微积分复习及解题技巧

挑战解决复杂的微积分问题在数学领域中，微积分是一个极具挑战性的课程。

它涉及到函数、极限、导数和积分等概念，需要处理各种复杂的数学问题。

本文将探讨挑战解决这些复杂微积分问题的方法。

一、理解基本概念和原理要解决复杂的微积分问题，首先需要理解基本的概念和原理。

例如，我们需要熟悉函数的定义和性质，了解导数和积分的概念，掌握它们的运算法则和基本性质。

只有对这些基础知识有清晰的理解，才能够更好地解决复杂的微积分问题。

二、掌握常见的技巧和方法在解决微积分问题时，常常会用到一些常见的技巧和方法。

比如，我们可以使用导数的基本定义和性质来计算函数的导数，运用极值的判定条件来求函数的最值，利用积分的性质和公式来计算定积分等。

掌握这些技巧和方法，可以帮助我们更快、更准确地解决复杂的微积分问题。

三、分步骤解决问题对于复杂的微积分问题，往往需要进行多个步骤的计算和推导。

为了避免出错，我们可以采取分步骤解决问题的方法。

具体而言，我们可以将复杂的问题拆分为几个简单的部分，逐步分析和解决每个部分。

通过分步骤解决问题，可以更好地掌握整个解题过程，降低出错的概率。

四、灵活运用数学工具和软件在解决复杂的微积分问题时，我们可以借助一些数学工具和软件来辅助计算和分析。

例如，我们可以使用数学软件来绘制函数图像、计算导数和积分，以及进行符号计算等。

这些数学工具和软件可以大大提高我们解决复杂微积分问题的效率和准确性。

五、深入思考和练习解决复杂的微积分问题需要良好的思维能力和实践经验。

因此，我们需要进行深入的思考和大量的练习。

通过不断地思考和练习，我们可以提高自己的数学思维能力，熟悉不同类型的问题，并掌握解决这些问题的方法和技巧。

六、寻求帮助和探讨如果遇到困难或复杂的微积分问题，我们可以主动寻求帮助和与他人进行探讨。

可以向老师请教，与同学一起讨论，或者参加学术讨论会等。

通过与他人的交流和讨论，我们可以获取新的思路和灵感，帮助我们更好地解决复杂的微积分问题。

微积分解题摘要：1.微积分解题的基本步骤2.微积分解题的技巧与方法3.微积分解题的实践应用正文：一、微积分解题的基本步骤微积分作为一门重要的数学学科，在解决实际问题中发挥着重要作用。

微积分解题的基本步骤如下：1.确定问题：首先要对问题进行仔细阅读，理解问题的实际意义，明确需要解决的问题。

2.分析问题：分析问题是微积分解题的关键，需要对问题进行抽象，建立数学模型，确定需要运用的微积分知识。

3.建立微分方程：根据问题的实际情况，建立相应的微分方程，如一阶导数、二阶导数等。

4.求解微分方程：运用微积分的求解方法，如分离变量法、积分法等，求解微分方程。

5.检验解的合理性：将求得的解代入原问题，检验解的合理性，如符合实际情况，则得到问题的解。

二、微积分解题的技巧与方法在解决微积分问题时，除了遵循基本步骤外，还需要掌握一定的技巧与方法，如下：1.善于运用数学软件：如MATLAB、Mathematica 等，可以辅助求解微分方程，提高解题效率。

