贾志鹏 线性筛 积性函数

线性筛,积性函数,狄利克雷卷积,常见积性函数的筛法⼀些性质积性函数：对于函数\(f(n)\)，若满⾜对任意互质的数字\(a,b，a*b=n\)且\(f(n)=f(a)f(b)\)，那么称函数f为积性函数。

狄利克雷卷积：对于函数f,g,定义它们的卷积为\((f∗g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。

狄利克雷卷积满⾜很多性质：交换律：\(f∗g=g∗f\)结合律：\((f∗g)∗h=f∗(g∗h)\)两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数。

积性函数都可以⽤线性筛筛出来怎么筛？\(⼀般来讲，只要知道f(P^k)，P为质数，就可以知道怎么筛了\)\(简单来讲就是推⼀下\)\(通俗来讲就是⼿玩⼀下或者打表找规律\)如果你⼀眼就看出来了那就只能Orz了⼏道题⼀些常见积性函数的筛法莫⽐乌斯函数\(\mu(n)\)这个⽐较简单，\(\mu(1)=1\)，\(i\)为质数时\(\mu(i)=-1\)，最⼩质因⼦筛到它的时候正负号反过来，否则为\(0\)isprime[1] = 1; mu[1] = 1;for(int i = 2; i < N; ++i){if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; mu[i] = -1; }for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){isprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];else{ mu[i * prime[j]] = 0; break; }}}乘法逆元\(inv(i)\)求⼀个数在模p意义下的逆元设\(p=i*x+j\)，则\(i*x+j\equiv0(mod\ p)\)同时除以\(i*j，所以x*j^{-1}+i^{-1}\equiv0(mod\ p)\)移项\(i^{-1}\equiv-x*j^{-1}(mod\ p)\)⽽\(x=p\ div\ i，j=p\ mod\ i\)所以\(inv(i)=-inv(p\%i)*(p/i)\)不⽤筛了，递推就可以了inv[1] = 1; for(int i = 2; i < p; ++i) inv[i] = -(p / i) * inv[p % i] % p + p) % p;补充阶乘逆元的递推，求出\(inv(n)\)，\(inv(i)=inv(i+1)*(i+1)\)倒着来就⾏了fac[0] = inv[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i] * i % p;inv[n] = Getinv(fac[n]); //Exgcd or Fermatfor(int i = 1; i < n; i++) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;欧拉函数\(\varphi(n)\)公式:\(n分解成若⼲质数p的乘积n=\Pi p_i^{a_i}\)\(\varphi(n)=n*\Pi(1-\frac{1}{p_i})\)那么\(\varphi(1)=1\)，\(n为质数时\varphi(n)=n-1\)，最⼩质因⼦筛到它时乘上质因⼦\(p-1\)，否则乘上这个质数isprime[1] = 1; phi[1] = 1;for(int i = 2; i < N; ++i){if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; phi[i] = i - 1; }for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){isprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);else{ phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; }}}约数个数\(d(n)\)公式：还是分解\(d(n)=\Pi(a_i + 1)\)我们记录下每个数最⼩质因⼦的指数记为\(pred\)就好了isprime[1] = 1; d[1] = 1;for(int i = 2; i < N; ++i){if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; d[i] = 2; pred[i] = 1; }for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){isprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]){d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]];pred[i * prime[j]] = 1;}else{pred[i * prime[j]] = pred[i] + 1;d[i * prime[j]] = d[i] / (pred[i] + 1) * (pred[i] + 2);break;}}}约数的和\(\sigma(n)\)公式：⼜是分解\(\sigma(n)=\Pi(\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j)\)这个就很烦了。

2.2 泛函与变分的基本概念2.2.1 泛函函数：对应于定义域中的每一个x 值， y 都有一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作 y =f (x)。

x — 自变量。

函数是变量与变量之间的关系。

泛函：如果对于变量x ，存在一类函数{y (x )}，对于每一个函数y (x )，某变量J 都有一确定值与之对应，则称变量J 是函数y (x )的泛函，记作 J=J[y (x )]。

y — 宗量。

泛函是函数与变量之间的关系，可理解为“函数的函数”。

例，连接平面上A,B 两点的弧长是一泛函。

① 泛函宗量的增量泛函J 的宗量y 的增量，指两函数间的差0()()y y x y x δ=−，其中y(x)是y 0(x)领域内与y 0(x)属同一函数类的任意函数。

② 泛函的连续性函数连续：若对于x 的微小变化，有函数f (x)的微小变化与之对应，则说f (x)是连续。

泛函连续：若对于y(x)的微小变化，泛函J 的变化也很微小，则说泛函J 是连续。

曲线y(x)与曲线 y 0(x)21222[()]x x dl dx dy J y x l =+===∫y 1012()()()y x y x x x x ε−≤≤≤具有零阶相近度 012012()()()()()()y x y x x x x y x y x x x x εε−≤≤≤−≤≤≤ 具有一阶相近度 例，1110001()(),;()cos ,cos sin12J x t dt x t t J tdt x t t J tdt =======∫∫∫当当③ 线性泛函2.2.2 泛函的变分函数微分 ←→ 泛函变分函数y =f (x)， 增量表示为：()()()(,)y f x x f x yx x r x x Δ=+Δ−=Δ+Δ当0x Δ→时，第二项可以忽略。

