811《量子力学》 - 中国科学院

一．一质量为μ的粒子在一维无限深势阱中运动，势能为ax x a x x V ><≤≤⎩⎨⎧∞=或0,0,0)(（1）求粒子的能级和归一化波函数.（2）画出处于第二、第三激发态的粒子概率密度示意图.（3）求坐标算符在能量表象下的矩阵元.解析：（1）归一化能量本征态和本征值：a x n a x n πϕsin 2)(=，22222n a E n μπ =，其中...3,2,1=n （2）a x a x P π2sin2)(22=，axa x P π3sin 2)(23=，（3）dxa x n m a x n m x adxe e e e x adxie e i e e x a dx axn a x m x anx m x a a x n m i a x n m i a x n m i a x n m i a a x in a x in a x im a x im a a mn ]}/)cos[(]/){cos[(1][21222sin sin2/)(/)(/)(/)(0////0ππππππππππππ--+-=--+-=--===⎰⎰⎰⎰---+-+--用到积分公式：)1(cos )()/sin()/cos(2-=-=⎰⎰πππππn n a dx a x n n a dx a x n x aa，则]1)1[()(]1)1[()(]1)[cos(])([1]1)[cos(])([1]}/)cos[(]/){cos[(12222220---+--+-=---+-++-=--+-=-+⎰mn m n amn n m a m n a m n n m a a m n m n a a dx a x n m a x n m x a x ππππππππ二．质量为μ的一维谐振子，带电量q ，初始-∞=t 时处于基态0.设加上微扰22/τtqExe H --='，其中E 是外电场强度，τ为参数。

（3）化简算符*七&«’
（4）化简算符
三、（共30分）…个无自旋的波函数i/J = k{x + iy +2z）e_ar,r = ^x2+y2+z2,其中a为常数。球谐函数= g,Y：= RcosO,
.回
(1)求粒子的总角动量；
(2)求角动量工的期望值及测得Lz=h的概率；Q
⑶求发现粒子在伊叩)方向上立体角内的概率。.
（2）证明对于定态，动量期望值为0；
（3）如果粒子在，=0时刻处于定态，则，以后时刻将永远处于定态。
二、（共30分）设波函数叭苫）=忐厂植,而£, &分别为X方向的 坐标和动量算符，其中月为实常数。
（1）证明“（X）是否为V的归…化本征态；
⑵证明〈xk'""=〈x'+a|及.而"）=|3〉，其中。为实常数；
四、(共30分)
1Al_
(1)…个电子在，=0时刻处于自旋％ =丄 ・在，＞0时刻，外加一
3k Z丿
磁场B=々(sinOR +cosQ«),此时电子的Hamilton量为H=-2jubS-B,其中U为自旋算符，用为玻尔磁子，求粒子在任意时刻，的波函数；
(2)考虑两个自旋为1/2的粒子处于磁场中，此时系统Hamilton量为H=acylz+bcy2z+c0cr}-cr2,其中a,b,co为常数，’为泡利算符，前两 项为粒子处于磁场中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用 能，求系统能級。
八2
五、(共30分)考虑…维谐振子的Hamilton量为H=丄+ '点
2m2
(1)用不确定关系计算体系能量下限；
(2)取基态试探波函数iff(x,0) = Ae一时，用变分法求基态能量和屁

（2）取基态试探波函数 (x, ) Ae x2 ，用变分法求基态能量和 ；
(3) 用升降算符和基态波函数描述第一激发态；
（4）对于三维谐振子，第一激发态三重简并，此时受微扰 H bxˆyˆ ，微扰矩阵可写成
H

b 2m 2
0 1 0
1 0 0
0 0 ，写出能级分裂. 0
中国科学院大学
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．考虑一维束缚态，
（1）证明 (x, t) (x, t) 不随时间变化，此时的 不必是定态；
（球谐函数： Y00
1, 4
Y10
3 4
cos
,
Y11
3 sin ei 8
）
1
(1) 求粒子的总角动量；
(2) 求角动量 Lˆz 的期望值及测得 Lz 的概率；
(3) 求发现粒子在 ( ,) 方向上 d 立体角内的概率.
四 ． (1) 一 个 电 子 在
H aˆ1z bˆ2z c0ˆ1 ˆ2 ，其中 a, b, c0 为常数，ˆi 为泡利算符，前两项为粒子处于磁场
中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能，求系统能级.
五．考虑一维谐振子的哈密顿量为 Hˆ pˆ 2 1 k xˆ2 ： 2m 2
（1）用不确定关系计算体系能量下限；
20 同样插入完备性公式：
eipˆ / x eipˆ / p dp p x
1 2
ei( x) p /

