创新设计高中数学必修一1.2.1

1.2.2表示函数的方法[学习目标] 1.把握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会依据不同的需要选择恰当方法表示函数．[学问链接]1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．3．函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．[预习导引]1．表示函数的方法(1)把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的方法，就是表示函数的方法；(2)表示函数的三种主要方法分别是：解析法、图象法和列表法．2．解析法(1)解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式，也叫作解析表达式或函数关系式．(2)解析法就是用解析式来表示函数的方法．3．图象法函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.要点一待定系数法求函数解析式例1(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．解(1)设反比例函数f(x)＝kx(k≠0)，由f(3)＝k3＝－6，解得k＝－18，故f(x)＝－18x.(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝1，－a＋b＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－1，∴f(x)＝2x－1.∴f(3)＝2×3－1＝5.规律方法待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝kx(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．(4)将所求待定系数的值代回原式．跟踪演练1已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式．解设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋1.要点二换元法(或配凑法)求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知f⎝⎛⎭⎫1＋xx＝1＋x2x2＋1x，求f(x)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)令t＝1＋xx＝1x＋1，有x＝1t－1.则t≠1.把x＝1t－1代入f⎝⎛⎭⎫1＋xx＝1＋x2x2＋1x，得f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为 f (x )＝x 2－x ＋1，(x ≠1)方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可接受换元法．所谓换元法，即将“x ＋1”换成另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，再代入原式中求出关于“t ”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要留意换元前后自变量取值范围的变化状况．2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观看与分析，将右端的式子“x ＋2x ”变成含有“x ＋1”的表达式．这种解法对变形力量、观看力量有较高的要求．跟踪演练2 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， 可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.方法二 (配凑法)由于x 2－2x＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3 ＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 要点三 作函数的图象例3 作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ∈Z )； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))．解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y ＝x ＋1上，如图(1)所示．(2)由于0≤x ＜3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝x 2－2x 介于0≤x ＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要留意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特殊要分清区间端点是实心点还是空心点． 跟踪演练3 画出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ≤0)；(2)y ＝x 2－2x (x ＞1或x ＜－1)．解 (1)y ＝x ＋1(x ≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ＞1或x ＜－1)是抛物线y ＝x 2－2x 去掉－1≤x ≤1之间的部分后剩余的曲线． 图象如图(2)．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )A.1C ．3D ．不存在答案 C解析 由表可知f (3)＝3.2．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x答案 C解析 设y ＝k x ，由1＝k2得，k ＝2.因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x .3．若f (x ＋2)＝2x ＋3，f (3)的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 答案 C解析 令x ＋2＝3，则x ＝1，∴f (3)＝2×1＋3＝5.4．假如二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1答案 D解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排解A 、B ；又图象过点(0,0)，可排解C ；D 项符合题意．5．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎡⎦⎤1f (3)的值等于________．答案 2解析 由函数f (x )图象，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎡⎦⎤1f (3)＝f (1)＝2.1.函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线． 3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．一、基础达标1．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f(2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 2．小明骑车上学，开头时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上大事吻合得最好的图象是( )答案 C解析 距学校的距离应渐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C. 3．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2－2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋2x －1D ．