Riemann可积函数与连续函数

复合函数的黎曼可积黎曼可积（Riemann integrable）是一个重要的数学概念，用来描述复合函数是否可积。

它及其应用最常用于计算无穷离散量的近似值。

黎曼可积性质是Rudolf Loren名字的由来，它在板块概念中很详细，表明函数是否可以精确表示无穷多离散量，而不用费力气计算这些量，从而识别函数的极限特性。

要理解黎曼可积，首先需要明白什么是可积的函数，也就是函数的一部分可以积分为一个定值，这样可以获得整个函数的值。

黎曼可积确保函数至少是在某种意义上可积，用积分的方法说明。

也就是说，如果把函数分成小段，然后用积分计算该函数在每个小段上的取值，就可以求出整个函数的值：下面来看一个例子，为了给函数f（x）= x2 + 2x +1在[0，2]上满足黎曼可积要求，可以表示为函数值单调连续，且满足黎曼可积要求的研究对象的函数形式：f(x)=[x2+2x+1]c[0,2]=[x2+2x+1]c[0,1]+[1+2+1]c[1,2]上面公式表示，根据黎曼可积的规则，在[0，2]上函数f（x）= x2 + 2x +1可以表示为两个小段，分别为[0，1]和[1，2]，积分结果分别为[x2+2x+1]c[0,1]=4/3和[1+2+1]c[1,2]=4，从而总积分值为8/3，也就是要求函数在[0，2]上的值。

可以看到，通过给定分段，以及该分段中函数的特定值，可以简单地求出可积函数的值，而不必逐一积分计算每一段函数的值，从而大大简化了工作繁琐度。

此外，黎曼可积还提供了另外一项很重要的功能，即限定函数分段表示，除此之外，还要求每一段函数在连续和单调方面是可行的，也就是要求函数要连续单调，不能有突变点等情况发生，而连续性也不能被乱搞。

如果函数满足了这些条件，就会成为一个黎曼可积函数。

总之，黎曼可积是一个重要的概念，可以帮助我们简化复杂的函数的积分计算，它的准确性对于函数的表示非常重要，而它的应用也进一步拓展了函数的可积研究和应用。

Riesz-Schauder 定理在一类积分方程的应用朱伟丰（重庆师范大学 数学学院 重庆市 404100）摘要：通过实例来对Riesz —Schauder 定理应用，找到一类积分方程，当1α，2α是)()(2211x f A A x =--ααφ的系数且],[b a x ∈，而且)()(2211x f A A x =--ααφ在],[b a C 有解的可能，它的充分必要条件，以及进一步推广到方程)()(1x f A x in n n =-∑=αφ，系数为i k k ,,2,1, =α，()()i k x x Fdy y y x K A nn n k kn k bak k ,,2,1,)()(,1=+=∑⎰=ϕϕ在],[b a C 有解的可能，它的充分必要条件。

关键字：伴随算子；有界变分函数；积分方程；1、引言在这篇论文主要对文献[2]中Kneser 类型的积分方程推广。

我使用的方法来自于文献[10]，Riesz —Schauder 定理应用一类Kneser 积分方程。

其中函数的相关性来自于文献[9]。

考虑下面积分方程)()(2211x f A A x =--ααφ ],[b a x ∈ （1）⎰∑⎰=-=b a nk k i k i i k bai i i i x x x F dydz z y z y x K A 1)()()()()(),,(βϕβϕ其中1K 、2K 、1k F 、2k F 、f 为已知函数；k x 是区间],[b a 中的点；],[,F ,2k 1b a C f F k ∈，),,(),,,(1z y x L z y x K 在区间],[],[],[b a b a b a ⨯⨯连续，],[b a C 表示在],[b a 内的实连续函数的集合。

在（1）中的),,()(),,,()(211k k k k k k k k x x x L x F x x x K x F με==且0,>k k εμ，那么对于如下表达式⎰⎰∑=+b a bank k kx F dydz z y F 1)(),(ε（2）其中连续函数F 是Riemann 可积函数。

可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本文所讨论的主题——可导、可微、可积和连续之间的关系，并为读者提供一个全面的背景和引导。

