江苏省如皋市高考数学一轮复习直线与平面的位置关系—所成角活动单(无答案)

１．四个公理公理１：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理２：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理３：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．拓展：公理３的三个推论推论１：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论２：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论３：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行．２．直线与直线的位置关系（１）位置关系的分类错误!（２）异面直线所成的角１定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．２范围：（0°，90°]．拓展：异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．３．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（１）空间中直线与平面的位置关系（２）空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．错误!唯一性定理（１）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．（２）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（３）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（４）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（）（２）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（）（３）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（）（４）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．（）[答案]（１）×（２）√（３）×（４）×二、教材改编１．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）Ａ．一定是异面直线Ｂ．一定是相交直线Ｃ．不可能是平行直线Ｄ．不可能是相交直线C[由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．]２．如图所示，在正方体ABCD­A１B１C１D１中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B１C与EF所成角的大小为（）Ａ．３0°Ｂ．４５°Ｃ．60° Ｄ．90°C[连接B１D１，D１C（图略），则B１D１∥EF，故∠D１B１C为所求的角，又B１D１＝B１C＝D１C，∴∠D１B１C＝60°.]３．下列命题正确的是（）Ａ．两个平面如果有公共点，那么一定相交Ｂ．两个平面的公共点一定共线Ｃ．两个平面有３个公共点一定重合Ｄ．过空间任意三点，一定有一个平面D[如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点．]４．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则（１）当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为菱形；（２）当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为正方形．（１）AC＝BD（２）AC＝BD且AC⊥BD[（１）∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.（２）∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝错误!AC，EH＝错误!BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.]考点１平面的基本性质及应用共面、共线、共点问题的证明（１）证明共面的方法：１先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；２证两平面重合．（２）证明共线的方法：１先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；２直接证明这些点都在同一条特定直线上．（３）证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如图所示，正方体ABCD­A１B１C１D１中，E，F分别是AB和AA１的中点．求证：（１）E，C，D１，F四点共面；（２）CE，D１F，DA三线共点．[证明]（１）如图，连接EF，CD１，A１B.∵E，F分别是AB，AA１的中点，∴EF∥BA１.又∵A１B∥D１C，∴EF∥CD１，∴E，C，D１，F四点共面．（２）∵EF∥CD１，EF<CD１，∴CE与D１F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD１A１.又平面ABCD∩平面ADD１A１＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D１F，DA三线共点．本例第（１）问的证明应用了公理２的推论，采用线线共面，则线上的点必共面的思想；本例第（２）问的证明应用了公理３，采用先证明CE与D１F相交，再证明交点在直线DA上．１空间四点共面，则其中必有三点共线；２空间四点不共面，则其中任意三点不共线；３空间四点中有三点共线，则此四点共面；４空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面．其中真命题的所有序号有．２３[１中，对于平面四边形来说不成立，故１是假命题；２中，若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故２是真命题；由２的分析可知３是真命题；４中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故４是假命题．]２．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝１∶２．（１）求证：E，F，G，H四点共面；（２）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[证明]（１）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，错误!＝错误!＝错误!，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．（２）因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．考点２判断空间两直线的位置关系空间中两直线位置关系的判定方法１．若直线l１和l２是异面直线，l１在平面α内，l２在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）Ａ．l与l１，l２都不相交Ｂ．l与l１，l２都相交Ｃ．l至多与l１，l２中的一条相交Ｄ．l至少与l１，l２中的一条相交D[法一：（反证法）由于l与直线l１，l２分别共面，故直线l与l１，l２要么都不相交，要么至少与l１，l２中的一条相交．若l∥l１，l∥l２，则l１∥l２，这与l１，l２是异面直线矛盾．故l至少与l１，l２中的一条相交．法二：（模型法）如图（１），l１与l２是异面直线，l１与l平行，l２与l相交，故A，B不正确；如图（２），l１与l２是异面直线，l１，l２都与l相交，故C不正确．]图（１）图（２）２．（２0１9·全国卷Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）Ａ．