811量子力学参考书目
【最新版】
目录
1.量子力学概述
2.811 量子力学参考书目
3.量子力学的发展历程
4.量子力学的基本原理
5.量子力学的应用领域
正文
量子力学是一门物理学分支，研究物质的微观结构，探究原子、分子和基本粒子的本质特征。

在量子力学中，物理量如能量、动量、角动量等表现为量子化的特征，即它们只能取离散的值。

811 量子力学参考书目涵盖了量子力学的主要内容，包括基本原理、数学工具、实际应用等。

量子力学的发展历程可以追溯到 20 世纪初，当时科学家们发现了原子光谱线的规律性，从而提出了量子假说。

随后，波粒二象性原理、测不准原理等重要概念相继被提出，量子力学的基本框架逐渐形成。

经过几十年的发展，量子力学已经成为现代物理学的基石之一。

在量子力学中，有一些基本的原理和概念，如波函数、薛定谔方程、角动量等，这些概念和原理为研究微观世界提供了理论基础。

同时，量子力学也有一系列的数学工具，如哈密顿算符、矩阵力学等，这些工具帮助我们更好地理解和描述微观世界。

量子力学在很多领域都有广泛的应用，如计算机科学、通信技术、材料科学等。

在计算机科学中，量子计算机的研发已经成为一个热门领域，量子计算机利用量子比特进行计算，可以大幅度提高计算速度。

在通信技术中，量子密钥分发等技术已经开始商用，可以提供更加安全的通信方式。

在材料科学中，量子力学可以帮助我们理解材料的微观结构和性质，从而设计和制备新的材料。

总的来说，811 量子力学参考书目为我们提供了一份全面、系统的量子力学学习指南，帮助我们深入理解量子力学的基本原理和应用。

中国科学院研究生院2015年招收硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学（811）考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计为180分钟。

所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、一个质量为µ的粒子在一个一维的盒匣()0x L <<里自由运动，波函数()x ψ满足条件()()()()0'0'L L ψψψψ==，1）求系统的能级2）将第一激发态写成归一化动量本征态的组合形式，并给出当p <>为0时，组合系数满足的条件二、一个三维简谐振子受到微扰()22'H xyz x y y x λ=++的作用，试用微扰论求系统的基态能量，并精确到2λ量级。

三、两个粒子的自旋分别为12,s s ，相对取向为n ，设两个粒子的相互作用为()()1212=3H s n s n s s ××-×，记12s s s =+，证明：1）2212s 3=24s s ×-ℏ，()()()22121=24s n s n s n ×××-ℏ2）[]0H s =，四、一个质量为µ的粒子在势场(){ 0 0x V x Bx x ¥£=>中运动1)用变分法求基态的能量可以选取下列的哪个作为近似波函数，并说明理由a)/x a e -，b)/x a xe -，c)/1x a e --()a 为变分参数2)用所选的近似波函数求基态能量。

五、一个二能级系统，哈密顿量为：()()01020=0E H E éùêúêúëû()()()0012E E <当0t =，系统处于基态，当0t >时，开始受到的微扰0'=0H λλéùêúêúëû1）求0t >时，系统跃迁到激发态的概率()02()E P t （精确值）2）用含时微扰论重求上题的概率，与精确值对比，指出结果成立的条件。

中国科学院大学2020考研大纲：811量子力学中国科学院大学2019考研大纲已公布，考研大纲频道为大家提供中国科学院大学2019考研大纲：811量子力学，更多考研资讯请关注我们网站的更新!中国科学院大学2019考研大纲：811量子力学中国科学院大学硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院大学物理学相关各专业(包括理论与实验类)硕士研究生的入学考试。

本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。

掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

一.考试内容：(一)波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。

波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化。

能量本征值方程，定态与非定态。

态叠加原理，测量与波包的塌缩。

(二)一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振。

d-势的穿透和d-势阱中的束缚态，一维谐振子。

(三)力学量用算符表示各种算符的定义及算符的运算规则。

厄米算符的本征值与本征函数。

不确定关系，共同本征函数，对易力学量的完全集。

箱归一化，连续本征函数的归一化。

力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。

波包的运动，Ehrenfest定理。

薛定谔-图像与海森伯-图像。

(四)中心力场和电磁场中粒子的运动两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维谐振子，氢原子及类氢离子。

电磁场中的薛定谔方程，电磁场的规范不变性。

正常Zeeman效应，Landau能级。

(五)量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，一维谐振子的占有数表象。

一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。

波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。

（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，δ--函数和δ-势阱中的束缚态，一维简谐振子。

（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。

连续本征函数的归一化，力学量的完全集。

力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。

（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。

（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。

（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。

（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。

（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。

（九）多体问题全同粒子系统，氦原子，氢分子。

二．考试要求：（一）波函数和薛定谔方程1．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实，2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。

