人教B版高中数学选修1-2创新设计练习3.1.2.2复数的几何意义(含答案详析)

3.1.2 复数的几何意义一、基础过关1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限()A．一B．二C．三D．四[答案] D[解析]由i2＝－1，z＝3－i，对应点坐标为(3，－1)．2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析]∵0<m<1，∴m＋1>0，－1<m－1<0，故对应的点在第四象限内．3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．虚轴除去原点 [答案] B[解析] a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i[答案] A[解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．[答案] 2<k <6或－6<k <－2[解析] ∵z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－6<0，4－k 2<0， ∴2<k <6或－6<k <－2.7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |.解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，二、能力提升8．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] ∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0. ∴选B.9．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点[答案] C10.设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B . cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0， 所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.11．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．[答案] 2 512．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.[答案] 2[解析] ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，13.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0， ∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.14.已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.三、探究与拓展15．(1)满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆[答案] C（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值为________． [答案] 3[解析] ∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y x表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为 3.。

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课时自测·当堂达标1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.2.若=(0,-3),则对应的复数为( )A.0B.-3C.-3iD.3【解析】选C.由复数的几何意义可知对应的复数为-3i.3.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )A.a≠2或a≠1B. a≠2或a≠-1C.a=2或a=0D.a=0【解析】选C.由题意知a2-2a=0,解得a=0或2.4.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为________.【解析】由3-4i=x+yi(x,y∈R),得x=3,y=-4,而|1-5i|==,|x-yi|=|3+4i|==5,|y+2i|=|-4+2i|==.因为<5<,所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|5.在复平面内指出与复数z1=-1+i,z2=2-i,z3=-i,z4=+3i对应的点Z1,Z2,Z3,Z4,然后在复平面内画出这4个复数对应的向量.【解析】由题意知Z1(-1,),Z2 (2,-1),Z3(0,-1),Z4(,3).如图所示,在复平面内,复数z1,z2, z3,z4对应的向量分别为,,,.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

重视基础题和领悟数学思想方法，多做综合题目。