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线Ｂ．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线Ｃ．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线Ｄ．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[如图所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F.连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为２，易知EO＝错误!，ON＝１，EN＝２，MF＝错误!，BF＝错误!，∴BM＝错误!.∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN.又∵M为ED的中点，∴BM，EN为△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选Ｂ．]３．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有．（填序号）１２３４２４[图１中，直线GH∥MN；图２中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图３中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图４中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图２４中，GH与MN异面．]在直接判断不好处理的情况下，反证法、模型法（如构造几何体：正方体、空间四边形等）和特例排除法等是解决此类问题的三种常用便捷方法．考点３异面直线所成的角１．平移法求异面直线所成角的一般步骤（１）作角——用平移法找（或作）出符合题意的角．（２）求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．提醒：异面直线所成的角θ∈.２．坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法．提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．（１）[一题多解]（２0１8·全国卷Ⅱ）在长方体ABCD­A１B１C１D１中，AB＝BC＝１，AA１＝错误!，则异面直线AD１与DB１所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．１求证：直线EF与BD是异面直线；２若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．（１）C[法一：（平移法）如图，连接BD１，交DB１于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD１的中点，所以AD１∥OM，则∠MOD为异面直线AD１与DB１所成角．因为在长方体ABCD­A １B１C１D１中，AB＝BC＝１，AA１＝错误!，AD１＝错误!＝２，,DM＝错误!＝错误!，DB１＝错误!＝错误!，所以OM＝错误!AD１＝１，OD＝错误!DB１＝错误!，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝错误!＝错误!，即异面直线AD１与DB１所成角的余弦值为错误!.故选Ｃ．法二：（坐标法）以D为坐标原点，DA，DC，DD１所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D（0,0,0），A（１,0,0），D１（0,0，错误!），B１（１,１，错误!），所以错误!＝（—１,0，错误!），错误!＝（１,１，错误!），则由向量夹角公式，得cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!，即异面直线AD１与DB１所成角的余弦值为错误!，故选Ｃ．法三：（补体法）如图，在长方体ABCD­A１B１C１D１的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA­A１′B１′B１A１.连接B１B′，由长方体性质可知，B１B′∥AD１，所以∠DB１B′为异面直线AD１与DB１所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝错误!＝错误!，B′B１＝错误!＝２，DB１＝错误!＝错误!.在△DB′B１中，由余弦定理，得DB′２＝B′B错误!＋DB错误!—２B′B１·DB１·cos∠DB１B′，即５＝４＋５—２×２错误!cos∠DB１B′，∴cos∠DB１B′＝错误!.故选Ｃ．]（２）[解] １证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD 与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．２取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝错误!AC，求得∠FEG＝４５°，即异面直线EF与BD所成的角为４５°.平移法、坐标法和补体法是求两条异面直线所成角的大小的三种常用方法，其中平移法和补体法的实质是平行移动直线，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．[教师备选例题]１．（２0１6·全国卷Ⅰ）平面α过正方体ABCD­A１B１C１D１的顶点A，α∥平面CB１D１，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB１A１＝n，则m，n所成角的正弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[如图，设平面CB１D１∩平面ABCD＝m１.∵平面α∥平面CB１D１，∴m１∥m.又平面ABCD∥平面A１B１C１D１，且平面CB１D１∩平面A１B１C１D１＝B１D１，∴B１D１∥m１.∴B１D１∥m.∵平面ABB１A１∥平面DCC１D１，且平面CB１D１∩平面DCC１D１＝CD１，同理可证CD１∥n.因此直线m与n所成的角即直线B１D１与CD１所成的角．在正方体ABCD­A１B１C１D１中，△CB１D１是正三角形，故直线B１D１与CD１所成角为60°，其正弦值为错误!.]２．（２0１7·全国卷Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：１当直线AB与a成60°角时，AB与b成３0°角；２当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；３直线AB与a所成角的最小值为４５°；４直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）２３[依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为１．由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，１为半径的圆．设直线a的方向向量为a＝（0,１,0），直线b的方向向量为b＝（１,0,0），错误!以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,２π），则B（cos θ，sin θ，0），∴错误!＝（cos θ，sin θ，—１），|错误!|＝错误!.设直线AB与a所成夹角为α，则cos α＝错误!＝错误!|sin θ|∈错误!，∴４５°≤α≤90°，∴３正确，４错误．设直线AB与b所成夹角为β，则cos β＝错误!＝错误!|cos θ|.当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时，则|sin θ|＝错误!cos α＝错误!cos 60°＝错误!，∴|cos θ|＝错误!.∴cos β＝错误!|cos θ|＝错误!.∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.∴２正确，１错误．]１．（２0１9·聊城一模）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧错误!的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝２，则BH＝HE＝１，AH＝错误!，所以AE＝错误!，连接ED，ED＝错误!，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD 中cos∠EAD＝错误!＝错误!，故选Ｄ．]２．（２0１9·西安模拟）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，１GH与EF平行；２BD与MN为异面直线；３GH与MN成60°角；４DE 与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．２３４[还原成正四面体A­DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．连接GM，∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确命题的序号是２３４．]。

