第6章 混沌与分岔

非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。

在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。

混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。

混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。

他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。

这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。

这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。

混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。

这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。

一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。

σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。

这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。

分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。

简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。

分岔现象的经典例子是Logistic映射。

Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。

Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。

非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。

非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。

混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。

在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。

一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。

混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。

混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。

通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。

经典的三体问题就是一个混沌的例子。

对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。

这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。

在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。

此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。

混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。

混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。

二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。

发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。

分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。

分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。

分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。

此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。

在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。

混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。

分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。

这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。

混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。

他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。

在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。

这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。

洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。

奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。

分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。

分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。

最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。

他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。

这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。

混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。

在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。

在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。

在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。

在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。

总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。

混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。

常微分方程的分岔和混沌现象在数学中，常微分方程是一种可以描述物理现象的数学模型。

它可以用来研究物体的位置、速度和加速度之间的关系，以及变化的趋势。

常微分方程的分岔和混沌现象是该领域中的一个重要的课题，本文将从这个角度来深入探讨。

一、什么是常微分方程的分岔？在物理现象中，往往有一些参数是可以改变的，比如弹簧的弹性系数，转动惯量等等。

在数学模型中，这些参数往往以某个常数的形式出现，我们称之为控制参数。

当控制参数发生微小变化时，数学模型的解也会发生微小的变化。

分岔就是指，当控制参数发生连续或突然的变化时，数学模型的解出现了明显的差别，显示出了不同的行为特征。

例如，当控制参数发生小变化时，物理现象可能在一个稳定的状态下来回振动，而当控制参数的值超过某个特定的临界点时，物理现象会出现混乱的不规则波动，这就是分岔现象。

二、什么是混沌现象？混沌现象是指，当物理现象受到微小的扰动时，它的运动过程变得高度不稳定和不可预测。

这种不可预测的现象表现为波动或震荡的不规则运动，这种不规则运动又称为混沌运动。

混沌现象在物理、化学、生物等多个领域中都有应用。

三、常微分方程的分岔与混沌现象之间的关系分岔是混沌现象的前提条件之一。

通过调整控制参数，一些数学模型可以表现出非常有规律但是复杂的行为。

随着控制参数的改变，它们会经历一系列的分岔，最终出现混沌现象。

例如，著名的洛伦兹系统，通过改变其参数，可以很容易地使方程产生分岔，最终出现混沌现象。

四、常微分方程的分岔和混沌现象的应用常微分方程的分岔和混沌现象在很多领域都有应用。

在物理领域中，这些现象可以用于描述流体、气体等的运动方式，从而帮助物理学家更好地理解它们的性质和行为。

在经济学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用来研究经济模型中的行为和趋势，以更好地预测和管理经济的发展。

在生物学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用于描述细胞生长和病毒传播的方式，为人们提供更好的治疗和预防方法。

混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。

逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。

迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。

④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。

⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。

以上这些特点可用图示法直观形象地给出。

逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。

图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。

X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。

k 从2.8增大到4。

⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。

它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。

图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。

较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。

图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。

非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。

从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。

非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。

本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。

一．实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解⒊理解“蝴蝶效应”。

二．实验原理⒈分岔与混沌理论⑴ 逻辑斯蒂映射为了认识混沌（chaos）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。

考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数表示。

逻辑斯蒂映射是其中是0和4之间的常数。

迭代这映射，我们得离散动力学系统，，1，2…我们发现：①当小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当大于3时，随着的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快在左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。

④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。

⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。

以上这些特点可用图示法直观形象地给出。

逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条的抛物线，再画一条的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。

XBXAX0图 1—A 不动点图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌图1—D蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图以为横坐标，迭代200次以后的值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。

092071201 李慧丽一类分支出十二个小振幅极限环的三次多项式系统刘一戎 黄文韬这是一篇刘一戎老师和黄文韬老师的论文，该文研究一类三次系统的小振幅极限环问题，用奇点量的的方法计算焦点量，得到了一类三次多项式系统在细焦点分支出12个小振幅极限环的结论。

