用函数思想解决数列问题

例说用函数与方程思想解数列题数列是数学中的重要概念，它可以通过函数和方程进行求解。

本文将以1200字以上的篇幅，详细介绍如何运用函数与方程思想解决数列题。

首先，让我们来回顾一下数列的定义。

数列是按照一定规律排列的一组数，可以用公式表示。

常见的数列类型有等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中每个数与它前一个数之差都相等。

例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2、可以通过以下方程表示第n个数的值：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个数的值，a1表示第一个数的值，d表示公差，n表示位置。

等比数列是指数列中每个数与它前一个数之比都相等。

例如，2，4，8，16，32就是一个等比数列，公比为2、可以通过以下方程表示第n个数的值：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个数的值，a1表示第一个数的值，r表示公比，n表示位置。

接下来，我们将以若干实例来说明如何运用函数与方程思维解决数列问题。

例一：已知数列1，4，7，10，13，...，则数列的通项公式是什么？求第100项的值。

这是一个等差数列，公差为3、我们可以用函数的思想来解决这个问题。

根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可以得到该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3、因此，第100项的值为a100 = 1 + (100-1)3 = 298例二：已知数列2，6，18，54，...，则数列的通项公式是什么？求第10项的值。

这是一个等比数列，公比为3、我们可以用函数的思想来解决这个问题。

根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，可以得到该数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。

因此，第10项的值为a10 = 2 * 3^(10-1) = 1458例三：已知数列3，5，7，9，...，若数列的和等于100，求数列的第n项。

这是一个等差数列，公差为2、我们可以通过方程的思想来解决这个问题。

浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。

而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。

一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。

函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。

二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。

通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。

对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。

通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。

三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。

实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。

根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。

实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。

例析函数思想在解决数列问题中的应用作者：高青来源：《职业·中旬》2010年第05期数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值;数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n 之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点。

一、用函数观点认识数列数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。

等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。

对于等差数列{an},它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数(特殊地,公差为0时是常数函数)图像上的离散点;当d≠0时,前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点(特殊地,当公差为0时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点)。

对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。

在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。

二、用函数的方法解决数列问题1.用函数观点研究数列前n项和问题例1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn,且S10=100,S100=10试求S110。

分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为当d≠0时,Sn是n的二次式,所以当d≠0时,可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此{}也是等差数列。

解:已知{}是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,-110。

例2.已知数列{an}是等差数列,公差d≠0,a1>0,若SK=Sl(K≠1,K,L∈N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn 取最值时,n的值。

分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求出SK+i的值和Sn取最值时n的值。

用函数观点看数列问题
新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联
系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于
认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题．
1 数列的本质
数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，,，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{a n}来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一
次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和S n是关于n的无常数项的二次函数，因此S n/n也是关于n的一次函数．
式是________．
考虑到a n是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式．由待定系数法知：
p＋q=0(舍去)或p＋2q=0．
例2 等差数列{a n}中，a p=q，a q=p(p≠q)求a p+q．
解由于等差数列的通项a n是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线．
解由题设知：公差a≠0．。

函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一，利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，m，k∈N *，且m≠k，若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析：由于{a n}是等差数列，所以S n是关于n的二次函数，设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0)，∵S m=S k=a，∴f(m)=f(k)，∴f(n)的对称轴为n=m+k2，∴f(m+k)=f(0)=0，即S m+k =0，选 D .评析：解本题的关键是建立目标函数f(n)，因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的对称性就可以解出这道题．二．利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。

在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．解析：线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点，∴方程x 2-(m+1)x+4=0在［0,3］上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4，则f(x)的图像在［0,3］上与x轴有两个不同的交点，∴Δ=(m+1) 2-16＞0,0＜m+12＜3,f(0)=4＞0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3＜m≤10三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈［-2,2］恒成立,求实数x的取值范围．解析：设f(m)=(x 2-1)m-7x+2，f(m)是关于m的一个函数，其图像是直线.依题意，f(m)<0对m∈［-2,2］恒成立.当-2≤m≤2时，y=f(m)的图像是线段，该线段应该全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(-2)＜0， f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是（12,72）四。