函数连续与函数可积和原函数存在性的关系

可积和有原函数的区别
可积函数和有原函数是微积分中两个不同的概念。

1.可积函数：可积函数是指在给定的区间上可以进行定积分的
函数。

如果一个函数在某个区间上满足某些特定的条件，如有界性、有限个间断点等，则称该函数是可积的。

这意味着可以对该函数在区间上进行定积分，并得到一个有限的结果。

2.有原函数：有原函数（或原函数）是指在给定的区间上存在
一个函数，其导数等于原函数。

具体地说，如果一个函数在某个区间上存在一个函数，使得这个函数在该区间上的导数等于原函数，则称该函数具有原函数。

这个函数称为原函数或不定积分。

区别：
1.可积函数是通过对函数进行定积分得到的结果是有限的。

它
是对函数在某个区间上的面积或曲线下的长度进行计算。

2.有原函数是对导数的逆运算，找到一个函数使得其导数等于
原函数。

有原函数无需考虑积分上下限，只关注函数的整体形式。

虽然可积函数和有原函数之间有关联，但并不是所有的可积函数都有原函数，即使有原函数也不一定是可积函数。

有些函数无法用一个有限的函数表达其原函数，如某些特殊函数比如椭圆积分等。

此外，可积函数还可以是间断函数，并不要求函数在整个区间上连续。

总结来说，可积函数涉及定积分计算，有原函数涉及不定积分计算。

可积函数表示函数的可积性质，而有原函数表示函数的原函数性质。

高等数学中易错知识点总结1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。

若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。

2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。

但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。

3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。

若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。

5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。

但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。

6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。

函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。

在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。

原函数存在一定可导吗
原函数存在一定可导吗？：一定。

导数是函数增量比的极限。

这是导数的数学意义。

函数在某点处可导，在图象上表示该点切线的斜率存，这是导数的几何意义。

函数的定积分在几何上表示曲边梯形的面积。

对一元函数来讲，可导必连续，连续必可积。

连续函数的原函数一定存在。

原函数连续导数不一定连续，原函数连续并不能推出导函数连续。

还需要进一步求导才可判断。

原函数连续，并且导数存在，导函数不一定连续。

函数连续，但在该点的左右导数不相等，导数也不存在。

存在原函数1. 什么是原函数当我们学习微积分时，会学到导数和积分的概念。

其中，导数是描述一个函数在某一点的变化率，而积分则是求一个函数在某一区间内的面积。

然而，在实际应用中，我们常常需要求解反函数，即给定一个函数的导数，求出这个函数本身。

这个函数就被称为原函数。

2. 原函数的定义和性质设函数f(x)在区间I上有定义，则如果存在一个函数F(x)，当x∈I时，有F'(x)=f(x)，那么我们称F(x)为函数f(x)在区间I上的一个原函数。

原函数的存在与连续性和可导性有关。

具体地说，如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定有原函数；如果函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上也一定有原函数。

原函数具有可加性、可减性、可积性等性质。

如果F1(x)和F2(x)是f(x)在区间I上的原函数，则有：（1）F1(x) + F2(x)也是f(x)在区间I上的原函数；（2）cF1(x)（c为常数）也是f(x)在区间I上的原函数；（3）在一定条件下，原函数的积也是原函数。