奇点量的表达式是相对简单的，极限环存在性的证明过程是准确的符号运算。

下面是原文内容的译文。

1 引言在平面微分系统定性理论中，下列多项式系统的极限环分支问题是一个众所周知的困难问题这个问题属于Hilbert 第十六问题的第二部分。

最近的综述文章[1]给出了这个问题的最新进展。

令H(n)表示n 次多项式系统(1)的最大极限环个数，则文[3]证明了H(2)≥4。

文[7，9，37]给出了H(3)≥11。

最近，P.Yu 和韩冒安[10]利用正规型理论研究下列关于原点对称的三次多项式系统：其中22112030312140,,,,,,,2aa b a a a b b a b b b a a b+≠>==-=-=-= 2422212121222212(10101)(40329)2()10(221)a b b ba b b a b a b b b ba +---+=-+--。

发现了这个系统有12个小振幅极限环。

在这12个小振幅极限环中有6个由焦点(0,1)分支出，另外6个由其对称的焦点(0,-1)分支出。

这个结果是迄今为止关于三次多项式系统极限环分支的最好结果。

但我们也看到该文的关于系统(2)的第五个和第六个个焦点量太长，以至无法在正文中表出，而且在极限环存在性的证明中采用了数值近似计算。

我们设想能否将这两点改进？在本文中，我们研究了如下的三次多项式系统的极限环分支问题：这里δ，(1,2,3,4,5)i A i =为实常数。

这个系统关于原点对称，且有两个对称的焦点(1,0)和(-1,0)。

通过奇点量和焦点量的计算，我们用两种方法证明了该系统有12个小振幅极限环，其一的精确地构造了Poincar é后继函数，导出该系统有2m(m=1，2，…，6)个小振幅极限环的一般结论，存在12个极限环则为结论中的一种情形；其二是用文[45]的极限环存在的一个充分条件定理，构造出半径加速递减的极限环，从而得出结论。

非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。

从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。

非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。

本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。

一． 实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。

二． 实验原理 ⒈分岔与混沌理论 ⑴ 逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。

考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。

逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。

迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。

④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。

⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。

以上这些特点可用图示法直观形象地给出。

逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。

图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1X 0X A X B⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。

混沌与分岔理论在一类金融风险系统中的应用研究作者：李博田瑞兰张炜华来源：《河北经贸大学学报》2018年第06期摘要：混沌與分岔理论是非线性动力学中的重要组成部分。

利用混沌与分岔理论对一类金融风险系统的非线性动力学行为及其稳定性展开研究，分析金融风险系统模型分岔图与相图可知，该系统存在复杂的动力学行为。

为此，选择不同参数组合下合适的控制强度参数，可为实现金融风险系统的平稳运行提供参考。

关键词：混沌与分岔;金融风险系统;非线性动力学行为;分岔图;相图;参数组合中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：1007-2101（2018）06-0095-07一、引言金融系统是国家经济运行的核心部分，如何维护金融系统的稳定运行以及对金融风险进行有效的预测与控制，既是政府部门宏观调控的重要目标，也是学者们研究的热点。

当前，金融系统处于不稳定的波动状态，这是由自身复杂性及其内外部因素共同作用的结果，其中，突发性的金融危机即是金融系统呈现出的一种典型的非线性反应。

传统的金融理论对非线性相互作用机制的忽视导致无法对金融系统进行有效的预测和控制，因此，以非线性动力学为基础的金融理论应运而生，并得到学者们的广泛关注与应用。

宋捷等通过运用非线性经济学重点对市场经济体制下的产销不平衡现象进行了分析[1];黄登仕等运用非线性经济学中的分形理论对金融系统中的寡头垄断市场的竞争与联合关系进行了深入分析[2];伍海华等运用非线性动力学中的分形与混沌理论深入研究了股票的价格分形维问题[3];涂润生等以非线性价值理论为基础对非线性经济学进行详细阐述[4];王凤兰等将非线性经济学知识运用到股票市场，从非线性动力学的视角分析股票市场并确定出影响股票价格波动的因素[5];樊重俊等提出将非线性定量分析运用到国际贸易中，并对与其相关的预测模型进行研究和评述[7];潘明运用非线性动力系统分析国防支出与经济增长之间的复杂关系并建立相关模型[9]等。