第一项叫做函数增量的线性主部，即函数的微分，记作：()()dy yx dx f x dx ′==参照函数微分的定义，泛函变分定义如下：若泛函宗量的增量 0()()y y x y x δ=−连续泛函[()]J y x 的增量可表示为[()][()][(),][(),]J J y x y J y x L y x y r y x y δδδΔ=+−=+第一项为泛函增量的线性主部,称为泛函的变分，记作 [(),]J L y x y δδ=定理2.1 泛函J[y(x)] 的变分 0[()]J J y x y εδεδε=∂=+∂1212()()()()(),J x x J x J x J x J x R ααα+=+=∈泛函J 连续 第一项为x Δ的线性函数 第二项为x Δ的高阶无穷小 第一项为y δ的线性泛函 第二项为y δ的高阶无穷小例，120()J x t dt =∫求泛函的变分 解: 泛函的增量为 {}11220012011200[()()]()[2()()[()]2()()[()]J x t x t dt x t dt x t x t x t dt x t x t dt x t dt δδδδδΔ=+−=+=+∫∫∫∫∫ 泛函的变分 102()()J x t x t dt δδ=∫例2.821[,(),()]x x J F x y x y x dx =∫ 求泛函的变分212100[][,,]()x x x x J J y y F x y y y y dx F F y y dx y y εεδεδεεδεδεδδ==∂=+∂∂=++∂∂∂=+∂∂∫∫2.2.3 泛函的极值如果泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)的邻域内，其增量00[()][()]0[()][()]0J J y x J y x J J y x J y x Δ=−≥Δ=−≤或则称泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)处有极小或极大值。

解：（1） 瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。

（2） 准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散性。

（3） 周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2t f 0π的有效值（均方根值）：2/1)4sin 41(21)4sin 41(21)4cos 1(212sin 1)(10000000000000202000=-=-=-===⎰⎰⎰T f f T T tf f T T dt t f T dt t f T dt t x T x T T T T rms ππππππ 解：周期三角波的时域数学描述如下：（1）傅里叶级数的三角函数展开：，式中由于x(t)是偶函数，t n 0sin ω是奇函数，则t n t x 0sin )(ω也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。

故=n b 0。

因此，其三角函数展开式如下：其频谱如下图所示：T 0/2-T 0/21x (t ) t. . . . . .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤≤-≤≤-+=)(202022)(00000nT t x T t t T AA t T t T A A t x 21)21(2)(12/0002/2/00000=-==⎰⎰-T T T dt t T T dt t x T a ⎰⎰-==-2/00002/2/00000cos )21(4cos )(2T T T n dt t n t T T dtt n t x T a ωω⎪⎩⎪⎨⎧==== ,6,4,20,5,3,142sin 422222n n n n n πππ⎰-=2/2/0000sin )(2T T n dtt n t x T b ω∑∞=+=1022cos 1421)(n t n nt x ωπ∑∞=++=1022)2sin(1421n t n nπωπ(n =1, 3, 5, …）（2）复指数展开式复指数与三角函数展开式之间的关系如下：故有)( 21=212121n 22000=-===+====nn n e n m n n n n n a barctg C R C I arctg a A b a C a A C φ 0ωA (ω)ω0 3ω0 5ω0 0ωω0 3ω0 5ω0 ϕ (ω)24π294π2254π21 2π C 0 =a 0C N =(a n -jb n )/2 C -N =(a n +jb n )/2 R e C N =a n /2 I m C N =-b n /2)(212122000n n n e n m n n n n n a barctg C R C I arctg A b a C a A C -===+===φ R e C N =a n /2⎪⎩⎪⎨⎧====,6,4,20,5,3,122sin 222222n n n n n πππI m C N =-b n /2 ＝0单边幅频谱 单边相频谱0 ωn φω0 3ω0 5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 ωω0 3ω0 22π 21292π2252π5ω0 -ω0 -3ω0 292π 2252π-5ω0 22πnC0 ωI m C nω0 3ω0 5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 ωR e C nω03ω0 22π21 292π2252π5ω0 -ω0 -3ω0 292π 2252π-5ω0 22π虚频谱双边相频谱实频谱双边幅频谱解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：用傅里叶变换求频谱。

收稿日期:2005-07-20 第23卷　第9期计　算　机　仿　真2006年9月 文章编号:1006-9348(2006)09-0123-06基于S V M 的大样本集系统辨识与函数拟合仿真张智,朱齐丹,邢卓异(哈尔滨工程大学自动化学院,黑龙江哈尔滨150001)摘要:支持向量机是一种优秀的学习方法,也是具有很好泛化性能的回归方法。