7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系[知识梳理]1．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系3．必记结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．[诊断自测]1．概念思辨(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( )(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．( )(4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ) 答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P52B组T1(2))如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.故选C.(2)(必修A2P63B组T1)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．答案平行AD解析E，F分别为PC，PB中点，所以EF∥BC，又BC∥AD.所以EF∥AD，而AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD.所以EF∥平面PAD.由上述推证易得两面交线为AD.3．小题热身(1)(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.(2)(2017·广东五校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ； ②若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确；对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线的夹角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确；对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确；对于④，由n ∥β得在平面β内必存在直线n 1平行于直线n ；由m ⊥α，α∥β得m ⊥β，m ⊥n 1；又n 1∥n ，因此有m⊥n ，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.题型1 平面的基本性质典例 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？先证明三点共面，再证另一点也在这个面上．解 (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点，知BE 綊GF ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH . 所以EF 与CH 共面，又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．[结论探究] 若典例中条件不变，证明：FE ，AB ，DC 交于一点．证明 由例题可知，四边形EBGF 和四边形BCHG 都是平行四边形，故可得四边形ECHF 为平行四边形，∴EC ∥HF ，且EC ＝12DF ，∴四边形ECDF 为梯形．∴FE ，DC 交于一点，设FE ∩DC ＝M . ∵M ∈FE ，FE ⊂平面BAFE ， ∴M ∈平面BAFE .同理M ∈平面BADC . 又平面BAFE ∩平面BADC ＝BA ， ∴M ∈BA ，∴FE ，AB ，DC 交于一点． 方法技巧1．证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．如典例(2)． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如本典例中的结论探究． 冲关针对训练如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面，(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 题型2 空间两直线的位置关系典例 (2018·金华模拟)如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有______(填上所有正确答案的序号)．选择一组对边GH ，MN ，考查其所在的边是否平行或其延长线是否相交．答案 ②④解析 在图①中，直线GH ∥MN ；在图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，N ∉GH ，因此直线GH 与MN 异面； 在图③中，连接GM ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 在图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，G ∉MN ， 因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面． 方法技巧异面直线的判定方法1．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．冲关针对训练(2017·上饶模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R，给出下列结论：①对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；②对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP.其中正确的结论是________．答案②④解析①只有D1Q⊥平面BCC1B1时才能满足对于任意给定的点P，存在点Q使D1Q⊥CP，而过D1只有D1C1⊥平面BCC1B1故①错误；②当P与B1重合时，CP⊥平面ABC1D1.即CP⊥P1Q，故②正确；③当R与A1重合时，在线段BB1上不存在点P，使CP⊥D1R，故③错误；④如图所示：对任意的点P，在AA1上存在P1使得DP1∥CP，过点D1作D1R1，使得D1R1⊥DP1且交A1D于点R1，作RR1∥CD交A1C于点R，则RR1⊥平面ADD1A1，所以RR1⊥DP1，又D1R1⊥DP1，则DP1⊥平面D1R1R，即CP⊥平面D1R1R，故D1R⊥CP，故④正确．题型3 异面直线所成的角ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，典例(2014·全国卷Ⅱ)直三棱柱A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22异面直线所成的角转化为共面直线所成的角，注意使用平移法．