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4、段：英译汉（函数B 、数列B ）14分6——B 函数函数思想可以在很多方面来用图解表示。
例如,在图2-6-1（a ）中，集合X 和集合Y 被认为是两个点集，一个箭头被用来表示集合X 中一个特殊点x 在集合Y 中的像点f(x).另一种表示方法如图2-6-1（b ）.这儿的函数f 被想象成一个这样的机器：把集合X 中的实体放入这个机器然后产出集合Y 的实体。
尽管函数思想对定义域和值域的性质没有限制，但是在初等微积分中我们主要感兴趣的是定义域和值域都是实数的函数。
这种函数被称为实变量的实值函数，或者更简单的说，实函数。
并且它们可以通过XY 平面上的图来几何表示。
我们在X 轴上画出定义域X,在每个X 上方对应着y=f(x)的点画出（x,y ）.所有的这样的点（x,y ）,被称为这个函数的图像。
绝对值函数。
假如对于所有的实数x,有f(x)=x.这个函数通常被称为恒等函数。
它的定义域的实线，也就是说是整个实数集。
这里在函数f 的图像上每个点(x,y)都满足x=y 。
这个图像是一条与坐标轴成等角的直线（如图2-6-2）。
它的值域是整个实数集。
绝对值函数。
考虑这样一个函数：对于每个x 指定一个非负数▏x ▕与之对应。
它的部分图像如图2-6-3。
用来表示这个函数，对于每个实数x,我们有。
例如，。
我们在这里列出函数符号绝对值表示的一些性质。
7B 序列极限这里，我们最关心的问题是决定当n 无限增加时，项f (n )是否会趋于一个有限的极限。
要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。
做法如下：定义：说序列{f (n )}有极限L ，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N （可能依赖于ε）使得对所有的n ≥N 有| f (n )-L |<ε.在这种情况下，我们说序列{f (n )}收敛到L ，记为lim (),,()n f n L n f n L →∞=→∞→或者当时. 不收敛的序列称为发散。
在这个定义中，函数值f (n )和极限L 可以是实数或者复数。
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。
而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。
一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。
函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。
通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。
通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。
三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。
实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。
根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。
实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。
浅谈函数思想在中学数学的教学策略函数思想是解决数学问题的重要数学思想之一，它贯穿于整个中学数学当中，常迁移到方程、不等式、数列、求最值、几何和实际应用等方面。
在学习数学过程中，可以利用函数的思想研究问题，借助函数图象的直观性解决问题，尤其是一些高中数学不易入手的题目，用函数思想可以帮助疏理头绪，挖掘问题的内涵，化难为易进行解题。
因此学习掌握函数思想是十分重要的，而培养生动活泼的函数思想是每一位数学教育者的责任。
一、正确阅读数学符号，形成正确的生动活泼的数学函数思想对于数学，很多学生都存有畏惧心理，究其原因是数学中存在大量的概念和命题构成的符号体系，而函数中的数学符号具有较强的抽象性，这也增加了学生学习函数知识的困难。
只有提高对函数数学符号的抽象意识，才能准确理解数学函数的基本内容、基本概念。
那么如何才能真正理解数学函数符号呢？就是阅读数学符号。
所谓阅读数学符号，不是见字母读字母，见数字读数字，而是从符号的最根本的意义出发去读。
例1 已知函数f（x）= 2x-3，求f（-1），f（a）的值。
分析：读该题时切忌见字母读字母，尤其是在初学时，一定要把数学符号的真正含义读出来。
求f（-1）的值，读成“原象-1在函数法则f下，其对应的象是什么呢？”那么，法则f是如何规定的呢？如果我们知道法则f是如何规定的，我们就能找到原象-1对应的象了，因此下面我们来读已知条件“原象x在函数法则f下，其对应的象是原象x的两倍求和再减去3。
