下载文档原格式
可积和有原函数的区别
可积函数和有原函数是微积分中两个不同的概念。
1.可积函数：可积函数是指在给定的区间上可以进行定积分的
函数。
如果一个函数在某个区间上满足某些特定的条件，如有界性、有限个间断点等，则称该函数是可积的。
这意味着可以对该函数在区间上进行定积分，并得到一个有限的结果。
2.有原函数：有原函数（或原函数）是指在给定的区间上存在
一个函数，其导数等于原函数。
具体地说，如果一个函数在某个区间上存在一个函数，使得这个函数在该区间上的导数等于原函数，则称该函数具有原函数。
这个函数称为原函数或不定积分。
区别：
1.可积函数是通过对函数进行定积分得到的结果是有限的。
它
是对函数在某个区间上的面积或曲线下的长度进行计算。
2.有原函数是对导数的逆运算，找到一个函数使得其导数等于
原函数。
有原函数无需考虑积分上下限，只关注函数的整体形式。
虽然可积函数和有原函数之间有关联，但并不是所有的可积函数都有原函数，即使有原函数也不一定是可积函数。
有些函数无法用一个有限的函数表达其原函数，如某些特殊函数比如椭圆积分等。
此外，可积函数还可以是间断函数，并不要求函数在整个区间上连续。
总结来说，可积函数涉及定积分计算，有原函数涉及不定积分计算。
可积函数表示函数的可积性质，而有原函数表示函数的原函数性质。
高等数学中易错知识点总结1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。
若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。
2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。
但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。
3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。
4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。
若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。
5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。
但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。
6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。
函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。
在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。
原函数存在一定可导吗
原函数存在一定可导吗？：一定。
导数是函数增量比的极限。
这是导数的数学意义。
函数在某点处可导，在图象上表示该点切线的斜率存，这是导数的几何意义。
函数的定积分在几何上表示曲边梯形的面积。
对一元函数来讲，可导必连续，连续必可积。
连续函数的原函数一定存在。
原函数连续导数不一定连续，原函数连续并不能推出导函数连续。
还需要进一步求导才可判断。
原函数连续，并且导数存在，导函数不一定连续。
函数连续，但在该点的左右导数不相等，导数也不存在。
![[理学]高等数学大二第二学期总复习](https://uimg.taocdn.com/28e8205b01f69e314232941f.webp)
存在原函数1. 什么是原函数当我们学习微积分时，会学到导数和积分的概念。
其中，导数是描述一个函数在某一点的变化率，而积分则是求一个函数在某一区间内的面积。
然而，在实际应用中，我们常常需要求解反函数，即给定一个函数的导数，求出这个函数本身。
这个函数就被称为原函数。
2. 原函数的定义和性质设函数f(x)在区间I上有定义，则如果存在一个函数F(x)，当x∈I时，有F'(x)=f(x)，那么我们称F(x)为函数f(x)在区间I上的一个原函数。
原函数的存在与连续性和可导性有关。
具体地说，如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定有原函数；如果函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上也一定有原函数。
原函数具有可加性、可减性、可积性等性质。
如果F1(x)和F2(x)是f(x)在区间I上的原函数，则有：（1）F1(x) + F2(x)也是f(x)在区间I上的原函数；（2）cF1(x)（c为常数）也是f(x)在区间I上的原函数；（3）在一定条件下，原函数的积也是原函数。
即，如果F1(x)和F2(x)都是f(x)在区间I上的原函数，则F1(x)F2(x)也是f(x)在区间I上的原函数。
3. 求原函数的方法为了求解一个函数的原函数，我们需要使用各种积分方法和技巧。
下面列举一些常见的方法：（1）多项式求导法：通过多项式求导的方法反向推导原式。
（2）反向微积分法：将已知函数f(x)化简后再积分。
（3）换元积分法：通过换元变量来简化积分式。
（4）分部积分法：将积分项写成两个函数的积形式，然后利用积分反向求导的性质进行化简。
（5）三角代换法：将积分项中出现的三角函数通过某些代换变成已知函数再求解。
通过以上方法，我们可以求解出一些经典的函数的原函数，如幂函数、指数函数、三角函数等。
4. 原函数的应用求解原函数在数学学科的应用较为广泛，例如：（1）求解定积分：根据牛顿-莱布尼兹公式，可以利用求解原函数来求解定积分。
可积可导连续之间的关系1. 引言大家好，今天咱们要聊聊一个看似严肃但其实挺有趣的话题：可积、可导和连续之间的关系。
别担心，我不会用复杂的数学术语来绕晕你，咱们就用简单的语言来探讨这个话题，顺便抖个机灵，看看这些概念如何在生活中闪闪发光。
2. 基础概念2.1 连续性首先，什么是连续呢？可以这么理解：想象一下你在喝一杯牛奶，牛奶从杯子里流出来，如果流畅没有停顿，那就是“连续”。
在数学里，函数连续意味着你在图像上走的时候，根本不会跳来跳去，真是一条流畅的道路！如果这条路突然断了，那就麻烦了，像个坑一样，谁都不愿意掉进去。
2.2 可导性然后是可导，简单来说，就是你能不能找到切线。
打个比方，开车的时候，你能感觉到车速的变化，对吧？这就是导数在起作用。
可导的函数就像是你的车子在平坦的公路上，不会突然加速或减速，让你感到舒适。
如果你的车在山路上飞速冲下，嘿，那就不太好了，安全第一嘛！2.3 可积性最后，咱们来聊聊可积性。
想象你在一个盛满糖果的碗里，想知道碗里到底有多少糖果。
可积性就是通过把这些糖果分成小份，慢慢加起来，最后得出总数。
在数学里，可积的函数就像这些糖果，可以通过求和的方法得到它的面积或总值。
3. 关系探讨3.1 连续与可导的关系那么，连续、可导和可积之间到底有什么关系呢？首先，连续性是可导性的基础。
