函数可积、原函数存在、变上限函数的关系解读(绝对原创)

∫
n
n
) ≤ ∑w i ( g ) ∃ x i < Ε ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 综上, 对上述 Ε> 0 和分法 T 有∑w i ( f ′ , 因此 f ′
i= 1 i= 1
[参 考 文 献]
[ 1 ] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [ 2 ] 王俊青 . 数学分析中的反例[M ]. 北京: 电子科技大学出版社, 1996. [ 3 ] 马振民 . 数学分析的方法与技巧选讲[M ]. 甘肃: 兰州大学出版社, 1999.
尽管定积分的定义并未与定积分发生关系, 但牛顿 - 莱布尼茨 (N ew ton - L eibn iz) 公式 ( 简称N L 公式) 在二者之间建立了计算上的桥梁, 当然, N - L 公式的意义远不止在计算上, 在以后的内容里起着
不可忽视的作用, 正因为 N - L 公式比较重要, 同时又将原函数与定积分联系起来, 所以致使许多同学产 生错觉, 认为只要原函数存在则函数就可积, 或若函数可积, 则其原函数就存在, 其实这二者的关系远非这 样简单, 下面就简要的给出二者关系。 现行分析课本中, 可积函数分为三类: 一、 在 [ a , b ] 上连续的函数 f ( x ) 可积; 二、 在 [ a , b ] 上有有限个 间断点的有界函数 f ( x ) 可积; 三、 在 [ a , b ] 上单调的函数 f ( x ) 可积。 第一类可积函数存在原函数, 对于第 二类和第三类可积函数, 原函数的存在情况比较复杂, 下面通过具体的例子作以说明。 例 1 设 f (x ) =
n
在 [ a , t0 - Φ] 和 [ t0 + Φ , b ] 的分法 T 1 和 T 2 , 使 ( T 1 ) ∑w j ∃ x j <

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：一、在求导时，是关于x 求导，用讲义上的求导公式直接计算。

二、在求积分时，那么把x 看做常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变更。

（即在积分内的x 作为常数，能够提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1若是)(x f 在],[b a 上持续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，那么⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上持续。

定理2若是)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个中断点，那么)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3若是)(x f 在],[b a 上持续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后取得的函数，性质比原先的函数改良了一步：可积改良为持续；持续改良为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而咱们明白，可导函数)(x f 通过求导后，其导函数)(x f '乃至不必然是持续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：持续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

咱们明白，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把二者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。

> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情形求导。

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。

定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。

>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。

§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。

注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。

变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。

定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。

证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。

由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。

定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

可积和有原函数的区别
可积和有原函数是微积分中非常重要的概念。

可积指的是一个函数可以被积分，而有原函数则是指一个函数可以通过积分得到另一个函数。

在本文中，我们将探讨这两个概念之间的区别。

先来看可积的概念。

一个函数在某个区间上可积，意味着它可以被积分。

积分是一个求和的过程，可以将一个函数在某个区间上的值加起来，得到一个新的函数，这个新函数就是原函数的积分。

例如，函数 f(x) = x^2 在区间 [0,1] 上可积，因为它可以被积分为 F(x) = 1/3 * x^3。

接下来是有原函数的概念。

一个函数有原函数，意味着它可以通过积分得到另一个函数。

例如，函数 f(x) = x^2 有原函数 F(x) = 1/3 * x^3，因为通过对 F(x) 进行积分，可以得到 f(x)。

然而，可积和有原函数之间并不一定存在联系。

一个函数在某个区间上可积，并不意味着它有原函数。

例如，函数 f(x) = 1/x 在区间 [1,2] 上可积，但它没有原函数。

同样，一个函数有原函数，并不意味着它在某个区间上可积。

例如，函数 f(x) = 1/x^2 有原函数F(x) = 1/x,但在区间 [1,2] 上并不可积。

可积和有原函数是微积分中非常重要的概念，它们之间存在一定的联系，但并不一定相互关联。

数 f ( x ) 不一定可积. 1 , x2
x
0,
定存在原函数. 若将定理 1、 定理 2 和定理 3 所涉及的 3 种情形分 别记为函数可积的 3 种类型, 则对于第一种类型的可 积函数, 即如果 f ( x ) 连续, 由定理 4 知 , f ( x ) 在 [ a, b] 上存在原函数 F( x ) . 对于第二种类型的可积函数, 如果 f ( x ) 的间断 点是第一类间断点时, 则 f ( x ) 的原函数必不存在 , 否 则与定理 6 相矛盾; 如果 f ( x ) 的间断点是第二类间
x [ 1 2]
推论 2 数. 例如
初等函数在其定义区间内原函数存在.
显然 , 初等函数在 其定义域内不一定存在原函 f (x) = co sx - 1 , 它的定义域由孤立点构成, 所以不存在原函数. 其实 , 我们还可以进一步证明以下定理 . 定理 5 证明 在区间[ a, b] 上, 每一个具有第一类间 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上有定义 , x 0 ( a, b) 断点的函数的原函数一定不存在 . 为 f ( x ) 的第一类间断点 , 如果 f ( x ) 在[ a, b] 上有一 个原函数 F ( x ) , 则有 f ( x), F ( x) = ( 但是 , I 由拉格朗日中值定理, 得 F ( x 0 ) = xlim x
在任何闭区间上不可积, 也不存在原函数. 这是因为, 积分和
n
(f , ) =
k= 1
D(
k
) x k,
k
当
k
取无理数时 , 积分和为 0, 当
取有理数时, 积分
和为 1, 积分和极限不存在, 所以不可积; 由于任意实 数都是 Dir ichlet 函数的非无穷间断点, 由定理 6 的逆 否命题知 , Dirichlet 函数不存在原函数. 3 结束语 通过上述概念的讨论, 我们不难发现 , 函数的可 积性和原函数存在性 , 是两个不同的概念, 它们互不

定积分换元公式: d F ((t)) F '((t)) '(t) f ((t)) '(t),
b
a
dt
f ( x)dx


f
t (t)dt.
(9)
证 由于(9)式两边的被积分函数都是连续函数, 因此它们
的原函数都存在. 设F是f在[a,b]上的一个原函数,
由复合函数微分法,可见 F((t)) 是 f ((t)) '(t)的一个原函数.

4 lncos( t)dt
0
4
0
lncos (d)
4

4 lncos d,
0
它与上面第三个定积分相消.故得


4 ln 2dt ln 2.
0
8
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事实上,例3中的被积函数的原函数虽然存在,但难以 用初等函数来表示, 因此无法直接使用牛顿——菜布尼 茨公式. 可以像上面那样,利用定积分性质和换元公式(9), 消去了其中无法求出原函数的部分, 最终得出这个积分 的值.
证 若g为单调递减函数,令h(x)=g(x)-g(b),则
h为非负、递减函数。由定理9.11(ⅰ),存在 a,b,
使得
由于
b
af
x h x dx

h

a


a
f
( x)dx
g(a) g(b)

f ( x)dx.
a
b
b
b
f ( x)h( x)dx f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx,
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§5 (二) 定积分的计算
二 、换元积分法与分部积分法 对原函数的存在性有了正确的认识, 就能顺利

函数可积与原函数存在的关系对于函数可积性与原函数存在性的关系，我们首先需要明确函数可积的定义。

在数学中，一个函数在某个区间内是可积的，意味着它在该区间上的积分存在。

而原函数指的是一个函数的导数。

函数可积与原函数存在的关系是密切相关的。

换句话说，若一个函数是可积的，那么它就有一个原函数存在。

证明这个关系的方式是通过反证法。

假设我们有一个函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，但是它没有原函数F(x)存在。

根据我们对函数可积性的定义，我们可以使用这个函数来构造一个新函数F(x)，并定义它为F(x)=∫f(t)dt，其中t从a到x。

现在我们需要验证这个函数F(x)的性质。

首先我们可以计算F'(x)的导数，并使用积分的性质来求导：F'(x)=d/dx∫f(t)dt根据导数与积分的关系，我们可以将导数和积分符号互相转换，得到：F'(x)=f(x)由于我们假设函数f(x)没有原函数存在，所以这里出现了矛盾。

