2007中科院量子力学试题A试题+答案

量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。

答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。

答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。

答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。

答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。

答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。

答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。

2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。

答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。

说明，这些都是个人搜集到的历年题目，把每道题的出现的年份题目都标注了。

可能有遗漏，但是老大尽力了。

比如，07-08-1，就是07-08年的第一题。

07-08-1,09-10-1，就是说这道题在07-08年的第一题，09-10年的第一题都出现了。

一次类推。

求轻拍。

07-08-1,09-10-1,13-14-11. 么正算符在什么情况下也是厄米算符？x•p 是否为厄米算符？利用对偶空间的概念说明厄米算符的本征值为实数。

（5分） 答：若U 为幺正算符，则有1-+=U U ,而任意厄密算符P 应有P P =+。

所以当算符U 满足1-=UU 时，它也是一个厄密算符。

（1分）p x *不是厄密算符：p x x p x p p x *≠*=*=*+++)( （1分）设a 为态矢|a >在厄密算符A 作用下得到的本征值，则*||,||A a a a a A a a >=><=< （1分） *||||a A a a a a a a a ∴<>=<>=<> （1分）也即*a a =，a 为实数。

（1分）07-08-2,13-14-32设方势阱中运动粒子的能量本征态波函数为n x 'φ（），求*nnn dx x x ∞=''''φφ∑⎰（）（） 解：*nnn dx x x ∞=''''φφ∑⎰（）（） = ∑⎰∞=>''><'<0'||n n x x n dx=>'''<'⎰x x x d | = )(x x ''-'δ07-08-3,09-10-2,10-11-1,13-14-33求对易关系2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦，其中,a b 为常数解： 对)(),(→→x F p G 做幂级数展开，lk m j n i lm n lm n l km j ni lm n lm n x x x bx F p p p ap G ∑∑==→→,,,,,,,,)(,)(由基本公式],[],[],[],[D A BC CD B A BCD A i p x +==，αββαδ 可得： lk m j n i ilk m j n il k m j n i i lk m j n i ilk m j n il k m j n i i x x x x i x x x i x x x p p p p p i p p p ni p p p x ∂∂-=-=∂∂==-- 11],[],[，由此可推得，)()](,[)()](,[→→→→∂∂-=∂∂=x F x i x F p p G p i p G x ii ii同理，将（2）中的bpx e e ,α换成上题中的即可得，)()(→→p G x F,ax bpe e x p ⎡⎤++⎣⎦= ],[],[x e p e bp ax + = ],[],[bp ax e x e p -- = bp ax e pi e x i ∂∂-∂∂= )(bp axbe aei -2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦=(x+p) 2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦+2,()ax bp e e x p ⎡⎤++⎣⎦(x+p)=}],{},{2-2[ax bp bp axe p a e x b bpe axei +-07-08-4,13-14-14若i 和j 为厄米算符A 的不同本征矢，在什么情况下，i +j 也是A 的本征矢？解：设ja j A i a i A j i ==，则有ja i a j i A j i +=+)(而若i+j也是A 的本征矢，则存在c 使得)()(j i c j i A +=+ 所以必须有ji a a c == 。

2006~2007郑州大学物理工程学院物理专业量子力(说明: 考试时间120分钟,共5页,满分100分)计分人： 复查人：一． 填空题（每题2分，共20分）1. 微观粒子具有 二象性, 德布罗意公式为E= , p= .2. 一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述, 那么在区间b x a ≤≤，发现这个粒子的几率是3．在0=t 时刻，一个一维谐振子处于基态和第一激发态的迭加态)(21)(21)(10x x x ψψ+=ψ，则能量的期待值是3. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 . 5. 对易关系=],[2x p x6.费米子组成的全同粒子体系的波函数是______________,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数是_________。

7．一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述，在动量表象相应的波函数为=),(t p c 8．电子自旋角动量满足的对易关系是=⨯S S 9．泡利不相容原理是指 10．线性谐振子占有数表象的产生与湮灭算符作用在谐振子能量本征函数上，有=+∧n aψ ，=∧n a ψ 。