”那么这个法则f的具体规定就非常清楚了，所以原象-1在法则f下对应的象是原象-1的两倍求和再减去3，通过运算其结果为-5，故原象-1在函数法则f下对应的象为-5。
对任何原象在函数法则f下都是用这种方法对应到它的象的，因此，原象a 在函数法则f下的象也就不难找到。
反思：通过正确的阅读数学符号，很快就可以巧妙轻松地解决问题。
不仅使学生们在练习中逐渐深入地理解数学符号与数学概念间的联系，而且也有助于数学基本概念在头脑中真正地建立，从而可以更近一步求f（2x-3）或f（f（x））。
86428 数学论文浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.下面分析一下分类讨论思想在中学数学中的应用.一、分类讨论思想在集合中的应用例1.设A={[x] -2≤x≤a}，B={[y] y=2x+3，x∈A}，C={[z] z=x2，x∈A}，且C?B，求实数a的取值范围。
解∵A={[x] -2≤x≤a}，∴B={[y] y=2x+3，x∈A}={[y] -1≤y≤2a+3}.（1）当-2≤a≤0时，C={[z] a2≤z≤4}，因为C?B，所以4≤2a+3，解得a≥，与-2≤a≤0矛盾.（2）当0 解得a≥，故≤a≤2.（3）当a>2时，C={[z] 0≤z≤a2}，因为C?B，所以a2≤2a+3，解得-1≤a≤3，故2 综上可得[a]≤a≤3.二、分类讨论思想在函数中的应用例2.已知函数f（x）=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a），求g（a）的函数表达式.解：原式配方得y=2（x-）2+3-，其对称轴方程为x=，（1）当≤-1时，即a≤-2时，y在[-1，1]上递增，在x=-1时，g（a）=2a+5；（2）当-1<（3）当≥1即a≥2时，y在[-1，1]上单调递减，在x=1时，g（a）=5-2a；综上所述可得g（a）=2a+5，（a≤-2）3-（-2 5-2a，（a≥2）.三、分类讨论思想在不等式中的应用例3.解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3>0.解：（1）当0a2，不等式的解集为{[x] xa}；（2）当a=0时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x ≠0}；（3）当a≠1时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x ≠1}；（4）当a>1或a例4.在正方体的顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？解：依题意，共线的三点组可以分为三类：（1）两端点皆为顶点的共线三点组，共有=28（个）；（2）两端点皆为面的中心的共线三点组，共有=3（个）；（3）两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有=18（个）所以总共有28+3+18=49（个）。
浅谈函数思想在高中数学中的应用函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.标签：函数思想；一元二次函数；数学模型就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；（3）选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。
下面我们结合几个具体的例子来看看函数思想在高中数学中的具体应用。
例1.已知，（、、），则有（）A. B. C. D.【点拨】解法一通过化简，敏锐地抓住了数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有根的充要条件求得；解法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题.【解答过程】解法一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴∴故选B.解法二：去分母，移项，两边平方得：∴故选B.【易错点】不能合理地转化为是、的函数或构造来解题。
例2.已知，若关于的方程有实根，则的取值范围.【点拨】求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围。
【解答过程】方程即，即当时，变为，故无解当时，变为，故当时，变为，故无解总之，的取值范围是例3.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（3）如果，且，证明.【点拨】（1）利用导数，列出表格，求函数的单调性与极值；（2）首先根据对称性求出的解析式，再构造函数，转化为只需利用单调性证明；（3）首先判断的范围，再利用前两问的结论单调性，要证，只需证【解答过程】（1）解：，令，解得当变化时，，的变化情况如下表：1+ 0 -极大值所以在内是增函数，在内是减函数。