f (x )＝x 2－2x －1答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝f (x －1) ＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.4．等腰三角形的周长为20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( ) A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 ∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x ， 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧20－2x >0，x ＋x >y ＝20－2x ，x >0，得5<x <10.5．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f [g (1)]＝________；(2)若g [f (x )]＝2答案 (1)1 (2)1解析 由表知g (1)＝3， ∴f [g (1)]＝f (3)＝1；由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.6．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________． 答案 5解析 ∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∴f (x )＝32x －72，∵f (a )＝4，即32a －72＝4，∴a ＝5. 7．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并依据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象，如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，∴f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可以看出， 当x 1＜x 2＜1时，函数f (x )的函数值随着x 的增大而增大，∴f (x 1)＜f (x 2)．(3)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]． 二、力量提升8. 假如f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 答案 B解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ， 则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故选B.9．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________． 答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如下图所示，观看图象可得图象上全部点的纵坐标的取值范围是 [f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11)．10．若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 答案 52解析 令x ＝2得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92， 令x ＝12得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32， 消去f ⎝⎛⎭⎫12得f (2)＝52. 11．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， ∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .三、探究与创新12．求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3.(2)以－x 代x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．解 由于对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ， 有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

第 2 课时 函数的最值课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．1．函数的最大值、最小值最值最大值 最小值设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：(3) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．条件(1) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．(4) 存在 x 0∈ I ，使得 __________ ．(2) 存在 x 0∈ I ，使得 __________.结论 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值2.函数最值与单一性的联系(1) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为________．(2)若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ，b]上单一递减， 则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．一、选择题1．若函数 f(x) ＝x 2＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A ． a ≤－ 3B ．a ≥－ 3C ． a ≤ 5D ．a ≥32．函数 y ＝ x ＋ 2x － 1()A ．有最小值 1，无最大值21，无最小值B ．有最大值 2C ．有最小值 1，最大值 22D ．无最大值，也无最小值3．已知函数 y＝x2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 () A． [1，＋∞ ) B ． [0,2]C． ( －∞， 2]D． [1,2]4．假如函数 f(x) ＝ x2＋ bx＋ c对随意的实数x，都有 f(1＋ x)＝ f( － x)，那么 ()A． f(－ 2)<f(0)<f(2)B． f(0)<f( － 2)<f(2)C． f(2)<f(0)<f( －2)D． f(0)<f(2)<f( －2)5．函数 y＝ |x－ 3|－ |x＋ 1|的 ()A．最小值是 0，最大值是 4B．最小值是－ 4，最大值是 0C．最小值是－ 4，最大值是 4D．没有最大值也没有最小值1的最大值是 ()6．函数 f(x) ＝1－x(1－x)45A. 5B. 434C.4D. 3题号 1 2 3 4 56答案二、填空题2的值域是 ________．7．函数 y＝|x|＋18．函数 y＝－ x2＋ 6x＋ 9 在区间 [a，b](a<b<3) 有最大值9，最小值－ 7，则 a＝ ________，b＝ __________.9．若 y＝－2， x∈ [－ 4，－ 1]，则函数y 的最大值为 ________．x三、解答题10．已知函数f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2.(1)求f(x) 在区间[1， 3]上的最大值和最小值；2(2)若g(x) ＝ f(x) －mx在 [2,4] 上是单一函数，求m 的取值范围．11．若二次函数知足f(x ＋1)－ f(x) ＝ 2x 且 f(0) ＝1.(1)求 f(x) 的分析式；(2)若在区间 [ －1,1] 上不等式f(x)>2x ＋m 恒建立，务实数m 的取值范围．能力提高12．已知函数 f(x) ＝ 3－ 2|x|， g(x) ＝ x2－ 2x，结构函数 F(x)，定义以下：当f(x) ≥g(x)时，F(x) ＝ g(x) ；当 f(x)<g(x) 时， F(x) ＝f(x) ，那么 F(x)()A．有最大值 3，最小值－ 1B．