二．选择题（每题只有一个答案是正确的，每题5分，共20分）1．设粒子处于态2021103121CY Y Y ++=ψ，ψ为归一化波函数，lmY 为归一化的球谐函数，则系数C 和∧z L 的期待值为. （A ）61，3 （B ）31，6 （C ）21，3 （D ）61，2．如果∧A 和∧C 是厄米算符，并且0,≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧C A 则下列是厄米算符为(A) ∧∧C A (B) ∧∧A C (C) ∧∧∧∧+A C C A (D) ∧∧∧∧-A C C A3. 假定角动量平方算符21ˆJ 和22ˆJ 的本征值分别为22 和243 ,如果J ˆ =1ˆJ +2ˆJ , 则可能是2ˆJ 本征值的选择为（A ）2243,2 （B ）2243,415 （C ）2245,411 （D ）22215,234．由5个无相互作用的玻色子组成的一维谐振子体系，其基态能量为（A ）ω 5 （B ）ω 25 （C ）ω )215(+ （D ）ω )2115(+三. 证明题（每题10分，共20分）1. 利用角动量之间的对易关系,证明在z J 的本征态m j ,中算符x J 和y J 的期待值x J =y J = 0.2. 利用坐标算符x 、动量算符x p ∧以及哈密顿算符Ĥ间的对易关系,证明在哈密顿算符)(212x V p H +=∧∧μ的本征态中动量算符的期待值0__=x p四. 计算题 (第1，2题13分,第3题14分，共40分)1．设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的期待值。

2007级材料物理(1) (2)《量子力学》试卷A 答案及评分标准一、填空（共25分） 1、1.220A (3分)2、21c ,22c (4分, 每空2分) 3、二度简并的(2分) 4、厄密算符 (2分) 5、球谐函数()ϕθ,lm Y (3分)6、xx i x P P x n nxx n∂∂=- ˆˆ (4分) 7、i s ;ˆ2ˆσ = (4分，每空2分) 8、1和3(3分) 二、简答题（共13分） 1、（7分）答： 量子力学中用波函数()t z y x ,,,ψ描述微观粒子的运动状态，波函数的统计解释是波函数是一种概率波，()2,,,t z y x ψ代表粒子在t 时刻在空间一点(x,y,z)处出现的几率。

波函数与声波和光波的主要区别在于波函数乘以一个常数，波函数描述的概率波不变，即其描写的粒子的状态并不改变；而声波和光波乘以一个常数后体系的状态完全改变。

2、（6分）答： 量子力学中的测不准关系是：2≥∆⋅∆x p x 。

其表明坐标和它所对应的动量的不确定度两者相互制约，其中一个量测量的越准确，另一个量就越测不准。

如果两个算符不对易，那么这两个算符没有共同的本征函数，因此这两个算符代表的力学量不能同时有确定值。

三、证明题（12分）1、（5分）证明：自由粒子平面波函数为()Et x P iPx x Ae-=ψ()x x P x Et x P ixp x P Ae dx d i P ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- ˆ，符合本征方程。

2、（7分）证明：设m 为ZL ˆ的本征态，与其相对应的本征值为 m ，则 m m m L Z =ˆ （1） （1）式的共轭式为m m L m Z=+ˆ （2） +=Z Z L L ˆˆ ∴（2）式改写为m m L m Z=ˆ 利用基本对易关系：X y Z Z y L i L L L L ˆˆˆˆˆ =- 在m态下求X L：m L m L X X ˆ=m L i m L i X X ˆ =m L L m m L L m L i y Z Z y X ˆˆˆˆ-= m L m m m L m m Z y ˆˆ -= 0= 0=∴x L四、计算题（50分） 1、（15分）解： (a)对BC-CB=iA分别右乘B 和左乘B ，利用B 2=1，得 BCB －CB 2 = BCB －C = iAB ① B 2C －BCB =C －BCB = iBA ② ①＋②得：AB+BA = 0类似有 AC+CA = 0 （5分） (b)由于A 2= 1，可知其本征值为1±。

量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。

答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。

答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学A卷一、在一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中运动的粒子受到微扰作用。

试求基态能量的一级修正。

(x) 中。

试证明粒子所受势场二、粒子在势场V(x) 中运动并处于束缚定态ψn作用力的平均值为零。

三、1．考虑自旋为的系统。

试在表象中求算符的本征值及归一化的本征态。

其中是角动量算符，而A，B为实常数。

2．假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。

四、两个无相互作用的粒子(质量均为m) 置于一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中。

对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。

1．两个自旋为的可区分粒子；2．两个自旋为的全同粒子。

五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。

不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。

2007年量子力学A卷参考答案一、解：能级，n=1，2，3…。

相应的能量本征函数为因此基态能量的一级修正为二、解：粒子所受势场作用的力算符为三、解：a) 设，则在表象中有设本征值为设为归一化的本征态，a2+b2=1，则由本征方程解得本征态为b) 在表象中的本征态为故发现的概率为。