但由于支持向量机算法实习复杂,效率低,严格限制了其应用,S M O 算法的提出大大提高了支持向量机的学习效率。

因此,借助S M O 算法,便可以实现大样本集的非线性系统辨识和函数拟合。

文中对回归问题的SMO 算法作了详细介绍,并对其进行改进。

然后研究了利用改进S M O 算法的非线性系统辨识方法,给出了非线性系统的辨识的仿真结果,和一维二维函数的拟合仿真。

并通过仿真,与原始算法进行了比较,显示了改进S M O 算法的快速性。

关键词:支持向量机;序列最小优化;改进学习算法;回归问题中图分类号:TP301.6 文献标识码:BThe Sm i ul ation of Large Scale R egression and Syste m IdentificationProble m s Based on Support V ectorM achi neZ HANG -Zhi ,ZHU Q i -dan ,X I N G Zhuo -yi(Co llege of A uto m a tion ,H arb i n Enginee ri ng U niversit y ,H arbin H eilong jiang 150001,China )ABSTRACT :Suppo rt V ector M ach i ne is an exce llen t learn i ng t echnique ,and it is a lso a c lass of reg ression m e t hod w ith a good gene ra liza tion ability .H owever ,because t he a l go rith m of SVM is comp l ex ,it hinders the applica tion o fSVM ,t he S M O algorit h m i mprove s the l ea ri ng ve l o city of SVM g rea tly .So ,usi ng S M O learn i ng m ethod ,w e can so l ve t he p rob le m s o f larg e scale sy ste m i dentificati on and reg ression .In t h is pape r ,the reg ression S VM a l go rith m is intro -duced ,and t he m e t hod is i m proved from many respects .The m ethod o f non linear syste m identifica tion is st ud i ed .The si m ulati on resu lts o f the i m proved S M O m e t hod and t he orig i n S MO m ethod show t he advantage s o f the i m p roved S M O m e t hod .KEY WO RDS :Suppo rt vector m ach i ne (S VM );S MO ;I mproved l ea rning a l go rith m ;Reg ression1　引言近年来成为研究热点的统计学习理论(S t a tistica l Learn -ing Theo ry )是一种专门的小样本情况下机器学习规律的理论,V apni k 提出一种基于统计学习和结构风险最小化原理的新型学习机-支持向量机(S VM )。

