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吸引子：吸引子是指非线性系统最终形成的运动状态在相空间中的不变流形或点集（例如，平衡，简谐运动和极限环等），相空间中其他点（运动态）都被吸引到这些点集或不变流形中，故称吸引子。
奇怪吸引子；也称为“随机吸引子”·“混沌吸引子”.它是相空间中无穷多个点的集合，这些点对应于系统的混沌状态。
人们称混沌这种具有无穷次自相似结构的吸引子为奇怪吸引子。
在状态空间中伸缩和折叠的无穷次变换将形成分数维的奇怪吸引子。
奇怪吸引子在有限的相空间几何体内，具有无穷嵌套的自相似结构。
它对初始条件十分敏感，在参数变化时各层次的”空洞“发生填充和移位等变化。
运动是遍历的，混合的和随机的。
关于奇怪吸引子对我们生活学习的启示
奇怪吸引子的两个特点：
1. 奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。
→蝴蝶效应
洛伦兹把这种对初始条件的敏感依赖性称为“蝴蝶效应”。
维纳也曾引用一首民谣来描述这种对初始条件的敏感依赖性：丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
2. 由两种不同属性的内外方向决定了它具有非常奇特的拓扑结构和集合形式。
→趋于稳定奇怪吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切联系，它具有不同属性的内外两种方向：
1. 在奇怪吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向
2. 一切到达奇怪吸引子内的运动都相互排斥，对应于“不稳定”方向。
duffing振子奇怪吸引子的简单胞
映射计算
Duffing振子奇怪吸引子的简单胞映射计算是一种用于求解 Duffing 振子方程的数值计算方法，它通过将Duffing 振子方程简化为一维离散时间动力学系统（基于胞映射）来求解。
胞映射计算是一种几何分析方法，可以将复杂的微分方程组转换为一维或二维离散时间动力学系统，然后计算其特征集。
Duffing 振子方程本身是一个二阶非线性微分方程，其解决方案要求使用复杂的数值技术，例如 Runge-Kutta 步骤。
由于 Duffing 振子中包含的非线性项，因此必须使用大量的数值迭代来求解该方程。
胞映射计算可以避免这些大量的迭代，因为它将Duffing 振子方程转换为一维离散时间动力学系统，可以使用几何分析方法来求解该系统。
通过对 Duffing 振子方程进行简化，可以轻松地回答有关振子解决方案的问题，例如稳定性、周期性和交叉。
这种胞映射方法还可以用于描述奇怪吸引子的形状，其中Duffing振子的参数不断变化。
奇怪吸引子与分形混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中（原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作——时间平移不变性，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。
现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 +t方向和沿 -t 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发）。
对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念，也称为奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。
所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。
吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。
平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式，分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。
例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。
一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。
例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。
科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。
科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。
奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
基于混沌理论对湍流现象的一些探讨江苏大学京江学院 张炳乾摘要：本文简要介绍混沌理论，并在前辈研究的基础上，用混沌理论对湍流现象展开思考。
正反两极的系统造就整体稳定局部不稳定的运动状态，在内部不断变化的机制下，用矛盾对立统一的辩证思维，从事物演化方向进行探讨。
关键词：混沌理论；湍流；随机性；奇怪吸引子；分形中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：2096-4595（2020）30-0047-0002湍流现象在日常生活中十分常见，例如海洋里的波涛汹涌、烟囱上的袅袅炊烟、大气中的乱云飞渡等，但是湍流的问题至今还未能解决。
长期以来，湍流都被认为是经典物理留下的世纪难题[1]，令许多科学家们望而生畏。
湍流最基本的特征就是流体微团运动的随机性，正是这种随机运动引起的变化使得湍流异常复杂。
而混沌理论与这种随机性极为相似，为此，从混沌理论角度上讨论湍流现象，希望从中得到科学的启发。
一、混沌理论“混沌”一词最早出现在中国和希腊的神话故事里，指代宇宙最开始的自然状态，是古代的朴素宇宙观。
随着人类文明的发展，“混沌”一词在文学、科学和宗教等著作中广泛使用。
混沌理论是系统演化对初始条件的异常敏感，差异的发展导致未来路径的演化发生变化。
美国物理学家约克（James Yorke）提出：“混沌是宇宙的自然状态，在混乱中，复杂系统可以被不断完善，秩序形成于混沌之中。
混沌不是混乱的、随机分散的，相反，其中的模式是非常有序的，只是较为复杂，混沌指的就是这种复杂的秩序化。
”[2]我们常常认为混沌是一种虚假空幻的状态，世界本没有混沌，而是人们对客观世界的思考意识受到世俗文化影响被潜移默化。
但实际上，混沌的确存在，不过不是我们常规思维所意识到的直接观念。
现代混沌理论强调有序与无序、确定性与不确定性、周期性与非周期性，看似矛盾，实则对立统一。
混沌是一种联系的状态，以整体的形式存在，是一个不能分割、相互联系、不断运动的实体[3]。
混沌的“性格”一开始听到“混沌”这个词，还以为是我们生活中吃的那个“混沌”，没想到此混沌非彼混沌。
通过学习了混沌这一节课，我知道了混沌现象普遍存在于自然界中，并与我们日常生活息息相关。
大家都有看到过别人吸烟的经历：一支燃着的香烟，烟雾在平稳的气流中冉冉升起，突然卷曲成一团剧烈扰动的烟雾，四处飘散。
仔细观察烟雾的上升过程可以发现，在烟雾上升的初始，是一种较平稳的层流状态气流；而上升到某些高度后，开始在烟雾边界出现一些极小的振动图案；然后，这些振动图案迅速增大，并开始出现一些卷曲结构；再向上走，这些卷曲就扰乱了整个烟雾。
这个系统很明显对初始的微小扰动非常敏感，卷曲后形成的空间图案依赖于微小的扰动。
像这样典型的混沌现象，还有风中的旗帜、滴水的水龙头、天体运动、气象变化、股票市场的波动、疾病的蔓延等例子。
混沌现象是非线性系统的普遍属性，它包含着极其丰富的信息，其图样华美多彩，巧夺天工，不是艺术胜似艺术。
而这些互不相同的现象却有着相同的“性格”：（1）对初态的敏感依赖性首先，它是混沌系统的一个突出特点，对于开始时的无穷小变化能导致以后大得多的变化的这种行为被称之为混沌的鲜明“性格”。
其次，混沌系统的研究始于庞加莱、伯克霍夫与冯、诺伊曼，而“混沌”变得时髦则归功于李－约克定理。
混沌系统具有对初值的高度敏感性。
换句话说，初值上非常小的变化（如由于测量中的截断误差及噪声等）会导致完全不同的结果。
这与经典物理中的“误差范围内的等同或一致性”相矛盾。
考虑逻辑斯谛映象x n+1=4x n（1-x n）。
取x0=0.2可得x1=0.64，x2=0.9216，x3=0.28901376，x4=0.821939226，x5=0.585420539，x6=0.970813326，x7=0.113339247，x8=0.410973849，x9=0.961563495，x10=0.14783656。
若取x0=0.201则有x1=0.642396，x2=0.918893517，x3=0.298112887，x4=0.836966374，x5=0.545814652，x6=0.991604071，x7=0.0333017509，x8=0.128770977，x9=0.4487556051，x10=0.9989496231。