3．1.2复数的几何意义基础梳理1．复平面．(1)定义：成立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．(2)实轴： x 轴叫做实轴．(3)虚轴： y 轴 (除掉原点 )叫做虚轴．2．复平面内的点与复数的对应关系．(1)实轴 ? 实数．(2)虚轴 (除原点 )? 纯虚数．(3)各象限的点 ? 非纯虚数．3．复数的两种几何形式(点 Z 的横坐标是a，纵坐标是b)．(1)复数 z＝ a＋bi( a， b∈ R)? 点 Z(a， b)．→．(2)复数 z＝ a＋bi( a， b∈ R)? 向量 OZ4．复数的模．→向量 OZ的模叫做复数z＝ a＋ bi(a， b∈ R)的模，记作 |z|＝a2＋ b2．若 b＝ 0，那么 z＝ a ＋b i( a， b∈ R)是一个实数，它的模等于 |a|．基础自测1．复数 2－ 3i 对应的点在直线 (C)A ． y＝ x 上B．y＝－ x 上C．3x＋ 2y＝ 0 上D． 2x＋ 3y＝ 0 上分析： 2－ 3i对应的点 (2，－ 3)，知足方程3x＋2y＝ 0.应选 C.→→2．若 OZ ＝(0 ，－ 3)，则 OZ对应的复数(C)A．等于 0B．－ 3C．在虚轴上D．既不在实轴上，也不在虚轴上→分析： OZ 对应的复数为－3i，在虚轴上．应选 C.3．在复平面内，复数1－i 对应的点与原点的距离是2．分析： 1－ i 对应的点为Z(1，－ 1)， |OZ|＝ 2.（一）复平面(1)依据复数相等的定义，任何一个复数z＝ a＋ bi(a、b∈ R)，都能够由一个有序实数对(a， b)独一确立．因为有序实数对(a， b)与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系．(2)基本观点．①复平面：成立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．②实轴：坐标系中的x 轴叫实轴．在它上边的点都表示实数．③虚轴：坐标系中的y 轴叫虚轴．除掉原点外，在它上边的点都表示纯虚数．注： (1)习惯上，用大写字母Z 表示点，小写字母z 表示复数．(2)复数 z＝ a＋bi 用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点Z 的坐标是 (a，b) ，而非 (a，bi) ．比如，复平面内的点 (－ 2， 3)表示复数－ 2＋ 3i；反之，复数－ 2＋ 3i 对应复平面内的点的坐标是 (－ 2，3)．（二）复数的几何意义(1)复数与点对应．每一个复数，有复平面内独一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．所以，复数集 C 和复平面内全部的点所成的会合是一一对应的，即一一对应复数 z＝a＋ bi复平面内的点Z(a，b) ．(2)复数与向量的应用．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都能够用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．设复平面内的点Z 表示复数 z＝ a＋ bi ，连结→OZ，向量 OZ是由点 Z独一确立的；反过来，点Z 也能够由向量→C 与复平面内的向量OZ 独一确立．所以，复数集所成的会合也是一一对应的，即一一对应→复数 z＝a＋ bi平面向量 OZ.注： (1)复数与向量成立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不可以成立一一对应关系．(2)常把复数 z＝ a＋ bi 说成点 Z(a，b)或说成向→量OZ .(3)规定：相等向量表示同一复数．（三）复数的模(1)→叫做复数 z＝ a＋bi 的模，记作 |z|或许 |a＋ bi|.定义：向量 OZ的模 r(2)→22求法： |z|＝ |OZ|＝a＋ b .(3)模的几何意义：模的几何意义就是复数z＝a＋bi 所对应的点 Z(a， b)到原点 (0， 0)的距离．注： (1)实数 0 与零向量对应，故复数0 的模为 0.(2)模相等的两个复数未必相等．比如，|i |＝ 1＝ |－i |，但明显 i≠－ i .→1．复数 z＝ a＋ bi(a、 b∈R)与点 Z(a，b)及向量 OZ的一一对应关系以以下图所示．2．由复平面内合适某种条件的点的会合求其对应的复数时，往常是由对应关系列出方程( 组)或不等式(组 )，求得复数的实部、虚部的取值(范围 )来确立所求的复数．3．复数z＝ a＋ bi的模 |z|＝a2＋ b2，从几何意义上理解，表示点Z(a， b)和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－ z2 |表示复数z1和z2对应的点Z1和Z2之间的距离．4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，而后再利用复数模的计算公式进行计算．因为复数的模是一个实数，所以复数的模能够比较大小．3－4i1．复数 z＝5(i 为虚数单位 )在复平面内对应的点所在的象限为(D)A 第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数 z＝2－ i2对应的点在复平面的(B)A ．第一象限内B．实轴上C．虚轴上 D ．第四象限上3． (2013 重·庆卷 )已知复数 z＝ 1＋ 2i(i是虚数单位 )，则 |z|＝ 5．a2－ a－2i(a∈ R)对应的点 Z：4． a 取何值时， z＝ ( a2－2a－ 8)＋a＋ 1(1)在复平面的x 轴的下方？(2)在直线 x＋ y＋ 8＝ 0 上？