创新设计_学年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课时作业新人教版选修2_210150413

2.1.2 演绎推理课后训练1、“三段论”是演绎推理的一般模式，三段的顺序是( )、A、大前提、小前提、结论B、小前提、大前提、结论C、小前提、结论、大前提D、大前提、结论、小前提2、对于完全归纳推理的理解正确的是( )、A、完全归纳推理不可以与其他的演绎推理规则同时运用B、完全归纳推理是对某类事物的全部个别对象的考查C、完全归纳推理不一定是一种必然性推理D、完全归纳推理不一定要对某类事物的全部个别对象逐个考查3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内的所有直线，已知直线b⃘平面α，直线a⊆平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )、A、大前提错误B、小前提错误C、推理形式错误D、非以上错误4、三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”、其中“小前提”是( )、A、①B、②C、①②D、③5、在R上定义运算：x y＝x( 1－y )，若不等式( x－a )( x＋a )＜1对任意实数x都成立，则( )、A、－1＜a＜1B、0＜a＜2C、13<<22a－D、31<<22a－6、已知数列{a n}满足11 2a ，且前n项和S n满足S n＝n2a n，则a n＝________.7、对于任意实数x，若|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是________、8、指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：( 1 )整数是自然数，－3是整数，－3是自然数、( 2 )无理数是无限小数，1 3( 0.333… )是无限小数，13是无理数、9、如图，m，n是空间两条相交直线，l1，l2是与m，n都垂直的两条直线，直线l与l1，l2都相交，求证：∠1＝∠2.10、设函数f( x )＝|lg x|，若0＜a＜b，且f( a )＞f( b )，求证：ab＜1.参考正确答案1. 正确答案：A2. 正确答案：B3. 正确答案：A 大前提错误，直线平行于平面，则它平行于平面内的无数条直线，但并非与平面内的所有直线平行、4. 正确答案：B 三段论的公式中包含三个判断，第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况，由此可知选项B 正确、5. 正确答案：C ( x －a )( x ＋a )＜1( x －a )[1－( x ＋a )]＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0，要使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，则Δ＝4a 2－4a －3＜0，∴13<<22a －. 6. 正确答案：11n n (+) 方法一：( 归纳法 )112a =，216a =，3112a =，4120a =，寻找分母的规律、方法二：S n ＋1－S n ＝( n ＋1 )2a n ＋1－n 2a n ，所以( n 2＋2n )a n ＋1＝n 2a n ，所以12n n a n a n +=+，111n n a n a n --=+，122n n a n a n ---=，…，4335a a =，3224a a =，2113a a =，所以11n a a +＝221n n (+)(+).又因为112a =，所以a n ＋1＝112n n (+)(+)，又因为a 1＝12＝112⨯.所以11n a n n =(+). 7. 正确答案：k ＜－3 构造函数f ( x )＝|x ＋1|－|x －2|，画出f ( x )的图象，从而求得f ( x )的最小值为－3，∴k ＜－3.8. 正确答案：解：( 1 )大前提错、大于等于0的整数是自然数，－3是小于0的整数，－3不是自然数、( 2 )大前提错、无理数是无限不循环小数，13( 0.333… )是无限循环小数，13不是无理数、 9. 正确答案：证明：因为m ，n 是两条相交直线，所以直线m ，n 确定一个平面α，如图、因为l 1⊥m ，l 1⊥n ，所以l 1⊥α.同理l 2⊥α.所以l 1∥l 2.所以l 1，l 2确定一个平面β，又l 与l 1，l 2都相交，所以l ⊆β.在同一平面β内，由l 1∥l 2，得∠1＝∠2.10. 正确答案：分析：f ( x )是绝对值函数，解答时应去掉绝对值号，故需对a ，b 讨论、证明：f( a )＝|lg a|，f( b )＝|lg b|，当a＜b≤1时，f( a )＝－lg a，f( b )＝－lg b，有f( a )＞f( b )，所以0＜ab＜1成立；当1≤a＜b时，f( a )＝lg a，f( b )＝lg b，则必有f( a )＜f( b )与已知矛盾；当0＜a＜1≤b时，f( a )＝－lg a，f( b )＝lg b；由f( a )＞f( b )得－lg a＞lg b，∴lg a＋lg b＜0，故lg( ab )＜0，所以ab＜1.综上可知，ab＜1成立、。