答案 C解析 取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知BM ∥QN ，则∠ANQ 或其补角即为所求， 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AQ ＝5，AN ＝5，QN ＝6，∴cos ∠ANQ ＝AN 2＋NQ 2－AQ 22AN ·NQ ＝5＋6－525×6＝6230＝3010.故选C.方法技巧求异面直线所成角的方法1．几何法(1)作：通过作平行线，得到相交直线．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角)． (3)求：解三角形，求作出的角． 2．空间向量法提醒：在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 冲关针对训练(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13答案 A解析 如图，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知m ，n所成角为∠EAF 1，因为△EAF 1为正三角形，所以sin ∠EAF 1＝sin60°＝32，故选A.1.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212AB 1·AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.2．(2018·山西四校联考)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的端点M 在棱DD 1上运动，端点N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是 ( )A ．4πB ．πC ．2π D.π2答案 D解析 当点M 不与D 1，D 重合时，连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，1为半径的球面上(经检验点M 与点D 1或D 重合时也满足该结论)，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.选D.3．(2017·安徽安庆二模)正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为________．答案 16解析 如图，取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF 、CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG ＝132，由余弦定理推论，得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，∴异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为16. 4．(2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0,1,0)，直线b 的方向向量为b ＝(1,0,0)，CB →以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B (cos θ，sin θ，0)，∴AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝ 2. 设直线AB 与a 所成夹角为α，则cos α＝||AB →·a ||a ||AB →＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．设直线AB 与b 所成夹角为β， 则cos β＝||AB →·b ||b ||AB →＝22|cos θ|.当直线AB 与a 的夹角为60°， 即α＝60°时，则|sin θ|＝2cos α＝2cos60°＝22，∴|cosθ|＝22.∴cosβ＝22|cosθ|＝12.∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.∴②正确，①错误．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析对于A，m与l可能平行或异面，故A错误；对于B，D，m与n可能平行、相交或异面，故B，D错误；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.2．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案 B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．故选B.3．(2016·雅安期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线有( )A．1条B．2条C．4条D．无数条答案 C解析若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1平行即可，同理体对角线A1C，AC1，DB1也满足条件．则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条．故选C.4．(2017·宁德期末)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为( )A．0° B．45°C．60° D．90°答案 D解析如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE－CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.故选D.5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案 D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.故选D.6．(2018·江西景德镇模拟)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面．故选C.7．(2017·河北唐山模拟)已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是 ( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 A解析取AC的中点O，连接OM，ON，则ON∥AP，ON＝12AP，OM∥BC，OM＝12BC，所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角)，在△ONM中，OM＝2，ON＝23，MN＝4，由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，则∠ONM＝30°.故选A.8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A．8 B．9C．10 D．11答案 A解析如图，CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8.选A.9．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )答案 D解析①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α，可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．故选D.10．(2018·广东惠州三调)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD 的中点，所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错误；因为AF⊂平面PAD，B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错误．故选B.二、填空题11．如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案③④解析如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.12．