微积分复习附解题技巧

考研数学微积分复习备考攻略考研数学复习需要大家把弱项强化突击，题型挨个分析，这样才能更好的通关。

为大家精心准备了考研数学微积分复习备考指南，欢送大家前来阅读。

微积分是经管类考研数学局部必考的科目，它占整个考研数学的比例为56%，分值为84分(总分150分)。

微积分的根本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数和常微分方程与差分方程。

一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分局部出题的重点，应引起重视。

多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。

无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。

那么微积分如何复习才能成为真正的高手呢?一、根本内容扎实过一遍事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对根本计算及应用情有独钟，所以对根底知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。

阅读教材虽然是奠定根底的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解根本概念、根本原理，加深对定理、公式的印象，增加根本方法及技巧的摄入量。

对根本内容的复习不能只注重速度而无视质量。

在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、读书抓重点在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。

阅读数学图书与文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。

比方在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。

三大块内容中，一元函数的微积分是根底，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是根底中的根底。

这个局部也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。

多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个局部大家需要记很多公式及解题捷径。

《微积分（上）》复习重难点解读第一篇 函数、连续、极限求极限。

求函数的极限是每年的必考题。

本章的另一块内容判断函数是否连续，其实质仍是求函数极限。

所以本章只要抓住了极限就基本上把握了全章的核心内容，求极限的方法很多但在考试中常用的主要有1． 利用极限的四则运算法则求极限（这是求极限的最基本知识）2． 利用重要极限求极限3． 利用罗必达法则求极限（求关于函数的未定式的极限）4． 利用无穷小替换（它往往在求极限的过程中使用能使问题简化）5． 利用夹逼定理6． 利用单调有界准则（主要求通项由递推公式给出的极限）7． 利用定积分定义（主要求通项是n 项和的数列的极限）8． 利用导数定义求极限（主要用于已知条件中给出函数在一点可导求关于该函数的某个极限）9． 利用连续函数的性质（这一条不会单独命题，但它常用在求极限的过程中，是求极限的基础知识）10．利用极限与无穷小的关系（主要用于已知极限，求另一形式的极限）典型题型典型题型一：求未定式的极限典型的未定式共有七种：000"","","",0","0","","1"0∞∞∞-∞∞∞∞。

读者在遇到这七种未定式时，建议采用罗必达法则试一试。

（使用罗毕达法则时应注意：（1）使用罗毕达法则时，要先判定是否为0""0或""∞∞；（2）在使用法则前应先化简，（3）当0()()lim ()x x x f x g x →∞→''不存在（或非∞）时，不能推出0()()lim ()x x x f x g x →∞→不存在（4）当x →∞时，若式子中含有cos ,sin x x （或0x →时，式11cos ,sin x x）则不宜使用罗毕达法则。

典型题型二： 求非未定式的极限这类题通常要利用函数的连续性、极限的四则运算法则、定积分定义、夹逼定理、无穷小性质来完成。

《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量X的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母H0②偶次根式函数：被开方式20③对数函数式：真数式>0④反正（余）弦函数式：自变量W1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题Z1补充：求y=、巨的定义域。

（答案：-2<^<|）]ll-2x 2三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续式（用罗彼塔法则）求极限主要根据:1、常见的极限：lim 占=（）（。

>0）X->COXlimlim/（x）= /（x o ） XT%初等函数在其定义域上都连续。

例:lim*TXT1兀3、求极限r ‘⑴ 1 lim —- = 1—a gO ）的思路：lim/W= ci （ci 工0常数）X —可考虑以下9种可能:00①彳型不定式（用罗彼塔法则）④5=00⑦汁limgU ） x->a②冷⑤牙<C 2（C 2^O 常数）③2=000@ —=000⑨丝型不定00X丿特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、81砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿补充4：2型一匚 limf = iXT1 丄（此题用了 “罗彼塔法则”）补充1： 洛lim x-»lsin 2(x-l)广 + ax+补充厶 limX —>00 \2x^lim 12/? +1 丿lim XT1lnxx-1贝 ij a= ~2X 4- Px — \)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:典型例题：《综合练习》第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主耍方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则:教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y z dx即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.解：岛…右話十，丿 / X 2arctgx、右+K)dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题:典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2第五章不定积分第六章定积分I理论内容复习：1、原函数：F f(x) = /(x)则称F (x)为f (x)的二±原函数。

《微积分》复习及解题技巧第一章 函数一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1补充：求y=xx 212-+的定义域。

（答案：212<≤-x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章 极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限：2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。

例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C =0 ③∞0=0④01C =∞ ⑤21C C ⑥∞1C =0⑦0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）1sin lim 0=→x xx e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim )0(01lim >=∞→ααxx )()(0lim 0xf x f x x =→11lim 1=→x x 1)()(lim =→x g x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8补充1：若1)1(sin 221lim =++-→bax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21221211111lim lim e x x x x xx x xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∙-∞→∞→补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：1ln lim 1-→x xx 111lim 1=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）型0第三章 导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵222212111221121x arctgxxx x arctgx x x y +++=+⋅+⋅+⋅=' ∴dy=)121(22xarctgx x x dx y +++=⋅'dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2第五章 不定积分 第六章 定积分Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。