也就是说，如果你想让一个函数可导，它必须是连续的，就像一条河流不可能在中间突然断掉，否则就不能畅通无阻地流向大海。
举个例子，想象一个人在爬山，如果他在某个点停下来了，肯定没法再往上爬。
反之，连续的函数不一定可导，比如一个“尖角”就很难找到切线。
3.2 可导与可积的关系接着，咱们再看可导和可积的关系。
其实，可导的函数一定是可积的，就像你有了丰盛的晚餐，自然也能打包带走一样。
不过，可积的函数不一定可导，像一些带有尖点的函数，虽然能算出面积，但却没有切线，这就像你虽然能喝到果汁，但果肉的口感却让你有点郁闷。
4. 实际应用4.1 生活中的例子在日常生活中，理解这些概念其实挺有帮助的。
函数连续是函数可积的
在数学中，函数连续是函数可积的一个必要条件，但并非充分条件。
一个连续函数可以是可积的，但也有可能是不可积的。
如果一个函数在区间[a, b]上连续，那么它在该区间上一定是可积的。
这意味着可以通过求定积分的方法计算出该函数在区间上的面积或曲线长度。
然而，反过来并不成立。
也就是说，一个函数在区间上可积，并不能保证它在整个区间上连续。
例如，Dirichlet函数就是一个在任何有理数点处都不连续的可积函数。
在更一般的情况下，对于函数的可积性，需要满足柯西准则或黎曼准则。
柯西准则要求函数在区间上有界，并且只有有限个间断点，那么它就是可积的。
黎曼准则则要求函数在区间上有界，并且只有有限个第一类间断点，那么它就是可积的。
总结起来，连续是函数可积的必要条件，但不是充分条件。
对于一般情况下的可积性，还需要满足柯西准则或黎曼准则。
关于导函数的连续性问题在数学中有一个达布定理（可把它称为导函数的介值定理）。
1. 达布定理：设()x f 在[]b a ,可导，()()b f a f -+'≠'，则对于()a f +'和()b f -'之间的任意实数u ，在()b a ,内至少存在一点c ，使得()u c f ='。
证明：设()()ux x f x F -=，则()x F 在[]b a ,可导，()()u a f a F -'='++，()()u b f b F -'='-- 因为u 是()a f +'和()b f -'之间的任意实数，所以()a F +'和()b F -'一定异号， 若设()0≤'+a F ，则()0≥'-b F 因为()()()0lim ≤--='+→+a x a F x F a F a x ，根据极限的局部保号性，则()()a F x F ≤()()()0lim ≥--='-→-bx b F x F b F b x ，根据极限的局部保号性，则()()b F x F ≤ 所以，()a F 与()b F 都不是()x F 的最小值，因为()x F 在[]b a ,上是连续的，所以在[]b a ,上一定存在最值。
设()x F 的最小值在c 点取得，则()0='c F ，即()0=-'u c f ，即()u c f ='。
通过以上证明，达布定理其实就是说明了，若函数()x f 在[]b a ,上可导，虽然()x f '在[]b a ,上不一定连续，但是()x f '在[]b a ,上可取()a f '和()b f '之间的任何值。
2． 达布定理的推广------（又称导函数的零点定理）：设()x f 在[]b a ,可导，()()b f a f -+''与异号，则至少存在一点()b a c ,∈使得()0='c f 。
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第二十三讲微积分的基本公式第五章一元函数的积分本章学习要求：▪熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.▪熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.▪理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪熟悉牛顿—莱布尼兹公式.▪理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。
▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
▪能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章一元函数积分学第二节微积分的基本公式一. 积分上限函数二. 微积分基本公式请点击一. 积分上限函数 (变上限的定积分), , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f . d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰ba x x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x F xa x a ∈==⎰⎰O xya b x x )(x f yO xy a b x x )(x f y =⎰x axx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=ab b a x x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=x b b x t t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数.. d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1 证 . ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x F b a R x f xa ∈=∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x F x x F x F -∆+=∆⎰⎰⎰∆+∆+=-=x x x x a xx a tt f t t f t t f d )(d )(d )( .|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x F x x x xx x ∆≤≤=∆≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x F x ∈即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=-∆+xx x t t f x F x x F 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x F x x F xx x ∆==-∆+⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxx f x x F x x F x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么 ？ 