浅谈函数思想在解题中的应用摘要：函数是中学数学中最为重要的内容，而函数思想是中学数学的一种基本思想，更是最重要的一种数学思想,高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，高考题对函数的思想方法的考查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。
关键词：高中数学函数解题函数是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。
一、函数思想所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
二、函数的运用函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决。
如解方程f（x）=0，就是求函数y=f （x）的零点，解不等式f（x）＞0（或f（x）＜0），就是求函数y=f（x）的正负区间。
再如方程f（x）=g（x）的解的问题可以转化为函数y=f（x）与y=g（x）的交点问题，也可以转化为函数y=f（x）-g（x）与x轴的交点问题，方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
例如，函数与表达式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y＞0时，就转化为不等式f（x）＞0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
数列的通项或求前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数f（x）=（a+bx）n（n∈N*）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
探索篇•方法展示函数思想对高中生解题起到十分重要的作用，它是帮助高中生解题的有效工具。
但在实际学习过程中，学生普遍缺乏对函数思想的认识，甚至将其与函数知识相混淆，最终导致解题思维受到局限。
对此，学生应当提高对函数思想的重视，加大对函数思想的学习力度，以此来更好地认识函数思想。
一、函数思想相关内容综述（一）概念函数思想的概念可以从三个方面进行了解，第一点是指通过科学利用函数相关性质来解决函数问题；第二点是通过转换思想来分析与解决函数变量之间的关系问题；第三点是对一些高中数学中看似并非函数的问题，可以通过一系列思维的转化最终变成函数问题，以此实现对问题的变向分析处理。
从整体上讲，函数思想实际上就是利用函数知识与性质，将复杂的数学问题转化为简单问题的一种思维。
函数思想是现代高中十分重要的解题方法，它甚至在大学都有十分广泛的应用，德国数学家菲利克斯就曾指出，函数思想是数学的灵魂，它始终贯穿于数学知识当中。
因此，当人们学习数学时，应当有意识地了解函数思想，以此来提高自身的数学建模能力，达到更好的数学解题效果。
（二）性质人们经过漫长的摸索与研究后，最终形成了一种系统的数学解题思维，这便是函数思想的形成过程，数学知识之间存在着千丝万缕的联系，数学家在研究过程中发现这些知识点拥有共同属性，因此在经过不断的归纳总结之后，利用最简洁的公式将这种共同属性表达出来，即为“已知+未知+规定思想”。
“已知”为已经存在的客观条件，即定量；“未知”为存在但未被证实的客观条件，即变量，而“规定思想”则是指人们在运算过程中掌握的事物特定规律，这种规律能够帮助人类快速地解决数学问题，进而达到更加良好的解题效果。
二、函数思想在高中数学解题中的应用（一）在不等式中的应用不等式是高中数学知识的重要组成部分，它涉及正负区间、单调性的问题。
在没有正确解题方法的引导下，我们想要进行不等式证明需要花费大量的时间，且步骤繁琐，利用函数思想来解决不等式问题，可以帮助我们快速地明确解题方向。
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用作者：陈燕虹来源：《读书文摘（下半月）》2018年第04期摘要：高中阶段数学作为学生学习重要阶段，对于提高学生数学解题能力、高考成绩都有着显著价值，而本文则是从函数思想概念出发，对其在高中数学解题中的有效应用进行了具体的阐述。
关键词：函数思想；高中数学；解题应用在高中数学教学过程中，有效的数学思想不仅能够促进教学质量，还能提高学生数学能力与思维，因为数学思想本身就是学生数学能力重要表现，也是学生提高自身数学逻辑思维能力的关键。
函数思想作为一种较为常见的数学思想，其本身在培养学生数学思维能力等多方面就有着较为显著的价值，再加上函数也是高中学习阶段较为重要的知识点，应用函数思想进行高中数学解题教学能够进一步提高学生解题思维与能力，促进学生全面发展。