创新设计高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课时作业新人教版选修2210150413明目标、知重点1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P[情境导学]小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B ＝180°.答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．思考2 演绎推理有什么特点？答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．思考3 演绎推理的结论一定正确吗？答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．思考4 演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B. 结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形． 结论 (2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线， 大前提 函数y ＝2x ＋5是一次函数， 小前提 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线． 结论 (3)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x (x ∈R )是三角函数， 小前提 y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．结论探究点二 三段论推理中的易错点例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数．结论 (2)常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0，小前提 f (x )为常函数．结论 (3)无限不循环小数是无理数， 大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 13是无理数．结论解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提 北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提 所以菱形是正多边形．结论解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形． 探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°， 小前提 所以△ABD 是直角三角形．结论同理，△AEB 也是直角三角形．(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线， 小前提 所以DM ＝12AB .结论同理EM ＝12AB .所以DM ＝EM .反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF ∥平面BCD .证明 三角形的中位线平行于底边，大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4.如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >BCD .证明：在△ABC 中， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ， ① 所以AD >BD, ② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．[呈重点、现规律]1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础过关1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案 D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．下列说法不正确的是( )A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠答案 D3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 A6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图答案 A7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是__________________．答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)． 答案 ②③11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )． 结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(a －1a )(e x－1e x )＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a＝0，即a 2＝1.又a >0， ∴a ＝1. 三、探究与拓展13．设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32×a 2－a －22＋a 3－a －32×a 2＋a －22＝a 5－a －52又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2，(大前提)所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y2，f (y )＝a y ＋a －y2，(小前提及结论)所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2×a y －a －y 2＋a x －a －x 2×a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y ).。

2.1.2 演绎推理学习目标核心素养1．理解演绎推理的含义．(重点)2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)1．通过学习演绎推理，提升逻辑推理的素养．2．借助三段论，提升数学运算素养.1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P 思考：如何分清大前提、小前提和结论？[提示]在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等B[得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．]2．三段论：“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．③[在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．]3．下列几种推理过程是演绎推理的是________．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．①[①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．]把演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．[解](1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，结论：菱形的对角线互相平分．(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角，结论：∠A＝∠B.(3)大前提：数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，小前提：通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，结论：通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．把演绎推理写成“三段论”的一般方法(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.[跟进训练]1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[对于A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．]用三段论证明几何问题求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(结论)2．用“三段论”证明命题的步骤①理清楚证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．[跟进训练]2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.[证明]三角形的中位线平行于第三边，(大前提)点E、F分别是AB、AD的中点，(小前提)所以EF∥BD.(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与此平面平行，(大前提)EF平面BCD，BD平面BCD，EF∥BD，(小前提)EF∥平面BCD.(结论)用三段论证明代数问题1．数的大小比较常见方法有哪些？提示：作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等．2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明． 提示：证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理．如函数单调性的证明，常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．【例3】 (1)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．思路探究：(1)借助于指数函数、对数函数互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解．(1)D [法一：取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32，∴2x >3y ；x ln 2＝z ln 5，则x z ＝ln 5ln 2<52，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ，故选D. 法二：令2x ＝3y ＝5z ＝k ， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8>1，则2x >3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32<1，则2x <5z ，故选D.] (2)解：法一：(定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)， 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝a x 2＋x 2－2x 2＋1－a x 1－x 1－2x 1＋1＝a x 2－a x 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝a x 1(a x 2－x 1－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝a x 1(a x 2－x 1－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1， 所以a x 2－x 1>1， 而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二：(导数法)f (x )＝a x＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0， 所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0.所以f ′(x )>0.于是得f (x )＝a x＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．(变条件)把本例(1)的条件变换如下：“已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12”，则a ，b ，c 的关系是( ) A ．成等差数列但不成等比数列 B ．成等差数列且成等比数列 C ．成等比数列但不成等差数列 D ．不成等比数列也不成等差数列 A [由条件可知a ＝log 2 3，b ＝log 2 6，c ＝log 2 12. 因为a ＋c ＝log 2 3＋log 2 12 ＝log 2 36＝2log 2 6＝2b ， 所以a ，b ，c 成等差数列．又因为ac ＝log 2 3log 2 12≠(log 2 6)2＝b 2， 所以a ，b ，c 不成等比数列．故选A.]2．(变条件)把本例(2)的函数换成“y ＝2x －12x ＋1”，求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．[证明] y ＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1 ＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0.即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1). 由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．五类代数问题中的三段论(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.1．三段论的形式：大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.2．应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．1．判断正误(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论是一定正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错A[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：________.小前提：________________.结论：________________.一次函数的图象是一条直线y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线[本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．]4. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.[证明]因为任意三角形内角之和为180°，(大前提)而直角三角形是三角形，(小前提)所以直角三角形内角之和为180°.(结论)设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等，(大前提)(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°，(小前提)所以∠A＋∠B＝90°.(结论)。

