函数可积性PPT

函数的原函数与函数的可积性
在高等数学中，原函数的概念和定积分的概念虽建立的背景不同，但通过微积分基本公式的建立却将两者有机的结合起来。

与此同时，在学习过程中，许多学生会认为“一个函数可积，则它的原函数必定存在”或“一个函数的原函数存在，则该函数必定可积”，其实这两个结论是不正确的.本文结合具体例子，来讨论原函数存在性与可积性之间并没有必然联系。

函数可积：可积性的充分条件：1，函数在闭区间连续；2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。

原函数存在：原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。

此条件为充分条件，而非必要条件。

即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。

由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。

需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

一、在区间上可积的函数不一定存在原函数
【例1】设函数，则显然在上可积，
但是由于在点处间断，且是第一类间断点，所以在上不存在原函数。

二、在区间上存在原函数的函数不一定可积
【例2】设函数，则易知
在区间有原函数；但是由于在区间上无界，故在此区间上不可积。

通过上述两个例题的讨论，不难发现，函数的可积性和原函数存在性，是两个不同的概念，它们互不蕴含.即可积函数既可能存在原函数，也可能不存在原函数；反过来，原函数存在的函数，可能可积也可能不可积.因此在学习中只有理解概念之间的内在关系，才能从本质上真正把握高等数学中的概念，乃至深刻理解微积分的思想。

3 定积分的性质
性质1 （线性性质）若均在上可积，则也在上可积，且
性质2 有界函数在区间和上可积，
, 并有
. ( 证明并解释几何意义 )规定, .
系设函数在区间上可积 . 则对, 有
.
（证）
性质3. 积分关于函数的单调性:
设函数, 且, .（证）(反之确否?)
积分的基本估计:
.
其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.
性质4. 绝对可积性:
设函数, , 且(注意
.)
该定理之逆不真. 以例做说明.
6. 积分第一中值定理:
, 使=.
( 推广的积分第一中值定理 )且不变号，则, 使
=.
Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果:
Th If is differentiable at ，，and is taken inthe Theorem for integral ，then
.
二. 变限积分:定义上限函数，（以及函数
）
其中函数. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.
定理 ( 面积函数的连续性 )
三. 举例:
例1 设. 试证
明: .
其中和是内的任二点, {}, .
例2 比较积分与的大小.
例3 设但. 证明>0.
例4 证明不等式.
证明分析：所证不等式为
只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.
例5 证明.。

原函数与可积性一、f(x)在区间I上的原函数存在与f(x)在区间I上可积有什么关系么？总的来说原函数存在和函数可积没有必然的联系。

1、可积性：(i) 若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上可积；(ii)若函数f在区间[a,b]上单调，则f在[a,b]上可积；(iii)若有界函数f在区间[a,b]上仅有有限个间断点，则f在[a,b]上可积。

由以上的可见，有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是可积的；可以概括为可积的两大条件：积分区间有限、被积函数几乎处处连续。

不过大家肯定会问上面所说的条件中第二个“几乎处处连续”的意思，由连续性定义，x0左右极限等于函数在f(x0)值，则函数在x0点连续；那么如果在某点处不连续则会出现间断点，所以“几乎处处连续”就是指函数的间断点是“有限个间断点”。

但是这个“有限个间断点”到底是第一类间断点还是第二类间断点或者全可以？由“函数的间断点是‘有限个间断点’时，有界函数可积”可知被积函数有界是第二个条件前提，是函数可积的必要条件，所以f在区间[a,b]上有第二类的无穷型间断点时一定不可积。

因此可积必有界，有无穷间断点的函数必无界，所以必不可积。

1.1、性质：若f(x)在[a,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上的以任取c∈[a,b]为下限的变上限积分函数连续。

当函数存在间断点时，这里的间断点可以是第一类间断点和第二类的振荡间断点，由f(x)在[a,b]上可积，可推论出“变上限积分形成的函数”也是几乎处处连续。

2、原函数存在性：(i)若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上原函数一定存在；(ii)若函数f在区间[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数；(iii)若函数f在区间[a,b]上有第二类无穷型间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数。

但是f(x)在（a,b）上无界的函数，在（a,b）上并不一定没有原函数存在。

§6-3 闭区间上连续函数可积性的证明函数)(x f 在区间],[b a 上的一致连续性，使得对于任意给定的正数ε，都有仅与ε有关的正数)(εδδ=，当把区间],[b a 划分为有限个长度都不超过δ的小 区间1[,](1)i i x x i n -≤≤时(图6-3)，在每一个小区间],[1i i x x -上，函数的最大值i M 减去最小值i m 的差i ω(称为振幅)不会超过ε，即)1(n i m M i i i ≤≤≤-=εω。

令()1(P)niii s m x ==∆∑小和， 1(P)ni ii S M x ==∆∑大和（）则有110(P)(P)()()nnii i ii i S s Mm x x b a εε==≤-=-∆=∆=-∑∑即lim [(P)(P)]0n x S s ∆→-= (6-1)正是有这个结论，我们才证明了闭区间上连续函数的可积性。