1函数思想相关概述函数思想主要表现出来的内容就是量和量之间的关系，而且两者之间的关系是运动变化的，并非一成不变的。
如果从本质上来分析函数就是对应，像是于函数y=f（x），其中对应法则f以及自变量的变化范围可以说是函数构建的基本，而在这其中占据主导地位的则是自变量的变化；而从函数值域这一角度来分析的话，其则是由对应法则以及定义域这两者来决定的。
在数学解题过程中应用函数思想，从本质上来说就是构建出辅助函数，将数学问题转变成这一函数的性质，以此来获得相应的结果。
在应用函数思想的时候，可以使用以下三种方式来进行应用：其一，整体法。
这一方式主要是在解题教学过程中，将题目进行整体处理，也就是对其整体结构以及形式进行分析，以此来让解题变得更加清晰。
其二，假设归纳法。
这一方式就是在解题过程中先对其结果进行猜想和归纳，之后再通过具体的观察和试验进行验证。
其三，递推法。
这一方式主要是在解题过程中，对于具体问题中所存在的递推关系进行探究，以此来解决数学问题，这一方式经常会使用到数列解题之中。
2函数思想在高中数学解题中的有效应用2.1应用在数学不等式解题中在高中数学解题教学过程中，不等式解题是较为常见的问题，而将函数思想应用到其中，主要就是对函数单调性、零点以及正负区角等问题进行具体的分析。
浅谈函数思想在数列中的应用众所周知，数列是一类特殊的函数。
在解决数列问题时，适当地运用函数思想可以简化问题，达到事半功倍的效果。
下面我就此做几点分析。
一、运用函数思想掌握数列定义。
在讲解数列定义时，我们可以将其与函数定义展开对比，通过具体实例让学生体会数列与我们前面所学习过的任何一种函数没有本质区别，只是定义域不同而已。
因此导致其图象不具备连续性，而是一系列孤立的点，同时也可体会数列作为函数的特殊性。
我在教学过程中先是给出了几个常见的基本函数：y=2x+1 y=1/x，y=sinπx，y=2x然后让学生分别求它们在正整数集上的函数值，接着给出数列的定义，及表示方法，这样学生就自然而然低接受了数列是函数这一思想，为以后的应用奠定了基础。
二、运用函数思想研究数列的性质。
这一点主要体现在数列周期性，以及单调性的研究上。
问题1、在数列{a n}中a1=1，a2=5，a n+2=a n+1-a n(a∈N+)则a100等于（）
A、1
B、-1
C、5
D、-5
分析：由递推关系式可以看出数列应具备周期性。
结合在学习函数时出现过的式子f(x+2)=f（x+1）-f(x)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)可作类似推导，a n+2=-a n-1即a n+3=-a n
故a n+6=-a n+3=a n因此数列{a n}是周期为6的周期性数列，所以a100=a4=-a1=-1 问题2、已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+k n+2，若对于n∈N+都有a n+1>a n,则实数K的取值范围为
分析：由>a n，可知该数列是一个递增数列。
而通项公式a n=n2+k n+2可以看作是关于n的二次函数，其单调性由对称轴n=-k/2来决定，考虑到数列的特殊性，只需a1<a2即可。
也就是-k/2<3/2得k>-3。
这里显示比较容易忽略n为正整数这一特殊性，做出-k/2<1 即k>-2的结论。
问题3、数列{a n}中，a n =
2n 156
n
（n∈N*）则改数列的最大项是第项。
分析：问数列的最大项即问数列的单调性，而数列的单调性通常有两种方法判断。
一是利用a n+1- - a n的符号，二是构造函数。
利用函数的单调性进而确定数列的单调性，对本题来说，更适合用构造函数哦方法。
令f(x) =2n 156n +其中x ∈（1，+∞），则f(x)= 1156x x
+再令g （x ）=156x x +(x ≥1)则g ’（x ）=1-2156x
=22156x x -，令g ’（x ）≥0得x ≥156令g ’（x ）<0得1<x<156所以g(x)在（1，156）上单调递减，在（156，+∞）单调递增，故f(x) （1，156）上单调递增，在（156，+∞）单调递减，而12<156<13故a n 的最大项为a 12或a 13又a 12=2121=12+15625，a 13=2131=13+15625
所以a n 的最大项为a 12或a 13 三、函数思想在等差数列中的应用。
由等差数列通项公式可知a n =a 1+(n-1)d=d n +(a 1-d)为一次函数形式，而其前n
项和S n =n a1+n 2(n-1)d=d 2n 2+(a 1-d 2
)n 为过原点的二次函数形式，因此在具体题目中我们可以利用这两点将问题与一、二次函数图象结合起来。
使问题变得形象、直观。
问题4：设等差数列{a n }的前n 项和为S n 若a 1<0, S 2009=0.
