中科院-量子力学-2012考研真题

a 2
中国科学院研究生院 2010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 811 ） 试题名称：量子力学（ 试题名称：量子力学（811 811）
ˆ、B ˆ 与泡利算符对易，证明： 一、 （1）设 A ˆ )(σ ˆ ⋅B ˆ ⋅B ˆ) = A ˆ + iσ ˆ) ˆ⋅A ˆ ⋅B ˆ(A (σ ˆ、σ ˆ 为单位算符。 ˆ x + iσ ˆ y ) 2 表示成 I ˆ x、σ ˆ y、σ ˆ z 的线性叠加， I （2）试将 ( Iˆ + σ
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
0 ⎤ ⎡1 λ ⎢ ˆ 三、 在 H = ⎢λ 3 0 ⎥ 中的粒子的本征值， 设 λ ≪ 1， 利用微扰求其本征值 （精 ⎥ ⎢0 0 λ − 2⎦ ⎥ ⎣ ⎧ 0, 0 < ϕ < ϕ0 ，求粒 other ⎩∞,
确到二级近似） ，并与精确求解相比较。
⎡ cos θ e −iωt ⎤ ⎡1 ⎤ ℏ 四、两个自旋为 的粒子，两个粒子分别为 X 1 = ⎢ ⎥ , X 2 = ⎢ ，求系统处 − iωt ⎥ 2 ⎣0 ⎦ ⎣ sin θ e ⎦
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩

811《量子力学》中科院研究生院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。

本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。

掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。

波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。

（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。

（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。

连续本征函数的归一化，力学量的完全集。

力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。

（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。

（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。

（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。

（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。

（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。

ˆ = 四、设系统哈密顿算符为 H ˆ2 p � + V (r ) ，粒子处于归一化的束缚定态 ψ n 中， 2m ⎧V0δ ( x ), ⎪ ⎩ ∞,
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p

a
当 m n时 2 a m x 2 xmn x s i n ( )dx a 0 a a 2
二 、 解 ： Pn 0 其 中 n0
1 n H ' 0 e i n 0 t d t 2 0 ( E n E 0 ) / n
2
n H ' 0 qE exp( x n = x 0 =
3
1/ 2
0
（ 3） ( ) N (1 H ') 0 , ( ) 0 N (1 H ')
( ) ( ) 1 N
2

1 1 2 H ' 0
2
H ' 0
2

1
2
1 H '2 0
E ( ) ( ) H ( ) ( ) H 0 H ' ( ) = 0 N (1 H ')( H 0 H ') N (1 H ') 0 N 2[E0 H '
0
0
+ 2 E 0 H '2
0
]
E0 由 E ( ) 0

2
2
2
[ H ', [ H 0 , H ']] H ' 0
2
1

2 H '2
2 2
0 0
[ H ', [ H 0 , H ']]

2a02 1 2 e E0
E ( ) E 0 2e a0
四、解： 1） [ J x , J y ] i J z ; [ J y , J z ] i J x ; [ J z , J x ] i J y ; J J iJ 2) m J x n 1 m Jy Jz JzJy n i 1 [ m Jy Jz n m Jz Jy n ] i 1 [n m J y n m m J y n ] i nm m Jy n i 1 m Jz Jx JxJz n i m n = m Jx n i nm m Jy n i nm m n . m Jx n i i (n m )2 m J x n 1 (n m )2 =0 m n 1 所 以 当 且 仅 当 m n 1时 ， m J x n 不 为 0 . 3） 在 （ J 2 , J z ) 表 象 中 ， J = 1 , m = - J , - J 1 , . . . . , J 1, J .所 以 m 0 , 1 . J z =， 相 应 的 1 本 征 态 为 1 0 ； J z =0， 0 0 1 1 1 2 ； J x =0， 2 ' 0 ； 2 1 1 0 1 ； J z =-， 0 J x =-， 0 1 0 1 1 1 3' 2 2 1

v v vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 详解 2.1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试卷名称：量子力学（理论型） 选做五题，毎题20分1、 一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。