这个矛盾表明，我们的假设是错误的，即函数f(x)一定有一个原函数F(x)存在。

这个证明说明了函数可积性与原函数存在性之间的紧密联系。

如果一个函数是可积的，那么它就一定有一个原函数存在。

在实际应用中，可积性和原函数存在性是非常重要的概念。

通过研究一个函数的可积性，我们可以得到它的原函数，并从中推导出更多有用的数学性质。

对于实时数据的处理、曲线分析以及微积分等领域，这些概念都发挥着重要的作用。

总结起来，函数可积与原函数存在的关系是紧密相连的。

函数可积意味着它的积分存在，而原函数则表示了一个函数的导数。

证明表明，如果一个函数是可积的，那么它一定有一个原函数存在。

这个关系在数学和应用领域都具有重要意义，对于数学推导和实际问题的解决都有着重要的作用。

数学分析 第九章 定积分
§5 微积分学基本定理
本节将介绍微积分 学基本定理, 并用以证明 连续函数的原函数的存在 性. 在此基础上又可导出 定积分的换元积分法与分 部积分法.
一、变限积分与原函数的 存在性
二、换元积分法与分部积 分法
三、泰勒公式的积分型余项
*点击以上标题可直接前往对应内容
§5 微积分学基本定理
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似
乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连
续函数必存在原函数”这个重要结论.
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,
所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
x
= F ( x) ∫a f (t) dt + C.
解 用洛必达法则
原式 = lim −cos x ln(1 + sin x)
x→0
2x
= lim(-cos x)lim sin x
x→0
x→0 2 x
=(−1) ⋅ 1 = − 1 . 22
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
泰勒公式的 积分型余项
x
若 f 在 [a, b] 上可积, 则Φ ( x) = ∫a f (t)dt 在 [ a, b]
上连续 .
证 ∀x ∈[a, b], 若x + ∆x ∈[a, b], 则
∫ ∫ ∫ = ΔΦ
x + Δx
f (t)dt −
x
f (t)dt
=
x+∆x
f (t)dt.
a
a
x
因 f 在 [a, b] 上有界, 故 ∃ M , | f (t) | ≤ Μ , t ∈[a,b].

a a a
b
b
b
说明: 本题的通常证法是从不等式 [ f ( x) tg ( x)]dx 0 出发, 由关于 t 的二次函数非负的
a
b
判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提 示如下: 令 F ( x) [ f (t ) g (t )dt ] 2 f 2 (t )dt g 2 (t )dt. 则 F (a ) 0.
x
例 3 已知极限 lim
x sin t 1 dt 1 ，试确定其中的非零常数 a, b, c. x 0 e bx a 0 tc
（答： a 1, b 1, c 1. ）
2
（2） 求导问题
x t (1 cos u )du , 0 dy sin t 例 4 已知 求 . (参数方程，你懂的！答: ) t dx 2 t (1 cos t ) y sin udu. 0
x
f t dt
t u

x 0
f u d u f u du
0
x
f奇
f u du x ,
0 x
x
x
x 0
f t dt
t u
x 0
f u d u f u du f u du x ,
a a a x x x
求出 F ( x) 并证明 F ( x) 0. 从而 F ( x) 单调减少, 于是得 F (b) F (a ) 0. 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例. 例 16 设 f ( x) 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 0 1, 有

存在原函数和可积的关系首先，函数可积≠函数有原函数两者之间并无关系！函数有原函数，是指有一个函数的导数等于这个函数，即存在一个可导函数，其导函数等于目标函数。

函数可积，是指如果f(x)在[a,b]上的定积分存在（即曲线和轴围出来的面积存在且不为无穷），则说f(x)在[a,b]上可积，即f(x)是[a,b]上的可积函数。