四、解：a) 对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。

其基态：总能量为2F1，而波函数为，有4重简并。

第一激发态：总能量为E1+E2，其波函数为有8重简并。

b) 自旋的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。

故基态：总能量为2E1，波函数为，非简并。

第一激发态：总能量为E1+E2，波函数为四重简并。

其中，代表二粒子自旋单态，代表自旋三重态。

五、解：波函数可设为，则u(r) 满足约化径向方程，其中。

对于基态l=0，则方程变为，其中。

其通解为u(r) =Asin(kr+δ) ，。

由边界条件可以定解。

因此归一化的径向波函数为又由，最后求得归一化的总波函数为。

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值 几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场 积三、 证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆ,1111ˆˆˆˆ2222ˆˆˆˆ,,122a a p p p p p p i i x p p x +⎡⎤⎫⎫⎡⎤=-⎥⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎥⎭⎭⎦⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦=-=-其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分） （2）[],,,a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4分） （3）可以求得：)ˆxa a +=+)ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H xa a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭ （5分）四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分） 利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x x x a a ππψ=21cos x x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦22sin 2sin cos x x x a a a πππ⎤=+⎥⎦3sin sin xx a a ππ⎤=+⎥⎦3x x a a ππ⎤=+⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分） ()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33xx aπψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()229223,n i i iE t t t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎭⎭∑（4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭ （2分） （2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkknk nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEEEEE ==+=----∑（2分）2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n n n H H H aE EE E E E E E E ==+=----∑ （2分）22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H H b a E EEEEEEEEEE==+=+-----∑（2分）4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x ψ= ，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x ψ= ，本征值为z p -∞<<∞ （4分） （3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。

量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。

4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。

量子力学期末考试辅导一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。

能级分立。

非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。

能级分立。

2. 简并、简并度。

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。

把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。

解：()⎰∞Ω=022,,dr r r d P ϕθψ 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。

解：()ϕϕθψθθππd r d dr r P ⎰⎰=2022,,sin5. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。

写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。

解： ()⎰Ω=adr r r d P 022,,ϕθψ6. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

解：()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

解：!2,)()(2/22n A x H eA x nn n x n n ⋅==-πααψα,2,1,0,21=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n E n ω8. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。

解：能量本征值和本征波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ 9. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

宝鸡文理学院试题课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班本文档是我在淘宝0.8元购买的，求报销！！！填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。

２、波函数的标准条件为（ ）。

３、正交归一方程*m n mn u u d τδ=⎰的狄拉克表示为（ ）。

4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

5、zL L ˆˆ2和的共同本征函数为（ ）。

选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。

二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）１、Â与Ĉ对易，则两算符：(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：（1）1 (2) 2 (3) 3 (4)4 3、设线性谐振子处于0113()()()22x x x ψψψ=+描述的状态时，则该态中能量的平均值为（1）0 ; （2）75ω (3)52ω； （4）5ω 4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合（1）一定是定态 ; （2）不是定态 (3) 不能确定5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是：(1) Ψ322→Ψ300; (2) Ψ211→Ψ100; (3) Ψ322→Ψ21-1; (4) Ψ322→Ψ200;就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。

三、简述（每小题5分，5×4＝20分）1、光电效应实验的规律2、量子力学中态的叠加原理3、希尔伯特空间4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则第2题，厄米算符的这个证明熟悉四、推导证明题(每小题10分，10×2 ＝ 20分)1、求证在z l ˆ的本征态下0=x l 。

2、设G Fˆˆ和是厄米算符，若[]0ˆ,ˆ=G F ，证明G F ˆˆ也是厄米算府。

量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

第1学期《量子力学》（A 卷）参考答案及评分标准一、简答题（每小题4分，共32分）1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。

能级分立。

非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。

能级连续分布。

2. ）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解：()z L L ,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y 。

),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。

3. 给出如下对易关系： [][][][]?,?,?,?,====x yz xz yz L Lp L L y σσ解： [][][][]z x yyz xxz yz i L i L Lpi p L xi L y σσσ2,,,,-=-===4. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)2/,(r ψ及23)2/,(⎰-r r d ψ分别表示什么样的物理意义。

解：()22/,r ψ表示电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r处的几率密度；()232/,⎰-r r d ψ表示电子自旋向下（2 -=z s ）的几率。

5. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为 []001(1)(2)(1)(2)2χαββα=-自旋三重态为 []111011(1)(2)1(1)(2)(1)(2)2(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩6. 给出一维谐振子升、降算符a a 、+的对易关系式；粒子数算符N 与a a 、+的关系；哈密顿量H 用N 或a a 、+表示的式子；N （亦即H ）的归一化本征态。