条件定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰ , )( 0处连续在点如果会不会有这样的结论：x x f? )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F xa ='=⎰且处可导在点则, )(0即有处连续在点x x f.|)()(| , ),U( 0, ,0 00εδδε<-∈>∃>∀x f x f x x 时当),()( 00即要要x f x F =').(d )(lim )()(lim 0000000x f x x tt f x x x F x F xx x x x x =-=--⎰→→d )(d )( )(d )(00x x tx f t t f x f x x t t f xx xxxx --=--⎰⎰⎰ε<--≤⎰ d |)()(| ||100t x f t f x x x x就是说，我们猜想的结论成立.⎰=-baxa b d定理 3, ],[ ]),,([)( 0处连续且在点若b a x b a R x f ∈∈. )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F x a='=⎰且处可导在点则(在端点处是指的 左右导数 )例1='⎰) d cos (xa t t d cos d d ⎰xat t x .cos x =?) d cos ( ='⎰xax x 定积分与积分变量的记号无关.)(x F.cos ) d cos ( x x x xa='⎰例 2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 2 022x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?, 一般地 , )( , )( 则可导若C x f x ∈ϕ. )())(() d )( ()()( x x f t t f x F x aϕϕϕ'⋅='='⎰例3 解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=2cos(sin)lim2xxe xx-→--=.21e=罗必达法则)())(()d)(()(xxfttfxaϕϕϕ'⋅='⎰下面再看定理 2 .)()( d )()( 你会想到什么？及由x f x F t t f x F xa='=⎰定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa在则若⎰=∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F xa≤≤=='⎰.)()())((,)(xfxFCxFxF='='+则存在若.,)(则必有无穷多个若存在这样的xF.)()(),()(),()(2121CxFxFxfxFxfxF=-='='则若.d)(,)(⎰b a xxfxF就可以计算定积分若能找到这样的CxxfxF xa=-⎰d)()()()(d)(aFbFxxf ba-=⎰定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题 .二. 微积分基本公式1. 原函数的定义2. 微积分基本公式请点击1. 原函数的定义定义'xFfF=若在某区间xx上有,)()()则称I为(x在区间f.(上的一个原函数I)一个函数要有原函数由前面的讨论可知,:则必有无穷多个原函数:,他们构成一个函数族xF+(C).CF+fx是否包含了)()(的所有原函数？我们要问：xI )( )( ),( 上的任意两个在区间是设x f x G x F,则有原函数. I ,)()( ),()(∈='='x x f x G x f x F . ) ( I )()( 为常数即C x C x F x G ∈≡-. I ,)()( ∈+=x C x F x G 故. :差一个常数任意两个原函数之间相就是说. )( )(的所有原函数包含了x f C x F + , I , 0)()())()(( ∈='-'='-x x G x F x G x F 于是例4, 2sin cos sin 2)(sin 2x x x x ==', 2sin )sin (cos 2)cos (2x x x x =--='-cos )( , sin )( 22x x G x x F -==故 . 2sin )( 的原函数都是x x f =:)()( C x G x F =-验证1cos sin )cos (sin 2222=+=--x x x x. 1 =C 即定理, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F. )( 的形式有原函数可表示为C x F) . ,(为任意常数其中C 定积分的计算归结为求相应的原函数的计算..仅相差一个常数的任意两个原函数之间什么样的函数的原函数一定存在？问题定理 ],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x F b a C x f xa ∈=∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f . I )( , ) I ()( 上原函数存在在则若x f C x f ∈ 推论 1 推论2.域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论3.区间内原函数存在初等函数在其有定义的几个问题?是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内., 1cos )( ,.成它的定义域由孤立点构例如不一定-=x x f., I 存在的函数的原函数一定不每个具有第一类间断点上在区间. ] 1 ,1[ sgn ,上在区间符号函数例如-=x y 下面来推证该结论 .? I,, I )( 上是否有原函数存在区间则函数在且只有一类间断点上有界在区间如果x f. )( ) ,( , ] ,[ )( 0的第一类间断点为上有定义在设x f b a x b a x f ∈, )( ] ,[ )( 则有上有一个原函数在如果x F b a x f . )( , )(lim , )1(000x f I I x f x x x ≠=→但存在为可去间断点时当, 得由拉格朗日中值定理 , )(lim )(lim )()(lim )(000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='→→→ξξ. )()( , )( 000x f x F x f I ≠'≠故由于 . ] ,[ )( , 0上的原函数不存在在为可去间断点时即当b a x f x =')(x F ,)(0b x x x f ≤<00 )(x x x f =.)(0x x a x f <≤, )2(0为跳跃间断点时当x, 得由拉格朗日中值定理 .)