深入理解波函数的概率解释。

3．理解态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义． 4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。

深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。

了解连续性方程的推导及其物理意义。

（二）一维势场中的粒子1．熟练掌握一维薛定谔方程边界条件的确定和处理方法。

eax2 dx
,a 0） a
（1）求 t 0 时刻动量表象波函数~(k, t) 及粒子动量几率分布 (k, t) .
（2）求 t 0 时刻波函数 (x, t) ,以及坐标位置几率分布 P(x, t) .
（3）简述粒子动量几率分布 (k, t) 及位置几率分布 P(x, t) 随时间演化的特性.
中国科学院大学
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试参考答案
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．质量为 的粒子在无限深球方势阱
V
(r)

0
ra ra
中运动，
（1）写出径向波函满足的方程.（ 2

1 r
2 r 2
r

lˆ2 2r2
）
（2）求其中 l 0 的归一化能量本征函数和能量本征值.
二．考虑一质量为 的自由粒子的一维运动，设初始时刻波函数为

( x,0)

(
) e 1/ 4 ik0x
x2 / 2 ，（
k0
，
为实常数；
从而
k n ， a
能级
En

2 2
k2

2 2
( n a
)2
，
Rn (r)

A sin( nr ) ra
总的波函数
n00 (r, , )

Rn (r)Y00 ()

A sin( nr ) ， ra
归一化：
a 0
A2 r2

θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩

解析： （1）非全同粒子体系的波函数是三个粒子的直积态：
ψ1 = ψa（1） ψb（2）ψc（3）， ψ2 = ψa（1） ψb（3）ψc（2）， ψ3 = ψa（2） ψb（1）ψc（3）， ψ4 = ψa（2） ψb（3）ψc（1）， ψ5 = ψa（3） ψb（2）ψc（1）， ψ6 = ψa（3） ψb（1）ψc（2）.
e （3）证明算符 iLˆy =1-i Lˆy sinλ-（1-cosλ） Lˆ2y ； e （4）写出算符 iLˆy 在( Lˆ2 , Lˆy )表象中的矩阵表示。
解析： （1）L = 1，Ly =
1 0 - i 0
2
i 0
0 i
-i 0
0 - i 0 0 - i 0

i5 5!
Ly

6 6!
L2y ...

1
iL y
( 1!

3 3!

5 5!
...)

L2y
(
2 2!

4 4!

6 6!

...)
1 iL y sin L2y (cos 1)
（4）在( Lˆ2 , Lˆy )表象中 Ly =
1 0 0 0 0 0 0 0 -1
*[3/5exp(-iw t / 2)ψ0(x)+4/5exp(-i3w t / 2)ψ1(x)]
=1/25*[ 9∣ψ0(x)∣² +16∣ψ1(x) ∣²+ 24ψ0(x) ψ1(x) cos(wt) ].
(3) 能量可能值为 E0 = ħw/2 , E1 = 3ħw/2； 相应的概率为 P0 = 9/25 , P1 = 16/25；

811量子力学参考书目摘要：I.引言- 介绍量子力学的背景和重要性II.量子力学基本概念- 波粒二象性- 波函数和薛定谔方程- 测量问题和不确定性原理III.量子力学模型和理论- 粒子在势阱中的量子行为- 量子谐振子- 量子力学中的对称性和守恒定律IV.量子力学应用- 量子比特和量子计算- 量子隐形传态和量子密码- 量子力学在固体物理中的应用V.量子力学发展历程- 量子力学的发展简史- 重要量子力学理论家和实验家VI.结论- 对量子力学的评价和展望正文：I.引言量子力学是现代物理学的一个重要分支，自20 世纪初诞生以来，它不仅深刻地改变了人类对微观世界的认识，也催生了许多高精尖技术，如半导体、核磁共振、激光等。

在我国，量子力学的研究也取得了举世瞩目的成果，如墨子号量子科学实验卫星等。

本文将简要介绍量子力学的基本概念、理论模型、应用以及发展历程。

II.量子力学基本概念量子力学的基础是波粒二象性，即微观粒子既有粒子特性，又有波特性。

描述粒子波动特性的物理量是波函数，它满足薛定谔方程。

量子力学中的测量问题涉及到波函数坍缩，而不确定性原理则揭示了粒子位置和动量之间存在的本质联系。

III.量子力学模型和理论量子力学模型包括粒子在势阱中的量子行为、量子谐振子等。

在这些模型中，我们可以观察到量子力学中的对称性和守恒定律，如时间反演对称性和能量守恒。

IV.量子力学应用量子力学在许多领域都有广泛应用，如量子计算、量子通信、量子隐形传态和量子密码等。

其中，量子计算利用量子比特进行信息处理，理论上可以实现比经典计算机更强大的计算能力；量子通信则利用量子隐形传态实现超距离的信息传输，量子密码则提供了一种理论上绝对安全的通信手段。

