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关于奇怪吸引子对我们生活学习的启示
奇怪吸引子的两个特点：
1. 奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。
→蝴蝶效应
洛伦兹把这种对初始条件的敏感依赖性称为“蝴蝶效应”。
维纳也曾引用一首民谣来描述这种对初始条件的敏感依赖性：丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
2. 由两种不同属性的内外方向决定了它具有非常奇特的拓扑结构和集合形式。
→趋于稳定奇怪吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切联系，它具有不同属性的内外两种方向：
1. 在奇怪吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向
2. 一切到达奇怪吸引子内的运动都相互排斥，对应于“不稳定”方向。
1.倍周期分岔行为对于单摆有阻尼有驱动情形，通过前面所讨论过的单摆的相图与庞加莱截面，我们已经可以看出单摆的倍周期分岔行为。
f增至1.07时出现二倍周期；从1.35增至1.45时，又从一倍周期过渡到二倍周期。
f增大到1.50时，出现四倍周期。
在出现倍周期行为后，逐渐过渡，最后都出现貌似无规的运动。
由于单摆的运动还是太复杂了一点，以至于它是怎样通过一系列倍周期分岔进入混沌的细致过程，我们在这里不易看清楚。
对单摆的仔细分析发现，无论是它的分岔图，还是计算它的费根鲍姆常数，都与逻辑斯谛映射模型所得到的结果相似。
例如，单摆的一个倍周期分岔序列为f = 1.066,1.077,1.080，由此计算出的费根鲍姆常数为4±1，在计算误差范围内是与逻辑斯谛映射的结果相符合的。
2.单摆的混沌吸引子MIT的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在1963年发现了奇怪吸引子。
洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程：（9）现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。
对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了一个三维吸引子，其二维投影如图10所示。
总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀。
实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。
刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。
分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。
图11即为单摆的混沌吸引子。
由图中可以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。
李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。
图10 图113.并非结束这里所讲的混沌，只是混沌理论的一个小的部分，有很多内容，甚至是很重要的内容（例如KAM定理等）只字未提。
就是对于单摆的混沌运动，我们这里也只讨论了它的某些方面。
奇怪吸引子展开全文折叠编辑本段理论系统系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分，那么什么是吸引子呢奇怪吸引子？吸引子是一个数学概念，描写运动的收敛类型，它存在于相平面。
简言之，吸引子是指这样的一个：集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它.这样的集合。
有很复杂的几何结构.由于吸引子与混沌现象密不可分，深入了解吸引子集合的性质，对更好了解它。
们所描述的流，对揭示出现混沌的规律与结构是很必要的。
折叠编辑本段系统特征从相空间上看，系统演化的目的体现为一定的点集合，代表演化过程的终极状态，即目的态，具有如下特征：折叠终极性折叠稳定性目的态是系统自身质的规定性的体现，这种规定性只有在稳定状态中才能确立起来并得到保持，不稳定状态不可能成为目的态。
折叠吸引性吸引性是目的性的根本要素，没有吸引力的状态不能成为系统演化所追。
求的目标，只要系统尚未到达目的态，现实状态与目的态之间必定存在非0的吸引力，牵引着系统向目的态运动，相空间中满足以上3个条件的点集合A(可能包含1个点、有限个点或无限个点)，被称为动力学系统的吸引子。
吸引子只能是定态，而且必须是稳定态。
其实，我们早已经接触过吸引子了。
在动力学里，就平面内的结构稳定系统——典型系统——而言，吸引子不外是：1.单个点2.稳定极限环。
也可解释为：长期运动不外是：1.静止在定态2.周期性地重复某种运动系列。
在非混沌体系中，这两种情况都是“一般吸引子”，而在混沌体系中，第二种情况则被称为：“奇怪吸引子”，它本身是相对稳定的，收敛的，但不是静止的。
奇怪吸引子是稳定的、具分形结构的吸引子。
折叠编辑本段保守系统保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合就是吸引子。
第二章 分岔与奇怪吸引子第一节 第一节 简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。
分岔是一种非常普遍的自然现象。
一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。
常识告诉我们，在力P 的作用下，如图2-1a 所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷P c 后，杆会出现弯曲，这时扰度s 为压力P 的函数。
在以P —s 为坐标的平面上，如图2-1b 所示，当压力P ＜P c 时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P ＞P c 时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC 方向）、偏向+s 或-s 方向，因此P c 是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。
然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。
其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向+s 或-s 状态。
另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s 随压力P 的增加而沿曲线OA 或OB 增加。
图2-1 一根弹性压杆的分岔在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。
当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。
由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。
上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F 增加到某—临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。
它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。
为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。
上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数0=κ处发生了所谓叉式分岔，一个在0<κ时的稳定解在0>κ时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。
不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。