前言浙江大学数学系计算机辅助几何设计与图形学科研组（CAGD&CG Group）开展计算机图形学和几何设计的研究已有二十余年历史．近十年来，科研组在国家自然科学基金资助和兄弟单位帮助下，针对计算机辅助曲线曲面造型的国际前沿课题和我国工业界提出的专业技术难点开展攻关研究，取得了一批理论成果．这些成果先后总结成论文，发表在Computer Aided Geometric Design, CVGIP: Graphical Models and Image Processing, Computer Aided Design, Computing, Computer Graphics, Computers and Graphics, Computers in Industry, Journal of Approximation Theory, Chinese Science Bulletin, Progress in Natural Science, Journal of Computer Science and Technology, Journal of Computational Mathematics, Computer AidedDrafting, Design and Manufacturing等国际期刊和《中国科学》、《计算机学报》、《软件学报》、《数学年刊》、《应用数学学报》、《计算数学》、《高校应用数学学报》、《计算机辅助设计与图形学学报》等国内核心刊物上，累计逾百篇．其中有30篇被SCI(Science Citation Index)摘录，有34篇被EI(Engineering Index)摘录，有2篇在SIGGRAPH计算机图形与交互技术国际会议上宣读，又被作为第一作者的国际学者100多人次在70多篇文章中引用150多次，在CAGD&CG这一高技术领域为我国争得了一席之地．为了与广大读者共享我们的科研成果，为祖国的四化尽绵薄之力；为了与同行们进行学术交流，起到抛砖引玉的作用，我们在国家自然科学基金研究成果专著出版基金的资助下，把这些论文进行系统的归纳整理，写成本书印刷出版．2前言计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design)主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合．它肇源于飞机、船舶的外形放样(Lofting)工艺，由Coons(1912 - 1979)、Bézier(1910 - 1999)等大师于20世纪60年代奠定理论基础．典型的曲面表示，20世纪60年代是Coons技术和Bézier技术，20世纪70年代是B样条技术，20世纪80年代是有理B样条技术．现在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理B样条（NURBS：Non-Uniform Rational B-Spline）参数化特征设计(Parameterized and Characteristic Design)和隐式代数曲面表示（Implicit Algebraic Surface Representation）这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系．随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计在近几年来得到了长足的发展．这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新．从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差；从表示方法来看，以网格细分(Subdivision)为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新之势．而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，前言 3 得到了高度的运用．在这本书中，大部分章节反映了当前的国际研究热点，如有理参数曲面的多项式逼近，降阶逼近和隐式逼近，网格曲面的细分逼近，曲面互化和变形，曲面重建和简化，曲面拼接和求交，曲面位差计算和曲面区间分析等．因此本书的第一个特点是题材新颖、接触前沿．在这本书中，展示的最新理论成果涵盖了曲线曲面的计算机表示、插值、拟合、逼近、拼接、离散、转换、求交、求导、求积、变形、区间分析和等距变换等方面，这些都是计算机辅助几何设计的重要研究领域．因此本书的第二个特点是内容丰富、涉猎广泛．在这本书中，重点介绍了浙江大学数学系CAGD&CG Group近十年来独立创造的计算机辅助几何设计的许多新技术和新方法，例如Bézier/B-Spline/NURBS曲线的包络生成技术，离散B样条计算技术，有理圆锥曲线段Bernstein基表示技术，广义Ball曲线曲面表示和求值技术，复杂B样条曲线曲面节点插值技术，有理曲面任意阶几何连续拼接技术，参数曲线曲面求交中离散层数的先验性技术和离散最佳终判技术，有理Bézier曲线曲面的求导求积技术，曲线曲面等距性中的复分析、重新参数化和代数几何技术，曲面变形中的活动球面坐标技术等等．因此本书的第三个特点是自成体系、浙大特色．在这本书中，各章内容充分体现了计算机辅助几何设计这一新兴边缘学科与应用逼近论、微分几何、代数几何、线性代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、4前言三维医学图象学、人体解剖学等学科的交叉和渗透；同时，部分内容是我们在完成国内前西安飞机公司、成都飞机公司、上海船舶运输科学研究所、杭州妇幼保健医院、前浙江医科大学解剖学教研室等单位的实际课题中所总结写成的；即使是理论推导的内容，我们在写作中也尽量描述其来龙去脉和应用背景，希望对我国的工业产品造型、机械设计制造、动画制作、计算机图形软件编制会有一定的帮助；全书总结的曲线曲面的所有算法都被编制了程序，在SGI图形工作站和微机上反复调试，得到实现．因此，本书的第四个特点是学科交叉、面向应用．最后，这本书的写作采取了由叙述基本概念出发，从几何直观的角度步步深入展开的做法；推导严谨，重点突出，对原发表论文中的定理和算法以再创作的态度作了改写和简缩，以全书统一的符号加以描述，并尽量阐明其创新思路、几何意义及应用步骤．全书集中介绍我们的理论成果，为保持内容的系统性和完整性，对国际国内的重要相关理论也作扼要介绍．至于基本概念的叙述，又尽可能不落俗套，尽量采用我们自己的新观点和新思想．例如，Bézier曲线的引入，采用了空间割角多边形序列一致收敛的极限形式并给予严格证明；B样条基函数，采用了新推导的一般递推公式；NURBS曲线的引入，采用了递归的包络定义；细分曲面的引入，采用了我们提倡的切割磨光法；区间曲面的引入，采用了我们给出的中心表达形式等等．