即，如果F1(x)和F2(x)都是f(x)在区间I上的原函数，则F1(x)F2(x)也是f(x)在区间I上的原函数。

3. 求原函数的方法为了求解一个函数的原函数，我们需要使用各种积分方法和技巧。

下面列举一些常见的方法：（1）多项式求导法：通过多项式求导的方法反向推导原式。

（2）反向微积分法：将已知函数f(x)化简后再积分。

（3）换元积分法：通过换元变量来简化积分式。

（4）分部积分法：将积分项写成两个函数的积形式，然后利用积分反向求导的性质进行化简。

（5）三角代换法：将积分项中出现的三角函数通过某些代换变成已知函数再求解。

通过以上方法，我们可以求解出一些经典的函数的原函数，如幂函数、指数函数、三角函数等。

4. 原函数的应用求解原函数在数学学科的应用较为广泛，例如：（1）求解定积分：根据牛顿-莱布尼兹公式，可以利用求解原函数来求解定积分。

可积可导连续之间的关系1. 引言大家好，今天咱们要聊聊一个看似严肃但其实挺有趣的话题：可积、可导和连续之间的关系。

别担心，我不会用复杂的数学术语来绕晕你，咱们就用简单的语言来探讨这个话题，顺便抖个机灵，看看这些概念如何在生活中闪闪发光。

2. 基础概念2.1 连续性首先，什么是连续呢？可以这么理解：想象一下你在喝一杯牛奶，牛奶从杯子里流出来，如果流畅没有停顿，那就是“连续”。

在数学里，函数连续意味着你在图像上走的时候，根本不会跳来跳去，真是一条流畅的道路！如果这条路突然断了，那就麻烦了，像个坑一样，谁都不愿意掉进去。

2.2 可导性然后是可导，简单来说，就是你能不能找到切线。

打个比方，开车的时候，你能感觉到车速的变化，对吧？这就是导数在起作用。

可导的函数就像是你的车子在平坦的公路上，不会突然加速或减速，让你感到舒适。

如果你的车在山路上飞速冲下，嘿，那就不太好了，安全第一嘛！2.3 可积性最后，咱们来聊聊可积性。

想象你在一个盛满糖果的碗里，想知道碗里到底有多少糖果。

可积性就是通过把这些糖果分成小份，慢慢加起来，最后得出总数。

在数学里，可积的函数就像这些糖果，可以通过求和的方法得到它的面积或总值。

3. 关系探讨3.1 连续与可导的关系那么，连续、可导和可积之间到底有什么关系呢？首先，连续性是可导性的基础。

也就是说，如果你想让一个函数可导，它必须是连续的，就像一条河流不可能在中间突然断掉，否则就不能畅通无阻地流向大海。

举个例子，想象一个人在爬山，如果他在某个点停下来了，肯定没法再往上爬。

反之，连续的函数不一定可导，比如一个“尖角”就很难找到切线。

3.2 可导与可积的关系接着，咱们再看可导和可积的关系。

其实，可导的函数一定是可积的，就像你有了丰盛的晚餐，自然也能打包带走一样。

不过，可积的函数不一定可导，像一些带有尖点的函数，虽然能算出面积，但却没有切线，这就像你虽然能喝到果汁，但果肉的口感却让你有点郁闷。

4. 实际应用4.1 生活中的例子在日常生活中，理解这些概念其实挺有帮助的。

函数连续是函数可积的
在数学中，函数连续是函数可积的一个必要条件，但并非充分条件。

一个连续函数可以是可积的，但也有可能是不可积的。

如果一个函数在区间[a, b]上连续，那么它在该区间上一定是可积的。

这意味着可以通过求定积分的方法计算出该函数在区间上的面积或曲线长度。

然而，反过来并不成立。

也就是说，一个函数在区间上可积，并不能保证它在整个区间上连续。

例如，Dirichlet函数就是一个在任何有理数点处都不连续的可积函数。

在更一般的情况下，对于函数的可积性，需要满足柯西准则或黎曼准则。

柯西准则要求函数在区间上有界，并且只有有限个间断点，那么它就是可积的。

黎曼准则则要求函数在区间上有界，并且只有有限个第一类间断点，那么它就是可积的。

总结起来，连续是函数可积的必要条件，但不是充分条件。

对于一般情况下的可积性，还需要满足柯西准则或黎曼准则。

关于导函数的连续性问题在数学中有一个达布定理（可把它称为导函数的介值定理）。

1. 达布定理：设()x f 在[]b a ,可导，()()b f a f -+'≠'，则对于()a f +'和()b f -'之间的任意实数u ，在()b a ,内至少存在一点c ，使得()u c f ='。

证明：设()()ux x f x F -=，则()x F 在[]b a ,可导，()()u a f a F -'='++，()()u b f b F -'='-- 因为u 是()a f +'和()b f -'之间的任意实数，所以()a F +'和()b F -'一定异号， 若设()0≤'+a F ，则()0≥'-b F 因为()()()0lim ≤--='+→+a x a F x F a F a x ，根据极限的局部保号性，则()()a F x F ≤()()()0lim ≥--='-→-bx b F x F b F b x ，根据极限的局部保号性，则()()b F x F ≤ 所以，()a F 与()b F 都不是()x F 的最小值，因为()x F 在[]b a ,上是连续的，所以在[]b a ,上一定存在最值。

