《微积分》复习及解题技巧
第一章 函数
一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2
二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）
对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0
④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1
在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题之1
补充：求y=x
x 212-+的定义域。（答案：2
12<≤
-x ）
三、判断函数的奇偶性：
典型例题：《综合练习》第一大题之3、4
第二章 极限与连续
求极限主要根据： 1、常见的极限：
2、利用连续函数：
初等函数在其定义域上都连续。 例：
3、求极限
的思路：
可考虑以下9种可能：
①0
0型不定式（用罗彼塔法则） ②
2
0C =0 ③∞
0=0
④01
C =∞ ⑤21C C ⑥∞
1C =0
⑦
0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞
∞
型不定
式（用罗彼塔法则）
1sin lim 0
=→x x
x e x x
x =⎪⎭⎫
⎝
⎛+∞→11lim )0(01
lim >=∞→αα
x
x )
()(0
lim 0
x
f x f x x =→11
lim 1
=→x x 1)
()
(lim =→x g x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0
)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α
特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！
典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8
补充1：若1)
1(sin 2
21lim =++-→b
ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21
221211111lim lim e x x x x x
x x x
x =⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→
补充3：
21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=
⎪⎭⎫
⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：
1ln lim 1
-→x x
x 1
11
lim 1
=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）
型0
第三章 导数和微分
一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：
1、求导的基本公式：教材P123
2、求导的四则运算法则：教材P110—111
3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）
4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可
典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222
1211122112
1
x arctgx
x
x x arctgx x x y +++=+⋅
+⋅+⋅=' ∴dy=)121(2
2
x
arctgx x x dx y ++
+=⋅'dx
第四章中值定理，导数的应用
一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：
典型例题：《综合练习》第一大题之16、19
二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：
典型例题：《综合练习》第二大题之5
二、函数的单调性（增减性）及极值问题：
典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2
第五章 不定积分 第六章 定积分
Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='
则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。 2、不定积分：
⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。
⎰+=C x F dx x f )()(
注意以下几个基本事实：
())()(x f dx x f ='⎰ ⎰+='C x f dx x f )()(
⎰=dx x f dx x f d )()( ⎰+=C x f x df )()(
⑵性质：⎰⎰≠=⋅)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义
⑶性质：教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习：
一、关于积分的概念题：
典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14
