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第23讲 可积条件及可积函数类讲授内容一、可积的必要条件定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界．证：用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间k k x f x ∆∆在,上无界．在k i ≠各个小区间i ∆上任意取定i ξ，并记().iki ix f G ∆=∑≠ξ现对任意大的正数M ，由于f 在k ∆上无界，故存在k k ∆∈ξ，使得().kk x GM f ∆+>ξ 于是有()()()i ki i k k i ni i x f x f x f ∆-∆≥∆∑∑≠=ξξξ1M G x x GM k k=-∆⋅∆+φ由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾．例1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数()⎩⎨⎧=x x x D ,0,1为无理数为有理数，在[]10，上有界但不可积． 证：显然()[].1,0,1∈≤x x D ，对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，()111=∆=∆∑∑==ni i i n i i x x D ξ；当取i ξ全为无理数时，()01=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即()x D 在[]10，上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．二、可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．设{}n i T i ,,2,1Λ=∆=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ∆上存在上、下确界：()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M iix i x i Λ===∆∈∆∈作和()(),,11i n i ni i i i x m T s x M T S ∆=∆=∑∑==分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,,,2,1,n i i i Λ=∆∈ξ，显然有()()().1∑=≤∆≤ni i i T S x f T s ξ 与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．通过讨论上和与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得()()ε<-T s T S设i i i m M -=ω称为f 在i ∆上的振幅，有必要时也记为fi ω。
第18课 函数的简单性质·习题课【新知导读】1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．y =B ．y x =-C ．3y x =D ．21y x =+2．已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则()f x 在区间()5,2--上是（ ）。
A ．增函数B ．减函数C ．先递增后递减D ．先递减后递增3．函数1y x=的单调递减区间是 ____ . 【范例点睛】例1 已知函数cbx ax x f ++=1)(2是奇函数，且2)1(=f ，25)2(=f 求（1）函数)(x f 的表达式 （2）当x >0时，讨论函数)(x f 的单调性，并证明。
思路点拨 要求函数)(x f 的表达式，就是要求a,b,c 的值，应建立与之对应的方程。
函数的单调性的确定可以通过定义解决。
，例2 已知奇函数)(x f y =在定义域（-2,2）上单调递减，求满足)23()1(x f x f -≤-的x 的集合.思路点拨 根据条件寻求关于x 的不等式(组)是解题的关键.【随堂演练】1．函数2612y x x =++在区间（－５，５）上是（ ）Ａ．递减函数 Ｂ．递增函数Ｃ．先递增后递减 Ｄ．先递减后递增2．设偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，对于任意的120,0x x <>有12||||x x <，则有（ ）A ．12()()f x f x ->-B ．12()()f x f x -<-C ．12()()f x f x -->-D ．12()()f x f x --<-3．若奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为5, 那么()f x 在区间[-7, -3]上是( )A ．增函数且最小值为-5B ．增函数且最大值为-5C ．减函数且最小值为-5D ．减函数且最大值为-54．函数()||4f x x x x =+是（ ）A ．偶函数且在()2,2-上递增B ．奇函数且在()2,2-上递减C ．偶函数且在()2,2-上递减D ．奇函数且在()2,2-上递增5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =-，则(1)f = 。
第七章定积分习题课一、主要内容1、可积性的判断重点掌握：1个定义、三个充要条件一个定义指的是定积分的定义，要深刻理解定积分的定义，掌握定义的灵活应用，掌握利用定义证明简单函数的可积性，掌握定义中的两个任意性（分割和点的选取）的应用，即在已知函数可积的条件下，可在定义中取特殊的分割和特殊的分点，从而求解一个和式的极限得到定积分。
三个充要条件指的是判断函数可积的三个充分必要条件，第一充要条件通常用来处理简单的特殊的具体函数的可积性，因为只有这样的函数才容易计算其上下和；常用的是第二充要条件：将可积性的证明转化为分割关系和振幅关系的讨论；当讨论的函数涉及到连续点的结构或不连续点的分布时，用第二个充要条件。
定义和三个条件都是函数可积的充分必要条件，但是，这4个条件使用的对象不同，定义给出的条件既是定性的又是定量的，更侧重于定量方面，通常涉及到定积分量的方面时，要首先考虑用定义处理；第一充分必要条件既是定性条件，又是定量条件，但是，它大多用于简单特殊的具体函数的不可积性的论证；第二充要条件是定性条件，只能用于判断函数的可积性，且侧重于研究好函数的可积性，但对相应的定积分值没有任何信息；第三充分必要条件也是定性的，它侧重于研究较差的函数的可积性，特别涉及到连续点的结构时，通常用第三充分必要条件。
2、不可积的判断常用的方法有：定义法――通过选取不同的特殊分割和分点，使得对应的和式极限或不存在或不相同；Darboux和法――利用Darboux上下和极限的不同得到不可积性。
3、定积分的性质要掌握利用定积分的性质研究各种定积分问题。
4、变限积分函数的性质变限积分函数给出了一类新的函数形式，引入了一类新函数，要求掌握这类函数的运算和性质。
5、定积分的计算掌握定积分计算的各种方法和技巧，包括：基本公式――转化为不定积分的计算，因而，可使用不定积分计算的相应技巧和方法；特殊结构的特殊处理方法。
如被积函数为奇偶函数或具有周期性质时。
人教版必修一：函数性质的综合习题课教师版讲义编号_所以221212k k b b ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩或即()212()212f x x f x x =+-=-++或者函数()f x 定义域为(1,)+∞，且1()2()1f x f x x=-，求()f x 的表达式； 【解析】由得1()2()111()2()1f x f x x f f x xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得21(),(1,)33f x x x =+∈+∞ 【变式训练2】函数()f x 满足()2()3,f x f x x -+=+求()f x 的表达式；【变式训练2解析】由得()2()3()2()3f x f x x f x f x x -+=+⎧⎨+-=-+⎩，解得()1f x x =+ 分段函数效果1、函数()f x ＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩假定((0))4f f a =，那么实数a =【解析】此题考察分段函数求函数值效果，(0)2((0))(2)4242f f f f a a a =∴==+=⇒=变式练习1、设函数2,0,()()4,0.x x f x f a x x -≤⎧==⎨>⎩若,那么实数a =〔 〕A 、-4或-2B 、-4或2C 、-2或4D 、-2或22、【解析】：此题考察分段函数的概念，考察函数的函数值求对应自变量的值，此题要分类讨论，即当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，应选B2、函数=221,1,,1,x x x ax x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，假定=4a ，那么实数a 等于 〔 〕 A 、 B 、 C 、 2 D 、 9 【解析】此题考察分段函数和复合函数的了解和运用。