2a － a－ 2分析： (1)点 Z 在复平面的x 轴的下方，则＜0? a＜2，且a≠1.a＋1∴ a＜ 2，且 a≠－ 1 时，点 Z 在复平面的x 轴的下方．(2)点 Z 在直线 x＋ y＋ 8＝ 0 上，则a2－ 2a－ 8＋a2－ a－ 2a＝ 2.＋ 8＝ 0? a3－3a－ 2＝0? a2－ a－ 2＝0(a≠－ 1)?a＋ 1∴ a＝2 时，点 Z 在直线 x＋ y＋ 8＝ 0 上．1．复平面中以下哪个点对应的复数是纯虚数A．(1， 2) B．(－3，0) C．(0， 0)D． (0，－ 2)(D)2．已知复数z＝ (m－ 3)＋ (m－ 1)i的模等于2，则实数m 的值为 (A)A．1 或 3 B．1 C．3 D．23．设复数z＝ a＋bi( a， b∈ R)对应的点在虚轴的右边，则(D)A ． a＞， b＞0B． a＞ 0，b＜ 0C．b＞ 0， a∈R D． a＞ 0， b∈R4．两个不相等的复数z1＝ a＋bi( a，b∈ R)，z2＝ c＋di(c，d∈ R)，若 z1与 z2在复平面内的对应点对于虚轴对称，则a，b， c， d 之间的关系为(A)A ． a＝－ c，b＝ d B． a＝－ c， b＝－ dC．a＝ c， b＝－ d D． a≠ c，b≠ d分析：设 z1＝a＋ bi(a， b∈ R)的对应点为P(a， b)，z2＝ c＋ di( c，d∈ R)的对应点为Q(c， d)．∵P 与 Q 对于 y 轴对称，∴ a＝－ c， b＝ d.5．已知 z1＝5＋ 3i， z2＝ 5＋ 4i，以下选项中正确的选项是(D)A ． z1＞ z2B． z1＜ z2C．|z1 |＞ |z2| D ．|z1|＜ |z2|分析： |z1|＝ |5＋3i| ＝ 52＋ 32＝34，|z2 |＝ |5＋ 4i|＝ 52＋ 42＝41，∵34＜ 41，∴ |z1|＜ |z2|.6．已知0＜ a＜2，复数 z 的实部为a，虚部为1，则 |z|的取值范围是(C) A．(1， 5)B． (1， 3)C．(1，5) D． (1，3)227．若复数z＝ 1－i(i 为虚数单位 )，则 |z|＝2．8．若复数z 对应的点在直线y＝ 2x 上，且 |z|＝5，则复数z＝ ________．32分析：依题意可设复数z＝a＋ 2ai( a∈ R)，由 |z|＝5得 a ＋ 4a ＝5，解得 a＝±1，故 z＝ 1＋ 2i 或 z＝－ 1－ 2i答案： 1＋ 2i 或－ 1－2i9．已知复数z＝ x－2＋ yi 的模为 2 2，则点 (x， y)的轨迹方程为________．分析：依题意得（ x－ 2）2＋ y2＝ 22，∴(x－ 2)2＋ y2＝ 8.答案： (x－2) 2＋ y2＝ 810．设复数z＝ 2m＋ (4－ m2)i ，当实数m取何值时，复数z 对应的点：(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限上？(3)位于以原点为圆心，以 4 为半径的圆上？分析： (1)复数 z 对应的点位于虚轴上，则2m＝ 0，?m＝ 0.4－m2≠0∴ m＝ 0 时，复数 z 对应的点位于虚轴上．(2)复数 z 对应的点位于一、三象限，则2m· (4－ m2)＞ 0? m(m－ 2)(m＋ 2)＜0? m＜－ 2 或 0＜ m＜ 2.∴ m＜－ 2 或 0＜ m＜ 2 时，复数 z 对应的点位于一、三象限．(3)|z|＝（ 2m）2＋（ 4－ m2）2＝ 4? m＝ 0 或 m＝±2.∴ m＝ 0 或 m＝±2 时，复数 z 对应的点位于以原点为圆心，以 4 为半径的圆上．?品尝高考1． (2014 ·庆高考重)实部为－ 2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的(B)A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：由题意可得复数z＝－ 2＋ i，故在复平面内对应的点为(－ 2， 1)，在第二象限，应选 B.2．(2013 湖·北卷 )i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点对于原点对称，若z1＝2－ 3i，则 z2＝ ________．分析：在复平面内，复数z＝ a＋ bi 与点 (a， b)一一对应．∵点 (a， b)对于原点对称的点为(－a，－ b)，则复数z2＝－ 2＋3i.答案：－ 2＋ 3i。

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课时提升作业九
复数的几何意义
一、选择题(每小题分,共分)
.(·青岛高二检测)在复平面内,复数对应的点位于( )
.第一象限.第二象限
.第三象限.第四象限
【解析】选.因为<<π,所以><,
所以复数对应的点位于第四象限.
.(·黄山高二检测)设是虚数单位,若θθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )
.第一象限.第二象限
.第三象限.第四象限
【解析】选.因为θθ对应的点坐标为(θθ),
且点(θθ)位于复平面的第二象限,
所以所以θ为第二象限角.
【补偿训练】复数在复平面内对应点关于( )
.实轴对称
.虚轴对称
.一、三象限平分线对称
.二、四象限平分线对称
【解析】选.由实部相等,虚部互为相反数得复数在复平面内对应点关于实轴对称.
.设为原点,向量,对应的复数分别为,那么向量对应的复数为( ) 【解析】选.因为由已知()(),
所以()()(),
所以对应的复数为.
.(·烟台高二检测)过原点和对应点的直线的倾斜角是( )
...
【解析】选.因为在复平面上的对应点是(),
所以α(≤α<π),所以απ.