(lim )(lim )()(lim )( 000000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='+++→→→+ξξ .)(lim )(lim )()(lim )( 111000000I f F x x x F x F x F x x x x x x =='=--='---→→→-ξξ. ; ,0100x x x x <<<<ξξ其中 . , )(lim , )(lim 101000I I I x f I x f x x x x ≠==-+→→但存在. )( )( , 10的原函数不是故由于x f x F I I ≠. 数的原函数一定不存在上具有一类间断点的函在区间I, 综上所述上可积是否等价于函数在],[ba],[上有原函数存在？函数在ba不一定！.在原函数的充分条件函数可积不是该函数存上可积，在例如，]1,1[,111)(-⎩⎨⎧≤≤<≤-=xxxf.]1,1[上原函数不存在但在-从微积分基本定理来看:d )()( , ] ,[ )( ⎰=xa t t f x Fb a x f 函数上可积时在当. ] ,[ 上连续在b a , , 可导的必要条件函数的连续性只是函数但是. , 连续函数不一定可导就是说. ] ,[ , ) ] ,[ ()(上不一定存在原函数它在时b a b a R x f ∈.函数的可积充分条件函数存在原函数不是该⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 0 0 1sin )(22x x xx x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-=0 0 0 ]1 ,1[ 1cos 21sin 2 )(22x x x x x x x x f 且 函数是函数. ]1 ,1[ )( , ]1 ,1[ 上不可积在但上的一个原函数在区间--x f. )0U( )( : )( 0 内无界在的奇点是因为x f x f x =函数的连续性是函数既有原函数又可积的充分条件.?仍为初等函数初等函数的原函数是否.),0(sin)(!)12)(12()1()(,.12上的一个原函数在区间是初等函数例如不一定∞+=++-=∑∞+=+xxfnnxxFnnn.)(.含有无穷多项这里想想初等函数的定义xF不是初等的上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f xa ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x a a -=+===⎰故则令, 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f b a b a -==⎰⎰2. 微积分基本公式基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例5,cos )(sin x x ='.10sin 2sin sin d cos 2020 =-==⎰πππx x x 问题的关键是如何求一个 函数的原函数.例6.2)1arctan(1arctan arctan d 111 111 2π=--==+--⎰x x x .21)0sin 42(sin 21 2sin 21d 2cos 40 4 0 =-⋅==⎰πππx xx例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)莱布尼茨公式—牛顿).()( )(d )( a F b F x F x x f b aba-==⎰))(()()(a b f a F b F -=-ξ拉格朗日中值定理函数的可微性d )()( ⎰=xax x f x F 不定积分、定积分微积分基本公式d )( ))(( =∈⎰bax f C x f ξ积分中值定理。
riemann可积与存在原函数的关系
riemann可积与存在原函数的关系
博世·罗瑞曼在1854年提出了Riemann可积性，这是一种能够证明给定函数
是可积函数的充分必要条件。
它用特定的强制性标准对可积函数的行为进行了精确的描述。
Riemann可积性指的是什么？它的观念是给定函数的可积性与在某一指定区域
内的实部及虚部分分函数的可积性有关。
假设f(z)为复变函数，它的实部和虚部
分分函数分别为f的Re和Im，那么其可积性的充分必要条件为：在该复平面区域
D中，其实部和虚部分分函数在每一点都有及其近似的可积性。
满足Riemann可积性的函数，一台能够存在这样一种原函数：如果f (z)是Riemann可积函数，则存在自变量实部和虚部及其对应的函数实部和虚部的原函数，称之为复复变函数F (Z)。
在这里，F (z)是f (z)的连续变换：
F (z) = ∫D f (z) dz
上式中，D为Riemann可积函数f (z)所在复平面区域。
由此可知，只要给定
函数是Riemann可积函数，就一定存在与之对应的原函数。
可以简述Riemann可积性及其与存在原函数之间的关系如下：Riemann可积性
是证明某个函数是可积函数的充分必要条件，即函数的实部和虚部分分函数在每一点都有及其近似的可积性。
而满足Riemann可积性的函数仍然存在着一个原函数，即其实部和虚部分分函数的连续变换。
黎曼可积与连续的关系
张涛
【期刊名称】《新疆教育学院学报》
【年(卷),期】1989(000)001
【摘要】《数学分析》中证明了闭区间[a,b]上的连续函数是可积的,而[a,b]上的可积函数不一定连续。
那么,[a,b]上的可积函数能否在[a,b]上处处不连续呢?这个问题一般在《数学分析》中不加讨论,在《实变函数》中有了测度论的知识后可以给出
完满的解答。
这里用《数学分析》的方法对这个问题进行探讨,无疑对《数学分析》的教与学是有好处的。
定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上黎曼可积,则f(x)在[a,b]上至少有一个连续点。
【总页数】2页(P61-99)
【作者】张涛
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G65
【相关文献】
1.分段连续函数为黎曼可积的证法 [J], 刘晓楠;于莹莹;潘婷婷
2.随机变量一致有界、一致可积、一致连续之间的关系 [J], 张培;任春光
3.函数连续与函数可积和原函数存在性的关系 [J], 孔真
4.函数的连续性、单调性、可积性及原函数存在性之间的关系 [J], 赵秀;李红银;雷
飞
5.函数的原函数存在与黎曼可积的关系 [J], 程磊;李静
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
原函数存在与Riemann可积
于书敏;张安梅
【期刊名称】《通化师范学院学报》
【年(卷),期】2003(024)002
【摘要】通过举例说明定积分与不定积分(原函数)是两个不同的概念,它们的存在性没有必然的蕴含关系.