(2018·仙桃期末)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD＝2，且AC与BD成60°，则四边形EFGH的面积为________．答案3 2解析 如图所示，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EH ∥FG ∥BD ，EH ＝FG ＝ 12BD ＝1. ∴四边形EFGH 是平行四边形， 同理可得EF ＝GH ＝12AC ＝1，∴四边形EFGH 是菱形．∵AC 与BD 成60°，∴∠FEH ＝60°或120°. ∴四边形EFGH 的面积＝2×12EF 2sin60°＝32.13．(2018·湖北武昌调研)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤解析 对于①，把四面体ABCD 放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；对于②，因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；对于③，当四面体ABCD 为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；对于④，因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；又命题⑤显然成立，故填②④⑤.14．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P －DEF ，则四面体中异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为________．答案 23解析折成的正四面体，如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK (或其补角)即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2， 在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32， PK ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝PG 2＋GK 2－PK 22·PG ·GK＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23， 即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为23.三、解答题15．(2018·普宁期末)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)在A1C上是否存在一点Q，使BC1∥DQ?(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求异面直线AB1与CD所成角的大小．解(1)连接AC1交A1C于Q，连接DQ，∴DQ为△ABC1的中位线，DQ∥BC1，∴A1C上存在一点Q，使BC1∥DQ，Q为A1C的中点．(2)连接AB1，取BB1中点M，连接DM、CM，则DM是△ABB1的中位线，∴DM∥AB1，∴∠CDM就是所求异面直线所成角(或补角)，∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，∴CM＝5，DM＝3，CD＝2，∴DM2＋CD2＝CM2，满足勾股定理，∴∠CDM＝90°，故异面直线AB1与CD所成角为90°.16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBO ＝60°.在Rt △AOB 中，BO ＝AB ·sin30°＝1，∵PO ⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan60°＝ 3. ∵底面菱形的面积S ＝12×2×3×2＝23， ∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，如图所示，∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成的角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，PA ＝6，∴EF ＝62. 在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF ＝DE ＝3，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－(3)22×3×62＝6432＝24.∴异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24.。

第68课直线与平面平行1. 了解直线与平面的位置关系.2. 理解直线与平面平行的判定定理与性质定理.1. 阅读：必修2第32～34页.2. 解悟：①直线和平面的位置关系，注意直线与平面相交也称直线在平面外；②读懂线面平行的判定定理和性质定理.3. 践习：在教材空白处，完成第34页练习第1题；第35页练习第3、4题.基础诊断1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为平行.解析：如图，连结AC，BD交于点O，连结OE.因为OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.2. 已知两条不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上述命题中正确的是④.(填序号)解析：①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面，故①错误；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错误；③若a∥b，b⊂α，则a⊂α或a∥α，故③错误；④正确.3. 过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条.解析：如图，各中点连线中只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，即在四边形EFGH中有6条直线符合题意.4. 下列命题中正确的是 ④ .(填序号)①若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何平面； ②若直线a 和平面α满足a ∥α，则a 与α内的任何直线平行； ③平行于同一条直线的两个平面平行；④若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄a ，则b ∥α.解析：①直线a 可能在经过b 的平面内，故①错误；②直线a 还可以与平面α内的直线异面，故②错误；③平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故③错误；过直线a 作平面β，交平面α于直线c.因为a ∥α，所以a ∥c.因为a ∥b ，所以b ∥c.因为b ⊄α，且c ⊂α，所以b ∥α，故④正确.范例导航考向❶ 直线与平面平行的判定例1 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ＝23a.(1) 求证：MN ∥平面BB 1C 1C ； (2) 求MN 的长.解析：(1) 作MP ∥AB ，NQ ∥AB ，分别交BB 1，BC 于点P ，Q ，连结PQ ，由作图可得PM ∥QN. 因为A 1M ＝23a ，PM A 1B 1＝BM BA 1，得PM ＝23a.同理QN ＝23a ，所以PM ∥QN ，PM ＝QN ，所以四边形PQNM 是平行四边形， 所以MN ∥PQ.因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，PQ ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C.(2) 因为BP ＝PM ＝23a ，CQ ＝QN ＝23a ，所以BQ ＝13a ，所以在Rt △PBQ 中，PQ ＝53a ， 所以MN ＝PQ ＝53a.