高等数学上册复习要点及解题技巧

1、 四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、 初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、 两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、 存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、 洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、 等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、 无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、 泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、 微分中值定理；10、 定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、 函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、　极限及其求法：二、　函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、 定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、 求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1） 显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2） 参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ， 其它阶同理可求.3） 隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、 高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、 微分()dy f x dx ′=5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、　导数与微分1、 曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、 洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、 不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、 方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、 恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、 基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、 分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、 积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫， 其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、　导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、 平面图形的面积：1） 直角坐标,x y ：a、 曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、 上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、 左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、 设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2） 极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）： 设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、 体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、 弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、　定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】　（一） 一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、 可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、 齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、 线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、 伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性． （二） 可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶 （三） 概念与理论1、 概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、 线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、　微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。

高等数学(上)总结.doc高等数学（上）知识点总结第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：函数是定义域到值域的一种对应关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

1.2 极限定义：极限描述了函数在某一点或无穷远处的行为。

运算法则：加、减、乘、除、复合等。

1.3 无穷小与无穷大无穷小：函数值趋于零的量。

无穷大：函数值趋于无穷的量。

1.4 连续性定义：函数在某一点的极限等于函数值。

性质：连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续的。

间断点：第一类间断点和第二类间断点。

第二章：导数与微分2.1 导数定义：导数是函数在某一点处的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的切线斜率。

物理意义：速度、加速度。

2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。

2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于研究函数的凹凸性。

2.4 微分定义：函数在某一点处的线性主部。

几何意义：局部线性逼近。

第三章：积分3.1 不定积分定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

基本积分表：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

3.2 定积分定义：在区间上函数平均值的极限。

几何意义：曲线与x轴围成的面积。

3.3 积分技巧分部积分法、换元积分法、有理函数积分等。

第四章：级数4.1 数项级数收敛性：正项级数、交错级数、比值判别法等。

4.2 幂级数泰勒级数：函数在某点的幂级数展开。

4.3 函数项级数一致收敛性：函数序列的极限。

第五章：多元函数微分学5.1 偏导数定义：函数对某一变量的局部变化率。

5.2 全微分定义：函数在多元变量上的微分。

5.3 隐函数微分法定义：隐函数的导数和微分。

5.4 多元函数的极值拉格朗日乘数法：求解多元函数的条件极值。

高等数学（上册）复习总结第一章函数、极限与连续主要知识点：函数的概念；函数的奇偶性、有界性；复合函数；初等函数；极限的概念;极限的性质（唯一性、有界性、保号性）；夹逼准则、单调有界原理、两个重要极限；无穷小的概念、无穷小阶的比较；等价无穷小代换性质、无穷小与有界函数乘积仍为无穷小之性质；函数的双侧极限与单侧极限（即左右极限）之关系；函数连续的概念及定义；判别间断点的类型；闭区间上连续函数的性质（零点定理、最值定理）。

主要技能测试点：1．对极限概念的理解，并能灵活运用计算极限的各种方法计算极限；2．对连续概念的理解，会讨论函数的连续、间断情形，并能判别间断点的类型。

主要题型：1．函数复合；2．计算各种类型的极限；3．确定极限式中所含的参数；3．无穷小阶的比较；4．函数连续性的讨论及确定函数式中的参数（已知函数连续）；5．判别间断点的类型；6．利用零点定理讨论方程根的存在。

第二讲导数与微分主要知识点：导数定义；左右导数的定义及左右导数与导数的关系；可导与连续的关系；导数作为函数变化率的几何意义、物理意义；曲线的切线与法线方程；导数公式；求导法则（四则运算、复合函数、反函数）；微分的概念；高阶导数。

主要技能测试点：1、对导数定义的理解，运用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；2、掌握计算导数的各种方法，会求各类函数的导数。

3．运用导数的几何、物理意义解决有关曲线的斜率、瞬时速度等实际问题。

主要题型：1、利用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；2、讨论函数在一点的连续性与可导性的；3、求复合函数的导数（包括抽象复合函数的求导）；4、求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数；5、求幂指函数的导数；6、求高阶导数第三讲 中值定理与导数应用主要知识点：三个中值定理（罗尔、拉格郎日、柯西）；洛必达法则；利用导数判别函数的单调性；极值的概念；函数取得极值的充分与必要条件；极值的判别法（一阶导数判别法、二阶导数判别法）；求最值的方法；曲线的凹凸性的判别法及求拐点的方法；曲线的渐近线。

