使问题得以解决，常能化繁为简，变难为易，使解题过程显得简洁明快。

关键词：数学思想整体思想数学是一门具有严密逻辑性的基础学科，随着人类的进步和科学的发展，人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求，因此，数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质，有意识地贯穿数学思想方法，激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的欲望，使学生把握一些解题的规律和方法，这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来，使他们从中得到一些乐趣，在乐中求新，在新中获得更大的收益，其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。

整体思想作为一种重要的思想方法，它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。

学生若能灵活运用整体思想，常常能化繁为简，变难为易，提高解题的准确性和灵活性。

整体思想，就是在处理与解决问题时，胸怀整体的全局，暂时忽略或模糊问题的某些局部，注重问题的整体结构和整体特征，从整体上把握解决问题的方向，从整体上分析条件和结论的联系，并作出决策。

对于有一些数学问题，我们如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能化零为整，化分散为集中，使解题过程显得简洁明快，体现和谐美和数学美。

下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。

一、在求函数值中的应用例：已知函数f（x）=x3+x+sinx+2，且f（-2）=8则：f（2）=（）a.10b.6c.-4d.8解析：由于y=x3，y=x，y=sinx都是奇函数，所以将x3+x+sinx 看作一个整体，故设g（x）=x3+x+sinx，（此函数为奇函数）所以f（x）=g（x）+2∵f（-2）=8 ∴f（-2）=g（-2）+2∴g（2）=-6∴f（2）=g（2）+2=-4，故选c。

二、在函数单调性中的应用例：求函数y=（x2+5）/（x2+4）1/2的最值。

整体思想解题例说杨鹤云 (江苏省泰州中学 225300)整体思想是从宏观上、本质上考察问题的结构,通过对问题进行整体处理,以达到简洁顺利地解决问题.1 从整体与局部的内在联系入手从观察整体与局部的结构关系、知识之间的内在联系获得问题的解决.例1 求1,2,3, ,n 这n 个正整数中每两个数乘积之和.分析 问题即求S =1 2+1 3+ +1 n+2 3+ +(n-1)n.解 因为(1+2+ +n)2=12+22+ +n2+2S,所以S =12[(1+2+ +n)2-(12+22++n 2)]=12[(n(n+1)2)2-n(n+1)(2n+1)6]=(n-1)n(n+1)(3n+2)24.评注 把握整体与局部的特征以及内在联系是解题关键.例2 求sin 220 +cos 250 +sin 20 cos 50 的值.解 设x =sin 220 +cos 250 +sin 20 cos 50 ,y =cos 220 +sin 250 +cos 20 sin 50 ,则x +y =2+sin 70 ,x -y =-12-sin 70 ,两式相加,得x =34.评注 观察题设结构特征,联想类比式子结构,寻求整体配对,配对的目的在于能够使用三角公式化简运算.另外,x -y =cos 100 -cos 40 -sin 30 =-12+cos(70 +30 )-cos(70 -30 )=-12-sin 70 ,运用了整体与局部关系解决.2 从局部向整体转化例3 等差数列{a n }中,公差d =1,S 100=150,求a 2+a 4+ +a 100.分析 已知整体S 100,求局部的问题.解 由等差数列定义,得a 1=a 2-d,a 3=a 4-d, ,a 99=a 100-d.代入S 100=150,得2(a 2+a 4+ +a 100)-50d =150,所以a 2+a 4+ +a 100=100.评注 求解过程中,由局部与局部之间的关系如a 1=a 2-d,向整体转化后求出局部a 2+a 4++a 100的值,体现了由局部向整体再向局部转化的解题过程.例4 如图1,正三角形A BC 的边长为2,A 1A ,B 1B,C 1C 都垂直于平面A BC ,且A 1A =1,B 1B =2,C 1C =3,求这个几何体的体积.图1 图2解法1(分割法) 如图1,连结A 1C,A 1B,将几何体分成两个棱锥A 1 A BC,A 1 BB 1C 1C,根据体积变换法,所求体积为V A 1A BC +V A 1BB 1C 1C =V A 1A BC +V A BB1C 1C=23.解法2(补形法) 如图2,在已知几何体上补一个同样大小的几何体,便得A 2A =B 2B =C 2C =4,所求几何体的体积为12S ABC A 2A =23.评注 对基本图形整体理解,把不规则图形相关问题通过直觉想象与判断转化成规则图形问题,便于问题的求解.这种整体补形的方法,便捷而富有创造性.3 从整体向整体转化例5 当函数f (x )=ax -bx 满足不等式1 f (1) 2,13 f (2) 20时,求f (3)的取值范围.解 f (1)=a-b,f (2)=2a-b2,f (3)=3a -b 3.令f (3)= f (1)+ f (2),得 =-59, =169,所以f (3)=-59f (1)+169f (2).又因为1 f (1) 2,13 f (2) 20,所以22 f (3) 35.评注 本题用f (1),f (2)线性表示f (3),将f (1),f (2)整体代入,利用不等式基本性质进行解答.若从1 a-b 2,13 2a-b220分别求出a,b 的范围后再求f (3)的范围,破坏了函数f (x)=ax -b x 的整体结构,容易致误.例6 已知sin x +sin 求cos x +cos y 42 中学数学月刊 2011年第3期的取值范围.解 设u=cos x+cos y,将已知式与待求式两边平方,得12=sin2x+2sin x sin y+sin2y,u2=cos2x+2cos x cos y+cos2y.+ ,得u2+12=2+2cos(x-y),即2cos(x-y)=u2-32.因为-2 2cos(x-y) 2,所以-2u2-32 2.解得-142u 142,即-142cos x+cos y 142.评注 利用整体代换构建不等式,再求出整体的取值范围,这是求解此类问题的基本方法.4 从问题结构入手例7 方程1+3-x1+3x=3的解是 .分析1 正常解法是去分母得关于3x的一元二次方程,将3x当作整体的局部作代换求解.分析2 将方程两边同乘以3x,得3x(1+3-x)1+3=3 3x,得3x+1=1,即x=-1.通过变换后将整体部分1+3x约去.分析3 作1的变换,将1=3x-x代入,得3x-x+3-x1+3x=3,3-x(1+3x)1+3x=3,得3-x=3,x= -1.评注 分析2、3中将题目本身含有整体(1+ 3x)约去,通过适当变换简化解法.例8 已知实数a b且a2+2011a+1=0,b2+2011b+1=0.求11+a+11+b的值.分析1 依题意a,b是方程x2+2011x+1= 0的两个实根,求根后直接代入求解,较繁琐.分析2 由以上分析得a+b=-2011,ab=1直接代入,得11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=1.分析3 由分析2,本题只需将ab=1代入即可:1+1=ab+1=b+1 =1.从以上各例不难发现,利用整体思想解题的关键是把握整体与局部之间的关系,善于发现问题之间的内在联系,揭示转化的规律.在形式、结构、方法、特征上寻求利用整体思想解题的途径,从而创造性地解决问题.(上接第34页)题中,由{S n}为等差数列,可得S1,S2,S3成等差数列,这里就应用了一般向特殊转化的思想,将条件最终转化为对数列{a n}的前3项进行研究,应用了化归思想和方程思想.(3)数列复习应强化能力意识,促进探究创新知识的多寡、常用方法掌握的熟练程度对解题思路与解题过程的改进起到非常重要的作用,但要使解题过程更为简捷、流畅,在教学时还要强化意识,注重探究.通过对等差数列和等比数列定义及相关公式的研究,可得出一些常用性质.除此之外,还可探究得:数列{a n}为等差数列 a n=kn+ b S n=an2+bn;数列{b n}为公比q不等于1的等比数列 S n=aq n-a(a 0);若数列{a n}为等差数列,则其前n项和S n满足S2n-1=(2n-1)a n;若数列{S n}为等差数列,则数列{a n}从第2项起也为等差数列;若数列{S n}为等比数列,则数列{a n}从第2项起也为等比数列;若数列{a n}为各项为正的等比数列,则数列{log b a n}为等差数列;若数列{a n}为各项为正的等差数列,则数列{b a n}为等比数列,等等.本题第(1)问的解法4正是应用了等差数列的性质,使解题过程更为简捷.由此可见,在数学复习中,不但要重视学生基础知识、基本方法、基本技能的回顾、总结、运用,还要重视培养学生的数学意识和探究能力,这样也更有利于发展学生的创新意识.(4)数列复习中应注意纵横交叉,理解数学本质数列是一类特殊函数,可以与函数、不等式、三角等知识综合,考查学生的数学素质和综合能力.本题的第(2)问即是将数列与不等式、函数相结合,考查学生的综合能力.在复习中要注重知识的前后联系,综合运用,这样才能处变不惊,冷静处理.同时,要加强审题能力的培养,理解问题的本质,才能确保全面、逻辑地解决问题.高考试题的主要题源为教材,理解教材、吃透教材、挖掘教材,这样既能提高学生的数学素养,提升思维能力,使学生在高考中立于不败之地,又能培养学生良好的学习习惯,增强学生的探究、创新意识,为学生的终生发展打下良好的基础.参考文献[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2001.[2] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2008.432011年第3期 中学数学月刊。