（1） 后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2） 体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？ （3） 在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1） 计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-， （2） 证明（ξ为常数 ）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3） 化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。

5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。

扬州大学试题纸( 12 －13 学年第 1 学期)物理 学院 光科11、微电11 班(年)级课程 量子物理 (A )卷题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一．简答题（每题10分，共30分）1．量子力学中，微观粒子具有什么特性？微观粒子的状态由什么描述？其运动规律满足什么方程？2．力学量算符的本征函数具有什么特性？力学量算符的本征值与力学量的测量值之间有什么关系？在什么情况下，力学量的测量值是确定的？3．两力学量同时具有确定值的充要条件是什么？如果两力学量不能同时具有确定值，则测量这两个力学量的值的涨落满足什么关系？你知道量子力学课本中哪些现象例子可用这种关系来理解解释？学院___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________------------------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------二．证明题 (每题10分，共20分)1．已知算符αˆ、βˆ满足对易关系1ˆˆˆˆ=-αββα，证明： （1）βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-； （2）233ˆ4ˆˆˆˆβαββα=-。

2．已知力学量算符F ˆ的本征方程为n n n F F φφ=ˆ，对任意波函数ψ可有∑=nn n a φψ，证明：（1）τψφd a n n ⎰=*；（2）n nn F a d F 2*ˆ∑⎰=τψψ。

三．计算题 (每题10分，共50分)1．一粒子在一维有限深势阱⎩⎨⎧≤>>=ax ax U x U ,0,0)(0中运动， （1）求：当粒子能量0U E >时，阱外即a x >区间的波函数形式；（2）讨论说明为什么0U E >时不可能有束缚态，0U E <时才可能存在束缚态。

中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）中国科学院——中国科技大学2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）一、（10分）设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动()()()?<<><∞=a x a x x x V 00,0 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

二、（10分）设一个质量为m 的粒子束沿正x 方向以能量E 向x=0处的势垒运动()()()>≤=04300x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x=0处被反射的反射系数是多少？三、（20分）1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q和动量算符p ?，并推导其间的对易关系。

2、在动量表象中做1所要求做的问题。

四、（20分）设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V 中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。

1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V 在此态中平均值〈V 〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。

2、设V(r)为r 的单调上升函数（即对任意r,0>drdV ）。

试证明：对任意给定的r 0，均有 ()[]()022<-?dr r r R V r V ro o ，其中R(r)是径向波函五、（20分）设一个质量为m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有 ()mh X E Enm n m n 222=-∑ ,其中E 为能量，x 为坐标。

六、（20分）设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘，其中H ’为微扰。

在一个由正交归一函数作为基的表象中。

2.(25分)在薛定谔方程 中，若 不含时间，则方程的特解可以写为 ，请推导 以及 遵从的方程，解出 的表达式并用以写出 的表达式。
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3.(25分)考虑在一维空间中运动的质量为 的微观粒子，它的势能为
请求出粒子能量的表达式。
4.(20分)已知 请证明：
第2页，共2页
2012年硕士研究生招生入学考试试题（A）
科目代码及名称: 620量子力学适用专业：理论物理、凝聚态物理
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一、填空题（每题10分，共60分）：
1.、等现象揭露了光的波粒二象性。(10分)
2.量子力学中用描写微观体系的状态。(10分)
3.设 是体系可能的状态，那么，这些态的线性迭加也是体系的一个可能状态。(10分)
4.波函数应满足三个基本条件：、、。(10分)
5.量子力学中的力学量用表示，这些算符则表示这个力学量的算符由经典表示式中将三维空间的动量 用算符代换得出。(10分)
二、计算或证明题：
1.(20分)已知在坐标表象中，坐标算符 ，动量算符 ，请利用算符对任意波函数 作用来证明对易关系： 。

中国科学院研究生院2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：理论力学考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、（共10分）如图所示，压路机的碾子重20Q =(kN)，半径40r =(cm)。