.(·西安高二检测)复数αα(π<α<π)的模为( )
【解析】选.所求复数的模为
，
因为π<α<π，
所以<<π，
所以<，。

高二数学人教选修1-2课后练习第3章数系的扩充与复数3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²太原高二检测)已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是( )A.-2+2iB.-2+4iC.-1+iD.-1+2i【解析】选C.设C表示的复数为x+yi,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,=(x+2,y-3),=(-x,-1-y).因为=,所以x+2=-x,y-3=-1-y,解得x=-1,y=1.点C表示的复数是-1+i.2.(2016²昆明高二检测)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是( )A.1B.2C.-2D.-1【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2,⇒⇒xy=1.3.(2016²西宁高二检测)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( )A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i【解析】选D.依题意有==-,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i.【补偿训练】(2016²武汉高二检测)在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是( )A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i【解析】选D.由平行四边形法则可得解得=(1,7),所以=(-1,-7),所以对应的复数是-1-7i.4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )A. B.5C. D.5【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为( )A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4【解析】选 A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z= ( )A.-+iB.-iC.--iD.+i【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi+=2+i,因此有解得故z=+i.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.【解析】因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),由|z|=4得a2+4=16,所以a2=12,所以a=±2,所以z=±2-2i.答案:±2-2i7.(2016²成都高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),因为|z|=3,所以a2+b2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,所以即又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.答案:3i8.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=________.【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题.【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,||==5,||=10.|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.答案:100三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).(2)5i-.【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.(2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i.10.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2. 【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-=+i=(5x-3y)+(x+4y)i,又因为z=13-2i,且x,y∈R,所以解得所以z1=(3³2-1)+(-1-4³2)i=5-9i,z2=4³(-1)-2³2-i=-8-7i.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²福州高二检测)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为( )A.1B.2C.-2D.-2或1【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得⇒a=-2. 【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.2.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选D.因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.【一题多解】选D.设z=x+yi(x,y∈R),所以z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1,所以(x-3)2+(y-4)2=1,设x=3+cosθ,y=4+sinθ,则|z|====(其中sinφ=,cosφ=),所以|z|的最大值是6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016²大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为z O=0,z A=2+i,z B=-2a+3i,z C=-b+ai,则实数a-b为________.【解析】因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得a-b=-4.答案:-44.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________.【解析】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形,所以|z1-z2|=2.答案:2【补偿训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四边形为正方形,所以另一条对角线的长|z1-z2|=.【拓展延伸】复数运算几何意义的应用(1)已知复数z1,z2,z1+z2在复平面内分别对应点A,B,C,O为原点且|z1+z2|=|z1-z2|,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角线长相等,故四边形OACB为矩形. (2)因为|z1|,|z2|,|z1-z2|(或|z1+z2|)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O三点不共线),所以可用解三角形来处理边与角的问题.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数.(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为=,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为²=||||cosB,所以cosB===.所以sinB=.所以S=||||sinB=³³=7,所以平行四边形ABCD的面积为7.6.(2016²杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+i|的最大值和最小值.【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义,再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2知x2+y2=4,故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,又|z+1+i|表示点(x,y)到点(-1,-)的距离.