2.熟练掌握常见题型：多加练习，对常见题型的解题思路和方法了如指掌，有利于快速解决实际问题。

3.注意物理意义：在求解微分方程时，要注意其物理意义，如速度、加速度等，确保解的合理性。

4.建立解题思维：在解题过程中，要培养自己的解题思维，善于从问题的实际出发，灵活运用所学知识。

三、微积分解题的实践应用微积分在实际生活中的应用非常广泛，如物理、化学、生物、经济等领域。

通过解决实际问题，可以加深对微积分知识的理解，提高解题能力。

例如，在物理学中，运用微积分可以求解物体的位移、速度等；在经济学中，通过微积分可以研究成本、收益等。

这些实际问题的解决，都离不开微积分的运用。

学霸用微积分解高中数学【导言】微积分是现代数学的一个重要分支，它是理解自然科学和工程技术中很多问题的基础。

在高中阶段，学霸们常常运用微积分知识解决高中数学难题，本文将以分类的方式详细解读学霸使用微积分解决高中数学难题的方法和技巧。

【一、函数极值问题】学霸们经常运用微积分来解决函数的最大值和最小值问题。

对于一元函数f(x)，通过求解其导数f'(x)，我们可以得到它的驻点和拐点，然后我们计算对应函数值的大小，最终可以得出函数的最大值和最小值。

这在高中数学中经常出现的函数极值问题中尤为常见。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2，我们可以通过求解函数导数f'(x)等于0的根，得到其驻点为x=0和x=2。

然后我们可以分别将驻点代入函数中，得到f(0)=0，f(2)=-4，因此函数的最大值为0，最小值为-4。

【二、定积分求解面积问题】学霸们运用微积分的方法来解决复杂图形的面积问题。

例如，我们需要计算y=x^2和y=2x-x^2这两个函数图像所围成的图形面积，我们可以通过计算它们的定积分来解决这个问题。

对于图像所在区间[0,2]，我们可以先求出它们的交点x=1，然后使用定积分公式计算面积：A = ∫[0,1](2x-x^2-x^2)dx + ∫[1,2](x^2-2x+x^2)dx通过简单的计算，我们可以得到这个图形所围成的面积为2/3。

【三、拐点问题】学霸们通过微积分的方法解决拐点问题。

对于拐点的问题，我们需要求解函数的二阶导数f''(x)。

当f''(x)>0时，函数在该点处是凸向上的，当f''(x)<0时，函数在该点处是凸向下的。

而拐点则是函数由凸向上转为凸向下或者由凸向下转为凸向上的转折点。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2，我们可以计算它的导数和二阶导数：f'(x) = 3x^2 - 6xf''(x) = 6x - 6当f''(x)>0时，函数凸向上；当f''(x)<0时，函数凸向下。

《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量X的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母H0②偶次根式函数：被开方式20③对数函数式：真数式>0④反正（余）弦函数式：自变量W1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题Z1补充：求y=、巨的定义域。

（答案：-2<^<|）]ll-2x 2三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续式（用罗彼塔法则）求极限主要根据:1、常见的极限：lim 占=（）（。

>0）X->COXlimlim/（x）= /（x o ） XT%初等函数在其定义域上都连续。

例:lim*TXT1兀3、求极限r ‘⑴ 1 lim —- = 1—a gO ）的思路：lim/W= ci （ci 工0常数）X —可考虑以下9种可能:00①彳型不定式（用罗彼塔法则）④5=00⑦汁limgU ） x->a②冷⑤牙<C 2（C 2^O 常数）③2=000@ —=000⑨丝型不定00X丿特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、81砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿补充4：2型一匚 limf = iXT1 丄（此题用了 “罗彼塔法则”）补充1： 洛lim x-»lsin 2(x-l)广 + ax+补充厶 limX —>00 \2x^lim 12/? +1 丿lim XT1lnxx-1贝 ij a= ~2X 4- Px — \)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:典型例题：《综合练习》第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主耍方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则:教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y z dx即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.解：岛…右話十，丿 / X 2arctgx、右+K)dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题:典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2第五章不定积分第六章定积分I理论内容复习：1、原函数：F f(x) = /(x)则称F (x)为f (x)的二±原函数。

微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略【摘要】微积分中函数极限是微积分学习中的重要内容，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。

本文将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，包括数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法以及利用导数的方法。

通过多种方法的结合运用，可以更准确地求解函数的极限。

我们也要注意极限存在的条件，确保计算的准确性。

提高极限求解的技巧和效率，可以帮助我们更好地掌握函数极限的求解过程，提高学习效果。

深入理解和掌握这些方法，将有助于我们更好地应用和推广到实际问题中，从而更好地理解和应用微积分知识。

【关键词】微积分、函数极限、数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法、利用导数的方法、多种方法结合运用、注意极限存在的条件、提高极限求解的技巧和效率1. 引言1.1 微积分中函数极限的重要性微积分中函数极限是微积分学习中的重要概念之一，它能够帮助我们理解函数在某一点的变化趋势和极限取值。