这样做的好处一是再次体现专著特色，二是使读者不必多找其他参考书籍，只要具备数学分析(微积分)、线性代数和应用微分几何知识就能读懂全书，登堂入室．因此，本书的第五个特点是论述简明、深入浅出．前言 5 正因为本书是按照由浅入深、循序渐进、严格定义、严密推理、算法详细、注重应用的原则写成的，所以它虽然是一本专著，但却可兼而用作大学的研究生教材，其中第1、2、3、7章的全部以及第5、6、9、10章的前几节也可用作大学高年级学生的选修课教材，更适合于有志从事计算机图形和计算机辅助设计研究者作为自学入门的向导．本书可供高等院校计算机科学与工程系、应用数学系、机械工程系、航空航天、舰船、汽车、模具、机器人制造、建筑、测绘、勘探、气象、公路设计、服装鞋帽设计、工业造型、工艺美术、电子通讯、生物、医学图象处理等专业的广大师生和研究生阅读；对从事曲面造型理论研究与工程应用和从事科学计算可视化的广大科技人员，对从事计算机图形、影视动画软件开发和从事产品外形设计、制造与工艺(CAD/CAM/CAPP)方面有关软件开发的计算机工作者也有较大参考价值．本书作者从1984年起为浙江大学应用数学系(1999年起更名为数学系)、计算机系、机械系以及后来建立的浙江大学CAD&CG国家重点实验室的研究生开设学位课程《计算几何》．十多年来，遵照教材现代化、教材与国际接轨的要求，把CAGD领域的国际研究进展和本课题组的最新研究成果一点一滴地及时充实到课程讲义之中，不断更新教学内容，以科研带教学，以教学促科研，受到了听讲学生的普遍欢迎．正是这多年的教学经验积累和科学研究收获，为本书的写作奠定了坚实的基础．本书共有二十章．首先由王国瑾教授拟定各章内容和细目，与其余作者进行了充分的6前言讨论和修改．汪国昭教授撰写了第11章、第20章和第1章的前四节；郑建民教授撰写了第10章、第18章和第16章的第1、2、3、7、8、9节；杨勋年副教授撰写了第6章的前二节；王国瑾教授撰写了本书其余的十三章以及第1章的后二节、第6章的后三节和第16章的第4、5、6、10节；最后由王国瑾教授负责全书的统稿、润色和校订．这本书是在前浙江大学应用数学系主任和浙江大学CAD&CG国家重点实验室学术委员会前主任梁友栋教授的关心和支持下写成的，浙江大学数学系的董光昌教授和金通洸教授也对本书的写作给予热情的鼓励．作者衷心感谢兄弟院校的师长们，他们多年来都在学术上给作者以丰富的启迪，在工作中给作者以巨大的帮助；尤其是亲自倡导并身体力行开展中国CAGD研究事业的著名数学家苏步青院士，他对科学的执著和创造精神，他以七十多高龄下厂解决实际课题的研究作风，一直激励着作者们奋发进取．博士生刘利刚、陈国栋、陈动人、钟纲、吕勇刚、张宏鑫、满家巨、寿华好、车武军、吕晟珉、张景峤以及硕士生解本怀、金雷为本书文稿的打字和排版付出了辛勤的劳动，作者也向他们表示诚挚的感谢．在本书面世之际，三位作者还要对养育自己的父母以及各自的妻子吴定安、林亚平、任开文表示深深的敬意．他们以自己的爱心和操劳，默默地支持着作者们长年累月的科研工作和本书的写作．如果说，本书对我国的科学研究、工业和软件业会有一点微薄贡献的话，那么这里面也有他们的一份功劳．前言7 由于时间仓促，加之水平有限，本书中难免会有错误和不足，敬请读者不吝指正．作者谨识于浙江大学求是园欧阳纯美楼目录第一章Bézier曲线 (1)1.1自由曲线造型概论 (1)1.1.1样条函数插值的Hermite基表示 (1)1.1.2端点条件及追赶法 (2)1.1.3样条曲线 (3)1.2割角多边形序列的生成及收敛(Bézier曲线的几何生成法I) (4)1.2.1简单割角法 (4)1.2.2割角多边形序列的两个性质 (4)1.2.3割角多边形序列的极限形式 (6)1.3Bézier曲线的基本几何性质及几何生成法II和III (7)1.4Bézier曲线的离散构造与平面Bézier曲线的保凸性质 (10)1.4.1离散公式的导出 (10)1.4.2离散公式的应用(平面Bézier曲线的保凸性) (12)1.5Bézier曲线的包络性质(几何生成法IV) (12)目录91.6Bézier曲线的代数性质 (13)1.6.1Bézier曲线两种代数定义的等价性 (13)1.6.2Bézier曲线的幂基表示 (14)1.6.3Hermite插值曲线的Bézier表示 (15)主要文献 (16)参考文献 (16)第二章B样条曲线 (18)2.1B样条基函数的递推定义及其性质 (18)2.2B样条曲线的包络生成及几何定义 (20)2.3B样条曲线的基本几何性质及连续阶 (21)2.4B样条曲线求值和求导的de Boor算法 (23)2.5三次均匀B样条曲线的几何作图及设计技巧 (24)2.6带重节点的三次B样条曲线的基本性质 (25)2.7广义差商及B样条基函数的差商定义 (27)2.8嵌入一个节点改变B样条基函数和B样条曲线表示 (28)2.9连续嵌入同一个节点达k 1重时的B样条曲线 (30)2.10离散B样条及离散B样条曲线 (31)10目录2.11平面B样条曲线的保凸性和变差缩减性(V.D.)性 (32)主要文献 (33)参考文献 (33)第三章有理Bézier曲线 (35)3.1圆锥曲线的经典数学表示及其有理二次参数化 (35)3.2有理Bézier曲线的定义及其基本几何性质 (36)3.3有理Bézier曲线的离散构造及包络性 (39)3.4平面有理Bézier曲线的隐式化 (40)3.4.1隐式方程的导出 (40)3.4.2平面n次代数曲线有理参数化的条件 (41)3.5有理二次Bézier曲线的分类 (42)主要文献 (43)参考文献 (43)第四章有理B样条曲线 (44)4.1NURBS曲线的一般定义、递推求值及离散构造 (44)4.2平面NURBS曲线的保形性 (46)4.3NURBS曲线的包络生成及几何定义 (47)4.3.1包络的存在性 (47)4.3.2包络的唯一性 (48)4.3.3NURBS曲线的几何定义 (50)4.4NURBS曲线的显式矩阵表示 (51)4.4.1基于差商的系数矩阵显式表示 (51)4.4.2基于Marsden恒等式的系数矩阵显式表示 (53)4.4.3特殊NURBS曲线的系数矩阵显式表示 (54)主要文献 (55)参考文献 (56)第五章有理圆弧段与有理圆锥曲线段 (57)5.1圆弧曲线段的有理二次Bézier表示 (57)5.2圆弧曲线段的有理三次Bézier表示 (58)5.2.1充分条件和充要条件的导出 (58)5.2.2圆心角范围与顶点的几何作图 (59)5.3圆弧曲线段的有理四次Bézier表示 (60)5.3.1充要条件的导出 (60)5.3.2圆心角范围 (62)5.4圆锥曲线段的有理三次Bézier表示 (63)5.4.1有理三次Bézier曲线的降阶条件与有理保形参数变换下的不变量 (63)5.4.2有理三次圆锥曲线段向单位圆弧的转换 (64)5.4.3有理三次圆锥曲线段的充要条件 (65)5.4.4有理三次圆锥曲线段的分类条件 (67)5.5圆弧曲线段与整圆的有理B样条表示 (68)主要文献 (68)参考文献 (69)第六章几何样条插值、逼近及平面点列光顺 (70)6.1平面点列的双圆弧样条插值 (71)6.1.1最优切矢的确定 (71)6.1.2双圆弧插值的算法 (72)6.2平面点列光顺算法 (72)6.2.1多余拐点的去除 (73)6.2.2基于改进最小能量法的离散曲率光顺方法 (74)6.3平面曲线的圆弧样条逼近和空间曲线的圆柱螺线样条逼近 (76)6.3.1平面曲线的圆弧样条逼近 (76)6.3.2空间曲线的圆柱螺线样条逼近 (76)6.4空间型值点位矢和单位切矢的双圆柱螺线插值 (78)6.5由散乱型值点构造插值曲面 (78)主要文献 (80)参考文献 (80)第七章矩形域和三角域上的参数函数曲面 (82)7.1插值算子布尔和与张量积 (82)7.2矩形域上的Bézier曲面及其几何性质 (84)7.3三角域上的Bézier曲面及其几何性质 (86)7.3.1三角域上的Bézier参数曲面及其基本性质 (86)7.3.2三角域上Bézier函数曲面的正性和凸性 (90)7.4矩形域上的B样条曲面、有理Bézier曲面与有理B样条曲面 (94)7.5旋转曲面的有理Bézier表示 (95)7.5.1有理双二次Bézier表示 (95)7.5.2有理双三次Bézier表示 (96)7.6球面的有理参数表示 (97)主要文献 (97)参考文献 (98)第八章广义Ball曲线与广义Ball曲面 (99)8.1CONSURF系统中机身造型曲线的几何性质 (100)8.2两种广义Ball曲线 (102)8.3Wang-Ball基函数的性质 (102)8.4Said-Ball、Wang-Ball曲线与Bézier曲线的比较 (103)8.4.1递归求值 (103)8.4.2与Bézier曲线的互化 (105)8.4.3升阶和降阶 (107)8.5利用广义Ball曲线曲面对Bézier曲线曲面求值 (109)8.6三角Ball曲面 (110)8.6.1三角Wang-Ball基及三角Wang-Ball曲面 (110)8.6.2三角Wang-Ball曲面的升阶和递归求值 (111)主要文献 (112)参考文献 (112)第九章曲线曲面的插值与拟合 (113)9.1B样条曲线曲面的节点插值法 (113)9.2C2连续的三次B样条插值曲线 (114)9.3C1和C0连续的三次B样条插值曲线 (116)9.3.1选取二重节点和三重节点的准则 (116)9.3.2以重节点为界对插值曲线分段反求控制顶点的原理和算法 (117)9.4参数无重节点的双三次B样条插值曲面 (118)9.5参数有重节点的双三次B样条插值曲面 (120)9.6C2, C1和C0连续的三次Bézier样条插值曲线 (120)9.7C2, C1和C0连续的双三次Bézier样条插值曲面 (122)9.8构造插值样条曲面时型值点不一致分布的均匀性检查 (124)9.9带插值条件的B样条曲线光顺拟合 (124)9.10带插值条件的B样条曲面光顺拟合 (125)9.11带插值条件且与已知曲面作C1连续拼接的Bézier曲面光顺拟合 (126)主要文献 (128)参考文献 (128)第十章曲线曲面的几何连续性 (129)10.1几何连续性概念的提出 (129)10.2曲线的几何连续性 (131)10.2.1曲线几何连续性的定义 (131)10.2.2曲线的有理连续性 (134)10.2.3有理连续性条件 (136)10.3几何光滑拼接曲线的构造 (138)10.4曲面的曲率连续 (140)10.4.1曲率连续的一般条件 (140)10.4.2矩形域上有理Bézier曲面的G2条件 (142)10.4.3曲率连续拼接的有理Bézier曲面的构造 (144)10.4.4简单曲率连续拼接曲面的构造 (147)10.5曲面的任意阶几何连续 (147)10.5.1曲面G n连续的定义 (147)10.5.2有理几何连续的一般条件 (149)10.5.3有理几何连续条件的求解 (149)10.5.4有理几何连续的简单形式 (153)10.6矩形域上有理Bézier曲面的G n拼接 (154)10.6.1有理Bézier曲面几何连续拼接的判定 (154)10.6.2有理Bézier曲面几何连续拼接的构造 (155)10.7三角域和矩形域上有理Bézier曲面的拼接 (156)主要文献 (157)参考文献 (157)第十一章参数曲线曲面的求交技术 (159)11.1B样条曲线转化为Bézier曲线 (160)11.2B样条曲面转化为Bézier曲面 (161)11.3Bézier曲线曲面的高度分析 (162)11.4Bézier曲线曲面离散层数的先验性公式 (166)11.5对Riesenfeld关于曲线离散终判准则的改进 (167)11.5.1三次Bézier曲线的化直准则 (168)11.5.2n次有理Bézier曲线的化直准则 (168)11.5.3一个极值问题 (169)11.6Bézier曲线和B样条曲线的离散求交法 (170)11.7Bézier曲面和B样条曲面的离散求交法 (171)11.8Bézier曲面与平面的求交 (172)11.9有理Bézier曲线曲面离散终判的先验性公式 (172)11.10离散差分跟踪求交法 (175)11.10.1 多项式曲面的差分表示 (175)11.10.2 Bézier 曲面的差分矩阵和差分表示 (176)11.10.3 Bézier 曲面求交中跟踪子曲面片的选定 (177)11.10.4 离散差分跟踪求交 (178)11.11 曲面求交的活动仿射标架跟踪法 (179)11.11.1 球变换 (179)11.11.2 求交算法 (180)11.12 Bézier 曲面的环检测 ............................................................................................ 180 主要文献 .......................................................................................................................... 181 参考文献 .......................................................................................................................... 