本文将探讨这些数学概念之间的联系，以揭示它们之间的内在关联，以及它们在数学和物理学中的应用。

在数学分析中，我们经常遇到函数的性质和特征，而可导性、可微性、可积性和连续性是其中最基本也是最常见的一些性质。

它们描述了函数在不同方面的光滑程度和可测性。

理解这些概念之间的相互关系，对于深入研究微积分、实分析、复分析等领域的数学知识，以及在物理学和工程学中的应用是至关重要的。

本文将依次探讨可导和可微的关系、可微和可积的关系、可导和可积的关系、可微和连续的关系、可积和连续的关系、可导和连续的关系等六个方面。

通过分析这些关系，我们将揭示它们之间的数学联系和性质，并进一步讨论它们在实际应用中的意义和重要性。

对于初学者来说，理解和区分这些概念可能存在一定的难度。

因此，在本文中，我们将从简单到复杂，一步一步地引导读者理解这些概念的定义、性质和相互关系。

通过清晰的解释和具体的例子，我们将帮助读者建立起对这些数学概念的深入理解，并培养他们在实际问题中运用这些概念的能力。

最后，本文的结论部分将对可导、可微、可积和连续之间的关系进行总结，并提供一些对研究和应用的启示和展望。

我们将强调这些概念的重要性和广泛应用的前景，鼓励读者进一步探索和研究这些数学概念，以及它们在不同领域的应用。

通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解释和预测自然界和科学现象，并在技术和工程领域中做出更精确的计算和推断。

总之，本文将为读者提供一个深入了解和探索可导、可微、可积和连续之间关系的机会。

通过解释这些概念的定义、性质和相互关系，我们将帮助读者理清思路、认识到它们的重要性，并为将来的研究和应用打下坚实的基础。

希望读者通过本文的阅读，能够对这些数学概念有更全面的认识和理解。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕可导、可微、可积和连续这四个数学概念展开讨论，探讨它们之间的关系。

黎曼函数（Riemann function）一、黎曼函数的定义二、黎曼函数是否连续？在哪些点连续？三、黎曼函数的可积性一、黎曼函数的定义为有理数且、互质为无理数R(x)={1px为有理数qp, p∈N+,q∈Z且p、q互质1x=00x为无理数，为什么定义R(0)=1？这样能使得R(x) 成为周期为 1 的周期函数（无理数+1后还是无理数，有理数+1后分母不变），当 x 为整数时，黎曼函数的值均为 1。

因此以下只讨论黎曼函数在区间[0,1] 上的性质。

二、黎曼函数的连续性讨论黎曼函数性质描述：黎曼函数对∀x0∈(−∞,+∞) 均有limx→x0R(x)=0 （也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续）证明：只考虑[0,1] 上的情况；需要用到函数极限的ϵ−δ语言；对∀ϵ∈(0,1) ，令k=[1ϵ] ，则 k 是正整数；在[0,1] 上，设分母为p(p≥2) 的有理数的个数为np ，则np 是个有限的数字（不可能是无穷大，因为至多只能有1p,2p,3p,...,pp ，一共 p 个）；当 p=1 时，有两个分母为 1 的有理数：01,11 ，即n1=2 ；因此，我们得出：[0,1] 上分母不超过 k 的有理数的个数Nk=n1+n2+...+nk 是个有限的数字（不为无穷大），设这些有理数为r1,r2,...,rNk令且δ=min1≤i≤Nk且ri≠xo{|ri−x0|} （也就是这Nk 个点中离x0 最近的那个点与x0 间的距离；如果x0 正好与这Nk 个点中的某个点重合，则在剩下Nk−1 个点中重新计算离x0 的最小距离）；现在我们观察0<|x−x0|<δ中的所有数，这些数：（1）、要么是有理数但分母比 k 大；（2）、要么是无理数；对于（1）中的x ，我们有R(x)≤1k=1[1ϵ]≤21ϵ=2ϵ；对于（2）中的x ，很显然R(x)=0<2ϵ；综上，根据极限的ϵ−δ语言我们得出limx→x0R(x)=0 。