（注意区间限制）①若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数。

②若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数。

（有震荡间断点，依然可能有原函数）①若f(x)在[a,b]上连续，则在该区间必然可积。

（暗含有界）②若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则在该区间必然可积。

③ 若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则在该区间必然可积。

很明显原函数和可积函数之间没有联系。

如果一个函数是连续的，那么它既可以是可积的，也可以是原函数，但是对于一个在某个区间上具有不连续性的函数，如果在那个区间上存在第一种不连续性，那么原函数不存在是必然的，但是它仍然是尽可能可积的；如果只有第一种间断，那一定是可积的。

其实个人认为，在几何意义上判断函数是否可积可能更方便。

一些举例如下：But Why is that当一个函数可积时，就意味着在这个区间上存在定积分。

然后通过莱布尼茨公式，将函数的可积性与原函数的存在性联系起来，将上下极限代入可积函数的原函数进行减法求值，即只要可积函数就有原函数。

越看越觉得合理，那么问题出在哪里借用吴忠祥老师的话:经典错误，标准零分。

忽略了一个问题，两个函数相等需要同时满足两个条件：①定义规则相同②自变量的定义域D相同解释看图片吧~写的很清楚了（网上截得）•如果一个被积函数在闭区间内可积，那么这个函数在此闭区间内的变上限积分函数是连续的，（177题）但不一定可导，除非f(x)连续。

即：f(x)连续，则它的积分可导，否则不可导。

原函数存在与可积的关系今天咱们聊聊原函数和可积的那些事儿，听起来高深莫测，但其实就像喝茶一样，慢慢品味就能领会其中的奥妙。

原函数，顾名思义，就是一个函数的“祖宗”，它负责把一个函数的变化量记录下来。

就像你在菜市场买菜，挑来挑去，最后选了个最肥的西红柿，那就是你选择的函数。

而原函数就像是你记账本上那一笔一笔的开销，把你的购买记录一清二楚地写下来。

可积性嘛，其实就是在问一个函数，能不能让我们在某个区间内，算出它的“总价值”。

想象一下，你开车从一个地方到另一个地方，路上看到了多少风景、经过了多少个红绿灯。

可积性就是看看你这一路走下来，有没有值得一看的风景，或者说，有没有“值得”去积分的部分。

很多朋友可能会皱眉，觉得积分就像是爬山，累得够呛，干脆不去。

但是，别急，积分可不总是这么艰难。

其实它就像是在做一份精美的拼图，把零散的碎片拼凑在一起，慢慢形成一个完整的图案。

原函数的存在和可积性就像是老朋友，彼此牵挂、相互依赖。

一个函数要是可积，那它的原函数就一定存在。

就像你买了西红柿，就得找个地方储存。

没地方放，那西红柿再好也没用。

可如果你的西红柿是坏的，那放在哪儿都没用。

简单说，可积的函数就像是新鲜的西红柿，能被好好保存、处理。

反之，坏了的就算你再想找个地方放，它也不见得能有用。

在实际生活中，有些函数就像是那些古怪的邻居，行为不稳定，不是吵架就是搞破坏。

可这并不妨碍咱们去理解它们的可积性。

有些函数虽然看起来不好相处，但只要你找到合适的方式，它们的原函数照样存在。

这就像是你有个不合群的朋友，虽然平时很少说话，但在关键时刻总是能给你提供意想不到的帮助。

别小看这份默默的支持，正是它让我们的生活变得丰富多彩。

而说到原函数，咱们还得提提“不定积分”这个小家伙。

听起来复杂，其实就是对原函数的一种描述。

就好比你去超市，买了一堆东西，但没注意标签上写的原料成分。

买回来后，打开一看，哎哟，原来是巧克力豆和杏仁的混合，这就是不定积分的味道。

变上限积分函数一定是原函数
上限积分函数是对定积分进行运算的一种表达形式，它具有一定的性质和特点。

本文将从定义和性质两个方面来详细介绍上限积分函数，并讨论它与原函数的关系。

一、上限积分函数的定义及性质：
上限积分函数又称为积分上限函数，是将定积分的上限作为自变量，将积分结果作为因变量的函数。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，定义函数F(x)=∫[a, x]f(t)dt，其中a≤x≤b。