高三数学上册复习要点高三数学上册复习是对高中数学知识的全面梳理和深入理解，本文将为您详细解析复习要点，帮助您在高考数学备考中取得优异成绩。

一、复习目标与要求1. 巩固基础知识：对数学概念、定理、公式、法则等进行深入理解和熟练掌握。

2. 提高解题能力：通过大量练习，熟练掌握各类题型的解题方法与技巧。

3. 培养数学思维：提高逻辑推理、空间想象、数据分析等数学思维能力。

4. 强化实际应用：能够将数学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。

二、复习内容与重点1. 集合与函数的概念：集合的基本运算、函数的定义与性质、反函数、指数函数、对数函数等。

2. 三角函数：正弦、余弦、正切函数的定义与性质、三角恒等变换、三角函数图像与性质等。

3. 数列：等差数列、等比数列、数列的求和、通项公式、极限等。

4. 导数与微分：导数的定义、求导法则、高阶导数、微分、微分在实际问题中的应用等。

5. 平面解析几何：点、直线、圆的方程、几何性质、位置关系、解析几何方程的求解等。

6. 空间几何：立体几何的性质、体积、表面积的计算、空间向量与立体几何的应用等。

7. 统计与概率：统计量、概率公式、随机变量、数学期望、方差等。

三、复习方法与策略1. 系统梳理：按照教材和大纲的要求，系统地梳理各章节的知识点，形成知识体系。

2. 典题精练：挑选典型题目进行练习，掌握各类题型的解题方法与技巧。

3. 定期检测：定期进行模拟测试，检验复习效果，发现并弥补知识漏洞。

4. 强化训练：针对自己的薄弱环节进行强化训练，提高解题能力。

5. 合理安排时间：合理分配学习时间，确保每个章节都有足够的复习时间。

四、复习进度安排1. 第一阶段：基础知识复习（1-2个月）2. 第二阶段：解题技巧与方法学习（2-3个月）3. 第三阶段：模拟测试与薄弱环节强化（2-3个月）4. 第四阶段：高考冲刺与心态调整（1个月）五、注意事项1. 注重基础：复习过程中，切勿忽视基础知识的学习，只有扎实的基础，才能在解题中游刃有余。

高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高数一答题技巧
高等数学一答题技巧如下：
1. 仔细审题，理解题意。

拿到试卷后，通读一遍，了解题目的概貌，对解题做到心中有数。

2. 按照先易后难的顺序做题。

在试卷的布局上，编者也是用心良苦的，把比较难做的题放在前面，把较易做的题放在后面。

因此，解题时应按题目排列顺序进行，不要跳跃式地进行解答，以免浪费时间。

3. 解题要清晰、条理分明。

解题时一定要写出必要的文字说明，比如设、根据、因为、所以等，要字迹清楚，条理分明。

4. 注意解题要完整。

在答题时，一定要注意答题的完整性，不要因为步骤不完整而丢分。

在检查时，也一定要注意全面检查，以免遗漏。

5. 确保答题符合规范。

在解题时，一定要按照规定的格式进行，以免因为格式问题被扣分。

6. 遇到难题时不要紧张。

遇到难题时，要冷静思考，寻找解题思路。

如果实在解不出来，也不要过于紧张，可以暂时放下这道题，先做其他题目。

7. 考前做好复习准备。

在考试前，一定要做好复习准备，把学过的知识进行系统复习，以免遗忘。

以上是高等数学一答题技巧的一些建议，希望能对你有所帮助。

祝你考试顺利！。

大一高数上所有知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的充分条件2.3 极限的性质及四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量3.1 无穷小量的概念与性质3.2 无穷大量的概念与性质4. 极限的计算4.1 用夹逼准则求极限4.2 用无穷小量比较求极限4.3 用洛必达法则求极限4.4 用泰勒公式求极限二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则1.1 导数的概念1.2 导数的计算与求导法则1.3 隐函数的导数1.4 高阶导数2. 函数的微分与高阶导数2.1 函数的微分2.3 高阶导数的概念与计算3. 函数的增减性与凹凸性3.1 函数的单调性3.2 函数的最值与最值存在条件3.3 函数的凹凸性及拐点三、函数的应用1. 泰勒公式在误差估计中的应用2. 函数的极值及其应用3. 函数的图形与曲线的切线方程4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用四、不定积分1. 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质1.3 不定积分的基本公式2. 不定积分的计算2.1 一些特殊函数的不定积分2.2 有理函数的不定积分2.3 有理三角函数的不定积分2.4 特殊的不定积分解法五、定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质2. 定积分的几何应用2.1 定积分与曲线下面积2.2 定积分与旋转体的体积计算2.3 定积分与空间几何体的体积计算六、微分方程1. 微分方程的概念与基本性质1.1 微分方程的定义1.2 微分方程的基本性质2. 常微分方程的解法2.1 一阶微分方程的解法2.2 二阶微分方程的解法2.3 高阶微分方程的解法3. 微分方程在物理问题中的应用3.1 弹簧振动问题3.2 电路的动态特性问题3.3 理想气体的状态方程问题七、多元函数微积分1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的导数与偏导数1.3 多元函数的微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值点2.2 多元函数的条件极值点3. 二重积分与三重积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算3.3 三重积分的概念与性质3.4 三重积分的计算4. 重积分在几何与物理中的应用4.1 重积分与平面图形的面积计算4.2 重积分与曲面旋转体的体积计算4.3 重积分与空间物体的质量与重心计算八、无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛的充分条件1.3 数项级数的审敛法2. 幂级数2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛域2.3 幂级数在收敛域上的一致收敛性3. 函数项级数3.1 函数项级数的概念与性质3.2 函数项级数收敛的判别法3.3 函数项级数的一致收敛性以上是大一高数的知识点总结，总结了函数与极限、导数与微分、函数的应用、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微积分、无穷级数等内容。