【总页数】2页(P7-8)
【作者】于书敏;张安梅
【作者单位】通化师范学院数学系,吉林通化,134002;通钢一中
【正文语种】中文
【中图分类】O241.4
【相关文献】
1.有关原函数存在性与函数可积性关系的探讨 [J], 张丽春;李文钰;杨月婷;
2.函数连续与函数可积和原函数存在性的关系 [J], 孔真
3.函数的连续性、单调性、可积性及原函数存在性之间的关系 [J], 赵秀;李红银;雷飞
4.Riemann可积与存在原函数的关系 [J], 薛怀玉
5.函数的原函数存在与黎曼可积的关系 [J], 程磊;李静
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
谈牛顿——莱布尼兹公式一茉,,私分牛蔓承德民族师专1995年第2期f冯谈牛顿一莱布尼兹公式(=)J7滕文凯/7f微积分第二基本定理——牛顿——莱布尼兹公式把微分与积分从概念与计算上同时联系起来,是使微积分理论形成一个体系的一个重要标志.以下从几个方面出发,谈一谈对牛顿——莱布尼兹公式的认识.1把求定积分的问题化为求f(x)的原函数问题定理(微积分基本公式):设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的任何一个原函数,则有徽积分基本公式:rb上f(x)dx=F(b)-F(a)r微积分基本公式又称牛顿——莱布尼兹公式.这个公式告诉我们:要计算定积分土f(x)dx,只需先求f(x)的任何一个原函魏F(x),然后用F(x)的积分上限的值F(b)减去F(x)在积分下限的值F(a)而初等函数在定义区间上都是连续的,所以只要初等函数的原函数能够表为有限形式,要计算它的定积分,就可以用牛顿——莱布尼兹公式.这样,就把很广泛的一类函数的定积分计算问题,化成了求被积函数的原函数的增量问题2建立了微分中值定理和积分中值定理之间的关系利用牛顿——莱布尼兹公式易得微分中值定理和积分中值定理的关系.2.1由积分中值定理推导微分中值定理因为f(x)是[a’b]上的连续函数,F(x)是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),由牛——莱公式及积分中值定理,jl∈(a.b),使fF(b)一F(a)=_lf(x)dx~(b—a)?f(1)=(b--a)?F(1)即推出了条件强一些的微分中值定理(Ff不仅存在而且连续).2.2由微分中值定理推导积分中值定理在[a,b3,F,且存在原函数.作为公式的应用当然是条件越弱越好.实际上,只要f(x)在[a.b]上可积,且存在F(x),F(x)在[a,b]上连续,在(a.b)可微,Fr(x)=f(x)则可以证明牛——莱公式成立.显然条件可积比连续要弱,这样可使牛——莱公式的使用范围扩大.一个函数可积与它存在原函数并不一致根据微积分第一基本定理(即连续函数的原函数的存在性定理),只有对连续函数,可积与存在原函数才是一致的..因为可积和原函数存在不是一致的概念,所在利用牛——莱公式计箩定积分时一定要注意判定被积函数f如)是否同时满足此两条件.如果两条件都不满足或仅满足条件之一就草率行事,滥用公式,只能得出错误结果.f,-倒1检验JtX_-dx应用牛——莱公式的正确性.(错解法)l~-{2dx一一÷l_Il一一2其错在于:f(x)一÷在[-1,1]无界,以x=0为无穷同断点,故不可积.另外一÷在x=0无意义,也不是在[_l,1]的一个原函数?牛一莱公式中的两个条件f(x)=都不满足,从而不能用公式求解.由直观判断也可知f(x)=击≥o,故若积分存在必非负.现积分为负,必为错r1解.利用瑕积分收敛性判别法知,作为l广义积分Jt击dx是发散的. …,f2xsi”j1一导c1当x≠0倒2巳知f(x):}”一i当≠【0当x一0以F(x)一{当≠.10当x一0f为一个原函数,判断能否用牛一莱公式求J.f(x)dx(错解法):』1f(x)dx=F(1)一F(一1)=sinI—sinI~0此题中,f(x)虽然存在原函数F(x),但f(x)在[-1,1]无界,不可积,不满足牛——莱公式的第一个条件.因为f(x)的积分不存在,如果还利用公式求解显然是错误的.