则F(x)称为f(x)在区间[a, b]上的上限积分函数。

其满足以下性质：
1.定义域：上限积分函数的定义域为[a,b]。

2.连续性：上限积分函数F(x)在区间[a,b]上连续，即F(x)是一个连续函数。

3.导数关系：若f(x)在区间[a,b]上连续，则上限积分函数F(x)在区间[a,b]上可导，并且有F'(x)=f(x)，即上限积分函数的导数等于被积函数。

4.奇偶性：若f(x)为奇函数，则上限积分函数F(x)为偶函数；若
f(x)为偶函数，则上限积分函数F(x)为奇函数。

5.增减性：若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则上限积分函数F(x)在区间[a,b]上单调递增；若函数f(x)在区间[a,b]上非正，则上限积分函数F(x)在区间[a,b]上单调递减。

二、上限积分函数与原函数的关系：
根据上限积分函数的定义，我们可以看出上限积分函数与原函数的关系如下：
2.根据上限积分函数的导数关系，我们可以得知，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在一个原函数F(x)，满足F'(x)=f(x)，即F(x)就是f(x)的一个原函数。

这与不定积分的定义一致。

函数可积、原函数存在、变上限函数的关系解读（绝对原创）有关函数可积、连续、间断、可导等问题的探究一、基本概念：①原函数：已知函数f x 是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F x ，使得在该区间内的任一点都有F ' x=f x，则在该区间内就称函数F x 为函数f x的原函数。

② 函数可积：如果 f x 在 a,b上的定积分存在，我们就说f x在 a,b 上可积。

即f x 是 a,b 上的可积函数。

注：“ 可积” 的说法只是针对定积分而言，即b f x dxaii 闭区间 a,b 改成开区间a,b 后对定积分的值不影响，即定积分在开区间a,b 依然存在③ 变上限函数：xf x dx如果积分上限x在区间a, b 上设函数f x在区间a,b上连续，并且设x为a, b上的一点，考察定积分axx dx有一个对应值，所以它在a, b 上定义了一个函数，任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分faxf t dt记积分上限函数a二、函数可积与原函数理论：①函数可积的几个条件：函数可积的必要条件： f x 在a, b可积则它必在a, b 上界，即函数可积函数在该区间上有界但有界函数不一定可积，如：狄利克雷函数i f x 在a, b上连续函数可积的充分条件：f x 在a, b上至多有有限个第一类间断点且有界f x在a, b上可积iiiii f x 在a, b上单调且有界注：函数可积的充分条件中的ii和ii i中的“ 有界” 是排除函数出现无穷间断点的情况，在能够保证函数不存在无穷间断点时，“ 有界” 的条件可以舍去②可积函数的原函数的存在性讨论：由函数可积的充分条件可知，有三种函数即满足上述三个条件其中任意一个的一定可积，但这三种函数的原函数的存在性情况是是不一样的，现归纳如下：i 如果 f x 在 a ,b 上连续，则 f x的原函数一定存在此处引出变上限函数定理变上限函数定理：如果函数 f x 在 a,b 上连续，则变上限函数x x t dt 在 a, b 上连续且可导，并且fa' x =f x因此在a, b 上的连续函数f x 的原函数在这种条件下就都于它的变上限函数相差一个常数显然此时的变上限函数是f x 的一个原函数ii 如果 f x 在 a, b 上有第一类间断点时，f x 的原函数一定不存在，但此时 f x 的变上限函数依然存在，但不是 f x 的原函数下面就 f x 发生间断时，讨论 f x和其变上限函数之间的一些关系：1、变上限函数定理的弱化定理：如果函数 f x在 a, b 上可积，则变上限函数x x dt 在 a, b 上连续，f ta但未必可导2、若 f x 在x0 a ,b 间断非无穷间断，则x 在 x0也未必可导如：符号函数就不可导3、若 f x 在 x0 a ,b 产生可去间断点，则' x0存在，但是' x0f x0' x0= lim f x f x0，x x0这也就是为什么此时的变上限函数不是f x的原函数的原因此处类似于左右导数的概念，若 f x 在 x0 a,b产生跳跃间断点，则' x0不存在4、若 f x 在 a, b 上有无穷间断点，则 f x 的原函数不存在但变上限函数依然存在5、若 f x 的原函数存在且 f x 存在间断点，那么这个间断点一定是第二类间断点中非无穷性型的6、若f x 存在第二类间断点中非无穷性型的间断点，它的原函数可能存在也可能不存在iii如果 f x 在 a,b 上单调有界，则 f x 必存在原函数③原函数存在的函数的可积性的：若 f x 在 a, b 上连续则它必存在原函数，则 f x 在a, b上可积；若f x 在a,b上不连续，一般来说，即使在 a, b 上 f x 的原函数存在， f x 在a, b上也不一定可积小结：从上面的讨论可知，函数的可积性和原函数的存在性是两个不同的概念，它们互不蕴含，这就是说，可积函数的原函数可能存在，也可能不存在；原函数存在的函数可能可积，也可能不可积，当然也存在既不可积，又不存在原函数的函数三、关于变上限函数的奇偶性与周期性;设 f x连续，x f t dt是其原函数，则x =ai若 f x 是奇函数，x 及其 f x 的所有原函数均为偶函数ii若 f x 是偶函数， f x 的所有原函数中只有x是奇函数，其余原函数都是一个奇函数加上一个非零常数iii若 f x 是以 T 为周期的函数，T x dx=0，则x 具有相同周期要完全掌握并理解证明过程且 f。