函数极限的研究不仅有助于我们解决数学问题，还可以应用于物理、经济、工程等各个领域。

函数极限的重要性体现在以下几个方面：函数极限是微积分的基础，它是导数、积分等概念的前提。

只有对函数极限有深入的理解，才能更好地理解微积分中的其他内容。

函数极限在研究函数在某一点的性质时起到至关重要的作用，能够帮助我们确定函数在该点的连续性、可导性等特性。

函数极限也可以应用于求解极限值、证明极限存在等问题，是数学分析中的重要工具之一。

微积分中函数极限的重要性不言而喻。

只有深入理解函数极限的概念，掌握各种求解方法和技巧，才能在微积分学习中取得更好的成绩，并将其运用到实际问题中取得更好的效果。

强调函数极限的重要性，也有助于引起我们对微积分学习的重视和兴趣。

对函数极限的研究具有极其重要的意义。

2. 正文2.1 数列极限法数总结和统计等。

以下是关于数列极限法的内容：数列极限法是微积分中函数极限求解的一种常用方法，通过研究数列的性质和极限，可以推导出函数的极限值。

微积分复习整理微积分是数学的一个重要分支，它研究的是函数的极限、导数、积分等概念与性质。

在许多领域中，微积分都起着关键的作用，如物理学、经济学、工程学等。

因此，对微积分的复习整理对于学生来说非常重要，可以帮助他们更好地理解微积分的基本概念和运算规则。

一、函数的极限函数的极限是微积分的基本概念之一。

当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值是否有限，这就是函数的极限。

在复习微积分时，我们需要了解如何计算函数的极限以及如何判断函数的极限是否存在。

计算函数的极限需要掌握以下几个基本的计算方法：1. 代入法：将自变量的值代入函数中计算；2. 无穷法则：通过观察无穷大或无穷小的部分来确定函数的极限；3. 基本极限：掌握常见函数的极限，如多项式函数、三角函数、指数函数等；判断函数的极限是否存在有以下几个常用的方法：1. 单调性：观察函数在一定区间上的增减性；2. 夹逼定理：利用已知函数的极限来确定函数的极限；3. 左右极限：分别求解函数在特定点左侧和右侧的极限；二、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它表示函数在某一点处的变化率。

计算导数需要掌握以下几个基本的求导规则：1. 变化率定义：导数定义为函数$f(x)$在点$x_0$处的极限，表示函数在该点处的瞬时变化率；2. 已知函数的导数：掌握常见函数的导数，如多项式函数、三角函数、指数函数等的导数公式；3. 基本运算规则：了解求导的加减乘除法则，如求和法则、乘法法则、除法法则等；微分是导数的一个应用，它表示函数的微小变化量。

通过微分可以求得函数在某一点处的斜率，从而帮助我们研究函数的变化趋势和曲线的形状。

三、积分与定积分积分是微积分的另一个重要概念，它表示函数与自变量之间的累积关系。

计算积分需要掌握以下几个基本的积分规则：1. 基本积分公式：了解常见函数的积分公式，如多项式函数、三角函数、指数函数等的积分公式；2. 反向求导法：通过对已知函数求导来求解函数的积分；3. 特殊方法：掌握特殊函数的积分方法，如换元法、分部积分法、分式分解法等；定积分是积分的一种特殊形式，它表示函数在一定区间上的累积变化量。

《微积分》复习及解题技巧第一章 函数一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1补充：求y=xx 212-+的定义域。

（答案：212<≤-x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章 极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限：2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。

例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C =0 ③∞0=0④01C =∞ ⑤21C C ⑥∞1C =0⑦0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）1sin lim 0=→x xx e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim )0(01lim >=∞→ααxx )()(0lim 0xf x f x x =→11lim 1=→x x 1)()(lim =→x g x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8补充1：若1)1(sin 221lim =++-→bax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21221211111lim lim e x x x x xx x xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∙-∞→∞→补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：1ln lim 1-→x xx 111lim 1=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）型0第三章 导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵222212111221121x arctgxxx x arctgx x x y +++=+⋅+⋅+⋅=' ∴dy=)121(22xarctgx x x dx y +++=⋅'dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2第五章 不定积分 第六章 定积分Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。