有最大值 3，无最小值C．有最大值 7－ 2 7，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数 f(x) ＝ ax2－ |x|＋ 2a－ 1，此中 a≥0， a∈R.(1)若 a＝ 1，作函数 f(x) 的图象；(2)设 f(x) 在区间 [1,2] 上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式．1．函数的最大(小 )值(1)定义中 M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x) ＝－ x2(x∈ R)的最大值为 0，有 f(0)＝ 0，注意对“存在”的理解．(2)关于定义域内随意元素，都有 f(x) ≤M或 f(x) ≥M建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y＝ f(x) 的最值，可简记以下：最大值： y max或 f(x) max；最小值： y min或 f(x) min.2．函数的最值与值域、单一性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有1最值，如函数y＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x) 在闭区间 [a， b]上单一，则f(x) 的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b) ，最小值是f(b) 或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝ f(x) 的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小 )值不必定在极点处获得．第 2 课时函数的最大 (小)值知识梳理1． (1)f(x) ≤M (2)f(x 0)＝ M (3)f(x)≥M (4)f(x 0)＝ M2． (1)f(b) f(a)(2)f(a) f(b)作业设计1．A [ 由二次函数的性质，可知 4≤－ (a －1) ，解得 a ≤－ 3.]2．A [ ∵ y ＝ x ＋2x － 1在定义域 [1，＋ ∞)上是增函数，21 1 1∴ y ≥f( )＝ ，即函数最小值为，无最大值，选 A.]2223．D[ 由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3＝ (x － 1)2＋ 2 知，当 x ＝1 时， y 的最小值为 2，当 y ＝ 3 时， x 2－2x ＋ 3＝ 3，解得 x ＝0 或 x ＝ 2.由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3 的图象知，当 m ∈ [1,2] 时，能保证 y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [ 依题意，由f(1＋ x)＝ f( － x)知，二次函数的对称轴为x ＝ 1，由于 f(x) ＝ x 2＋ bx2＋ c 张口向上，且 f(0) ＝ f(1)， f(－ 2)＝ f(3) ，由函数 f(x) 的图象可知， [1，＋ ∞)为 f(x) 的2 增区间，因此 f(1)<f(2)<f(3) ，即 f(0)<f(2)<f( － 2)． ]－4(x ≥3)5． C [y ＝ |x － 3|－ |x ＋ 1|＝ － 2x ＋2(－ 1≤x<3) .4 (x< －1)由于 [－1,3)是函数 y ＝－ 2x ＋ 2 的减区间，因此－ 4<y ≤4，综上可知 C 正确． ]6．D [f(x) ＝ 1 41 23 ≤ .]＋ 3(x － ) 42 7． (0,2]分析 察看可知 y>0 ，当 |x|取最小值时， y 有最大值，因此当 x ＝ 0 时， y 的最大值为 2，即 0<y ≤2，故函数 y 的值域为 (0,2] ．8．－2 0分析y ＝－ (x －3) 2＋ 18，∵ a<b<3，∴函数 y 在区间 [a ， b]上单一递加，即－b 2＋ 6b ＋ 9＝9，得 b ＝0(b ＝ 6 不合题意，舍去 )2－ a ＋ 6a ＋9＝－ 7，得 a ＝－ 2(a ＝8 不合题意，舍去 )．分析函数 y ＝－ 2x 在 [ － 4，－ 1]上是单一递加函数，2故 ymax＝－－1＝2.10．解(1)∵ f(x) ＝ x 2 －2x ＋ 2＝ (x －1) 2＋1， x ∈ [1， 3]，2∴ f(x) 的最小值是 f(1) ＝ 1，又 f(1)＝ 54， f(3) ＝ 5，2因此， f(x) 的最大值是 f(3)＝ 5，即 f(x) 在区间 [ 1，3] 上的最大值是 5，最小值是 1.2 (2)∵ g(x) ＝ f(x) － mx ＝ x 2－ (m ＋ 2)x ＋ 2，∴ m ＋ 2m ＋ 2≥4，即 m ≤2或 m ≥ 6.2 ≤2或2 故 m 的取值范围是 (－ ∞， 2]∪ [6，＋ ∞)．11．解(1) 设 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 1，∴ c ＝ 1，∴ f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋1.∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ，2a ＝ 2 ，∴a ＝ 1 2－ x ＋ 1.∴，∴ f(x) ＝ x a ＋ b ＝ 0b ＝－ 1(2)由题意： x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [ － 1,1] 上恒建立，即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－1,1] 上恒建立．令 g(x) ＝ x 2－ 3x ＋ 1－ m ＝ (x －3)2－ 5－m ， 2 4其对称轴为 x ＝32，∴ g(x) 在区间 [－ 1,1]上是减函数，∴ g(x) min ＝ g(1)＝ 1－ 3＋ 1－ m>0，∴ m<－1.12．C [绘图获得 F(x) 的图象：射线 AC 、抛物线 AB 及射线 BD 三段， y ＝ 2x ＋3， 联立方程组y ＝ x 2－ 2x ，得 x A ＝ 2－ 7，代入得 F(x) 的最大值为 7－ 2 7，由图可得 F(x) 无最小值，进而选C.]13．解 (1)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2x 2＋x ＋ 1， x<0－ |x|＋ 1＝2－x ＋ 1，.x x ≥0作图 (如右所示 )．(2)当 x ∈ [1,2] 时， f(x) ＝ ax 2－ x ＋2a － 1.若 a ＝0，则 f(x) ＝－ x － 1 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝－ 3.若 a>0，则 f(x) ＝ a(x － 2a 1)2＋ 2a － 4a 1－ 1，f(x) 图象的对称轴是直线x ＝ 1 .2a 1 1时， f(x) 在区间 [1,2] 上是增函数， 当 0<<1 ，即 a>2a2g(a)＝ f(1) ＝3a － 2.当 1≤111时，≤2，即 ≤ a ≤2a42g(a)＝ f( 1) ＝ 2a － 1－ 1，2a 4a当 2a 1>2，即 0<a<14时， f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝6a － 3.6a－ 3，1 0≤ a<4综上可得 g(a)＝2a－1－1，11≤ a≤4a4213a－ 2， a>2。