函数可积与存在原函数的关系本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。

得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。

本文主要给出两个反例。

一、 存在定积分但不存在原函数的例子定义函数如下：⎩⎨⎧=⋃∈=2/1,1]1,2/1()2/1,0[,0)(x x x f 该函数显然有界，x =1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，0d )(10=⎰x x f 。

但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。

可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得0d )()(0≡=⎰xt t f x F 显然它的导数并不是f (x )，而是f (x )在x =1/2处作连续开拓后的函数。

关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。

二、 存在原函数但不存在定积分的例子。

定义函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=0,010,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f 首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0,010,1sin )(22x x x x x F 为此目的，只需证明)()('x f x F =对任何x ∈[0,1]成立，而0<x ≤1时该式的成立是显然的，关键是证明)0()0('f F =，这里的)0('F 要理解为单侧导数。

因为 200()(0)1lim lim sin 00x x F x F x x x++→→-==-，这表明)0('F 存在，并且)0()0('f F =，这就证明了)(x F 是)(x f 在原函数，即)(x f 在原函数存在。

现在来考虑)(x f 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间[0,1]无界，因为任意0>δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，在这个区间上，21sin 2xx 是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但21cos 2xx -这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取πn x x n 21==，则其值为πn 221-，但若取π)12(1+==n y x n ，则其值为π)12(21+n ，只要n 充分大，便可使),0(,δ∈n n y x ，同时)(,)(n n y f x f 却可以大于任何预先给定的正数。

可积和连续和原函数关系
如果一个函数是可积的，那么它一定有原函数。

原函数的定义是使得它的导数等于原函数本身的函数。

如果一个函数是连续的，也就是有限个点处不连续，那么它也有原函数。

但是，如果一个函数在一些点上不连续，那么它不一定有原函数。

具体来说，如果一个函数在区间[a,b]上连续且可积，那么它一定有原函数，并且这个原函数是在[a,b]上连续的。

这个结论是基于牛顿-莱布尼茨公式，即可积函数的积分等于原函数在区间两端点的差。

然而，如果一个函数在区间[a,b]上不连续，那么它也可能有原函数，但是这个原函数不一定是在[a,b]上连续的。

这个结论是基于勒贝格定理，对于任意一个可积函数f，它都可以被分解成一个连续函数和一个不连续函数之和。

而如果不连续部分的积分等于0，那么这个函数就有原函数。

但是，由于不连续部分的积分等于0不一定能满足，所以一个不连续的函数不一定有原函数。

不定积分知识点总结不定积分知识点总结不定积分1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的'原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积（2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)≤dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。

使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c(a 定积分的应用求平面图形的面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=l/(b-a)*∫abf(x)dx)。