高考数学一轮总复习微积分应试技巧总结微积分是高考数学中的重要内容之一，也是考生们容易出现困惑的部分。

为了帮助大家更好地复习微积分，下面将总结一些应试技巧，希望能对大家备战高考有所帮助。

一、掌握基础概念和公式在应试中，掌握基础的微积分概念和公式是非常重要的。

首先要熟悉微积分的基本定义和常用的公式，如导数的定义、反函数的导数关系、积分的定义和性质等。

只有对这些基础知识牢记于心，才能够更好地理解和解决微积分题目。

二、多做题，掌握解题方法做题是学习微积分的重要环节，通过大量的练习可以加深对知识点的理解和掌握解题的方法。

在做题过程中，要注意每一步的推导和计算，尽量做到简洁清晰。

可以先从简单的题目开始，循序渐进地提高解题能力。

三、注意函数的可导性和连续性在应试中，经常会涉及到函数的可导性和连续性的问题。

要注意判断函数在某一点的可导性和连续性，可以通过导数的定义和极限的性质来进行推导。

同时，还需要掌握一些常见函数的可导性和连续性的特点，如多项式函数、指数函数、对数函数等。

四、熟悉微积分的应用微积分的应用题是高考中常见的题型之一。

在应试过程中，要熟悉微积分的应用，如求函数的极值、最值、曲线的切线方程、区间的积分等。

熟练掌握这些应用技巧，可以帮助解答一些实际问题。

五、重点复习典型例题在复习微积分的过程中，可以选择一些典型的例题进行重点复习。

通过分析和解答这些典型例题，可以更好地掌握微积分的知识点和解题技巧。

可以结合教材或者相关的复习资料进行选择。

总之，复习微积分需要有持之以恒的学习态度，多做题、多思考，在解题过程中逐渐提高解题能力和应对考试的技巧。

希望以上的技巧总结能够对广大考生在高考数学微积分复习中有所帮助，实现优异的成绩。

祝愿大家都能取得好成绩，实现理想的高考目标！。

定积分与微积分基本定理复习讲义备考方向要明了考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．归纳·知识整合1．定积分1 定积分的相关概念：在错误!错误!f x d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,f x叫做被积函数,x叫做积分变量,f x d x叫做被积式．2 定积分的几何意义①当函数f x在区间a,b上恒为正时,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是由直线x＝a,x＝b a≠b,y＝0和曲线y＝f x所围成的曲边梯形的面积左图中阴影部分．②一般情况下,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是介于x轴、曲线f x以及直线x＝a,x＝b之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示 ,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3 定积分的基本性质：①错误!错误!kf x d x＝k错误!错误!f x d x.②错误!错误!f1x±f2x d x＝错误!错误!f1x d x±错误!错误!f2x d x.③错误!错误!f x d x＝错误!错误!f x d x＋错误!错误!f x d x.探究 1.若积分变量为t,则错误!错误!f x d x与错误!错误!f t d t是否相等提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗提示：一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算．3．定积分错误!错误!f x－g x d x f x >g x的几何意义是什么提示：由直线x＝a,x＝b和曲线y＝f x ,y＝g x所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f x是区间a,b上的连续函数,并且F′ x＝f x ,那么错误!错误!f x d x＝F b－F a ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F b－F a记成F x错误!错误!,即错误!错误!f x d x＝F x错误!错误!＝F b－F a．课前预测：错误!错误!d x等于A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 22．教材习题改编一质点运动时速度和时间的关系为V t＝t2－t＋2,质点作直线运动,则此物体在时间 1,2 内的位移为3．教材习题改编直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．教材改编题错误!错误!错误!d x＝________.5．由y＝错误!,直线y＝－x＋错误!所围成的封闭图形的面积为________考点一利用微积分基本定理求定积分例1 利用微积分基本定理求下列定积分：1 错误!错误! x 2＋2x ＋1 d x ；2 错误!错误! sin x －cos x d x ；3 错误!错误!x x ＋1 d x ；4 错误!错误!错误!d x ；5 20π⎰ sin 2错误!d x . ——————————————————— 求定积分的一般步骤：1 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；3 分别用求导公式找到一个相应的原函数；4 利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5 计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分： 1 错误!错误!|x －1|d x ； 2 20π⎰错误!d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分例2 错误!错误!错误!d x ＝________.变式：在本例中,改变积分上限,求错误!错误!错误!d x 的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法1 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分．2 利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2． 2014·福建模拟 已知函数f x ＝错误!错误! cos t －sin t d t x >0 ,则f x 的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积例3 2014·山东高考由曲线y＝错误!,直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.错误!B．4 D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”,将“y轴”改为“x轴”,如何求解———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤1 画出曲线的草图．2 借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限．3 将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．4 计算定积分,写出答案．强化训练：3． 2014·郑州模拟如图,曲线y＝x2和直线x＝0,x＝1,y＝错误!所围成的图形阴影部分的面积为考点四：定积分在物理中的应用例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a＝－ m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t ≥0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为错误!错误!v t d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t≤0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－错误!错误!v t d t.2．变力做功问题物体在变力F x的作用下,沿与力F x相同方向从x＝a到x＝b所做的功为错误!错误!F x d x.强化训练：4．一物体在力F x＝错误!单位：N 的作用下沿与力F x相同的方向运动了4米,力F x做功为A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质1 常数可提到积分号外；2 和差的积分等于积分的和差；3 积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题1 若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量；2 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；3 面积非负, 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点典例 2013·上海高考已知函数y＝f x的图象是折线段ABC,其中A 0,0 ,B错误!,C 1,0 ．