第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021doi：10.3969/j.i s s n.1008-1399. 2021. 01.023函数的原函数存在与黎曼可积的关系程磊，李静(信阳学院数学与统计学院，河南信阳"；"000%摘要本文讨论原函数存在与黎曼可积之间的联系与区别，通过列举具体的函数来说明函数的原函数存在与黎曼可积是相互独立的概念，两者之间是互不7含的关系.关键词原函数；牛顿-莱布尼兹公式；黎曼可积中图分类号 〇13文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0077 - 03Primitive Functions and Riemann IntegrabilityCHENG Lei and LI Jing(School o f Mathematics and S t a t i s t i c s，Xinyang College，Xinyang "6"000, China)A bstract The relation and difference between the existence of primitive functions and Riemann integrabiti-ty are discussed.By examples，w e show that the two concepts are different，independent of each other，and they don’t have implication relation.K eyw ords primitive function，Newton —Leibniz formula，Riemann integrable1引言在高等数学中，牛顿-莱布尼兹公式[1’2]将不定 积分和定积分结合了起来，在连续的条件下，可以利 用原函数来求定积分.因此，许多学生将原函数的存 在性与黎曼可积等价起来.但实际上，二者的关系并 非这样简单.文献[3]证明了“每一个具有第一类间 断点的函数，其原函数一定不存在”，并举例说明了 “在区间[a，]上存在原函数的无界函数/(:r)不一 定黎曼可积/文献["]重点讨论了“第二类间断点构 成一个正测度集的有界函数必不黎曼可积”，文中运 用了实变函数的知识来说明这一问题.本文中，我们 首先列出原函数存在和关于黎曼可积的一些定理，然后通过具体的函数来论述二者的联系与区别，其 中通过构造函数，重点讨论了在区间上存在原函数的有界函数不一定黎曼可积.2原函数存在和黎曼可积的基本结论为展示所论问题的方方面面，将有关原函数和收稿日期！ 2020 - 03 - 27 修改日期2020- 10 - 13作者筒介：程磊（1988 —)，男，河南信阳，硕士，助教，Ramsey理论，Email：chenglei2020@.黎曼可积的基本定理梳理如下，这些定理在《高等数 学》和《数学分析》教材或辅导书中都有证明.2.1关于原函数的_些定理[12]定理1若/(；c)在[a , 6]上连续，则j/(:c)d:c在.定理2(达布定理）设f X：r)在[a，]上可微，且f(a) *圹（），则对r(a)，r(6)之间的任何实 数A，存在6)(，6)，使得圹（）= A.推论1若/(：r)在[a，6]上具有第一类间断点，则J/(：r)d:r不存在•注意 不连续的函数也可能有原函数.例如&]\#2sin — ,# * 0F i x) = 1 #，-0，x = 0其导数f2xsin — —cos1，# * 0/(x) = 1 x x，-0，x = 0可以看出/(x)在x 50处不连续，但有原函数F(x)，此时x = 0为/(x)的第二类间断点.78高等数学研究2021年1月2.2 关于黎曼可积的一些定理%u，5]定理3 若/(z)在[a，6]上连续，则p/(:c)drJ a存在.定理4 若/(：r)在&，]上有界，且只有有限个间断点，则「/(：r)d:r存在.J a定理5 若/(：r)是&，]上的单调函数（即使有无穷多个间断点），则f/(：r)d：r存在.J a定理6若/Or)在&，]上黎曼可积，则/(r)在[a，]上有界.推论2 若/(r)在[a，6]上无界，则f/(r)d:ra在.