又因为点(-1,-)在圆x2+y2=4上,所以圆上的点到点(-1,-)的距离的最小值为0,最大值为圆的直径4,即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.【拓展延伸】数形结合求解复数问题因为复数拥有实部与虚部“两条腿”,进而与复平面上的点建立了一一对应,又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i,求复数z1,z2.【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|==1,所以z1+z2对应向量,其中∠COx=60°,如图1所示.设对应复数z1,对应复数z2,则四边形AOBC是菱形,且△AOC和△BOC都是等边三角形,于是z1=1,z2=+i或z1=+i,z2=1.如图2和图3所示.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²太原高二检测)已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是( )A.-2+2iB.-2+4iC.-1+iD.-1+2i【解析】选C.设C表示的复数为x+yi,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,=(x+2, y-3),=(-x,-1-y).因为=,所以x+2=-x,y-3=-1-y,解得x=-1,y=1.点C表示的复数是-1+i.2.(2016²昆明高二检测)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是( )A.1B.2C.-2D.-1【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2,⇒⇒xy=1.3.(2016²西宁高二检测)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( )A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i【解析】选D.依题意有==-,而(3+i)-(-1+3i) =4-2i,即对应的复数为4-2i.【补偿训练】(2016²武汉高二检测)在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是( )A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i【解析】选D.由平行四边形法则可得解得=(1,7),所以=(-1,-7),所以对应的复数是-1-7i.4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )A. B.5C. D.5【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为( )A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4【解析】选 A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z= ( )A.-+iB.-iC.--iD.+i【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi+=2+i,因此有解得故z=+i.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.【解析】因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),由|z|=4得a2+4=16,所以a2=12,所以a=±2,所以z=±2-2i.答案:±2-2i7.(2016²成都高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),因为|z|=3,所以a2+b2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,所以即又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.答案:3i8.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=________.【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题.【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,||==5,||=10.|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.答案:100三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).(2)5i-.【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)= (1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.(2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i.10.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2. 【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-=+i=(5x-3y)+(x+4y)i,又因为z=13-2i,且x,y∈R,所以解得所以z1=(3³2-1)+(-1-4³2)i=5-9i,z2=4³(-1)-2³2-i=-8-7i.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²福州高二检测)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为( )A.1B.2C.-2D.-2或1【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得⇒a=-2.【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.2.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选D.因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.【一题多解】选D.设z=x+yi(x,y∈R),所以z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1,所以(x-3)2+(y-4)2=1,设x=3+cosθ,y=4+sinθ,则|z|====(其中sinφ=,cosφ=),所以|z|的最大值是6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016²大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为z O=0,z A=2+i,z B=-2a+3i,z C=-b+ai,则实数a-b为________.【解析】因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得a-b=-4.答案:-44.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________.【解析】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形,所以|z1-z2|=2.答案:2【补偿训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四边形为正方形,所以另一条对角线的长|z1-z2|=.【拓展延伸】复数运算几何意义的应用(1)已知复数z1,z2,z1+z2在复平面内分别对应点A,B,C,O为原点且|z1+z2|=|z1-z2|,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角线长相等,故四边形OACB为矩形. (2)因为|z1|,|z2|,|z1-z2|(或|z1+z2|)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O三点不共线),所以可用解三角形来处理边与角的问题.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数.(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为=,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为²=||||cosB,所以cosB===.