第二课时　充要条件课标要求素养要求通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.教材知识探究主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.问题　请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.提示　张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.充要条件(1)四类条件①一般地，如果p ⇒ q 且，则称p 是q 的充分不必要条件.②如果p ⇒ q 且______，则称p 是q 的必要不充分条件.③如果p ⇒q 且______，则称p 是q 的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p ⇔q ，此时，也读作“p 与q 等价”“p 当且仅当q ”.④如果p ⇒ q 且q ⇒ p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)充要条件与数学中定义的关系一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个___________.q ⇒ p q ⇒ p q ⇒ p 充要条件教材拓展补遗[微判断]1.四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.( )2.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )3.xy >0是x >0，y >0的充要条件.( ) 提示　必要不充分条件.√√×[微训练]1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.答案　必要不充分2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.解析　当x>1时，x3>1；当x3>1时，x>1.答案　充要[微思考]若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？提示　正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.充要条件的判断与探求题型一【例1】　判断下列各题中，p是否为q的充要条件？(1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0；(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：|x|>3，q：x2>9.解　(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上⇔a>0，所以p是q的充要条件.(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.(3)由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.规律方法　1.判断p是不是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.【训练1】　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab＝0B.ab>0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2>0解析　a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.答案　D(2)设非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为6≤a≤9；一个充分不必要条件可为7≤a≤9.答案　6≤a≤9　7≤a≤9(答案不唯一)题型二充要条件的证明【例2】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.规律方法　一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.【训练2】　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b＝0.证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，x＝0时y＝0，函数图像过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b＝0.题型三递推法判断条件间的关系【例3】　已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解　(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件.(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件.(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.又p⇒q，∴p是q的必要不充分条件.规律方法　解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系. 充分、必要条件具有传递性，若A⇒B，B⇒C，则A⇒C；若A⇔B，B⇔C，则A⇔C.【训练3】　如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分不必要条件B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分也不必要条件解析　如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙.综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.答案　A一、素养落地1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.二、素养训练1.“1<x<2”是“x≤2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，则A B.故选A.答案　A2.“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选B.答案　B3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.答案　A4.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析　p⇒q，但q⇒p.答案　B5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.解析　由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.答案　a<0本节内容结束。

第二节 原子结构与元素的性质第1课时 原子结构与元素周期表[知 识 梳 理]一、元素周期表的结构 1.周期（横行）⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧短周期⎩⎨⎧第一周期：2种元素第二周期：8种元素第三周期：8种元素长周期⎩⎨⎧第四周期：18种元素第五周期：18种元素第六周期：32种元素第七周期：32种元素2.族（纵行）⎩⎨⎧主族；ⅠA 、ⅡA 、ⅢA 、ⅣA 、ⅤA 、ⅥA 、ⅦA 共七个主族副族：ⅠB 、ⅡB 、ⅢB 、ⅣB 、ⅤB 、ⅥB 、ⅦB 共七个副族第Ⅷ族：三个纵行（8、9、10），位于ⅦB 与ⅠB 之间0族：稀有气体元素3.元素的分区（1）按电子排布，把周期表里的元素划分成5个区，分别为s 、p 、d 、f 、ds 。

（2）元素周期表共有16个族，其中s 区包括ⅠA 、ⅡA 族，p 区包括ⅢA ～ⅦA 、0族，d 区包括ⅢB ～ⅦB 族及Ⅷ族（镧系、锕系除外），ds 区包括ⅠB 、ⅡB 族，f区包括镧系元素和锕系元素。

【自主思考】某元素的原子序数为24，试问：（1）此元素原子的电子总数是多少？（2）它有多少个电子层？有多少个能级？（3）它的价电子构型是怎样的？它的价电子数是多少？（4）它属于第几周期？第几族？主族还是副族？属于哪个区？（5）它有多少个未成对电子？答案（1）24（2）4个电子层；7个能级（3）3d54s1；价电子数为6（4）第四周期；第ⅥB族；副族；d区（5）有6个二、元素周期系1.碱金属元素基态原子的核外电子排布2.元素周期系形成的原因元素周期系的形成是由于元素的原子核外电子的排布发生周期性的重复。

随着元素原子的核电荷数递增，每到出现碱金属，就开始建立一个新的电子层，随后最外层上的电子逐渐增多，最后达到8个电子，出现稀有气体；然后又开始由碱金属到稀有气体，如此循环往复——这就是元素周期系中的一个个周期。

【自主思考】1.元素周期系的实质是什么？答案元素的原子核外电子的排布发生周期性的重复。