数学解题中的思想方法——整体思维和发散思维知识技能梳理：1、整体思维：整体思维方法在解题中，不是着限于问题的各个组成部分，而是将要解决的问题看作为一个整体。

具体方法：（1）整体代入，直奔终点；（2）整体把握，各个击破；（3）整体补形，变换角度。

2、发散思维：发散思维具有多向性、变异性、独特性的特点。

在内容上具有变通性和开放性，形式多样。

解题中涉及的主要发散思维模式，其涵义概括如下：题型发散——保持原命题发散的特点，变换题型和命题形式；解法发散——从不同角度、不同侧面解答问题；综合发散——将分析、归纳、综合等多种思维方法进行综合应用，解决较复杂的问题，使知识系统化，强调灵活应用。

发散思维还有逆向思维、迁移思维、分解思维、构造思维等等。

典型例题剖析：例1、设{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |{}n a 是由正数组成的等比数列，是其前项和，证明：答案：略例2、如图，是直三棱柱，过点的平面和平面的交线记作。

（1）判定直线和的位置关系，并证明；（2）若，求顶点到直线的距离。

答案：（1）；（2）例3、过抛物线顶点，任作互相垂直的两条弦交此抛物线于两点，求证：此两点连线的中点轨迹仍为一抛物线。

答案：略例4、已知复数，若是常数，，求满足的点的轨迹方程。

答案：当时，轨迹为椭圆，方程为；当时，轨迹为线段，方程是例5、如果正实数满足，求的最大值。

答案：A 1B 1C 1 A BC例6、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。

已知函数（1）当时，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。

答案：（1）；（2）例7、如图，且有一般地，求：（1）向量对应的复数，；（2）向量对应的复数；（3） 答案：（1）（2）（3）自我测试作业：1、设复数满足等式，且，又已知复数使得为实数，问复数在复平面上的对应的点的集合是什么图形？并说明理由。

答案：以为圆心，1为半径的圆，除两点。