证 设)(x f 是闭区间],[b a 上的连续函数。

对于区间],[b a 的任何两个划分方法P '和P ''，总有)P ()P (''≤'S s 。

为了说明这个结论,不妨认为0)(≥x f 。

如图6-4①，对于任意划分P '，小和)P ('s 对应的那些内接小矩形合起来含在曲边梯形AabB 内。

如图6-4②，对于任意划分P ''，大和)P (''S 对应的那些外接小矩形合起来能够覆盖住曲边梯形AabB 。

因此，总有)P ()P (''≤'S s 。

其次，因为所有可能的小和构成的集合{})P ('s 有上界)P (''S ，所以有最小上界σ,于是)P (''≤S σ；而因为对于所有可能的大和构成的集合{})P (''S 有下界σ，所以有最大下界σ， 于是σσ≤。

第九章 定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。

例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知， 在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则 任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积.证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0， 对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上， 就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割， 对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)； 若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且 存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，， 在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个， 设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε， 将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类， 其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε， 又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ， 使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})， 由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而 在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即 存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。

实变函数的可积性与积分的应用在数学中，实变函数是研究实数域上的函数的一门学科。

实变函数的可积性是指函数在某个区间上是否满足黎曼可积的性质。

黎曼可积是指函数在有限闭区间上的积分存在且有限。

本文将探讨实变函数的可积性以及积分在实际应用中的作用。

一、实变函数的可积性1. 可积函数的定义对于一个实变函数f(x)，如果存在一个有限值I，使得对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当区间[a,b]的划分P满足P的每个子区间的长度小于δ时，对应的黎曼和S(f,P)满足|S(f,P)-I|<ε，那么称函数f(x)在区间[a,b]上是可积的。

2. 可积函数的性质可积函数具有以下性质：（1）有界性：可积函数在有限闭区间上必定是有界的。

（2）可积性的传递性：如果函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，而在区间[b,c]上也是可积的，那么在区间[a,c]上也是可积的。

（3）可积函数的和与积：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上是可积的，那么它们的和f(x)+g(x)和积f(x)g(x)在区间[a,b]上也是可积的。

二、积分在实际应用中的作用1. 几何应用积分在几何学中有着广泛的应用。

例如，通过计算曲线下的面积可以求解很多几何问题。

以一个简单的例子来说明，假设有一个曲线y=f(x)，我们想计算曲线与x轴之间的面积。

我们可以将曲线下的区域划分为无数个矩形，然后对每个矩形的面积进行求和，最后取极限得到曲线下的面积。

这个过程就是对函数f(x)进行积分的过程。

2. 物理应用积分在物理学中也有着重要的应用。

例如，计算物体的质量可以通过对密度函数进行积分来实现。

假设物体的密度是一个实变函数ρ(x)，我们可以将物体划分为无数个小体积，然后对每个小体积的质量进行求和，最后取极限得到整个物体的质量。

这个过程也是对函数ρ(x)进行积分的过程。

3. 统计学应用积分在统计学中也有着重要的应用。

例如，在概率密度函数中，积分可以用来计算某个随机变量落在某个区间内的概率。

可积函数的性质
可积函数的函数可积的条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。

函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。

在
最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。

勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。

最早对分数运算的定义就是对于非负值和足够多扁平的函数来说，其分数相等于采用
谋音速的手段去排序一个多边形的面积。

但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中
的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来
定义相应的积分运算。

极限函数与函数的连续性 可积性与可微性主要讨论连极限函数与函数的连续性 可积性与可微性。

定理13.2.1 设函数列{})(x f n 在),(),(00b x x a ⋃上一致收敛于)(x f ，且对n ∀， n n x x a x f =→)(lim 0，则n n a ∞→lim 、)(lim 0x f x x →均存在，且相等，即 )(lim lim )(lim lim 00x f x f n n x x n x x n ∞→→→∞→=。

（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 定理13.9（连续性） 若函数列{})(x f n 在区间I 上一致收敛于)(x f ，且对n ∀，)(x f n 在I 上连续，则)(x f 在I 上也连续。

说明：若各项为连续函数的函数列{})(x f n 在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列 {})(x f n 在区间I 上不一致收敛。

如：{}n x 在]1,1(-上。

定理13.10（可积性） 若函数列{})(x f n 在],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则 ⎰⎰∞→∞→=ba n n n ba n dx x f dx x f )(lim )(lim 。

注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。

如下面的： 例1、 讨论下列函数的连续性与可积性函数 n x x n n x n n x n x f n n n n 111,021,22210,2)(<≤⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=ααα， ,2,1=n 。

解：（略）定理13.11（可微性） 设{})(x f n 为定义在],[b a 上的函数列，若0x ],[b a ∈为{})(x f n 的收敛点，{})(x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且{})(x f n '在],[b a 上一致收敛，则 )(lim ))(lim (x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞→=。

什么样的函数是可积的？
连续函数有个别间断点的函数
函数的可积性
定积分求特殊和式的极限
积分中值定理
定理1 (1) 若函数上可积, 则
则
●函数有限多个间断点
●若函数上单调增加或单调减少，则
可积的充要条件
函数充要条件是：图中包围曲线
可积的充要条件
分割，由上有界，所以在每个
，
称 ，为达布(Darboux)上和与达布下和
可积的充要条件
定理2函数上可积的充要条件是：
，使得
-，称为函数在
例如，
定积分数列极限的关系
如果
例1
定理2 (积分中值定理)设函数少存在一点∈[,], 使
——函数 →
推广的积分第一中值定理
设
则至少存在一点
例2
思考
例3 设函数
d
，使得。