所以sinB=.所以S=||||sinB=³³=7,所以平行四边形ABCD的面积为7.6.(2016²杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+i|的最大值和最小值.【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义,再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2知x2+y2=4,故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,又|z+1+i|表示点(x,y)到点(-1,-)的距离.又因为点(-1,-)在圆x2+y2=4上,所以圆上的点到点(-1,-)的距离的最小值为0,最大值为圆的直径4,即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.【拓展延伸】数形结合求解复数问题因为复数拥有实部与虚部“两条腿”,进而与复平面上的点建立了一一对应,又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1, z1+z2=+i,求复数z1,z2.【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|==1,所以z1+z2对应向量,其中∠COx=60°,如图1所示.设对应复数z1,对应复数z2,则四边形AOBC是菱形,且△AOC和△BOC都是等边三角形,于是z1=1,z2=+i或z1=+i,z2=1.如图2和图3所示.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015²长沙高二检测)复数z=(3+2i)-7i,其中i是虚数单位,则复数z的虚部是( )A.3B.2C.-5D.-7【解析】选C.z=(3+2i)-7i=3-5i,虚部是-5.2.(2015²长春高二检测)设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为z1+z2=3-4i+(-2+3i)=(3-2)+(-4+3)i=1-i,所以复数z1+z2对应的点坐标是(1,-1),故其对应点在第四象限.【补偿训练】设z1=3-4i，z2=-2+3i，则z1-z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由已知，得z1-z2=3-4i-(-2+3i)=5-7i，则z1-z2在复平面内对应的点为(5，-7)，应选D.3.若复数z满足z+(2-3i)=-1+2i，则z+2-5i等于( )A.-1B.-1+10iC.1-6iD.1-10i【解析】选A.由z+(2-3i)=-1+2i，得z=(-1+2i)-(2-3i)=-3+5i，于是z+2-5i=(-3+5i)+(2-5i)=-1，故选A.4.设z=3-4i,则复数z-|z|+(1-i)在复平面内的对应点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为z=3-4i,所以z-|z|+(1-i)=3-4i-+1-i=(3-5+1)+(-4-1)i=-1-5i.故选C.5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是( )A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线【解析】选B.方法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为|z+1|=|x+yi+1|=,|z-i|=|x+yi-i|=,所以=,所以x+y=0,所以z的对应点Z的集合构成的图形是第二、四象限角平分线.方法二:设点Z1对应的复数为-1,点Z2对应的复数为i,则等式|z+1|=|z-i|的几何意义是动点Z到两点Z1,Z2的距离相等.所以Z的集合是线段Z1Z2的垂直平分线.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015²南京高二检测)已知z1=2+i,z2=3-2i, z3=4-2i,计算z1+z2-z3= .【解析】z1+z2-z3=(2+i)+(3-2i)-(4-2i)=(2+3-4)+(1-2+2)i=1+i.答案:1+i7.复数z1=-2mi，z2=-m+m2i，若z1+z2>0，则实数m= .【解析】z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)=(-m)+(m2-2m)i.因为z1+z2>0，所以z1+z2为实数且大于0，所以解得m=2.答案：28.(2015²益阳高二检测)设O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是.【解析】因为=-,而=(2,-3),=(-3,2),所以=(-5,5),故对应的复数为-5+5i.答案:-5+5i三、解答题(每小题10分，共20分)9.(1)设及分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应,计算z1-z2,并在复平面内作出-.(2)设及分别与复数z1=1+3i及复数z2=2+i对应,计算z1+z2,并在复平面内作出+.【解析】(1)z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.(如图①)(2)z1+z2=(1+3i)+(2+i)=(1+2)+(3+1)i=3+4i.(如图②)【补偿训练】已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别是A，B，求对应的复数z，并指出复数z在复平面内所对应的点在第几象限.【解析】复数z1=2+i与向量=(2，1)对应，复数z2=1+2i与向量=(1，2)对应，由于=-，所以向量对应的复数z=z2-z1=(1+2i) -(2+i)=-1+i，即z=-1+i，z在复平面内对应的点为(-1，1)，在第二象限.10.(2015²承德高二检测)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i,(a,b∈R),且z1-z2=4,求复数z=a+bi.【解析】z1-z2=-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i,所以解得所以z=2+i.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015²昆明高二检测)若复平面上的▱ABCD中,对应的复数为6+8i,对应的复数为-4+6i,则对应的复数是( )A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i【解析】选D.设AC与BD交于点O,则有=+=+=-(+),于是对应的复数为-[(6+8i)+(-4+6i)]=-1-7i,故选D.2.满足条件|z|=1及|z+|=|z-|的复数z的集合是( )A.B.C.D.【解析】选C.设z=x+yi(x，y∈R)，依题意得解得所以z=〒i.【一题多解】选 C.根据复数模的几何意义知|z|=1是单位圆，=是以A，B为端点的线段AB的中垂线x=.所以满足此条件的复数z是以为实部的复数，由模为1知选C.【拓展延伸】复数问题实数化思想设出复数z=x+yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程的思想求解，这是有关复数问题的基本思想——复数问题实数化思想.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015²太原高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z= .【解析】令z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=9, ①又z+3i=a+(3+b)i是纯虚数,所以由①②得a=0,b=3,所以z=3i.答案:3i4.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.【解析】方法一:因为|z|=2,所以|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.方法二:设ω=z-i,则ω+i=z,所以|ω+i|=|z|=2.ω表示以点(0,-1)为圆心,2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.答案:3【补偿训练】复数z满足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值.