章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x|x 是2的倍数}，则M∩N 等于( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8}2．若集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A∩B 等于( ) A ．{x|－1≤x≤1} B ．{x|x≥0} C ．{x|0≤x≤1} D ．∅3．若f(x)＝ax 2－2(a>0)，且f(2)＝2，则a 等于( ) A ．1＋22 B ．1－22C ．0D ．24．若函数f(x)满足f(3x ＋2)＝9x ＋8，则f(x)的解析式是( ) A ．f(x)＝9x ＋8 B ．f(x)＝3x ＋2 C ．f(x)＝－3x －4D ．f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －45．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)等于( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{4,5}6．已知函数f(x)＝1x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12 B ．－12C ．1D ．－17．已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a≤ 3 B ．－3≤a≤ 3 C ．0<a≤ 3D ．－3≤a<08．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x>10)f(f(x ＋5)) (x≤10)，则f(5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．169．f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定10．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12， x ∈A 2(1－x)， x ∈B ，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A ．(0，14]B ．(14，12]C ．(14，12)D ．[0，38]11．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么( ) A ．f(2)<f(1)<f(4) B ．f(1)<f(2)<f(4) C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)12．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，且f(m ＋3)≤f(5)，则实数m 的取值范围是________． 14．函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________． 15．若函数f(x)＝x 2＋(a ＋1)x ＋a x为奇函数，则实数a ＝________.16．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设集合A ＝{x|2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x|2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B.18．(12分)已知函数f(x)＝x ＋2x －6，(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？ (2)当x ＝4时，求f(x)的值； (3)当f(x)＝2时，求x 的值．19．(12分)函数f(x)是R 上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝2x －1.(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x<0时，函数的解析式．20．(12分)函数f(x)＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x ，y ∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性； (2)试判断该函数在R 上的单调性； (3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，t]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f(x)＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立，求实数a 的值．章末检测(A)1．C [因为N ＝{x|x 是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M ∩N ＝{2,4,8}，所以C 正确．]2．C [A ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y ≥0}，解得A ∩B ＝{x|0≤x≤1}．] 3．A [f(2)＝2a －2＝2，∴a ＝1＋22.] 4．B [f(3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2， ∴f(t)＝3t ＋2，即f(x)＝3x ＋2.] 5．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}， 则N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．] 6．A [f(x)＝1x 在[1,2]上递减，∴f(1)＝A ，f(2)＝B ，∴A －B ＝f(1)－f(2)＝1－12＝12.]7．D [由题意知a<0，－a 3－a2a ≥－1，－a 22＋12≥－1，即a 2≤3. ∴－3≤a<0.]8．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15))) ＝f(f(18))＝f(21)＝24.]9．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m ＝0，所以f(x)＝－x 2＋3，画出函数f(x)＝－x 2＋3的图象知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．] 10．C [∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B ，∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)，即f[f(x 0)]＝1－2x 0∈A ， 所以0≤1－2x 0<12，即14<x 0≤12，又x 0∈A ， ∴14<x 0<12，故选C.] 11．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x ＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)， 在x<2时y ＝f(x)为减函数． ∵0<1<2， ∴f(0)>f(1)>f(2)， 即f(2)<f(1)<f(4)．]12．D [由题意知f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.]13．m≤2解析 由函数单调性可知，由f(m ＋3)≤f(5)有m ＋3≤5， 故m≤2. 14．－1解析 f(x)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]， ∴f(x)max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)min ＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)， 即x 2－(a ＋1)x ＋a －x ＝－x 2＋(a ＋1)x ＋a x ，∴(a ＋1)x ＝0对x≠0恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 16．