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等差数列前n 项和最值的求法根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n =na 1+2)1(-n n d=2d n 2+（a 1-2d ）n ，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，当a 1＜0，d ＞0时，Sn 有最小值。
下面以最大值为例，探讨求Sn 的最值的一般方法。
方法一：S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，d ＜0，S n 可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n 是S n 取得最大值的n 。
（注：若对称轴为212+n ，则S n 与S n+1同时取得最大值） 方法二：由⎩⎨⎧≥+001n a an ，解出n 的范围，从而确定此范围中的自然数n 。
方法三：设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大例1 等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，如果S 7=S 12，求数列{a n }前n 项和S n 的最大值。
分析：用上述三种方法分别求。
解法一：由S 7=S 12，得d=-91a 1，∴S n =na 1+21n （n-1）d=-181a 1（n-219）2+72361a 1。
故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法二：由S 7=S 12，得d=-91a 1，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=+=≥-=-+=+0)9(910)10(91)1(11111n a nd a a n a d n a a n n 得9≤n ≤10，故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法三：由S 7=S 12，得d=-91a 1＜0，知{a n }是递减的等差数列。
∵S 7=S 12，∴a 8+a 9+…+a 12=0∴5a 10=0，由此必有a 1＞a 2＞…＞a 10=0＞a 11＞…，故S 9=S 10并且最大。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。
微专题471．答案：7或8.解析：有条件得a n ＝40－5n 7，所以数列{a n }单调递减，而a 7>0，a 8＝0，a 9<0，所以，当n ＝7或8时，数列{a n }的前n 项和S n 最大．2．答案：1 024.解析：由条件解得：a 1＝16，q ＝12.故a n ＝25－n ，所以a 1a 2……a n ＝24＋3＋…＋(5－n )，故令a n ＝25－n ≥1，解得n ≤5，即有a 1>a 2>a 3>a 4>a 5＝1>a 6>…，所以a 1a 2……a n 的最大值为a 1a 2a 3a 4＝a 1a 2a 3a 4a 5＝24·23·22·21·20＝210＝1 024.(本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的性质．)3．答案：6.解法1由题意得a 6>0，a 7<0，由单调性可知S 6最大；解法2由S n 为n 的二次函数，S 12>0，S 13<0，可得，对称轴为x ＝k (6<k <6.5)，所以S 6最大．4．答案：(－1，－78)． 解法1由题意知，{a n }递减即d <0，且a 8>0>a 9，所以⎩⎨⎧a 8＝7＋7d >0，a 9＝7＋8d <0，解得－1<d <－78. 解法2因为S n ＝7n ＋n （n －1）2d 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 7<S 8，S 9<S 8， 即⎩⎨⎧49＋21d <56＋28d ，63＋36d <56＋28d ，解得－1<d <－78. 5．答案：19或1.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设d <0，由a 11a 10<－1，可知a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，故S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10>0，S 20＝20（a 1＋a 20）2＝20（a 10＋a 11）2<0，1与19到对称轴的距离相等，∴S 1＝S 19.所以n ＝19或1.6．答案：12.解析：数列{a n }是递减数列且a 6>0，a 7<0，则a 6<－a 7，a 6＋a 7<0，S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)<0，而S 11＝11a 6>0，所以使S n <0的n 的最小值是12.7．答案：[2－12，2－37)． 解析：b 1＝3，公差d ＝log 2q <0，S n ＝d 2n 2＋(3－d 2)n ，因为{b n }的前7项的和S 7最大，且S 7≠S 8，所以132≤－3－d 2d <172，所以－12≤d <－37，即q ∈[2－12，2－37)． 8．答案：当n ＝12或13时，S n 取得最大值为130.解法1因为S 10＝S 15，所以S 15－S 10＝0，即a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，也即5a 13＝0，所以a 13＝0，即a 1>a 2>…>a 12>a 13＝0>a 14>a 15>…，故当n ＝12或13时，S n 取得最大值为13（a 1＋a 13）2＝13（20＋0）2＝130. 解法2设公差为d .因为S 10＝S 15，所以10a 1＋10×92d ＝15a 1＋15×142d ，代入a 1＝20，得d ＝－53.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－56n 2＋1256n ＝－56(n 2－25n )，所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值为12a 1＋12×112×(－53)＝130.。
微专题47 等差数列的前n项和S n的最值问题例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S10＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n 7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n 7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．16n＋15(n≥2，n∈N*)．若对任意的n∈N*，总有S n≤S k，求正整数k的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分 又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分 所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．。
与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题教学讲义 例5 (文)(2018·福州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝10或11，S n 的最大值为55.[分析] 求出数列的公差，再根据通项公式或前n 项和公式求解．[解析] 解法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ， 所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.解法二：同解法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418. 因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 解法三：同解法一求得d ＝－1.又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.∴a 1>a 2>…>a 10>a 11＝0，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.例5 (理)(1)(2018·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2018·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0.∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…，∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法1知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1. ∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)(－213a 1)≥0，a 1＋n (－213a 1)≤0，解得132≤n ≤152. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝7或8； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为15；③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝10.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨 ☞求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(2018·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ．。