(0)2,((0))4242f f f a a a =∴=+=⇒=，应选C函数的定义域效果1、求函数的定义域 0(1)()x f x x x +=-()f x ((0))f f 1245【命题意图】此题考察详细函数的定义域效果，考察一元二次不等式解法D.【命题意图】此题考察详细函数的定义域效果，考察一元二次不等式和一元一次不等式的解法【解析】由C2[,3]1,1] 21t-，函数取最小值为A、1B、2C、3D、4【解析】此题考察函数奇偶性的运用，此题可以应用奇偶性定义求解，也可以应用二次函数是偶函数的条件：m=2几种等价关系：1. 假设函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是时断时续的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.1、求以下函数的零点：〔1〕2()32f x x x =-+ 〔2〕32()32f x x x x =-+解：〔1〕令()0f x =，………………………………………………………………………………令()0f x =得2320x x -+=，从而有 1,2x x ==.…………………………………………解方程()0f x =所以，函数的零点是1或2.……………………………………………………………………写出零点 〔2〕函数的零点是0，1或2.小结：求零点的步骤：(1)令()0f x =； (2)解方程()0f x =； (3)写出零点.2、判别以下四个图像中满足零点存在定理的哪些？解: (1)(2)是满足的；（1） 不满足，由于函数的图像不延续；〔4〕也不满足，在端点上的函数值符号不相反.3、定义在 R 上的奇函数()f x ，事先01x <≤，1()2,x f x -= 且事先1x >，有()(1)f x f x =-，求函数1()2y f x x =-〔0x >〕的零点个数. 解: 由()(1)f x f x =-得，事先1x >，函数()f x 具有周期性，且周期为1.由题意，作图如下：由图得，函数1()2y f x x =-共有3个零点. 【对复杂的函数，可以经过解方程直接算出；对普通的函数，可以经过零点定理〔留意关键字：至少存在一个〕判别零点的存在性；对复杂的函数或函数详细的零点个数的判别，常用数形结合的方法，便捷高效。
习题课——函数性质的综合应用课后训练巩固提升1.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是( ).A.f(-3)>f(0)>f(1)B.f(-3)>f(1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(-3)D.f(1)>f(-3)>f(0)f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故f(-3)>f(1)>f(0).2.(多选题)已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且不等式f(x1)-f(x2)>0对任意两个不相等的正实数x1,x2都成立,则下列结论正确的x1-x2是( ).A.f(a2+2a+5)>f(1)B.f(a-1)<f(2a-3)C.f(-3)>f(-5)D.f(-3)<f(-5)0<x1<x2,则x1-x2<0.由f(x1)-f(x2)x1-x2>0,得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增.∴由-3>-5,可得f(-3)>f(-5).∵a2+2a+5=(a+1)2+4>1,∴f(a2+2a+5)>f(1).而f(a-1)与f(2a-3)的大小关系无法判断,故选AC.3.已知定义在区间[-1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.即f(a-1)>-f(4a-5).又因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(a-1)>f(5-4a).又函数y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,所以{-1≤a-1≤1,-1≤5-4a≤1,a-1>5-4a,解得65<a≤32.所以实数a的取值范围是(65,32 ].1.已知f(x)是定义在区间[a,b]上的奇函数,且f(,则函数F(x)=f(+3B.2m+6C.6-2mD.6f(,所以它在区间[a,b]上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(+3+(-m+3)=6.2.已知函数y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在区间[1,+∞)上单调递增,若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是( ).A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)<f(-x2)C.f(-x1)=f(-x2)D.无法确定f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即f(-x)=f(x+2),由x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,得-x1>2+x2>2.又y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,所以f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2).3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则函数g(x)=kx2+2x-3的单调递减区间是.f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,可得k=1,所以函数g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.故函数g(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=-1.因而函数g(x)的单调递减区间是(-∞,-1].∞,-1]4.设函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)求证:f(x)是奇函数;(2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,请说明理由.x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 令y=-x,则有0=f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数.x1,x2∈[-3,3],且x1<x2,则x2-x1>0.由题意,得f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0, 即f(x1)>f(x2).所以f(x)在区间[-3,3]上为减函数.所以函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=-6.。