第一章 2.1 演绎推理A 级 根底稳固一、选择题1．(2021·岳麓区校级期末)利用演绎推理的“三段论〞可得到结论：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x的图象关于坐标原点对称，那么，这个三段论的小前提是( C ) A ．f (x )是增函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是奇函数D ．f (x )是偶函数[解析] 利用演绎推理的“三段论〞可得到结论：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x的图象关于坐标原点对称，大前提：奇函数的图象关于坐标原点对称，小前提：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x是奇函数， 结论：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x的图象关于坐标原点对称， 故小前提是：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x是奇函数， 应选C ．2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电〞这种推理方法属于( A )A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理[解析] 大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，应选A ．3．(2021·崇仁县校级月考)有个小偷在警察面前作了如下辩白：是我的录像机，我就一定能把它翻开．看，我把它翻开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在( A )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是[解析] ∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它翻开〞错误；故此推理错误原因为：大前提错误，应选A ．4．(2021·淄博一模)有一段“三段论〞推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(x 0)＝0，所以，x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确[解析] 大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点〞，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误，应选A．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：假设定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( D ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D．6．假设三角形两边相等，那么该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规那么是( A )A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[解析] ∵三角形两边相等，那么该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规那么，应选A．二、填空题7．(2021·江阴市期中)三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形〞中的小前提是②．(填写序号)[解析] 推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．〞中大前提：矩形是平行四边形；小前提：正方形是矩形；结论：所以正方形是平行四边形．故小前提是：②正方形是矩形．故答案为②．8．以下推理过程省略的大前提为：假设a≥b，那么a＋c≥b＋c．∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab．[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：假设a ≥b ，那么a ＋c ≥b ＋c ．三、解答题9．将以下演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[解析] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论10．设m 为实数，利用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．[解析] 因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0， 那么方程有两个相异实根．(大前提) Δ＝(－2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．(结论)B 级 素养提升一、选择题1．下面是一段“三段论〞推理过程：假设函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，那么在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立，以上推理中( A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误 [解析] ∵对于可导函数f (x )，假设f (x )在区间(a ，b )上是增函数，那么f ′(x )≥0对x ∈(a ，b )恒成立．∴大前提错误，应选A ．2．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )A ．因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质构造类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳出{a n }的通项公式[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补〞是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．二、填空题3．“∵α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β〞，在上述推理过程中，省略的命题为如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．2sin 2α＋sin 2β＝3sin α，那么sin 2α＋sin 2β的取值范围为[0，54]∪{2}． [解析] 由2sin 2α＋sin 2β＝3sin α得sin 2α＋sin 2β＝－sin 2α＋3sin α＝－(sin α－32)2＋94且sin α≥0，sin 2α∈[0,1]． 因为0≤sin 2β≤1，sin 2β＝3sin α－2sin 2α，所以0≤3sin α－2sin 2α≤1．解之得sin α＝1或0≤sin α≤12， 令y ＝sin 2α＋sin 2β，当sin α＝1时，y ＝2．当0≤sin α≤12时，0≤y ≤54． 所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是[0，54]∪{2}． 三、解答题5．判断以下推理是否正确？为什么？①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A ，B ，C 为空间三点(小前提)，所以过A ，B ，C 三点只能确定一个平面(结论)．〞②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析] ①错误．小前提错误．因为假设三点共线，那么可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一局部，是特殊事例．6．a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ．当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1．(1)求证：|c |≤1．(2)当－1≤x ≤1时，求证：－2≤g (x )≤2．[证明] (1)因为x ＝0满足－1≤x ≤1的条件，所以|f (0)|≤1．而f (0)＝c ，所以|c |≤1．(2)当a >0时，g (x )在[－1,1]上是增函数，所以g (－1)≤g (x )≤g (1)．又g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ，g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ，所以－f (－1)＋c ≤g (x )≤f (1)－c ，又－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，－1≤c ≤1，所以－f (－1)＋c ≥－2，f (1)－c ≤2，所以－2≤g (x )≤2． 当a <0时，可用类似的方法，证得－2≤g (x )≤2．当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c ，g (x )＝f (1)－c ，所以－2≤g (x )≤2．综上所述，－2≤g (x )≤2．C 级 能力拔高用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ，BE 是高线，D 、E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD ．[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，(小前提)∴△ABD 为直角三角形．(结论)同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)M 是直角三角形ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，(小前提) ∴DM ＝12AB (结论)，同理EM ＝12AB ．∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)又∵DM ＝12AB ，EM ＝12AB (小前提)∴ME ＝MD (结论)．。