高考数学一轮总复习微积分应试技巧总结微积分是高考数学中的重要内容之一，也是考生们容易出现困惑的部分。

为了帮助大家更好地复习微积分，下面将总结一些应试技巧，希望能对大家备战高考有所帮助。

一、掌握基础概念和公式在应试中，掌握基础的微积分概念和公式是非常重要的。

首先要熟悉微积分的基本定义和常用的公式，如导数的定义、反函数的导数关系、积分的定义和性质等。

只有对这些基础知识牢记于心，才能够更好地理解和解决微积分题目。

二、多做题，掌握解题方法做题是学习微积分的重要环节，通过大量的练习可以加深对知识点的理解和掌握解题的方法。

在做题过程中，要注意每一步的推导和计算，尽量做到简洁清晰。

可以先从简单的题目开始，循序渐进地提高解题能力。

三、注意函数的可导性和连续性在应试中，经常会涉及到函数的可导性和连续性的问题。

要注意判断函数在某一点的可导性和连续性，可以通过导数的定义和极限的性质来进行推导。

同时，还需要掌握一些常见函数的可导性和连续性的特点，如多项式函数、指数函数、对数函数等。

四、熟悉微积分的应用微积分的应用题是高考中常见的题型之一。

在应试过程中，要熟悉微积分的应用，如求函数的极值、最值、曲线的切线方程、区间的积分等。

熟练掌握这些应用技巧，可以帮助解答一些实际问题。

五、重点复习典型例题在复习微积分的过程中，可以选择一些典型的例题进行重点复习。

通过分析和解答这些典型例题，可以更好地掌握微积分的知识点和解题技巧。

可以结合教材或者相关的复习资料进行选择。

总之，复习微积分需要有持之以恒的学习态度，多做题、多思考，在解题过程中逐渐提高解题能力和应对考试的技巧。

希望以上的技巧总结能够对广大考生在高考数学微积分复习中有所帮助，实现优异的成绩。

祝愿大家都能取得好成绩，实现理想的高考目标！。

定积分部分一、第一积分中值定理【定理】：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈（a,b ），使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

注意取g(x)=1即可以得到我们熟悉的积分中值定理。

【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。

二、一种含变量x 的积分上限函数的求导公式)()()()(])()([x f x g dt t f x g dt x g t f xax a+'='⎰⎰三、函数和原函数之间的关系1、周期函数的原函数不一定是周期函数 【举例】：y=cosx+1的原函数是y=sinx+x ，不是周期函数。

【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。

（证明略）。

2、奇函数的原函数组（即不定积分C 取任何值）都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有一个是奇函数。

四、几个重要的广义积分结论1、）0(10>=⎰+∞-p p dx e px 2、⎰+∞-+=022sin wp w wxdx e px（p>0；w>0) 2、22π=⎰∞+-dx ex < 1 4、()!1)ln 10n dx x nn -=⎰（五、周期函数的定积分技巧（可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题）设周期函数周期为T ，周期函数为f(x)有： 1、⎰⎰+=Ta a Tdx x f dx x f 0)()(（周期函数任意一个周期内的积分是不变的）2、⎰⎰=nTTdx x f n dx x f 0)()(（n 是正整数）3、设)(x f 是以周期T 为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(x)=⎰xadt t f )(也是以T为周期的周期函数的充要条件是：⎰=Tdx x f 00)(（即函数在一个周期长上的定积分为0）六、一个非常OP 的定积分变换等式（处理一些复杂问题时常用）定理：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线2)(b a +对称。

高中解决复杂的微积分问题微积分作为高中数学的重要组成部分，涉及到了函数、导数、积分等概念和计算方法。

在学习微积分的过程中，我们会遇到各种各样的问题，其中有些问题相对较为复杂和具有挑战性。

本文将介绍一些解决复杂微积分问题的方法和技巧。

一、函数图像与导数法为了解决复杂的微积分问题，首先需要熟练掌握函数的图像和导数的概念。

通过观察函数的图像和导数的变化规律，我们可以得到一些有价值的信息，从而更好地解决复杂问题。

举例来说，假设有一个函数f(x)，我们需要求解它在给定区间上的最值。

首先，我们可以通过分析函数的图像，找出函数在该区间上的极大值和极小值点。

其次，我们可以计算函数在这些点处的导数，通过对导数的符号进行分析，进一步确定最值点的位置。

这样就可以有效解决这类复杂问题。

二、利用积分解决几何问题在几何问题中，我们经常会遇到需要计算曲线的长度、曲线所围成的面积或体积等问题。

这时，我们可以利用积分的概念来解决这些复杂的问题。

以计算曲线长度为例，我们可以将曲线分成若干小段，在每个小段上建立直角坐标系。

然后求解每个小段的长度，并将这些长度进行累加，最终得到整个曲线的长度。

类似地，我们可以利用积分的性质计算曲线所围成的面积或体积。

三、微分方程的应用微分方程是微积分的一个重要应用领域，它涉及到函数与其导数之间的关系。

解决复杂微积分问题时，我们常常需要运用微分方程来建立模型，并通过求解微分方程来得到问题的解析解。

举例来说，假设一个物体的运动满足某种特定的规律，我们想要知道物体的位置随时间的变化情况。

这时，我们可以运用微分方程来描述物体的运动规律，并通过求解微分方程得到问题的解析解，从而准确地描述物体的运动情况。

四、数值计算方法对于一些复杂的微积分问题，无法通过解析方法得到精确解。

这时，我们可以利用数值计算方法来逼近解。

常见的数值计算方法包括牛顿法、二分法、梯度下降法等。

通过这些方法，我们可以获得数值解，并且可以通过控制迭代精度来提高计算结果的准确性。