【注】 这里证明线面平行，就是将直线MN 平移到平面BB 1C 1C 中，要注意体会平移的方向和距离，构造的辅助面是哪一个.如图，在四棱锥PABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.求证：AP ∥平面BEF.解析：连结EC ，AC ，AC 交BE 于点O ，连结OF. 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AE 且BC ＝AE ， 所以四边形ABCE 是平行四边形， 所以O 为AC 的中点.因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP. 因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF.【注】 这里辅助线的由;，就是将点C 视为投影中心，构造辅助面CPA 找到了平面内的那条“线”. 考向❷ 直线与平面平行的判定和性质的综合运用例2 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 的中点，过A ，N ，D 三点的平面交PC 于点M.求证：(1) PD ∥平面ANC ； (2) M 是PC 的中点.解析：(1) 连结BD，设BD∩AC＝O，连结NO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点.因为N是PB的中点，所以PD∥NO.又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，所以PD∥平面ANC.(2) 因为底面ABCD为平行四边形，所以AD∥BC.因为BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，所以BC∥平面ADMN.因为平面PBC∩平面ADMN＝MN，所以BC∥MN.又N是PB的中点，所以M是PC的中点.【注】不论是用判定定理，还是用性质定理，目光要聚焦在辅助平面上，这样，要找的“线”才能从复杂的背景图形中凸显出;求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与这两个相交平面的交线平行.解析：已知：a∥α，a∥β，且α∩β＝b.求证：a∥b.证明：如图，在平面α内任取一点A，且使A∉b.因为a∥α，A∉a，故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.同理，在平面β内任取一点B，且使B∉b，则点B和直线a确定一个平面δ，设δ∩β＝n.因为a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，所以a∥m.同理可得a∥n，所以m∥n.因为m⊄β，n⊂β，所以m∥β.因为m⊂α，α∩β＝b，所以m∥b.因为a∥m，所以a∥b.自测反馈1. 已知下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的序号为④.解析：①因为直线l与平面内无数条直线平行，l可能在平面α内，故①错误；②直线a在平面α外包括两种情况，a∥α和a与平面α相交，故②错误；③若直线a∥b，b⊂α，则a可能在平面α内，故③错误；④因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a平行于平面α内的无数条直线，故④正确.2. 设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是②.(填序号)①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l∥β.解析：①若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故①错误；②正确；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故③错误；④若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能直线l在平面β内，故④错误.故选②3. 下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①③.(写出所有符合要求的图形序号)①②③④解析：①因为平面MNP与AB所在的平面平行，所以AB∥平面MNP；②设下底面的中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行；③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP；④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行.故填①③.1. 运用线面平行的判定定理和性质定理时，都涉及“线线平行”，即平面外的直线与平面内的直线平行.需要思考的是：这里的“线”与“线”实质上一定是共面的！因此，用判定定理“找线”通常要通过找平面;实现，找到了辅助面，辅助面与已知平面的“交线”必定是要找的“线”.2. 找(造)辅助面的方法通常有：一是平行投影法，如例1；二是中心投影法，如例1的跟踪练习，可视点C为投影中心.例2又是用什么方法找的哪一个辅助面？3. 你还有哪些体悟，请写下;：。

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.考情分析考点考法:以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.四个基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.符号:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a ∥b a ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a ∩b =A a ∩α=A α∩β=l 其他关系图形语言-符号语言a ,b 是异面直线a ⊂α-【微点拨】(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:,【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14231.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合B.经过两条相交直线,有且只有一个平面C.两两相交的三条直线共面D.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线【解析】选ACD.A中的两个平面可能相交;B正确;C中的三条直线相交于一点时可能不共面;D中的两条直线可能是平行直线.2.(易错题)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解析】选ABD.如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=2a,OC1=22,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C错误.因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正确.4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,因为EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD.(2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因为EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考点·分类突破】考点一空间位置关系的判断[例1](1)(多选题)下列选项正确的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l【解析】选AD.对于选项A,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交于B,则交点B在平面α内,同理,l3与l2的交点A也在平面α内,所以AB⊂α,即l3⊂α,选项A正确.