【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆； ②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．(综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号)∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)．证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74. a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n－12n －1.下面用数学归纳法证明，(1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·qn －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。

【成才之路】2015—2016学年高中数学第2章 2、1第2课时演绎推理课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。

下面说法正确的个数为（）①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A.1 B。

2C.3 D。

4［答案] C2.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提"是（)A。

①B。

②C.①②D.③[答案］ B3。

（2015·锦州期中）若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等,在△ABC中,AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C,以上推理运用的规则是（)A。

三段论推理B。

假言推理C.关系推理D.完全归纳推理［答案］ A[解析］根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等（大提前）,在△ABC中,AB＝AC，（小前提）所以在△ABC中，∠B＝∠C（结论），符合三段论。

4。

观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( ）大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l,则a∥b、小前提:正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1,且AD⊥AA1、结论:A1B1∥AD、A.推理正确B.大前提出错导致推理错误C。

小前提出错导致推理错误D.仅结论错误［答案] B[解析］由l⊥a,l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误。

5。

下面的推理是关系推理的是( )A。

若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等，在△ABC中,AB＝AC,所以在△ABC中,∠B＝∠CB.因为2是偶数,并且2是素数,所以2是素数C.因为a∥b，b∥c,所以a∥cD。

因为错误!是有理数或无理数,且错误!不是有理数,所以错误!是无理数[答案] C［解析]A是三段论推理，B、D是假言推理。

故选C、6.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等.”补充上述推理的大前提( )A.正方形都是对角线相等的四边形B。

2.1.2 演绎推理自主预习·探新知情景引入从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．新知导学1．演绎推理从__一般性的原理__出发，推出__某个特殊__情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由__一般到特殊__的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的__一般原理__；(2)小前提——所研究的__特殊情况__；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的__判断__．其一般推理形式为大前提：M是P．小前提：S是M．结论：__S是P__．利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__S中所有元素也都具有性质P__．3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么__结论__必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__不一定__正确．预习自测1．下列说法正确的是(D)A．演绎推理推出的结论一定正确B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．演绎推理就是合情推理D．演绎推理是由一般到特殊的推理[解析]A错，只有前提和推理形式都正确，其结论才一定正确，否则，就不正确；合情推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理或由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，所以B、C均错，D正确．2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理(C)A．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错[解析]9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．3．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b．证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a＜b．画框线部分是用演绎推理证明a＜b中的(B)A．前提B．小前提C．结论D．三段论[解析]求证：“a＜b”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A＜∠B，结论：所以a＜b．故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B．4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系是__m ＜n __． [解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)， ∴函数f (x )＝a x 是减函数，又∵f (m )>f (n )，∴m ＜n ．5．判断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A 、B 、C 为空间三点(小前提)，所以过A 、B 、C 三点只能确定一个平面(结论)．”[解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶把演绎推理写成三段论形式典例1 将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数；(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．[思路分析] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．[解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提0.332·是循环小数，小前提0.332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提y ＝sin x 是三角函数，小前提y ＝sin x 是周期函数．结论『规律方法』 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．2．判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．┃┃跟踪练习1__■将下列推理写成三段论推理的形式：(1)所有的奇数都不能被4整除，所以15不能被4整除；(2)三角形的内角和为180°，Rt △ABC 的内角和为180°；(3)菱形对角线互相平分；(4)函数f (x )＝x 3＋sin x 是奇函数．[解析] (1)所有的奇数都不能被4整除．(大前提)15是奇数．(小前提)15不能被4整除．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt △ABC 是三角形．(小前提)Rt △ABC 的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平行．(结论)(4)若对函数f(x)定义域中的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．(大前提)对于函数f(x)＝x3＋sin x，当x∈R时，有f(－x)＝－f(x)．(小前提)所以函数f(x)＝x3＋sin x是奇函数．(结论)命题方向❷三段论在证明几何问题中的应用典例2已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC．求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)[解析]∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论『规律方法』应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．┃┃跟踪练习2__■用三段论分析下题的证明过程．如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF．证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF．[解析]上述推理过程应用了三次三段论．第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论命题方向❸演绎推理在代数问题中的应用典例3证明：f(x)＝1x2在(0，＋∞)上为减函数．[思路分析]解答本题所依据的大前提是“在区间(a，b)内，若f′(x)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内是减函数．”小前提是“f(x)＝1x2在(0，＋∞)上满足f′(x)＜0”．写解题过程的关键环节就是验证f′(x)＜0在(0，＋∞)上成立．[解析]∵f′(x)＝⎝⎛⎭⎫1x2′＝－2x3，又x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＜0．∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．『规律方法』 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范． ┃┃跟踪练习3__■ 已知函数f (x )＝a x＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[解析] 设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a x 1＋bx 1－⎝⎛⎭⎫a x 2＋bx 2 ＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a x 1x 2－b ， 当0＜x 1＜x 2≤a b时，则 x 2－x 1>0,0＜x 1x 2＜a b ，a x 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在⎝⎛⎦⎤0，a b 上是减函数． 当x 2>x 1≥a b 时，则 x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，a x 1x 2＜b ， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在⎣⎡⎭⎫a b ，＋∞上是增函数．易混易错警示三段论推理中大(小)前提错误致误典例4 如图，已知S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．求证：AB⊥BC．[错因分析]在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．[正解]证明：如图，过点A作直线AE⊥SB于点E，因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，所以AE⊥平面SBC.又BC⊂平面SBC，所以BC⊥AE.因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.又AE∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥AB，即AB⊥BC．[点评]演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．学科核心素养演绎推理的综合应用演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征．典例5已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为x>0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为R上的减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6．『规律方法』函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解：(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．。