高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。

（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。

一 . 求极限求极限应该掌握的方法有： 罗比达法则、等价无穷小代换、无穷小乘以有界量应为无穷小量（注意，若用此性质求极限时应该怎么写）、无穷大的倒数为无穷小、利用导数的定义求极限、利用定积分的定义求极限，利用泰勒展开式求极限了解一下，熟记常用的等价无穷小代换、常用函数的麦克劳林展开式。

注意：a.若用罗比达法则求数列极限时，应注意先把数列的极限转化为函数的极限，然后在利用数列极限和函数极限的关系做，例如： 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n πn n 24tan lim 时，首先应转化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x πx x 24tan lim ，求此函数的极限，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n πn n 24tan lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x πx x 24tan lim 。

b.特别注意∞1型的极限，求此极限有两种方法： （1）利用重要极限；（2）把所求的极限转化为：)(ln )()(00lim )(lim x f x g x x x g x x e x f →→= c. 注意x x e ∞→lim （此极限不存在），此极限当+∞→x 时，极限为∞+，当-∞→x ，极限为0. d. 注意x x a ∞→lim ,此极限值和1>a 、1<a 及1=a 有关。

二. 求导数1.掌握抽象复合函数求导，例如：设f x e xf y x ),sin (+=具有二阶导数，求y y ''',。

2.掌握隐函数方程所确定函数的求导（求导方法：方程两边直接对x 求导，把y 看成x 的函数）。

3. 掌握由参数方程所确定的函数求导，注意以下两个问题：a. 在求二阶导数时，因一阶导数是参数t 的函数，而我们是求函数对x 的二阶导数，因此求二阶导数时，应先求一阶导数对t 的导数再乘以t 对x 的一阶导数，例如：设()⎩⎨⎧=+-=t y t t x arctan 1ln 2，求x y d d 及22d d x y ，则 tx t y x y d d d d d d ==，x t x y t x y x x y d d d d d d d d d d d d 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= b. 有时是求y x d d 及22d d y x ，而不是求x y d d 及22d d x y ，思路和求x y d d 及22d d x y 一样，唯一不同的是y x d d 的自变量是y 而非x ，考试时应该看清题目，t y t x y x d d d d d d =，y t y x t y x y y x d d d d d d d d d d d d 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4.求分段函数在分段点处的导数时必须利用导数的定义，会灵活运用导数的三个等价定义，xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000 000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→ hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 5.掌握可导、可微与连续间的关系，会讨论分段函数在分断点的连续性和可导性。