【解析】|z+3-i|=表示以C(-3,)为圆心,为半径的圆,则|z|表示该圆上的点到原点O的距离,显然|z|的最大值为|OC|+=2+=3,最小值为|OC|-=2-=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解题指南】解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或“数形结合”的思想求解. 【解析】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由题设知:a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,所以2ac+2bd=0,所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,所以|z1-z2|=.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:由复数加减法的几何意义知:|z1+z2|与|z1-z2|恰为以z1,z2为邻边的正方形的两条对角线长. 故|z1-z2|=|z1+z2|=.6.(2015²烟台高二检测)已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.(1)求表示的复数.(2)求表示的复数.(3)求B点对应的复数.【解题指南】对于(1),可由=-求得;对于(2),由=-求得;对于(3),可先求出的坐标,进而可知点B的坐标.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i.【补偿训练】(2014²西安高二检测)已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于O点.(1)求对应的复数.(2)求对应的复数.(3)求△AOB的面积.【解题指南】(1)(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解.(3)利用S△AOB=||||sin∠AOB求解.【解析】(1)由于ABCD是平行四边形，所以=+，于是=-，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，即对应的复数是-2+2i.(2)由于=-，而(3+2i)-(-2+2i)=5，即对应的复数是5.(3)由于==-=，==.即=，=，于是·=-，而||=，||=，所以·cos∠AOB=-，因此cos∠AOB=-，故sin∠AOB=，故S△AOB=||||sin∠AOB =〓〓〓=.即△AOB的面积为.。

第三章 数系的扩大与复数的引入3．1数系的扩大与复数的观点3． 1.1 实数系 3． 1.2复数的观点双基达标 限时 20分钟1．以 3i － 2的虚部为实部，以 3i 2＋ 2i 的实部为虚部的复数是()．A ．3－3iB ． 3＋ iC ．－2＋2iD. 2＋2i分析3i － 2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－ 3＋2i的实部为－3，应选 A.答案A2．若复数 cos θ＋ isin θ和 sin θ＋icos θ相等，则 θ值为()．ππ 5 A. 4B.4或4πππC ．2k π＋ 4(k ∈ Z )D ．k π＋4(k ∈Z ) 分析由复数相等定义得cos θ＝sin θ，∴tan θ＝1，sin θ＝cos θ，π∴θ＝k π＋4(k ∈Z )．答案D3．以下命题中①若 x ，y ∈C ，则 x ＋ yi ＝2＋i 的充要条件是 x ＝ 2， y ＝ 1；②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；③若 (z 1－ z 2 )2＋ (z 2－z 3)2＝0，则 z 1＝z 2＝ z 3.正确的命题个数是()．A．0B．1C．2D．3分析① x，y∈C， x＋ yi 不必定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝ 0 时， ai＝ 0，④错，应选 A.答案A4．已知复数 z＝ m2(1＋i) －m(m＋i)(m∈R)，若 z 是实数，则 m 的值为 ________．分析z＝m2＋ m2i－ m2－mi ＝(m2－m)i ，∴ m2－m＝0，∴m＝ 0 或 1.答案0 或 15．已知 (1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数 m＝________.分析把原式整理得 (m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝ 0，m2＋ 7m＋ 10＝0，∴m＝－2.∵m∈R，∴m2－5m－14＝0，答案－26．实数 m 取什么值时，复数lg(m2－ 2m－ 2)＋(m2＋3m＋2)i 分别是 (1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数 lg(m2－ 2m－2)＋(m2＋3m＋2)i 为纯虚数．2－2m－ 2＝ 1，＝或＝－，m m 3m1则2＋3m＋ 2≠ 0，∴≠－且≠－，m m 2 m1∴m＝ 3.即 m＝3 时， lg(m2－2m－ 2)＋(m2＋3m＋2)i 为纯虚数，(2)复数为实数，m2－2m－ 2>0，①则m2＋3m＋ 2＝ 0，②解②得 m＝－ 2 或 m＝－ 1，代入①查验知知足不等式，∴m＝－ 2 或 m＝－ 1 时， lg(m2－2m－2)＋(m2＋ 3m＋2)i 为实数．综合提升限时 25分钟7．已知会合 M＝{1 ，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i} ， N＝{1,3} ，M∩N＝ {1,3} ，则实数 m 的值为()．A ．4B．－ 1C．4 或－ 1D．1或6分析m2－3 m－ 1＝ 3，∴m＝－ 1.由题意m2－5 m－ 6＝ 0，答案B．假如对于x 的方程x2－2x－a＝0 的一个根是 i，那么复数 a8()．A．必定是实数B．必定是纯虚数C．可能是实数，也可能是虚数D．必定是虚数，但不是纯虚数分析由于 i 是方程 x2－2x－a＝0 的根，故代入整理得：a＝x2－ 2x＝i2－ 2i＝－ 1－ 2i，应选 D.答案D229．若 4－3a－a i＝a ＋ 4ai，则实数 a 的值为 ________．4－3a＝a2，分析易知－a2＝4a，解得a＝－ 4.答案－410．若 log2(x2－3x－2)＋ilog 2(x2＋ 2x＋1)>1，则实数 x 的取值范围是 ________．分析∵log2(x2－3x－2)＋ilog 2(x2＋ 2x＋1)>1，log2 x2－3x－ 2 >1，∴log2 x2＋2x＋ 1 ＝0，∴x＝－2.答案－211．已知 A＝{1,2 ，(a2－3a－1)＋(a2－5a－ 6)i} ，B＝{ －1,3} ，A∩ B＝{3} ，务实数 a 的值．解按题意： (a2－3a－ 1)＋(a2－ 5a－6)i ＝3，a2－ 5a－6＝0，得a＝－1.∴a2－3a－1＝312．(创新拓展 )若 m 为实数，z1＝m2＋ 1＋(m3＋ 3m2＋2m)i，z2＝ 4m＋ 2＋ (m3－ 5m2＋4m)i ，那么使 z1>z2的 m 值的会合是什么？使 z1<z2的 m 值的会合又是什么？解当 z1∈R时， m3＋3m2＋ 2m＝ 0，m＝0，－ 1，－ 2，z1＝1 或 2 或 5.当 z2∈R时， m3－ 5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝ 2 或 6 或 18.上边 m 的公共值为 m＝ 0，此时 z1与 z2同时为实数，此时 z1＝1，z2＝ 2.因此 z1>z2时 m 值的会合为空集，z1<z2时 m 值的会合为 {0} ．。

课堂10分钟达标练
1.复平面中下列点对应的复数是纯虚数的是( )
A.(1，2)
B.(-3，0)
C.(0，0)
D.(0，-2)
【解析】选D.点(0，-2)对应的复数为z=-2i，这是一个纯虚数.
2.在复平面内，若=(0，-5)，则对应的复数为( )
A.0
B.-5
C.-5i
D.5
【解析】选C.对应的复数z=0+(-5)i=-5i.
3.复数z=+i对应的点在复平面的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.由题知,实部为,虚部为1.故复数z=+i对应的点为(,1),在复平面的第一象限内.
4.复数z=1+2i,则|z|= ( )
A.1
B.2
C.
D.5
【解析】选C.|z|==.
5.满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数
对(x，y)表示的点的个数是. 【解析】由题意知所以
即或.
答案：2
6.复平面内,复数z与向量(-3,4)相对应,则|z|= .
【解析】由题意知z=-3+4i,于是|z|==5.
答案:5
7.复数z= (3m-2)+(m-1)i,m∈R.
m为何值时,z是纯虚数?m取什么值时,z在复平面内对应的点位于第四象限?
【解析】当3m-2=0,且m-1≠0时,
即m=时,z是纯虚数.
由解得<m<1,此时z在复平面内对应的点位于第四象限.