定理7 有界函数黎曼可积的充分必要条件是 不连续点所组成的集合勒贝格测度为0.I r2sin r * 0F(x) = 1r2其导数为/(r)为当"％ w时，2rsin—cos ^r * 0r r■2槡"* cos("T t) = (—l)"^12槡"* ?所以/(r)在r =0处无界，由推论2}/(r)在含有 0的区间内黎曼不可积.43 函数有界，且有原函数，但未必黎曼可积3 函数的原函数存在与黎曼可积的联系原函数存在和黎曼可积在一定的条件下有某种 联系，而牛顿-莱布尼兹公式恰恰反映了这种关系.定理8[1’2]若/(r)在[a，]上连续，且F(r)为/(r)的一个原函数，则/(x)d x =F(b') —F(a).注意若/(r)在[a，b]上黎曼可积，除有限个 点外，F (r) = /(r)，且F(r)在[a J]上连续，贝[J/(,x)d x = F(b) —F(a).4 函数的原函数与黎曼可积的区别邹应编写的《数学分析》[6]中称：并不是每一个 数的 界 数 是 积的!要构造出这样一个函数并非易事.下面我们构造一个这样的函数，分两个阶段：先构造[0，1]中一个无处稠密的子集A，然后构造一个[0，1]上的函数，处处 可微，其导函数有界，但却在A上处处不连续.第一步:我们首先构造一个集合，从集合[0，1]中移去中间的1部分，剩余&，=]u[：，]，然后从 [0，=]中移去中间的1部分，并从[8，1]中移去中间的1部分，剩余[0，：] U [7,8] U [8,22] U面 们 的 数 在的情况下，函数的原函数与黎曼可积并无蕴含关系.4.1 函数在某_区间上黎曼可积，但原函数不_定例如0,0"r# 2/(r) = 1，1贝1 "r" 1可以求得[/(r)d:c = 1，但r = 1为/(r)的第一 J0 2 2类间断点，所以在[0，1]上J/(r)d:r不存在.4.2 函数无界，且有原函数，但未必黎曼可积例如[][12，1].反复进行下去，记得到的集合为a.集合A的勒贝格测度L(A) = 1 — ' ^ =n_ 02,且具有以下性质：()集合a无处稠密，不含区间.(i i)给定区间/1，2,…贝"，满足两两不交且U ^P[0，1]，只要L(U U〉1，则这些区间中4=14=12至少有一个含A中的值.第二步:使用集合A和函数fr2sin 1,r* 0/(x) =I r，构造函数 V(r).-0，x = 0将/(r)在区间[0，8]做一些改动，在[，1]第2"卷第1期程 磊，李 静：函数的原函数存在与黎曼可积的关系79的最后一个驻点后，保持此时的函数值直到1，如图 1所示.图i做关于I 5 1的镜面复制，不在[0，"'上的值 定义为〇,得到图2所示的函数.记上面这个函数为/i(x)，不难发现/i(x)处 处可导，但是@m/1(x)和lim/1(x)不存在.复制并移动整个函数/i(x)，使它的[0，"]部分恰好处于集合A中被去掉的所有长度为"的区间中（即第一次去除的区间（|，:）），保留区域外的值为0,如 图3所示.这一^部分就是构造V(x)的第一^步.第三步:类似地，让/(x)在区间&，1]上使其在经过最后一个驻点后，保持函数值直到X 5 1，并相应地作关于X 5 1的镜面复制，不在[0，#]上的值32 1;定义为0，记这样得到的函数为/2 X)，如图4所示.复制并移动整个函数/2 (X)，使它的&，1]部分恰好处于集合A中被去除的所有长度为1的区16间中（即为（：，7)和（3：，2_2))，保留区间外的〇值，如图5所示.这一部分就是构造V(x)的第二步.第四步：不断利用/(x)在[0，"^]上的部分构造/…(X)，并作关于X 5 "2的镜面复制，并将未定义的部分定义为0，复制并平移人（X)，使它非恒为0 的部分恰好处于集合A中被去除的所有长度为4i 的区间，作为V(x)的一部分，最终就可以构造整个 V(x)函数.很显然V\x)在集合A的所有点处都不连续，而U A) 5 1，由定理7，f(X)黎曼不可积.(下转第90页）90高等数学研究2021年1月J.课尾穿插配有随堂小测题，供学生自查和自 纠.例如，【§7.3-2随堂测验提示与答案】设总体o2)，其中o2未知，若样本容量《和置信水平1-«均不变，则对于不同的样本值，总体均值//的双侧置信区间的长度（）。