对于选项B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,选项B错误.对于选项C,空间中两条直线可能相交、平行或异面,选项C错误.对于选项D,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线.因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,选项D正确.(2)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH 与MN异面.答案:②④【解题技法】1.点、线共面的判断方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 2.两直线位置关系的判断【微提醒】平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.【对点训练】1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【解析】选C.由题意易知,c与a,b都可相交,也可只与其中一条相交,故A,B均错误;若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据基本事实4,知a∥b,与a,b为异面直线矛盾,D错误.2.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序号).【解析】由基本事实4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错误;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b不同在任何一个平面内,故④错误.答案:②③④考点二基本事实及其应用[例2]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)BE,DF,CC1三线共点.【证明】(1)如图,连接EF,BD,B1D1,因为EF是△B1C1D1的中位线,所以EF∥B1D1,因为BB1与DD1平行且相等,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四点共面;(2)因为EF∥BD,且EF≠BD,所以直线BE和DF相交,延长BE,DF,设它们相交于点P,因为P∈直线BE,直线BE⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因为P∈直线DF,直线DF⊂平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因为平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三线共点.【解题技法】1.证明空间点共线问题的方法(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.共面、共点问题(1)先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)利用确定平面的定理,如由点构造平行直线、构造相交直线等.【对点训练】1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD 上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.考点三异面直线所成的角[例3](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.33535B.43535C.3714D.277【解析】选C.连接AO2,设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,连接CD(图略),在Rt△BCD 中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=B2+B2=7,CE=B2+B2=5,所以在△CAE中,cos∠CAE=B2+B2-B22B·B==3714,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为3714.(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为()A .33B .55C .1010D .3010【解析】选D .设AB =2,取A 1B 1的中点F ,连接C 1F ,DF ,DE ,则B 1F =12A 1B 1,因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DE ∥AB ,DE =12AB ,因为A 1B 1∥AB ,A 1B 1=AB ,所以DE ∥B 1F ,B 1F =DE ,所以四边形DEB 1F 为平行四边形,所以DF ∥B 1E ,所以∠C 1DF 为异面直线C 1D 与B 1E 所成的角或补角.因为AB ⊥BC ,AB =BC =AA 1=2,D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DF =B 1E =12+22=5,C 1F =12+22=5,C 1D =(2)2+22=6,所以cos ∠C 1DF =121D ==3010.【解题技法】求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【对点训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】选D.如图,连接A1C1,BC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为2,则PB=6,PC1=2,BC1=22,则PB2+P12=B12,在Rt△PBC1中,因为sin∠PBC1=B1B1=2=12,所以直线PB与AD1所成的角为π6.2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD, SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A .222B .53C .1316D .113【解析】选D .如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角.因为SE =14SB ,所以SE =13BE.又OB =3,所以OF =13OB =1.因为SO ⊥OC ,SO =OC =3,所以SC =32.因为SO ⊥OF ,所以SF =B 2+D 2=10.因为OC ⊥OF ,所以CF =10.所以在等腰△SCF 中,tan ∠CSF =113.即异面直线SC 与OE 所成角的正切值为113.【加练备选】平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为()A .32B .22C .33D .13【解析】选A .如图所示,过点A 补作一个与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF 1E ,则m ,n 所成的角为∠EAF 1.因为△AF 1E 为正三角形,所以sin ∠EAF 1=sin 60°=32.。

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 考向二 空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三 异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析 如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析 如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形． 对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ， 如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

