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高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。
“出活题，考能力”，要求考生能活用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。
这类问题主要以选择填空的形式考查，难度较大。
1. 新定义概念型问题所谓“定义新概念”，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些新概念，要求考生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新定义进行推理、迁移的一种题型。
按内容大致可分为新定义集合、新定义函数、新定义数列等。
2. 新定义运算型问题定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、⊕、⊙等来表示的一种运算。
新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
3. 创新背景型问题这类的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中。
此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能。
这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题。
例题 1 项数为n 的数列123,,,,n a a a a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，定义12n S S S n +++为该数列的“凯森和”。
如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a 的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，12399,,,,a a a a 的“凯森和”为（ ）A.991B.1001C.1090D.1100解析：（1）正确理解凯森和的定义，根据数列求和知识求解；（2）准确理解正对数的定义和所给四个命题的信息，结合所学的对数的相关知识解决问题。
1. 算法的设计特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 例题 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
解析：设计时要注意算法的特征，观察每个数字之间的规律。
答案：用P 表示被乘数，i 表示乘数。
第一步，使P ＝1； 第二步，使i＝3； 第三步，使P ＝P ×i ； 第四步，使i ＝i ＋2；第五步，若i ≤11，则返回到第三步、第四步继续执行，否则执行第六步； 第六步，输出P 。
注意：给出一个问题，设计算法时应注意：（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；（2）综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；（3）将解决问题的过程划分为若干个步骤；（4）用简练的语言将各个步骤表示出来。
或：当型循环结构3. 画程序框图的规则（1）使用标准的框图符号；（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画；（3）除判断框外，大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；（4）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
注意：（1）终端框（起止框）是任何程序框图都不可少的，表明程序的开始和结束。
（2）输入框和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
一、顺序结构与条件结构的设计例题1 “网上购物”使人们不用出行就可以享受购物的方便和乐趣，由此催生了“快递”行业，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f ＝0.53,50,500.53(50)0.85,50,ωωωω≤⎧⎨⨯+-⨯>⎩其中f （单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）。
试设计计算费用f 的算法，并画出程序框图。
解析：解决分段函数的求值问题时，一般采用条件结构设计算法。
利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一框图中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件。
1. 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
2. 几何概型中，事件A 的概率计算公式P （A ）＝A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 3.几何概型试验的特点（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； （2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
4. 几何概型两种类型的使用条件（1）线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时。
（2）面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。
例题1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________。
解析：由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4。
即A ＝{m |－1<m <4}。
由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是（0，4），故所求概率为P ＝404(1)---＝45。
答案：45点拨：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。
当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算。
事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比。
例题2 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23解析：在区间[-1，1]上随机取一个数x ，即[1,1]x ∈-时，要使cos2xπ的值介于0到21之间，需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案： A例题3 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0。
1. 对数函数的基本性质如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a M M N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 2. 对数运算三个常用结论（1）log 1a a =；（2）1log 0a =；（3）log N a a N =3. 换底公式（1）定义：,0(log log log >=a ac b c b a 且0,1>≠c a 且)0;1>≠b c （2）常用的推论： ①log log 1a b b a ⋅=；②log log m n a a n b b m =（a 、0b >且均不为1）。
例题1 的值。
，求设ba b a 123643+== 解析：利用指对互化。
求出a ，b 后代入求值。
也可利用等式两边取对数的方法求出a ，b 后再代入求值。