函数y＝xf x0≤x≤1 的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题：1 熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；2 准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2,y＝x3围成的封闭图形面积为2． 2014·山东高考设a>0.若曲线y＝错误!与直线x＝a,y＝0所围成封闭图形的面积为a2,则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分错误!错误!d x＝A．ln x＋错误!ln2x－12．2012·湖北高考已知二次函数y＝f x的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为3．设函数f x＝ax2＋b a≠0 ,若错误!错误!f x d x＝3f x0 ,则x0等于A．±1 C．±错误!D．24．设f x＝错误!则错误!错误!f x d x＝D．不存在5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v＝40－10t2,则此物体达到最高时的高度为m m m m6．2013·青岛模拟由直线x＝－错误!,x＝错误!,y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为B．1二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7．设a ＝错误!错误!sin x d x ,则曲线y ＝f x ＝xa x ＋ax －2在点 1,f 1 处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中,首项a 1＝错误!,a 4＝错误!错误! 1＋2x d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________．9． 2013·孝感模拟 已知a ∈错误!,则当错误!错误! cos x －sin x d x 取最大值时,a ＝________.三、解答题 本大题共3小题,每小题12分,共36分10．计算下列定积分： 1 20π⎰ sin 2x d x ； 2 错误!错误!错误!2d x ； 3 120⎰e 2x d x . 11．如图所示,直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值．12．如图,设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A 2,4 移动,直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2,若S 1＝S 2,求点P的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在错误! s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ；2 错误!错误!错误!d x . 3．求曲线y ＝错误!,y ＝2－x ,y ＝－错误!x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：m/s 与时间t 单位：s 满足函数关系式v t ＝错误!某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一 定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.错误! ４.错误!π ５.错误!－2ln 2 例１： 1 错误!. 2 2. 3 错误!. 4 错误!e 4－错误!e 2＋ln 2. 5 错误!.变式１：解： 1 |x －1|＝错误!故错误!错误!|x －1|d x ＝错误!错误! 1－x d x ＋错误!错误! x －1 d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＝1. 2 20π⎰错误!d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ cos x －sin x d x ＋24ππ⎰ sin x －cos x d x ＝ sin x ＋cos x 40π＋ －cos x －sin x 24ππ＝错误!－1＋ －1＋错误! ＝2错误!－2.例２： 自主解答 错误!错误!错误!d x 表示y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝错误!得 x －1 2＋y 2＝1 y ≥0 ,又∵0≤x ≤1,∴y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆,其面积为错误!. ∴错误!错误!错误!d x ＝错误!.互动：解：错误!错误!错误!d x 表示圆 x －1 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以 错误!错误!错误!d x ＝错误!.变式２. 错误!－1 例３.Ｃ 互动：错误!. 变式３.Ｄ 例４： 自主解答 a ＝－ m/s 2,v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v ＝20－.令v ＝0,即20－ t ＝0得t ＝50 s ．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s ＝错误!错误!v d t ＝错误!错误! 20－d t ＝ 20t －错误!错误!＝20×50－×502＝500 m ,即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46典例： 解析 由题意可得f x ＝错误!所以y ＝xf x ＝错误!与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰ 10x －10x 2 d x ＝错误!x 3120＋错误!112错误!＝错误!. 答案 错误! 变式5. １.Ａ ２. 错误!检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.错误! ９.错误!10.解： 1 错误!. 2 错误!＋ln 错误!. 3 错误!e －错误!.11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0,x 2＝1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝错误!错误! x －x 2 d x ＝错误!错误!错误!＝错误!. 又错误! 由此可得,抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0,x 4＝1－k ,所以,错误!＝错误!错误! x －x 2－kx d x ＝错误!错误!错误!＝错误! 1－k 3.又知S ＝错误!,所以 1－k 3＝错误!,于是k ＝1－ 错误!＝1－错误!.12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ,点P 的坐标为 x ,y ,则错误!错误! kx －x 2 d x ＝错误!错误! x 2－kx d x ,即错误!错误!错误!＝错误!错误!错误!,解得错误!kx 2－错误!x 3＝错误!－2k －错误!,解得k ＝错误!,即直线OP 的方程为y ＝错误!x ,所以点P 的坐标为错误!. 备选题：1.解析：由题图可知,v t ＝错误!因此该物体在错误! s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v t d t ＝112⎰2t d t ＋错误!错误!2d t ＋错误!错误!错误!d t ＝t 2112＋2t |错误!＋错误!错误!错误!＝错误! m ． 答案：错误! m 2.解： 1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ＝ x 3－x 2＋x 31-＝24.2 错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!x d x ＋错误!错误!错误!d x ＋错误!错误!错误!d x＝错误!x2错误!错误!＋ln x错误!错误!－错误!错误!错误!＝错误! e2－1 ＋ ln e－ln 1 －错误!＝错误!e2－错误!＋错误!.3.解：由错误!得交点A 1,1 由错误!得交点B 3,－1 ．故所求面积S＝错误!错误!错误!d x＋错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.4.解：由变速直线运动的路程公式,可得s＝错误!错误!t2d t＋错误!错误! 4t＋60 d t＋错误!错误!140d t＝错误!t3错误!错误!＋ 2t2＋60t错误!错误!＋140t错误!错误!＝7 133 错误! m <7 676 m ．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。