《高等数学上册》复习重点（注意：此文件仅供教师复习课用，不能给学生拷贝！即教师上复习课时以此为纲，让学生通过听课记笔记（而不是抄或拷贝）了解此重点。

）第一章函数与极限1.朴素的极限概念，极限四则运算法则2.两个重要极限3.无穷小定义，无穷小的阶，等价无穷小代换4.求间断点及判别间断点的类型5.连续和极限的关系，连续函数的极限6.利用零点定理验证解的存在性第二章导数与微分1.导数的定义和几何意义2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则3.二阶导数4.隐函数求导5.参数方程所确定的函数的求导6.微分的定义和几何意义，求微分，一阶微分形式不变性7.连续、可导与可微的关系第三章微分中值定理与导数的应用1.拉格朗日中值定理及其应用2.利用洛必达法则求未定式的极限3.判断函数的单调性，利用单调性证明不等式4.判断函数图形的凹凸性，求拐点5.求函数极值点和极值，求解较简单的最值应用问题第四章不定积分1.原函数与不定积分的概念，不定积分的性质2.不定积分的第一换元法（简单的凑微分法）3.不定积分的第二换元法（不含三角代换）4.典型的分部积分法问题，换元法与分部法的结合5.简单的有理函数的积分（简单地试凑可分解为部分分式的）第五章定积分1.定积分的概念及性质2.变限积分的概念及其求导3.牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法4.简单的无穷限的反常积分第六章定积分的应用1.平面图形面积（直角坐标方程）2.绕坐标轴旋转的旋转体的体积（直角坐标方程）第七章微分方程（注意：讲课按教学大纲要求讲，不可删减内容）1.微分方程解的概念，线性微分方程解的结构2.可分离变量的微分方程3.一阶线性微分方程4.二阶常系数齐次线性微分方程5.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式6.简单的微分方程应用问题。

高数大一上期末复习要点高等数学是一门大一上学期的重要课程，它是数学的一门基础性课程，也是理工科学生必修的一门课程。

本文将总结和归纳高等数学大一上学期的复习要点，以帮助同学们对这门课程进行有效的复习。

一、函数与极限1. 函数的概念、性质和表示法2. 函数的基本类型：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算：和、差、积、商、复合函数4. 函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性5. 极限的定义、性质和相关定理6. 数列极限与函数极限的关系二、导数与微分1. 导数的概念、定义和几何意义2. 导数的计算法则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等3. 高阶导数的概念与计算4. 函数的微分与微分近似值的应用5. 函数的单调性与极值问题6. 函数的图像与导数的关系三、积分与不定积分1. 积分的概念、性质和计算方法2. 定积分的概念、性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分的概念4. 不定积分的基本性质和计算方法5. 不定积分的换元法与分部积分法6. 定积分的几何应用：面积、曲线长度、平均值等四、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式2. 一阶微分方程的可分离变量、齐次方程和线性方程解法3. 一阶线性微分方程的常数变易法和伯努利方程解法4. 二阶齐次线性微分方程的特征方程解法5. 二阶非齐次线性微分方程的特解叠加法与待定系数法6. 微分方程的应用：变种种群模型、生命问题、机械振动等五、级数与幂级数1. 数列与级数的概念和性质2. 收敛与发散的判定：比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 常数项级数的和与收敛域4. 幂级数的收敛半径与收敛域5. 幂级数的运算：求导、求积等6. 幂级数的应用：函数展开、函数逼近等上述要点是大一上学期高等数学课程的重点内容，同学们在复习的过程中应该重点关注，并通过课堂笔记、教材、习题集等进行系统复习和巩固。

同时，在复习过程中要注重提高自己的问题解决能力和应用能力，培养数学思维和分析能力。

高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =(除法运算) ()0,lim ()f x AB g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n nf x A f x f x A === (n 为正整数)推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则0lim ()()xxf x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；①定义1: 若0lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞=） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:若lim1βα=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ.②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'',且lim βα''存在, 则(因式替换原则)常用等价无穷小:sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x()()2121cos ~,1~,11~,ln 1~,xx x e x x x x x μμ--+-+1~ln ,x a x a -()0→x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123;(2)lim lim n nn n y z a →∞→∞==,则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞=.②准则II: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。

高等数学（上）复习要点（2019-2020第一学期）二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。

3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。

4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。

5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。

第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。

考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。

《高数知识：上册重点难点》一、关键信息项1、函数与极限函数的概念、性质和分类极限的定义、性质和计算方法无穷小与无穷大的概念和性质极限的四则运算和两个重要极限函数的连续性和间断点的类型2、导数与微分导数的定义、几何意义和物理意义基本初等函数的导数公式导数的四则运算和复合函数求导法则隐函数和参数方程求导微分的定义和运算3、中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理函数的单调性和极值函数的凹凸性和拐点函数图形的描绘洛必达法则4、不定积分不定积分的概念和性质基本积分公式换元积分法和分部积分法5、定积分定积分的概念、性质和几何意义牛顿莱布尼茨公式定积分的换元法和分部积分法反常积分的概念和计算6、定积分的应用平面图形的面积体积弧长物理应用（如变力做功、液体压力等）11 函数与极限111 函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。

设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，都有唯一的 y 值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作y ＝f(x)，x∈D。

函数的要素包括定义域、值域和对应法则。

112 函数的性质函数具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。

单调性是指函数在某个区间上的增减情况；奇偶性是指函数关于原点或 y 轴对称的性质；周期性是指函数在一定区间上重复出现的性质；有界性是指函数值存在上下界。

113 函数的分类常见的函数类型有基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）、复合函数、分段函数等。