答案：解法一：由623643363log log 6log 2log 3643======b a b a ；得： 所以1log log 6log 1log 22122636263=+=+=+b a 解法二：对已知条件取以6为底的对数，得：1log log 12log 1,3log 21log 2log 26362662636=+=+∴==∴==b a ba b a ， 点拨：本题考查对数的性质，对一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧，一般来说，给出的等式是以指数形式出现的，常用此法，在取对数时，要注意对底数的合理选取，本题也可以取常用对数或自然对数。
例题2 设1643>===t z y x ，求证：yx z 2111=-。
解析：利用指对互化及换底公式找出x 、y 、z 之间的关系。
答案：证明：∵1643>===t z y x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴ y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 点拨：对数恒等式的证明可以从左到右，或从右到左，或从两边一起证，但通常采取从复杂的一边向简单的一边证。
1. 三角函数模型的应用⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧在物理学中的应用在航海中的应用在建筑学中的应用在生活中的应用用三角函数模型的简单应 2. 方法与步骤（1）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词； （2）确定以角作为变量的三角函数； （3）要能根据题意，画出符合题意的图形； （4）对计算结果，可根据实际情况进行处理。
3. 失误与防范（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量； （2）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围； （3）解决应用问题要注重检验。
例题1 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 。
（1）根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式。
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8︰00至20︰00之间，有多少小时可供冲浪者进行运动？ 解：（1）由表中数据，知周期T ＝12。
∴ω＝22126T πππ==，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5。
由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0。
∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12。
∴y ＝12cos 6πt ＋1。
（2）由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放。
∴12cos 6πt ＋1>1，∴cos 6πt >0。
∴2k π－2π< 6πt <2k π＋2π，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z 。
① ∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24。
所以在规定时间8︰00至20︰00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即9︰00至15︰00。
1. 两个向量的夹角 （1）定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉。
（2）范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是[]0,π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉。
（3）向量垂直 如果〈a ，b 〉＝2π，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
2. 平面向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉。
可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零。
其中|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。
（2）向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a （交换律）②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律）③（λa ）·b ＝λ（a ·b ）＝a ·（λb ） （数乘结合律）。
例题1 （1）若a ＝（3，－4），b ＝（2，1），求（a －2b ）·（2a ＋3b ）和|a ＋2b |；（2）在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|。
解析：（1）运用向量的坐标运算计算出（a －2b ）、（2a ＋3b ）的坐标，再利用数量积进行计算；（2）根据题意可知AB →、BC →模长相等，找到AB →与BC →的夹角为120°即可求出。
再利用平行四边形法则求出CD →，即可求出|CD →|。
答案：解：（1）a －2b ＝（3，－4）－2（2，1）＝（－1，－6）， 2a ＋3b ＝2（3，－4）＋3（2，1）＝（12，－5），∴（a －2b ）·（2a ＋3b ）＝（－1）×12＋（－6）×（－5）＝－12＋30＝18。
精品文档m年 级 高三 学 科 数学 版 本 通用版课程标题 巧解等比数列 编稿老师黄志坚一校吕丽娟二校黄楠审核宋树庆1. 等比数列的判定方法： ①定义法：a n 1 a nq （ n ∈N *， q 0 是常数）a n 是等比数列；②通项公式法： a cqn 1cq0的常数， n N a 是等比数列 ；nn③中项公式法： a2 a a （ n ∈ N *）且 a0 a 是等比数列；n 1④前 n 项和公式法： S nnn 2a 1q nq 1na 1= kqq 1k （ kna 是常数，且 qq 10 ，q 1 ）a n 是等比数列 。
2. 等比中项：如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ，使 a 、 G 、 b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
也就是，如果 G 是 a 与 b 的等比中项，那么 Ga 3. 等比数列的性质：b ，即 G 2 G ab 。
①等比数列任意两项间的关系： 如果 a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第 m 项，且 m n ，公比为 q ，则有 a n a qn m②对于等比数列a n ，若 n m u v ，则 a n a ma u a v也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 。
③若数列 a 是等比数列， S 是其前 n 项的和， kN *，那么 S ， SS ， SSn n成等比数列。
如下图所示：S 3 kk2kk3k2ka 1 a 2 a 3S ka ka k1S 2 k a 2k S ka 2k1S 3 kS 2 ka 3kS 3 n例 题 1（ 1 ） 已 知 。
S n 为 等 比 数 列a n 的 前 n 项 和 ， S n54 ， S 2 n 60 ， 则（ 2）已知等比数列a n 中， a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是。
解析：（ 1）结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解。