(－1，－12)∪[0,1)解析 由题中图象知，当x≠0时，f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)－[－f(x)]>－1，∴f(x)>－12，由题图可知，此时－1<x<－12或0<x<1.当x ＝0时，f(0)＝－1，f(0)－f(－0)＝－1＋1＝0,0>－1满足条件． 因此其解集是{x|－1<x<－12或0≤x<1}．17．解 ∵A∩B ＝{12}，∴12∈A.∴2(12)2＋3p(12)＋2＝0.∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}．又∵A∩B ＝{12}，∴12∈B.∴2(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．18．解 (1)∵f(3)＝3＋23－6＝－53≠14.∴点(3,14)不在f(x)的图象上． (2)当x ＝4时，f(4)＝4＋24－6＝－3.(3)若f(x)＝2，则x ＋2x －6＝2，∴2x －12＝x ＋2，∴x ＝14. 19．(1)证明 设0<x 1<x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1)＝2(x 2－x 1)x 1x 2，∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f(x 1)－f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数． (2)解 设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－2x －1，又f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)＝－2x －1，即f(x)＝－2x－1(x<0)．20．解 ∵f(x)＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．∴f(x)min ＝f(0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a<4时，f(x)min ＝f(a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min ＝f(2)＝a 2－10a ＋18. 由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.21．解 (1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0) ＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f(x 2－x 1)<0， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0， 即f(x 2)<f(x 1)∴f(x)在R 上是减函数． (3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数， ∴f(12)最小，f(－12)最大． 又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6) ＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8， ∴f(－12)＝－f(12)＝8.∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8. 22．解 (1)y ＝f(x)＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u≤3， 则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤12时，f(x)单调递减；所以减区间为[0，12]；当2≤u≤3，即12≤x≤1时，f(x)单调递增；所以增区间为[12，1]；由f(0)＝－3，f(12)＝－4，f(1)＝－113，得f(x)的值域为[－4，－3]． (2)g(x)＝－x －2a 为减函数， 故g(x)∈[－1－2a ，－2a]，x ∈[0,1]． 由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a≤－4－2a≥－3∴a ＝32.。

一、填空题1．集合A ＝{0,1,2}的真子集个数是________．解析：集合A 的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}和{0,2}，共7个． 答案：72．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，C ⊆A ，C ⊆B ，则集合C 最多含有________个元素．解析：由题意知C 最多含有3个元素：4,5,6.答案：33．已知集合A ＝{x |x ＝k 3，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝k6，k ∈Z}，则A 与B 的关系为________． 解析：∵k 3＝2k 6，∴k 3∈B ，∴A ⊆B ，但B 中元素16∉A ，∴A B . 答案：A B4．已知a 是实数，若集合{x |ax ＝1}是任何集合的子集，则a 的值是__________． 解析：∵集合{x |ax ＝1}是任何集合的子集，∴该集合为∅，当a ＝0时，ax ＝1无解．∴a ＝0.答案：05．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若AB ，则实数a 的取值范围是__________． 解析：∵AB ，(如图) ∴a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．答案：{a |a ≥2}6．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}，∴NM . 答案：N M二、解答题7．已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M .解：因为{1,2}⊆M ，则1∈M,2∈M ，故集合M 中一定有元素1,2.又因为M ⊆{1,2,3,4,5}，即若x ∈M ，则x ∈{1,2,3,4,5}，所以若集合M 中除1,2外还有其他元素，则只能从3,4,5中选取部分或全部数，故满足条件的集合M 含有两个元素时为{1,2}；含有三个元素时可以为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素时可以为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素时为{1,2,3,4,5}．综上满足条件的集合M 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．8．已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． 解：∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}．(1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ， ∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立． 综上可知，实数a 的取值范围为a ≥1.9．设集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，(1)若A B ，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使B ⊆A?解：(1)借助数轴可得，a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－2，a ＋2≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2<3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤－2，a ＋2≥3， 得a 无解，所以不存在实数a 使B ⊆A .。