12 极限的定义极限是高等数学中一个非常重要的概念，用于描述函数在某个点或无穷远处的趋势。

设函数 f(x)在点 x₀的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x₀| ＜δ时，｜f(x) A| ＜ε 成立，则称常数 A 为函数 f(x)当 x 趋于 x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A 。

高等数学上册知识点一、 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f x x =→间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义1） 数列极限 : εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限 :εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔; Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221~cos 1x x - c) x ex~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +） e) x x αα~1)1(-+二、 导数与微分（一） 导数 1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- , 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系： 4、求导的方法1） 导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、 高阶导数1）定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222)Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二） 微分1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使. 2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二） 洛必达法则 （三） Taylor 公式 （四） 单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 ①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的. 2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七） 渐近线1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线；2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；3、 斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim ,b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八） 图形描绘四、 不定积分 （一） 概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13个公式）；4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、 第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四） 有理函数积分 ： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分（一） 概念与性质：1、 定义：∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ（平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二） 微积分基本公式（N —L 公式）1、变上限积分：设⎰=Φxa dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dxd x x ααβββα'-'=⎰ 2、N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三） 换元法和分部积分1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)( 2、分部积分法：[]⎰⎰-=baba ba vdu uv udv（四） 反常积分1、 无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）, ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q qa b x b x a x x qb a q b a q六、 定积分的应用 （一） 平面图形的面积1、 直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x fV )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=b ay dx x xf V )(2π（柱壳法） 2、 平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三） 弧长1、 直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(1 2、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、 微分方程 （一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三） 齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设xyu =，则dx du x u dx dy +=； 或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+ ，用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五） 可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dydp p y =''（六） 线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八） 常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=，设特解)(*x Q e x y m xkλ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m mx k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=， 其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比拟设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim〔1〕l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x)= 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

〔2〕l ≠0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。

〔3〕l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1−cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x +~ x ，1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准那么准那么1．单调有界数列极限一定存在准那么2．〔夹逼定理〕设g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) 放缩求极限假设A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，那么A x f =)(lim2．两个重要公式 公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法那么定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件：〔1〕0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达〔H L 'ospital 〕法那么.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“00〞型不定式，于是由洛必达法那么，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解该极限属于“0〞型不定式，于是由洛必达法那么，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注假设(),()f x g x ''仍满足定理的条件，那么可以继续应用洛必达法那么，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件： 〔1〕∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→注：上述关于0x x →时未定式∞∞时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法那么，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法那么时必须注意以下几点： 〔1〕洛必达法那么只能适用于“00〞和“∞∞〞型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0〞或“∞∞〞型才能运用该法那么； 〔2〕只要条件具备，可以连续应用洛必达法那么；〔3〕洛必达法那么的条件是充分的，但不必要．因此，在该法那么失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限根本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在〕8．利用定积分定义求极限根本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n 〔如果存在〕三．函数的连续点的分类函数的连续点分为两类： （1）第一类连续点设0x 是函数y = f (x )的连续点。

高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

关于高等数学上册复习归纳标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素： 定义域 对应法则1 两个函数相同： （1）定义域相同 （2）对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。

例如：sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u tt =-∞<<+∞是同一个函数。

2 函数的几种特性（1）有界性 ()y f x x D =∈如果存在实数1k ，使得1()f x k ≤ ，则称()f x 在D 上有上界 如果存在实数2k ，使得1()f x k ≥ ，则称()f x 在D 上有下界。

有界：既有上界 ，又有下界 。

即存在实数1k ，2k 使得21()k f x k ≤≤ 等价于存在0k > ，使得()f x k x D ≤∈（2）单调性若对区间I 内任意两点12x x < ，都有12()()()f x f x ≤≥ ，则称()y f x =在I 内单调增加（减少）。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。

（3）奇偶性设函数()y f x =的定义域关于原点对称 如果 ()()f x f x -= ，则称 ()f x 为偶函数 如果()()f x f x -=- ，则称 ()f x 为奇函数 （4） 周期性若()()f x l f x += 则称()f x 是以l 为周期的函数 注：周期通常指的是它的最小正周期 3复合函数设()y f u =的定义域为1D ，又()u g x =的定义域为D ，且1()g D D ⊂ ，则函数[]()y f g x x D =∈称为由函数()u g x =和 函数 ()y f u =构成的复合函数。

u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x = 4 基本初等函数：（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)x y a a a =>≠（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等 （5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。