一、基础过关1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．下列说法不正确的是()A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠答案D3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案A6．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图答案A7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.9.在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)．答案 ②③11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e x a ＋a ex 是R 上的偶函数，求a 的值． 解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(a －1a )(e x －1ex )＝0对于一切x ∈R 恒成立， 由此得a －1a＝0， 即a 2＝1.又a >0，∴a ＝1.三、探究与拓展13.设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0且a ≠1)． (1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32×a 2－a －22＋a 3－a －32×a 2＋a －22＝a 5－a －52， 又g (5)＝a 5－a －52，因此， g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2，(大前提) 所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2， g (y )＝a y －a －y 2， f (y )＝a y ＋a －y 2，(小前提及结论) 所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2×a y －a －y 2＋a x －a －x 2×a y ＋a －y 2 ＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝g (x ＋y )．。

2．1.2 演绎推理1．掌握演绎推理的基本模式，特别是三段论模式，并学会运用这些推理模式进行推理．2．了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别．1．演绎推理根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做________．它的特征是：当前提为____时，结论______为真．演绎推理的特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它的创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【做一做1】演绎推理是( )．A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理2．演绎推理的四种推理规则(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果p q，p真，则q真”．假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“M是P，S是M，所以______”．(3)传递性关系推理：用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则______”，其中“R”表示具有传递性的关系。