倒t中f(x)=圭在[-1,1]既不可积又不存在原函数;例2中的f(x)在[一l,t3不可积,此两题的被积函数均不同时满足牛一一莱公式的两条件,此时若滥用牛——莱公式求定积分,必定得出错误结果,这在解题当中是应该时刻引起注意的.4以牛顿——菜布尼兹公式为基础,建立各种积分之间的关系4.1积分定义的统一形式定积分,重积分,曲线积分,曲面积分的基本思想是一致的,它们可以归结为一种统一的形式一几何形体Q上的黎曼积分:设Q为一可度量的几何形体,在0上定义了一个函数f(M).9——M60.将此几何形体0分为若干可以度量的小块△0一,△Q2’..?,△,且把它们的度量大小仍记为△q(k=I,2,…,n),令d=yxf△q的直径},在每一块△中任取一点,作黎曼和数_f(I~)Ac4,如果不论对于.的怎样分法及点M在△上如何取法,当d一0时这个和数恒有极限I,则称函数f(M)在O上黎曼可积,称此极限值I为函数f(M)在几何形体O上的黎曼积分,f记为:I=Jf(M)dQ亦即}I=lim25f(Mt)△儡’此极限与O的分法及点M的取法无关.2利用含参量积分的中介,化二重积分为二次积分各种积分的定义形式可统一,在计算上也无本质差异.我们先看二重积分.二重积分的几何意义为xy平面区域D一{(x,y)la≤x-<<b,c(x)≤y≤d(x)}为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶桂体体积ffV—JJf(x,y)曲其中c(x),d(x)为[a.b)上的连续函数,f(x,y)为D上的非负连续函数.将横坐标为x的截面投射到yz平面得到曲边梯形RI={(y,zlc(x)≤y≤d(x),O≤z≤f(x,y)),此曲边梯形面积为:’fA(x)=Jf(x,y)dy这就是曲顶柱体的截面面积函数,x为参变量,Y为积分变量,利用牛顿一莱布尼兹公式计算此定积分可得A(x)以此截面面积函数为被积函数,利用牛顿一莱布尼兹公式求定积分即可得曲顶柱体体积d”)v:v—A(x)dx:.【dxJf(x,y)dy即,,:『I:fdx『f(x.y)从以上讨论可知道,二重积分的计算就是利用含参量积分的中介,化二重积分为两次定积分,两次利用牛顿一莱布尼兹公式得出最后结果,所以计算二重积分的基础也为牛顿一莱布尼兹公式.4.3化三重积分为逐次积分定理:若f(x,Y,z)在v={(x,Y,z)la≤x≤b,c(x)≤y≤d(x),e(x,y)≤z≤g(x,y))上连续,e(x,y),g(x,y)在D一{(x,y)la≤x≤b,c(x)≤y≤d(x))上连续,c(x),d(x)在Ca,b]上连续,R={(y.z)lc(x)≤y≤d(x),e(x.Y)≤z≤g(x,y)),则20驭州z=』fdx』a』咄踟z肛枷zf f.”州z三重积分的物理意义为定义的空间立体V上密度函数为f(x,y,z)的非均匀密度物体的质量.上述三种求质量的方法可分别简述为:由点到线,由线到面,由面到体”;”由点到线,由线到柱(d妇yI(x,y,z)dz),由柱到体”及”由点到面(JJc(,y,z)dydz),由面到片dxJJf(x,ytz)dydz),由片到体”.不论是将三.4.3曲面积分化为二重积分曲面积分是沿曲面进行的,被积函数都是三元函数,但只有两个变元是相互独立的,故曲rr面积分是二重积分问题.仍用二重积分号.上I”来表示.两类曲面积分的计算都是通过投影而归结为二重积分的计算,计算时,必须按曲面方程化为两个变量的显式,如将曲面积分化为xy面上的二重积分,就要将曲面方程化成关于变量x,Y的显式z=z(x,y),代入披积表达式中:ffff——JJf(x,y,z)do=JJfCx,y,z(x,y)3】+z?+z~dxdyff在JJp(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy中ffff.JJR(x.Y-z)dxdy~±JJR:x.y,z(x.y)]dxdy当∞s,0时,取”+号?当.osY<0时.取.一号.Y为曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角.rr同理可有;J(x,y,z)dxdy:士J[x(y,z),y,z]dydzrr’rrJ-IQ(x,Y,z]dzdx:士JJQ[x,y(z,x),z]dzdx.,口h4-4?4两类曲面积分之间的关系在第二型曲面积分.rrr.’』Jydz+Qdzdx+Rdxdy一』J(P.osa+Qoo审+Rco~y)d口中,是把P,Q,R 看成被积函数的,若把Pco+Qc0sB+R.osY看成被积函数t它就是第一型曲面积分.