182 第十二章 有理Bézier 曲线曲面的多项式逼近 (183)12.1 有理Bézier 曲线的两类多项式逼近〉〈p r ,h 和〉〈p r ,H (184)12.1.1 有理曲线Hermite 逼近与Hybrid 逼近的定义 (184)12.1.2 用传统的逼近论方法求〉〈s s ,h 的收敛条件 (185)12.1.3 〉〈p r ,h 逼近与〉〈p r ,H 逼近的关系 (186)12.2 〉〈p r ,h 逼近与〉〈p r ,H 逼近的余项 ....................................................................... 188 12.3 h 逼近曲线)(,t p r h 与Hybrid 曲线)(,t p r H ............................................................ 189 12.4 〉〈s s ,h 逼近与〉〈s s ,H 逼近的收敛条件 .. (192)12.5 低次〉〈s s ,h 逼近与〉〈s s ,H 逼近的收敛准则 (193)12.5.1 一次有理曲线多项式逼近收敛的充要条件 (193)12.5.2 关于多项式根的几个引理 (193)12.5.3 二次有理曲线多项式逼近的收敛准则 (194)12.5.4 三次有理曲线多项式逼近的收敛准则 (195)12.5.5 重新参数化技术对收敛条件的影响 (195)12.6 〉〈0,s h 逼近与〉〈0,s H 逼近的收敛条件.................................................................. 196 12.7 )/(p r 有定极限值的〉〈p r ,h 逼近与〉〈p r ,H 逼近的收敛条件 ............................ 196 12.8 Hybrid 曲线的移动控制顶点)(,t p r r H 的界 (196)12.8.1 对具有对称权因子的低次有理曲线求)(,t s s s H 的界 (197)12.8.2 利用矩阵方法对一般有理曲线求)(,t s s s H 的界 (198)12.8.3 利用复平面上的围道积分求p r r p r r t ,,)(H H -的界 (200)12.9 一般情况下〉〈p r ,h 逼近和〉〈p r ,H 逼近收敛的充要条件 ................................... 202 12.10 用新的观点研究有理Bézier 曲线的〉〈p r ,H 逼近 ............................................. 205 12.11 有理Bézier 曲面的Hybrid 表示 .......................................................................... 208 12.12 有理Bézier 曲面的两类多项式逼近〉〈q s p r ,;,H 和〉〈q s p r ,;,h (212)12.12.1 有理曲面Hybrid 逼近与Hermite 逼近的定义 (212)12.12.2 〉〈q s p r ,;,H 逼近的余项 (213)12.12.3 〉〈q s p r ,;,h 逼近与〉〈q s p r ,;,H 逼近的关系 (213)12.13 Hybrid 曲面),(,;,v u q s p r H 的递推计算公式 (216)12.13.1 一般情况 (216)12.13.2 简化情况 (219)12.14 有理Bézier 曲面〉〈q s p r ,;,H 逼近的收敛条件 (221)12.14.1 〉〈q s p r ,;,H 逼近余项的界 (221)12.14.2 〉〈s s s s ,;,H 逼近收敛的一个充分条件 (222)12.14.3 〉〈q s p r ,;,H 逼近收敛的充要条件 (222)主要文献 .......................................................................................................................... 223 参考文献 .. (223)第十三章 有理Bézier 曲线曲面的求导和求积 (224)13.1 有理Bézier 倍式化速端曲线 (224)13.1.1 Dir 函数的定义和性质 (224)13.1.2 倍式化速端曲线的导出 (225)13.1.3 曲线导矢方向的界 (226)13.1.4 曲线导矢大小的界 (226)13.2 有理Bézier 倍式化速端曲面 (227)13.2.1 倍式化速端曲面的导出 (227)13.2.2 曲面导矢方向的界 (228)13.2.3曲面导矢大小的界 (229)13.3动曲线轨迹的速端曲线 (230)13.3.1速端曲面的直接导出 (230)13.3.2曲面导矢界的估计 (231)13.4有理Bézier曲面的法矢 (232)13.4.1Nrm函数的定义和性质 (232)13.4.2曲面法矢的计算 (232)13.4.3曲面法矢方向的界 (233)13.5有理Bézier曲线的高阶导矢 (234)13.5.1高阶导矢的递推算法 (234)E表示的应用I：有理Bézier曲线的弧长估计 (236)13.5.2导矢1-niE表示的应用II：有理Bézier曲线端点处的三阶导矢的计算 (236)13.5.3导矢1-niE表示的应用III：有理Bézier曲线的导矢界的估计 (237)13.5.4导矢1-ni13.6二次有理Bézier曲线的精确求积 (238)13.6.1求积问题的提法与积分模型的简化 (238)13.6.2精确求积公式的导出 (239)13.7平面有理Bézier曲线求积的多项式逼近 (241)13.7.1平面Bézier曲线求积 (241)13.7.2平面有理Bézier曲线求积的多项式逼近的误差界及其算法 (242)13.8平面有理Bézier曲线求积的降阶逼近 (244)13.8.1降阶求积的误差估计 (244)13.8.2降阶求积的算法 (247)13.9二次和三次NURBS曲线求积 (247)主要文献 (247)参考文献 (247)第十四章Bézier曲线曲面的降阶逼近 (249)14.1Bézier曲线、Bézier矩形片与Bézier三角片的退化条件 (250)14.2Bézier曲线降阶的B网扰动和约束优化法 (251)14.2.1降阶的显式算法和误差估计 (251)14.2.2离散/降阶算法 (253)14.2.3降阶中的G1连续条件 (253)14.3Bézier矩形片与Bézier三角片降阶的B网扰动和约束优化法 (254)14.3.1Bézier矩形片的降阶 (254)14.3.2Bézier三角片的降阶 (255)14.4基于广义逆矩阵的Bézier曲线一次性降多阶逼近 (257)14.4.1端点不保插值的降多阶逼近 (257)14.4.2保端点插值的降多阶逼近 (258)14.4.3误差分析及实例 (258)14.5保端点高阶插值的Bézier曲线一次性降多阶逼近 (259)主要文献 (263)参考文献 (263)第十五章曲线曲面形式之间的互化 (264)15.1二次NURBS曲线与二次有理Bézier曲线之间的互化 (265)15.2双二次NURBS曲面与双二次有理Bézier曲面之间的互化 (266)15.3三次NURBS曲线与三次有理Bézier曲线之间的互化 (267)15.4Bézier三角片到退化矩形片的转化 (270)15.5Bézier三角片到三张非退化矩形片的转化 (272)15.6Bézier矩形片用线性函数实现广义离散及其到三角片的转化 (274)15.6.1矩形参数域被分割为两块梯形域的广义离散算法 (274)15.6.2矩形参数域被分割为三边区域和五边区域的广义离散算法 (275)15.6.3Bézier矩形片到两张三角片的转化 (276)15.7Bézier矩形片用高次代数曲线实现广义离散并用于曲面拼接 (277)15.7.1矩形参数域被分割为两块曲边梯形域的广义离散算法 (277)15.7.2矩形参数域被分割为三边和五边曲边区域的广义离散算法 (278)15.7.3广义离散在几何连续拼接和trimmed曲面参数表示中的应用 (279)15.8基于de Casteljau算法的有理二次Bézier曲线隐式化 (279)15.9基于de Casteljau算法的平面有理n次Bézier曲线隐式化 (281)主要文献 (285)参考文献 (285)第十六章等距曲线与等距曲面 (287)16.1平面等距曲线 (289)16.2Pythagorean-hodograph(PH)曲线 (291)16.2.1定义和表示 (291)16.2.2三次PH曲线的构造、特征和性质 (292)16.2.3四次和五次PH曲线的构造 (293)16.2.4PH曲线的等距曲线和弧长 (295)16.3具有有理等距曲线的参数曲线(OR曲线) (295)16.3.1参数曲线的复形式表示 (295)16.3.2参数曲线具有有理等距曲线的充要条件 (297)16.3.3具有有理等距曲线的低次Bézier曲线 (299)16.4PH曲线和OR曲线的插值构造算法 (300)16.4.1平面五次PH曲线的G2 Hermite插值 (300)16.4.2平面三次PH曲线偶的C1 Hermite插值 (300)16.4.3平面八次抛物 PH曲线的C2 Hermite插值 (301)16.5基于法矢曲线逼近的等距曲线最佳逼近 (302)16.5.1法矢曲线最佳多项式逼近的导出 (302)16.5.2具有端点约束的法矢曲线最佳逼近 (303)16.5.3Legendre级数与Jacobi级数的系数计算 (304)16.5.4NURBS曲线的等距曲线逼近 (305)16.6基于刘徽割圆术的等距曲线逼近算法 (306)16.7具有有理中心线的管道曲面 (309)16.8二次曲面的等距曲面 (310)16.8.1椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面 (311)16.8.2椭球面的等距曲面 (311)16.8.3单叶双曲面的等距曲面 (312)16.8.4双叶双曲面的等距曲面 (313)16.9有理直纹面的等距曲面 (313)16.10基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法 (315)主要文献 (315)参考文献 (316)第十七章区间曲线与区间曲面 (319)17.1区间Bézier曲线的边界 (320)17.1.1区间算术和区间点算术 (320)17.1.2区间Bézier曲线及其中心表达形式 (320)17.1.3平面区间Bézier曲线的边界 (321)17.1.4空间区间Bézier曲线的边界 (326)17.2区间Bézier曲线与Offset曲线之间的关系 (330)17.3区间Bézier曲面及其中心表达形式和边界结构 (331)17.4区间Bézier曲面与Offset曲面之间的关系 (333)17.5区间Bézier曲面逼近 (334)17.5.1利用区间Bézier曲面对可微参数曲面作Taylor逼近 (334)17.5.2利用区间Bézier曲面对有理曲面作多项式逼近 (335)主要文献 (336)参考文献 (336)第十八章基于切割磨光的曲线曲面离散造型 (338)18.1切割磨光空间多边形的迭代算法 (339)18.2切割磨光曲线的性质 (341)18.2.1逼近性 (341)18.2.2连续性 (342)18.2.3光滑性 (344)18.2.4几何性质 (346)18.3切割磨光曲面造型的原理和算法 (347)18.4切割磨光曲面造型的技巧和性质 (351)18.4.1切割磨光的技巧 (351)18.4.2切割磨光曲面的收敛性 (352)18.4.3切割磨光曲面的光滑性 (355)18.5任意拓扑网格的切割磨光法 (358)18.5.1原理和方法 (358)18.5.2切割磨光曲面的光滑性 (359)18.6Catmull-Clark曲面和Doo-Sabin曲面 (362)18.6.1Catmull-Clark曲面的生成 (362)18.6.2Catmull-Clark曲面的连续性分析 (364)18.6.3Doo-Sabin曲面的生成 (366)18.7非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面 (367)18.7.1非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面的生成 (367)18.7.2非均匀Doo-Sabin曲面的特征根分析 (371)18.8 蜂窝细分 (375)主要文献 (376)参考文献 (377)第十九章曲面的形状调配和变形 (379)19.1简单曲面变形的顶点对应算法 (380)19.2平面多边形的内在量及其调配算法 (380)19.3空间多边形的内在量及其调配算法MSI (381)19.3.1内在变量集的定义及其与空间多边形的关系 (381)19.3.2空间多边形调配的内在解 (382)19.4空间四边形网格的形状调配算法 (384)19.5空间三角网格的形状调配算法 (385)19.5.1空间n次Bézier三角网格的情形 (385)19.5.2一般空间三角网格的情形 (386)19.6自由曲线曲面的调配算法 (387)。