设()x F 的最小值在c 点取得，则()0='c F ，即()0=-'u c f ，即()u c f ='。

通过以上证明，达布定理其实就是说明了，若函数()x f 在[]b a ,上可导，虽然()x f '在[]b a ,上不一定连续，但是()x f '在[]b a ,上可取()a f '和()b f '之间的任何值。

2． 达布定理的推广------（又称导函数的零点定理）：设()x f 在[]b a ,可导，()()b f a f -+''与异号，则至少存在一点()b a c ,∈使得()0='c f 。

高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第二十三讲微积分的基本公式第五章一元函数的积分本章学习要求：▪熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.▪熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.▪理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪熟悉牛顿—莱布尼兹公式.▪理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。

▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。

能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。

▪能利用定积分定义式计算一些极限。

第五章一元函数积分学第二节微积分的基本公式一. 积分上限函数二. 微积分基本公式请点击一. 积分上限函数 (变上限的定积分), , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f . d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰ba x x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x F xa x a ∈==⎰⎰O xya b x x )(x f yO xy a b x x )(x f y =⎰x axx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。

,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=ab b a x x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=x b b x t t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数.. d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1 证 . ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x F b a R x f xa ∈=∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x F x x F x F -∆+=∆⎰⎰⎰∆+∆+=-=x x x x a xx a tt f t t f t t f d )(d )(d )( .|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x F x x x xx x ∆≤≤=∆≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x F x ∈即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=-∆+xx x t t f x F x x F 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x F x x F xx x ∆==-∆+⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxx f x x F x x F x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么 ？ 条件定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰ , )( 0处连续在点如果会不会有这样的结论：x x f? )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F xa ='=⎰且处可导在点则, )(0即有处连续在点x x f.|)()(| , ),U( 0, ,0 00εδδε<-∈>∃>∀x f x f x x 时当),()( 00即要要x f x F =').(d )(lim )()(lim 0000000x f x x tt f x x x F x F xx x x x x =-=--⎰→→d )(d )( )(d )(00x x tx f t t f x f x x t t f xx xxxx --=--⎰⎰⎰ε<--≤⎰ d |)()(| ||100t x f t f x x x x就是说，我们猜想的结论成立.⎰=-baxa b d定理 3, ],[ ]),,([)( 0处连续且在点若b a x b a R x f ∈∈. )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F x a='=⎰且处可导在点则(在端点处是指的 左右导数 )例1='⎰) d cos (xa t t d cos d d ⎰xat t x .cos x =?) d cos ( ='⎰xax x 定积分与积分变量的记号无关.)(x F.cos ) d cos ( x x x xa='⎰例 2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 2 022x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?, 一般地 , )( , )( 则可导若C x f x ∈ϕ. )())(() d )( ()()( x x f t t f x F x aϕϕϕ'⋅='='⎰例3 解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=2cos(sin)lim2xxe xx-→--=.21e=罗必达法则)())(()d)(()(xxfttfxaϕϕϕ'⋅='⎰下面再看定理 2 .)()( d )()( 你会想到什么？及由x f x F t t f x F xa='=⎰定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰.)()())((,)(xfxFCxFxF='='+则存在若.,)(则必有无穷多个若存在这样的xF.)()(),()(),()(2121CxFxFxfxFxfxF=-='='则若.d)(,)(⎰b a xxfxF就可以计算定积分若能找到这样的CxxfxF xa=-⎰d)()()()(d)(aFbFxxf ba-=⎰定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题 .二. 微积分基本公式1. 