上式恰好表明了两曲面积分之间的相互转换关系.在许多场合之下,把第二型曲面积分的计算转化为第一型曲面积分的计算是十分方便的.例3计算曲面积分:dydz+yd:d】(+:d其中S为平面x+y+z=I被三坐标面所截一f(a)把f(x)的导数在区间[a,b]上的定积分变为f(x)沿边界(端点)的值的差:格林公式(一)dxdy一}Pdx+Qdy把P(x?y),Q(x?y)的偏导数在区域D上的二重积分变成P(x,y),Q(x,y)措区域D的边界闭曲线C上的曲线积分;奥高公式皿舞+等+-)dxdydz~+删z¨R把P.Q,R的偏导数在有界闭体V上的三重积分变为P(x,y,z),Q(x,y.z),R(x.Y,z)沿闭体V的边界闭曲面S上的曲面积分;靳托克斯公式{J(嚣.署)aaz+(一蓑)azdx+筹)axa’=Y oP【x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R【x,Y.z)dz把P,Q,R的偏导数在空间曲面S上的曲面积分变为P(x,Y,z),Q(x,Y,z),R(x,Y,z)沿曲面S的边界闭曲线C上的曲线积分.以上几式说明格林公式,奥高公式以及斯托克斯公式都是牛一莱公式的推广,它们的思想是完全一致的.从根本上说,它们都不过是在不同形式下应用微积分基本定理的结果,而且不论是哪个公式在推导的过程中,其关键步骤都是用了牛一莱公式.运用一些近代的代数和几何概念,比如向量的外积,微分形式等.可以把上述公式统一起来,把它们看成更一般的斯托克斯公式的特倒一即:k+1阶外微分形式dw在k维区域所目的k+1维区域上的积分等于k阶外微分形式W在k维区域上的积分.格林公式的作用是将第二型曲线积分的计算转化为二重积分,相反可用曲线积分求平面图形的面积.而奥高公式将三重积分和第二型曲面积分联系起来,化第二型曲面积分为三重积分,对简化第二型曲面积分的计算起着重要作用.相反地.借助奥高公式还可用曲面积分求空间立体的体积.斯托克公式联系空间曲面积分和沿曲面的边界曲线的曲线积分之间的关系,化空间第二型曲线积分为空间第二型曲面积分,它可以简化某些空间曲线积分的计算问题.综上所述,我们可得各种积分之间的关系图如下:PP牛一莱公式.LfI(x)dxffiJ.dt(x)一f【x)1.~ffif(b)一f(a)肯定了积分与微分是同一个量(原函数的增量f(b)一f(a))的整体形式与局部形式,积分是徽分的积累,微分是积分的分解,积分与微分是整体与局部的关系,这是积分与微分的最基本关系.我们已经看到二重积分,三重积分都是建立在牛一莱公式这个共同基础之上的,而曲线积分,亡阔J曲面积分都要化为定积分和重积分,因而这个定理在多元函数积分理论中也有意义.虽然从牛一莱公式的表面看,这个定理反映的是一元函数积分与微分之间的基本关系,但是整个微积分除了微分和积分还有什么呢?面由线组成,体由面组成与线由点组成一佯,都是整体和局部之间的关系.因此,二重积分和定积分,三重积分和二重积分也可以说是积分和微分的关系.这种观点也可以推广到高维空间.所以,无论是微分和积分的关系.还是低维的积分和高准的积分之间的关系,都包含在这个定理之中.总而言之,它确实是名副其实的整个徽积分的基本定理,是微积分理论,特别是积分学理论的基础.。
原函数存在定理和定积分存在定理原函数存在定理和定积分存在定理是微积分中的两个基本定理，它们与不定积分和定积分的概念密切相关。
1. 原函数存在定理（Fundamental Theorem of Calculus）：原函数存在定理是微积分中最基本的定理之一，它表明如果一个函数在某个区间上是连续的，那么它在该区间上一定存在一个原函数。
简单来说，如果一个函数在某个区间上连续，那么它可以通过求导的逆运算（即不定积分）来得到一个原函数。
原函数存在定理可以分为两个部分：- 第一部分：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，那么定积分∫[a, b]f(x)dx等于F(b) - F(a)。
这个部分可以用公式表示为：∫[a, b]f(x)dx = F(x)|[a, b] = F(b) - F(a)。
- 第二部分：如果函数f(x)在某个区间上连续，并且F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数，那么对于该区间上的任意一点c，定积分∫[a, b]f(x)dx等于F(b) - F(a)，其中a和b是该区间上的任意两个点。