(4)完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．三段论推理是演绎推理的一般模式，在数学证明中，以上四种演绎推理规则是经常用到的，一道证明题，往往要综合应用这些推理规则．如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．【做一做2－1】下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式【做一做2－2】“因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因为b∥c，所以a∥c.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是( )．A．第一步遵循假言推理，第二步遵循传递性关系推理B．第一步遵循三段论推理，第二步遵循假言推理C．第一步遵循三段论推理，第二步遵循传递性关系推理D．第一步遵循传递性关系推理，第二步遵循三段论推理合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？ 剖析：区别：从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异． 合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理推理形式 由部分到整体或由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理 结论的 正确性 结论不一定正确，有待进一步证明 在前提和推理形式都正确的前提下，结论正确联系：从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们是紧密联系、相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．在数学中，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．题型一 假言推理【例题1】设数列{a n }为等差数列，求证：以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n为通项的数列{b n }为等差数列．分析：由{a n }为等差数列，推证{b n }为等差数列，只要证得b n ＋1－b n ＝d 为常数即可． 反思：假言推理的规则为“如果p q ，p 真，则q 为真”．题型二 三段论推理【例题2】已知A ，B ，C ，D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证MN ∥平面ACD .分析：应用线面平行的判定定理证明．反思：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．题型三 传递性关系推理【例题3】设a ，b ，c 为正实数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2＞a ＋b ＋c .分析：应用均值不等式找出a 2＋b 2与a ＋b ，b 2＋c 2与b ＋c ，a 2＋c 2与a ＋c 的关系，再应用同向不等式相加法则可证明．反思：传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递．题型四 完全归纳推理【例题4】已知函数f (x )＝(12x －1＋12)·x 3. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)证明f (x )＞0.反思：完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅证明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，而前者则把所有情况都作了证明．题型五 易错辨析易错点：在应用三段论推理证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提．在推理的过程中，大前提、小前提和推理形式之一错误，都可能导致结论错误．【例题5】如图，在△ABC 中，AC ＞BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD ＞∠BCD .错证：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC ＞BC ，所以AD ＞BD ，于是∠ACD ＞∠BCD .1如图，因为AB ∥CD ，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为( )．A ．三段论推理、假言推理B ．三段论推理、传递性关系推理C ．三段论推理、完全归纳推理D ．三段论推理、三段论推理2“因指数函数y ＝a x 是减函数(大前提)，且y ＝3x 是指数函数(小前提)，所以y ＝3x 是减函数(结论)．”上面推理的错误是( )．A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3下面的推理是传递性关系推理的是( )．A ．在同一三角形中若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC 中，AB ＝AC ，所以在△ABC 中，∠B ＝∠CB ．因为2是偶数，所以2是素数C ．因为a ∥b ，b ∥c ，所以a ∥cD ．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数4因为当a ＞0时，|a |＞0；当a ＝0时，|a |＝0；当a ＜0时，|a |＞0，所以当a 为实数时，|a |≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的__________推理．5关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )是增函数；当x ＜0时，f (x )为减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是__________．答案：基础知识·梳理1．演绎推理 真 必然【做一做1】C2．(2)S 是P (3)aRc【做一做2－1】A 选项D 是归纳推理，选项C 是类比推理，选项B 既不是合情推理也不是演绎推理．【做一做2－2】C典型例题·领悟【例题1】证明：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为 b n －b n －1＝n a 1＋a n 2·1n －n －1a 1＋a n －12·1n －1＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d 2(n ≥2)，而d 2是个常数，所以数列{b n }为等差数列． 【例题2】证明：如图，连结BM ，BN ，并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连结PQ .因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点，又因为BM MP ＝2＝BN NQ，所以MN ∥PQ .又因为M N ⃘平面ADC ，PQ ⊆平面ADC ，所以MN ∥平面ACD .【例题3】证明：因为a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ，c 为正实数，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.所以a 2＋b 2≥a ＋b22.所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )．同理a 2＋c 2≥22(a ＋c ).b 2＋c 2≥22(b ＋c )，所以有a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c )＝2(a ＋b ＋c )．即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 又2(a ＋b ＋c )＞a ＋b ＋c ，所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2＞a ＋b ＋c .【例题4】(1)解：函数f (x )的定义域为2x －1≠0，即{x |x ≠0}，f (－x )－f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12(－x )3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x ＋12(－x )3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3＝2x 2x －1·x 3－12x 3－12x－1x 3－12x 3 ＝x 3－x 3＝0.所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )是偶函数．(2)证明：因为x ≠0，所以当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，x 3＞0，所以f (x )＞0；当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＞0，所以f (x )＞0.【例题5】错因分析：错证中由AD ＞BD 得出∠ACD ＞∠BCD 是错误的，因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论成立．正确证法：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，所以∠ACD ＋∠A ＝∠BCD ＋∠B ＝90°.又AC ＞BC ，所以∠B ＞∠A ，于是∠ACD ＞∠BCD .随堂练习·巩固1．B 本题前面证∠1＝∠2用的是三段论推理，后半部分证∠1＝∠3用的是传递性关系推理．2．A y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性与a 有关，若a ＞1，则为增函数；若0＜a ＜1，则为减函数．3．C4．完全归纳5．①③④ 显然f (－x )＝f (x )，∴其图象关于y 轴对称．当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x . ∵φ(x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝lg 2.∵f (x )为偶函数，∴f (x )在(－1,0)上是增函数．。