原函数的定义2. 微积分基本公式请点击1. 原函数的定义定义'xFfF=若在某区间xx上有,)()()则称I为(x在区间f.(上的一个原函数I)一个函数要有原函数由前面的讨论可知,:则必有无穷多个原函数:,他们构成一个函数族xF+(C).CF+fx是否包含了)()(的所有原函数？我们要问：xI )( )( ),( 上的任意两个在区间是设x f x G x F,则有原函数. I ,)()( ),()(∈='='x x f x G x f x F . ) ( I )()( 为常数即C x C x F x G ∈≡-. I ,)()( ∈+=x C x F x G 故. :差一个常数任意两个原函数之间相就是说. )( )(的所有原函数包含了x f C x F + , I , 0)()())()(( ∈='-'='-x x G x F x G x F 于是例4, 2sin cos sin 2)(sin 2x x x x ==', 2sin )sin (cos 2)cos (2x x x x =--='-cos )( , sin )( 22x x G x x F -==故 . 2sin )( 的原函数都是x x f =:)()( C x G x F =-验证1cos sin )cos (sin 2222=+=--x x x x. 1 =C 即定理, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F. )( 的形式有原函数可表示为C x F) . ,(为任意常数其中C 定积分的计算归结为求相应的原函数的计算..仅相差一个常数的任意两个原函数之间什么样的函数的原函数一定存在？问题定理 ],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x F b a C x f xa ∈=∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f . I )( , ) I ()( 上原函数存在在则若x f C x f ∈ 推论 1 推论2.域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论3.区间内原函数存在初等函数在其有定义的几个问题?是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内., 1cos )( ,.成它的定义域由孤立点构例如不一定-=x x f., I 存在的函数的原函数一定不每个具有第一类间断点上在区间. ] 1 ,1[ sgn ,上在区间符号函数例如-=x y 下面来推证该结论 .? I,, I )( 上是否有原函数存在区间则函数在且只有一类间断点上有界在区间如果x f. )( ) ,( , ] ,[ )( 0的第一类间断点为上有定义在设x f b a x b a x f ∈, )( ] ,[ )( 则有上有一个原函数在如果x F b a x f . )( , )(lim , )1(000x f I I x f x x x ≠=→但存在为可去间断点时当, 得由拉格朗日中值定理 , )(lim )(lim )()(lim )(000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='→→→ξξ. )()( , )( 000x f x F x f I ≠'≠故由于 . ] ,[ )( , 0上的原函数不存在在为可去间断点时即当b a x f x =')(x F ,)(0b x x x f ≤<00 )(x x x f =.)(0x x a x f <≤, )2(0为跳跃间断点时当x, 得由拉格朗日中值定理 .)(lim )(lim )()(lim )( 000000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='+++→→→+ξξ .)(lim )(lim )()(lim )( 111000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='---→→→-ξξ. ; ,0100x x x x <<<<ξξ其中 . , )(lim , )(lim 101000I I I x f I x f x x x x ≠==-+→→但存在. )( )( , 10的原函数不是故由于x f x F I I ≠. 数的原函数一定不存在上具有一类间断点的函在区间I, 综上所述上可积是否等价于函数在],[ba],[上有原函数存在？函数在ba不一定！.在原函数的充分条件函数可积不是该函数存上可积，在例如，]1,1[,111)(-⎩⎨⎧≤≤<≤-=xxxf.]1,1[上原函数不存在但在-从微积分基本定理来看:d )()( , ] ,[ )( ⎰=xa t t f x Fb a x f 函数上可积时在当. ] ,[ 上连续在b a , , 可导的必要条件函数的连续性只是函数但是. , 连续函数不一定可导就是说. ] ,[ , ) ] ,[ ()(上不一定存在原函数它在时b a b a R x f ∈.函数的可积充分条件函数存在原函数不是该⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 0 0 1sin )(22x x xx x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-=0 0 0 ]1 ,1[ 1cos 21sin 2 )(22x x x x x x x x f 且 函数是函数. ]1 ,1[ )( , ]1 ,1[ 上不可积在但上的一个原函数在区间--x f. )0U( )( : )( 0 内无界在的奇点是因为x f x f x =函数的连续性是函数既有原函数又可积的充分条件.?仍为初等函数初等函数的原函数是否.),0(sin)(!)12)(12()1()(,.12上的一个原函数在区间是初等函数例如不一定∞+=++-=∑∞+=+xxfnnxxFnnn.)(.含有无穷多项这里想想初等函数的定义xF不是初等的上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f xa ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x a a -=+===⎰故则令, 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f b a b a -==⎰⎰2. 微积分基本公式基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例5,cos )(sin x x ='.10sin 2sin sin d cos 2020 =-==⎰πππx x x 问题的关键是如何求一个 函数的原函数.例6.2)1arctan(1arctan arctan d 111 111 2π=--==+--⎰x x x .21)0sin 42(sin 21 2sin 21d 2cos 40 4 0 =-⋅==⎰πππx xx例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)莱布尼茨公式—牛顿).()( )(d )( a F b F x F x x f b aba-==⎰))(()()(a b f a F b F -=-ξ拉格朗日中值定理函数的可微性d )()( ⎰=xax x f x F 不定积分、定积分微积分基本公式d )( ))(( =∈⎰bax f C x f ξ积分中值定理。