V.量子力学发展历程量子力学的发展历程曲折而富有成果。

从普朗克提出量子化概念，到爱因斯坦解释光电效应，再到波尔、薛定谔、海森堡等科学家建立量子力学体系，这一理论经历了多次变革和发展。

我国在量子力学研究方面也取得了骄人成绩，如潘建伟等科学家的杰出贡献。

811量子力学参考书目摘要：一、引言二、量子力学的概念与历史发展1.量子力学的起源2.量子力学的基本原理三、量子力学的重要理论1.波函数2.薛定谔方程3.测量问题四、量子力学的应用领域1.基本粒子物理学2.原子物理学3.分子物理学4.凝聚态物理学5.量子计算与量子通信五、量子力学的前沿发展与挑战1.量子力学与引力的统一2.量子力学的解释与哲学问题3.量子计算与量子通信的未来发展六、结论正文：量子力学是现代物理学的重要分支，自20世纪初诞生以来，已深刻地改变了人类对微观世界的认识。

本文将简要介绍量子力学的概念、重要理论和应用领域，以及前沿发展与挑战。

一、引言量子力学源于20世纪初，由马克斯·普朗克、尼尔斯·波尔、路易·德布罗意等科学家创立。

量子力学揭示了原子、分子和基本粒子等微观世界的规律，是现代物理学的基础。

二、量子力学的概念与历史发展1.量子力学的起源量子力学的起源可以追溯到马克斯·普朗克于1900年提出的量子化概念，即能量以离散的量子形式传递。

这一概念为解决经典物理学中的黑体辐射问题提供了突破口。

2.量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括波函数、薛定谔方程和测量问题等。

波函数是描述量子系统状态的数学表达式；薛定谔方程是描述波函数演化的基本方程；测量问题是量子力学中一个核心的哲学问题，涉及到波函数坍缩和观察者的作用。

三、量子力学的重要理论1.波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的关键概念，它是一个复函数，表示在空间中某一点的粒子出现的概率。

2.薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了波函数随时间演化的规律。

通过求解薛定谔方程，可以得到量子系统的各种性质。

3.测量问题测量问题是量子力学中的核心问题，涉及到波函数坍缩和观察者的作用。

测量问题的解决在一定程度上揭示了量子世界与经典世界的区别。

四、量子力学的应用领域1.基本粒子物理学量子力学为基本粒子物理学提供了理论基础，揭示了原子核和基本粒子的组成和相互作用。

⑴ 求Ho的本征值及对应波函数“(X);Ga
(2)能量微扰H，= 43(x),求出能量的一级微扰和波函数的一级微扰；
(3)严格求解H = H0+ H'的能量方程，并在—的近似下讨论该结
mL
果与瓦的基态、本征值的关系。;
五、(共30分)对于三电子系统，它们的自旋Hamilton量可表示为
有2&如稣勇+反商+¥¥+3；+尊厲)-疝，其中：云表示 第，个粒子在a方向上的自z方向上的算符。’
(1)求出算符的本征值的最大和最小值；*
⑵求［豆，矶和［另,有；“
(3)求出算符方的所有本征值。""0
三、(共30分)角动量混的量子数/=1(取力=1).
(1)写出在(]2£)表象。的矩阵表示；
(2)证明f=£；
(3)证明e~aLy= \-iLysin 2-(1- cos人)2「；
(4)写出「房在疽匕)表象下的矩阵表示。
四、(共30分)一质量为秫的粒子处于无限深方势阱中(Y<x<§,
能量算符为盆.1”
(1)求归一化系数；
(2)求材(X,/),k(X,"2；
(3)求能量的可能取值、相应的概率及能量平均值。
二、(共30分)三粒子体系的每个粒子均处于单粒子态，波函数分别为
"Wb"
(1)若三个粒子均为自旋为0的非全同玻色子，求波函数；
(2)若三个粒子均为自旋为0的全同玻色子，求波函数；
(3)若三个粒子均为1/2全同费米子，自旋均向上，求波函数。
中国科学院大学
科目名称：量子力学考试时间:三小时满分:150分
科目代码：811适用专业：物理学院相关专业等