这个部分表示了不定积分的一个重要性质，即它只与函数在某个区间上的原函数有关，而与具体的区间选择无关。
原函数存在定理为计算定积分提供了一个重要的方法，通过寻找函数的原函数，我们可以通过求出函数在两个点之间的差值来计算定积分的结果。
2. 定积分存在定理：定积分存在定理是微积分中的另一个重要定理，它表明如果一个函数在某个区间上是有界的，那么它在该区间上一定存在定积分。
简单来说，如果一个函数在某个区间上有界，那么它可以通过求取该区间上的无穷小面积和来得到一个定积分。
定积分存在定理可以表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上一定可积（即存在定积分）。
定积分存在定理保证了函数在有界区间上的连续性与定积分的存在性之间的关系。
它使得我们能够在计算函数在某个区间上的面积时，可以利用定积分的概念进行计算。
分段函数、函数的可积性与原函数存在性问题分析作者：丁军猛来源：《速读·中旬》2016年第08期摘要：在数学教学当中主要分为两部分教学内容，分别是函数和几何，由此我们可以这样说，函数内容占据着数学领域的半壁江山，在高等数学教学当中函数依然是非常重要的教学内容，特别是在关于函数的可积性与原函数的存在性关系上教师也曾反复多次强调二者并无联系，本文将主要讨论和分析分段函数、函数的可积性与原函数存在性的问题。
关键词：分段函数；函数可积性；原函数；存在性问题自从微积分概念出现以来，在某种程度上把不定积分也就是原函数与定积分即函数可积的概念相联系起来，因此很多数学初学者便想当然的认为原函数的存在性和函数的可积性之间有着紧密的关系，也就是原函数存在则函数具有可积性，反之函数具有可积性那么原函数必定存在，但是经过分段函数的研究证明，函数的可积性与原函数的存在性之间并无半点联系，更没有初学者所想的相互关系。
一、分段函数的概述分段函数从字面上看就是分为好几段的函数，虽然它被分为好几段但是仍然属于一个整体，也就是说分段函数是一个函数，并不是好多个函数，在任何一个函数当中都有自变量x和与之相对应的值域y，而分段函数则是根据自变量具体数值的不同它的取值范围也不再固定，是会随着自变量的改变而改变，也就是说在分段函数中的每一段函数的定义域合并在一起才是整个分段函数的定义域，同样每一段函数的值域合并在一起才是整个分段函数的值域。
因为分段函数的特殊性，可以对函数的奇偶性、单调性、最小正周期、函数的最大值、最小值包括自变量的范围等都可以展开具体的讨论，解决分段函数的方法有很多，常见的有待定系数法、公式法和数形结合法等等。
二、函数的可积性（一）可积函数的定义在积分函数当中，可积函数分为两种，一种是勒贝格积分，另外一种叫做黎曼可积，也就是我们所说的黎曼积分。
简单来说就是指若函数f（x）在[a，b]上存在积分，那么我们便认为函数f（x）在[a，b]上可积，也就是说函数f（x）在[a，b]上具有可积性。
连续和可积的关系
连续性和可积性是数学中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在数学上，连续性是指函数或曲线在任意指定的点上有着连续的取值，也可以说是连续函数、曲线、图形上
任意点间的函数有着无穷小的取值改变，而不会出现断点。
可积性一般与连续性有着关联，是指可以求出一个函数的积分，用来表示某段连续的函数的面积，像求一段时间内的收入，只要把收入的曲线表达出来，就可以求出收入的总数，就是示例中曲线的积分值。
连续性和可积性具有紧密的联系，即若函数连续，则它可以积分。
可积函数满足一定的连续性条件，例如，积分函数在任意间断点的取值绝对值小于某个限度值，或变化速度不能太快，也就是它的切线斜率在（-∞，+∞）之间。
有效的证明，函数可积，就需要它满足
连续性条件。
可以把可积函数想象成一条水波，其连续不断，就像海浪汹涌一样，分段地发展，没有断
开的地方。
而当一段函数连续和可积时，就可以把它想象成一条由一段又一段不断发展的
水波流，而积分就是这一段连续水波的体积。
总之，连续性和可积性是相辅相成的，只有满足了连续性的函数才能积分，积分用来表示函数面积，也表达出函数的取值范围，函数的定义域、值域两者甚至可以从中寻找对应的解，因此连续性和可积性也给我们带来了很多的应用。