用通过其中心的力F 将此碾子拉过高h 为8(cm)的石块， (1) 如果F 为水平力，求该力的大小；(2) 如果要使作用力F 最小，问应沿哪个方向拉？并求此最小力的大小。

二、（共10分）如图所示，一质点以不变的相对速度r v 沿圆锥体的母线OB 向下运动，圆锥体以角速度ω绕OA 轴作匀速转动，AOB α∠=。

已知当0t =时，质点位于0M 处，0OM b =，经过时间t 后，质点到达M 点，求此刻该质点的绝对加速率。

三、（共15分）一物体从地面以初速度0v 竖直上抛。

假设重力不变，空气阻力的大小与物体速度的平方成比例，即2R kmv =，其中k 为比例常数，m 为物体的质量，试求该物体返回地面时的速度。

四、（共15分）一个质量为1m 的人手上拿着一个质量为2m 的物体，此人以与地面成α角的速度0v 向前跳出，当他达到最高点时将物体以相对速度u 水平向后抛出。

不计空气阻力，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少。

五、（共15分）如图所示，重为1P ，半径为r 的圆柱体A 与重为2P 的物块B 由绕过定滑轮C 之软绳互相连系，且放在不光滑的斜面上。

设接触面间的滑动摩擦系数为f ，滚动摩擦系数为δ，且知/r f δ<。

绳及滑轮的重量及轴承间的摩擦均略去不计，软绳各直段及力Q 均与斜面平行。

试求能使系统开始运动的力Q 。

六、（共15分）下图表示连续印刷过程。

纸厚为b ，以匀速v 水平输送。

试以纸盘半径r 表示纸盘的角加速度。

七、（共15分）如图所示，均质圆柱体半径为r ，质量为m ，放在粗糙的水平面上。

设其质心C 的初速为0v ，方向水平向右；同时有图中所示顺时针方向的转动，其初角速度为0ω，且00r v ω<。

θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩

(A) 0.8571
(B) 0.1273
(C) 0.9353
(D) 0.0647
科目名称： 物理化学（甲）
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7．浓度都是 0.001 mol·kg-1 的不同溶质的水溶液，下列哪个溶液的沸点最低： (A) KNO3 (B) HAc (C) Na2SO4 (D) 蔗糖
8．电化学体系中达到相平衡的条件是该组分在： (A) 两相的电势相等 (C) 两相的电化学势相等 9．分配定律适用下列哪个体系： (A) I2 溶解在水与 CCl4 中 (C) Na2SO4 溶解在水与苯中 (B) Na2CO3 溶解在 CCl4 与苯中 (D) Br2 溶解在乙醇与水中 (B) 两相的化学势相等 (D) 两相的电极电势相等
误用“”表示）
1．理想气体的标准平衡常数与经验平衡常数的关系为 K p K p2．在标准压力 p下，某物质的标准摩尔生成 Gibbs 自由能等于由最稳定的单 质生成 1 mol 该物质时的标准 Gibbs 自由能变化值，用符号 f G m 表示。 3．一种分布就是一种微观状态，而且只是一种微观状态。 4．配分函数的析因子性质适用于任何独立粒子体系。 5．转动配分函数计算式中的对称数是对粒子等同性的修正。 6．卡诺循环过程热温商之和为零是因为它是由可逆过程组成的循环。 7．就溶剂极性对反应速率的影响来说，如果生成物的极性比反应物大，则在 极性溶剂中反应速率会变小； 反之， 如果反应物的极性比生成物的极性大， 则在极性溶剂中的反应速率必变大。 8．对于基元反应，其反应级数和反应的分子数是相同的。 9．表面能和表面张力的单位不同，但二者量纲相同、且描述的是体系的同一 个性质。 10． (H n i ) S,p,n 是化学势。
j i
11．醋酸的极限摩尔电导率数值是根据 Kohlrausch 经验公式外推得到的。 12．不论是否两相平衡，只要能使混合物分成组成不同的两个部分，两者之 间皆可用杠杆规则进行物料衡算。