可微可导可积与连续之间的关系在数学分析中，连续性、可微性、可导性和可积性是重要的概念。

本文将探讨这些概念之间的关系，并解释它们之间的联系和区别。

正文连续性是描述函数在某一点附近的行为的性质。

如果一个函数在某个点处的极限存在且与该点的函数值相等，那么我们说这个函数在该点是连续的。

连续性是一个最基本的性质，它保证了函数在某个区间上没有断裂或跳跃。

可微性是连续性的进一步要求。

如果一个函数在某个点处连续，并且在该点的导数存在，那么我们说这个函数在该点是可微的。

可微性意味着函数在该点处的切线存在，并且函数在该点的行为可以通过切线来近似。

可导性是可微性的推广。

如果一个函数在某个区间上的每一个点都可微，那么我们说这个函数在该区间上是可导的。

可导性是导数存在的充分条件。

可积性是描述函数在某个区间上的积分存在与否的性质。

如果一个函数在某个区间上的积分存在，那么我们说这个函数在该区间上是可积的。

可积性是Riemann积分存在的充分条件。

从定义上看，连续性是最基本的性质，它不需要任何导数或积分的概念。

而可微性和可导性则依赖于导数的概念，它们需要函数在某个点或某个区间上的导数存在。

可积性则依赖于积分的概念，它需要函数在某个区间上的积分存在。

在一定条件下，这些性质之间存在着联系。

例如，可微性是可导性的充分条件，即可微的函数一定是可导的。

而可导性是可积性的充分条件，即可导的函数一定是可积的。

这意味着，一个函数如果可微，则它一定可导；一个函数如果可导，则它一定可积。

但是需要注意的是，这些条件只是充分条件，并不是必要条件。

总结一下，连续性是最基本的性质，可微性和可导性是依赖于导数的概念，可积性则是依赖于积分的概念。

它们之间存在一定的联系和区别，但并不是完全相同的概念。

我们需要根据具体的问题和需求，选择适当的性质来描述函数的特性。

以上是关于可微可导可积与连续之间关系的讨论，希望对读者有所帮助。

本科课程论文论文题目：实变函数论的产生、发展、意义及讨论院系：数学科学学院专业：数学姓名：*** 学号：*************指导教师：职称：2012 年 2 月24 日目录第一章实变函数的产生背景和发展历史 (3)第 1 节积分概念的第一次扩张：Stieltjes积分 (4)第 2 节容量理论 (4)第 3 节Lebesgue的工作 (6)第二章实分析和数学分析的比较及新理论取得的成果 (8)第 1 节实分析中一般的测度和积分 (8)第 2 节两种分析的比较 (9)第三章对Lebesgue不可测集的看法 (12)第四章实变函数产生的意义及总结 (14)实变函数论的产生、发展、意义及讨论****学号：******专业：数学类摘要：复分析，实分析和泛函分析构成了自微积分创立以来现代分析数学的三大分支。

本文对实变函数论做了较为系统的梳理，回顾了实变函数论的创立背景，发展历程，在某几个方面比较了实变函数和数学分析的区别，另外还讨论了Lebesgue不可测集存在的原因。

关键字：Lebesgue，测度理论，Riemann积分，Lebesgue积分，实分析，选择公理第一章实变函数的产生背景与发展历史微积分奠基于16,17世纪，它的扩张统治了18世纪，形成了数学分析这门基础分支。

至18世纪末19世纪初，黎曼积分意义下的微积分理论基本成熟，但是数学家逐渐发现一些奇怪的现象，揭示出了黎曼积分存在很大的缺陷。

这些奇怪的现象包括：连续而不可微的函数；具有有界的不是黎曼可积的导数的函数；可积函数列的极限函数不总是黎曼可积等等。

另一方面由Dirichlet,Riemann,Cantor,Ulisse Dini，Jordan和19世纪其他数学家建立起来的Fourier 级数理论已经成为应用数学满意的工具，但是对于追求完美的数学家而言，这种建立在数学分析基础上的级数理论存在诸多不理想的地方，离函数和级数关系的统一性，对称性和完备性有相当的差距。

第二讲 函数的连续性 中值定理 积分一．连续性定理：设()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，则(,)[,]()a b a b αβαβ∀⊂≤<≤，0(,)x αβ∃∈使()f x 在0x x =处连续。

证明：作分划010:n x x x x nβααβ-∆=<=+<<= 。

因()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，取102βαε-=>，存在14n ≥，使1(1)(1)11()2n iii M m n βαβα=---<∑（其中1,1,(1)(1)[][]{()},inf {()}i i i i iix x x x x x M sup f x m f x --∈∈==，以下类似定义。

） 所以1(1)(1)111()22n iii n M m n =-<≤-∑，因此至少有三个i ，使(1)(1)1iiM m -<。

取110,i n <<使11(1)(1)1iiM m -<。

作区间11111[,][,]ii x x αβ-=，则()f x 在11[,]αβ上Riemann可积。

取112202βαε-=>，存在24n ≥，使1(2)(2)111121()4n ii i M m n βαβα=---<∑于是2(2)(2)2212()42n ii i n n M m =--<≤∑，因此至少有三个i ，使(2)(2)12iiM m -<。

取220,i n <<使22(2)(2)12iiM m -<。

如此继续可以得到一个闭区间套11[,][,][,]n n αβαβαβ⊃⊃⊃使得（1）4n n nβαβα--≤；（2）()f x 在[,]n n αβ上的上下确界满足()()1n n iiM m n-<。

由闭区间套定理知01[,]{}n n n x αβ∞== 。

下证()f x 在0x x =处连续。

riemann可积的必要条件
黎曼可积的必要条件：函数在闭区间有界。

1、黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义，黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼·斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

黎曼积分的公式：S=f(x)dx。

定义：作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分对于一在区间[a,b]上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。

2、黎曼可积的充分条件：①函数在闭区间连续。

②函数在闭区间单调。

单调指f(x1) < f(x2) ，if x1 < x2 在整个区间内可以有不连续的点，但是函数在区间内都是有定义的。

③函数在整个区间内有有限个第一类间断点。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。

可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分一样。

以上就是关于黎曼可积的相关内容。