定积分部分一、第一积分中值定理【定理】：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈（a,b ），使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

注意取g(x)=1即可以得到我们熟悉的积分中值定理。

【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。

二、一种含变量x 的积分上限函数的求导公式)()()()(])()([x f x g dt t f x g dt x g t f xax a+'='⎰⎰三、函数和原函数之间的关系1、周期函数的原函数不一定是周期函数 【举例】：y=cosx+1的原函数是y=sinx+x ，不是周期函数。

【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。

（证明略）。

2、奇函数的原函数组（即不定积分C 取任何值）都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有一个是奇函数。

四、几个重要的广义积分结论1、）0(10>=⎰+∞-p p dx e px 2、⎰+∞-+=022sin wp w wxdx e px（p>0；w>0) 2、22π=⎰∞+-dx ex < 1 4、()!1)ln 10n dx x nn -=⎰（五、周期函数的定积分技巧（可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题）设周期函数周期为T ，周期函数为f(x)有： 1、⎰⎰+=Ta a Tdx x f dx x f 0)()(（周期函数任意一个周期内的积分是不变的）2、⎰⎰=nTTdx x f n dx x f 0)()(（n 是正整数）3、设)(x f 是以周期T 为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(x)=⎰xadt t f )(也是以T为周期的周期函数的充要条件是：⎰=Tdx x f 00)(（即函数在一个周期长上的定积分为0）六、一个非常OP 的定积分变换等式（处理一些复杂问题时常用）定理：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线2)(b a +对称。