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第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
中国科学院量子力学真题一、回答下列各问题（共30分）1．计算对易关系ˆ,L μν⎡⎤⎣⎦，其中,,,x y z μν=。
（4分） 2．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态和负宇称态（3分）3．粒子自旋处于/2z s =的本征态10α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求x s 和y s 的不确定关系：?=。
（5分） 4．粒子在宽为a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。
（3分）5．写出电子自旋z s 的二本征值和对应的本征态。
（2分）6．设粒子处于(,)lm Y θϕ状态下，求2()x L ∆和2()y L ∆（6分）7．计算下列对易式2(1),?(2),?d d x x dx dx ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
（4分） 8．何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？给出光学定理的表达式并说明它的意义。
（3分）二、（共10分）两个自旋1/2、质量为m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并度。
三、（共20分）已知氢原子在0t =时处于状态21311112(,0)()()()000333r r r r ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ψ=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，()n r ψ为氢原子的第n 个能量本征态。
求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0t >的波函数。
四、（共20分）一个一维无限深方势阱如图所示，在x =0和x =L 处有两个无限高壁，两个宽为a ，高为0V 的小微扰势垒中心位于/4x L =和3/4x L =处，a 是小量（例如/100a L ）。
试用一级微扰论计算修正后的基态能量值及2n =和4n =的能级差。
五、（共20分）在0t =时，处于势2212V x m x ω=（）中的粒子，由波函数,0()n n x x ψψ∑n （）=A描述，n ψ是能量本征态，()n n nn ψψδ''=，求（1） 归一化常数A ；（2） 给出0t >时，,x t ψ（）的表达式；（3） 证明2,x t ψ（）是一个周期函数，求出其最长的周期；（4） 求出0t =时，体系能量的平均值。
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。
[中国科学院2006研]【解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。
【解析】根据不确定原理有即因为所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。
令由得出所以基态能量为【知识储备】若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。
对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。
若[F，G]≠0，则有不确定关系或经常使用的关系式21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。
[中国科学院2006研]【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。
【解析】根据含时薛定谔方程令带入可得即上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得和所以对于令所以因此当时，相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。
【知识储备】 薛定谔方程：波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。
【拓展发散】当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。
22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。
中国科学技术大学2003年硕士学位研究生入学考试试题解析考试科目：量子力学一．【解答】对于一些定义性的题目,首先一定要结合自己的知识深刻把握题目中给出的定义, 然后按照其定义来解答题目就行。
对于本题来说,你要明确什么是厄密算符,厄密算符是满足一定关系的算符即(,)(,)A A φϕφϕ= 或A A += , 所以只要证明算符A a a =满足上述关系就能证明其是厄密的,然后再根据正定算符的定义来证明其是正定算符, 则题目解答完毕. 证明如下：1．设有任意矢量u ,v 则***u A v u a a v a v u a v aa u v A u ==== 厄密20u A u u a a u u a ==≥ 正定2．因为 ()()A A A A A A ++++++== ,即A A +满足厄密算符的定义,故其为厄密的。
再证明其正定性, 取A u w =, 则0u A A u w w +=≥, 即其也为正定算符！设n 为一表象的正交完备态集, 则有 ()nTr A A n A A n ++=∑, 再利用态的封闭性1nnn =∑, 得()nmTr A A n A m m A n ++=∑∑,2,0m nm nn A m m A nn A m+==≥∑∑当且仅当矩阵元0m A n =时等号才会成立, 这等价于算符关系式0A =。
3．对于这一类型的题目没有什么诀窍可言，只是我们平时遇到的多了，自然而然就知道该如何着手去解答了，通常情况下这种类型的题目都是简单的数学推导，只不过中间再加点量子力学的算符特点而已。
令函数()Ax Bxf x e e =， 并对x 求微分得：Ax Bx Ax Bx fAe e e Be x∂=+∂()()A xB x A x A x A xB xA xA xA e e eB ee eA eB e f x --=+=+利用公式 2[,][,[,]]...2!xAxAx e BeB x A B A A B -=+++ ,由于题目中已经给出[[,],][[,],]A B A A B B == ，故 [,]xA xA e Be B x A B -=+所以{}()[,]()fA B x A B f x x∂=++∂ 21ln ()()[,]2f x A B x x A B c =+++， c 为常数。
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学中科大课件 Q6讲稿第六章对称性分析和应用第六章对称性分析和应用§6.1 一般叙述1，对称性的含义对称性含义有广义和狭义两种：广义来说，Einstein说，“自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的！”追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。
常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展物理学。
Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。
”狭义来说，给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性，是对某种属性的不可观测。
这就是说，在某种操作或变换下系统依然保持不变，表现为系统的Hamilton量在这些变换下保持不变。
一般说，不同体系所具有的对称性不一定相同。
但是，所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换，必定构成此体系的一个对称群。
研究对称性的意义：第一，构造发展理论。
按Heisenberg的观点，“必须寻找的是基本对称性”。
第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法。
第三，简化一些计算。
不经求解dingerSchr 方程即可得到态及本征o值的某些知识。
包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。
2,量子力学中的对称性134无论就对称性的种类和程度来说，QM的对称性都高于CM中的对称性。
CM中存在的对称性QM中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，QM还存在一些CM中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。
然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性在CM中存在，但在QM中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。
这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏。
QM中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性。
从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则是近似成立的对称性。
QM中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格成立的基本对称性；而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕竟不是普适的。