（1）问n 为何值时S n 取得最小值。
（2）求n 的取值集合，使a n ≥S n
分析：（1）因为{an}为等差数列，所以可设S n =A n2+B n ，为过原点的二次函数又S 2009=0，所以对称轴为n=
20090200922
+=所以当n=1004或1005时S n 取得最小值。
(2)由题意可设a n =a n +b 为关于n 的一次函数，由S 2009=0可得S 2010=S 2009+a 2010=a 2010，又a 1=S 1故方程a n =S n 有两个根，n=1和n=2010，结合图象可知a n ≥S n 的解集为{n| 1≤ n ≤2010,n ∈N*}
问题5等差数列{a n }的前n 项和为Sn 已知S n =S m 求S n+m
分析：由题意可设S n =An 2+bn 为过原点的二次函数，而由S n =S m 可知其对称
轴为x=2
n m +故S n+m =S 0=0 四、函数思想在等比数列中的应用
依据等比数列定义a n =a 1q n-1=1n a q q
•为指数函数模型，当q ≠1时Sn=111(1)111n n a q a a q q q q
-=----故可设S n =A-Aq n 也是指数函数模型。
问题6、等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +a 则a=
分析：由等比数列前n 项和形式： S n =A-Aq n 可将S n =3n +a=1×3n -（-a ）所以-a=1
即a=-1
五、构造函数证明数列中的不等式。
这些年来，数列与不等式结合一直是高考中的热点问题。
而构造函数证明相应不等式是解决这一类问题重要方法之一。
值得我们深入地进行探讨和研究。
问题7、（2010年湖北，21,14分）已知函数f(x)=ax+b x
+c(a ＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.
(Ⅰ)用a 表示出b,c;
(Ⅱ)若f(x)＞㏑x 在[1,∞]上恒成立，求a 的取值范围；
(Ⅲ)证明：1+12+13+ (1)
＞㏑(n+1)+()21n n +)(n ≥1). 分析：（1）f ’(x)=a- 2b x ,则有(1)0'(1)1f a b c f a b =++=⎧⎫⎨⎬=-=⎩⎭
解得112b a c a =-⎧⎫⎨⎬=-⎩⎭
（2）由（1）知，1()12a f x ax a x -=+
+- 令1()()ln 12ln ,[1,]a g x f x x ax a x x x
-=-=++--∈+∞
则2222
1(1)()11(1)(1)0,'()a a x x a ax x a a g g x a x x x x -------==-
-==，
（i ）当11012a a a
-<<>时， 若11a x a -<<，则'()0,()g x g x <是减函数，所以()(1)0g x g <= 即()ln f x x >故()ln f x x ≥在[1+ ∞]上不恒成立。
（ii ）当11,12a a a
-≥≤时。
若1,'()0,()x g x g x >>则是增函数，所以()(1)0g x g >=
即()ln .1()ln .f x x x f x x >≥≥故当时，
综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2
+∞ （3）由（2）知当1()ln (1)2
a f x x x ≥≥≥时，有 令111,()()ln (1)22a f x x x x x ==-≥≥有，且当x>1时，11()ln 2x x x
-> 令1,k x k +=有 111111ln ()[(1)(1)],2121
k k k k k k k k ++<-=+--++即111ln(1)ln (),1,2,3,.21
k k k n k k +-<+=+……， 将上述n 个不等式一次相加得
11111ln(1)(),2232(1)n n n +<++++++……整理得1111)ln(1)232(1)
n n n n ++++>+++……。
总之，数列是特殊的函数，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，而函数思想更是解决高中数学问题的重要数学思想方法。
在解决数列问题时，如果我们能充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起数列与函数间的桥梁，就能达到简化问题，解决难点的目的。