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3.1.2 复数的几何意义问题导学一、复平面内的点与复数的关系活动与探究11．在复平面内，点A，B对应的复数分别是－3＋2i,1－4i，则线段AB的中点对应的复数是()．A．－2－2i B．4－6i C．－1－i D．2－3i2．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．迁移与应用1．复数z＝－2i－1，则复数z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数z＝m－2－(4－m2)i，且复数z在复平面内的点位于虚轴上，则m的值为()．A．0 B．2C．－2 D．±2确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．二、复平面内复数与向量的对应关系活动与探究2已知平面直角坐标系中，O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是()．A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i迁移与应用在复平面内，复数i,1,4＋2i对应的点分别为A，B，C．求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．三、复数的模活动与探究3已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，复数z的虚部为3，且|z|＝2．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝__________．迁移与应用已知复数z＝a＋i(0＜a＜2)，则|z|的取值范围是__________．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模为22+＝．z a b答案：课前·预习导学【预习导引】1．实轴虚轴纯虚数2．Z(a，b)OZ预习交流1(1)提示：不是．实轴上的点都是实数，但虚轴上的点不全是纯虚数，因为原点O也在虚轴上，其为实数0，不是纯虚数．(2)提示：①在复平面中，复数z＝a＋b i(a，b R)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，b i)．②复数z＝a＋b i的对应向量OZ是以原点O为起点，否则就谈不上一一对应．③我们常把复数z＝a＋b i(a，b R)说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示相等的复数．(3)四3．|z||a＋b i|a2＋b2预习交流2 B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究 1．思路分析：根据复数z ＝a ＋b i(a ，b R )在复平面内的对应点为(a ，b )，求出A ，B 点坐标，再求A ，B 中点．C 解析：由已知A (－3,2)，B (1，－4)，∴AB 的中点为(－1，－1)，∴AB 中点对应复数为－1－i ．2．思路分析：根据复数与复平面内点的一一对应关系，依题设要求列出不等式求解即可．解：(1)要使点位于第四象限，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4， ∴－7＜m ＜3．(2)要使点位于x 轴负半轴上，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4， ∴m ＝4．(3)要使点位于上半平面(含实轴)，而m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7．迁移与应用 1．C 解析：复数z 在复平面内的对应点为(－1，－2)，该点位于第三象限．2．B 解析：当点在虚轴上时，实部m －2＝0，∴m ＝2．活动与探究2 思路分析：根据复数与平面向量，复数与复平面内的点一一对应，得到向量OA ，OB 的坐标，计算出向量BA 的坐标，再确定对应的复数．B 解析：由已知OA ＝(2，－3)，OB ＝(－3,2)，BA ＝OA －OB ＝(5，－5)， ∴BA 对应的复数为5－5i ．迁移与应用 解：方法1：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点坐标为E ⎝⎛⎭⎫2，32．由平行四边形的性质可知，E 也是BD 的中点．设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即D (3,3)． ∴D 点对应的复数为3＋3i ．方法2：由已知可得：OA ＝(0,1)，OB ＝(1,0)，OC ＝(4,2)，∴BA ＝(－1,1)，BC ＝(3,2)，∴BD ＝BA ＋BC ＝(2,3)，∴OD ＝OB ＋BD ＝(3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i ．活动与探究3 思路分析：由|z |＝2，虚部为3，可解出a ，再利用点在第二象限，确定a 为负值，从而求出z ． －1＋3i 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，a 2＋b 2＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±1，b ＝ 3. 又∵复数z 对应的点在第二象限，∴a ＝－1，则z ＝－1＋3i ．迁移与应用 (1，5) 解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴1＜|z |＜5．当堂检测1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：i(2－i)＝1＋2i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A．2．复平面内下列哪个点对应的复数是纯虚数()．A．(1,2) B．(－3,0)C．(0,0) D．(0，－2)答案：D解析：复平面内点(0，－2)对应的复数是－2i，是纯虚数．3．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为()．A．一个圆B．线段C．两点D．两个圆答案：A解析：∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0．∴|z|＝3．∴复数z对应点的轨迹是一个圆．4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋的点在直线y＝x上，则实数m的值为__________．答案：9解析：与复数z对应的点为(m－3,，由已知得m－3＝m ＝9．5．已知复平面内，AB对应的复数为－1＋2i，AC对应的复数为－2－3i，则BC对应的复数为__________．答案：－1－5i解析：由已知AB＝(－1,2)，AC＝(－2，－3)，∴BC＝AC－AB＝(－1，－5)．∴BC对应的复数为－1－5i．。

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课时提升作业九复数的几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016·黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016·烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016·西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016·武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3). 又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016·福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016·南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0·x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016·合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。