第67课平面的基本性质及线线、线面之间的位置关系1. 了解4个公理及公理3的3个推论，等角定理，异面直线的判定定理.2. 理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；引导学生理解反证法，通过“反设”与“归谬”，进而得到正确的结论.1. 阅读：必修2第21～30页.2. 解悟：①4个公理及公理3的3个推论，等角定理的3种语言；②空间两直线的几种位置关系；③异面直线的判定定理.3. 践习：在教材空白处，完成第25页练习第7、8题；第30页练习第6、7题.基础诊断1. 已知点A、B，直线l，平面α、β，给出下列命题：①若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l⊄α，A∈l，则A∉α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C三点不共线，则α与β重合；⑤梯形是平面图形；⑥四边形的两条对角线必相交于一点.其中正确的命题是①②④⑤.(填序号)解析：①由公理1可知，①正确；②因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理AB⊂β，所以α∩β＝AB，故②正确；③l⊄α分两种情况，l与α相交或l∥α，当l与α相交，A为交点时，A∈α，故③错误；④由于A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点只能确定一个平面，所以α与β重合，故④正确；⑤因为梯形的上、下底平行，经过两条平行直线，有且只有一个平面，所以梯形是平面图形，故⑤正确；⑥空间四边形的两条对角线异面，不相交，故⑥错误，故填①②④⑤.2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过点P，Q，R的截面图形是六边形.解析：如图，作RG∥PQ交C1D1于点G，连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB1于点E，连结PE.延长PQ交CD的延长线于点N，连结NG交DD1于点F，连结QF，所以截面为六边形PQFGRE.3. 两两平行的三条直线可确定1或3 个平面.解析：若三条平行直线共面时，可确定1个平面；若三条直线，两两平行且不共面时，可确定3个平面，如三棱柱的三条侧棱，故可确定1或3个平面.4. 如图所示，已知在长方体ABCDEFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是 45° ，AE 和BG 所成角的大小是 60° .解析：BC 与EG 所成的角即为EG 与FG 所成的角，即∠EGF.因为tan ∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，所以∠EGF ＝45°，故BC 和EG 所成角的大小为45°.AE 与BG 所成的角即为BF 与BG 所成的角，即∠GBF. 因为tan ∠GBF ＝FG BF ＝232＝3，所以∠GBF ＝60°，故AE 和BG 所成角的大小为60°.范例导航例1 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点.求证： (1) E ，C ，D 1，F 四点共面； (2) CE ，D 1F ，DA 三线共点.解析：(1) 连结EF ，CD 1，A 1B. 因为E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， 所以EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，所以EF ∥CD 1， 所以E ，C ，D 1，F 四点共面. (2) 因为EF ∥CD 1，EF<CD 1，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈DA，所以CE，D1F，DA三线共点.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线.解析：因为E∈AB，H∈AD，所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，所以EH⊂平面ABD.因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以O∈BD，即B，D，O三点共线.【注】证明点共线的关键是将这些点放到两个平面的交线上.考向❷异面直线的判断，求异面直线所成的角例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.(1) AM和CN是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B和CC1是否是异面直线？请说明理由；(3) 求异面直线AM与D1C1所成角的余弦值.解析：(1) 不是异面直线.理由如下：连结MN，A1C1，AC，如图.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.因为A1A∥C1C，AA1＝CC1，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C四点在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.(2) 是异面直线.理由如下：因为几何体ABCDA1B1C1D1是正方体，所以点B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使得D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以点D1，B，C，C1∈α，与几何体ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾，所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.(3) 因为AB∥DC，D1C1∥DC，所以AB∥D1C1，所以∠MAB即为异面直线AM与D1C1所成的角.因为∠A1MA＝∠MAB，所以在Rt△A1AM中，cos∠A1MA＝15＝55，所以异面直线AM与D1C1所成角的余弦值为5 5 .【注】求异面直线所成的角，一般要利用平移先找(作)出所求的角，再放到某一个三角形中求解.如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点.求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.解析：如图，取AC 的中点F ，连结EF ，BF. 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点， 所以EF ∥CD ，所以∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角. 在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22.在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝ 12EF BE ＝ 24 52＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.自测反馈1. 若直线a，b 分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a ，b 的位置关系为 相交或异面 .解析：若a，b两条直线开始于同一个顶点时，则相交；若a，b两条直线不是开始于同一个顶点时异面，所以a，b的位置关系为相交或异面.2. 下列命题中正确的是②③④⑥.(填序号)①空间两两相交的三条直线确定一个平面；②和同一直线都相交的三条平行直线在同一平面内；③若空间四个点不在同一平面内，则必无三点共线；④若一条直线和空间两平行直线中的一条垂直，则必和另一条垂直；⑤若a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，a，b无交点，则a，b是异面直线；⑥若平面α和β有两个公共点，则有无数个公共点在同一条直线上.解析：①空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，故①错误；②设直线l和三条平行线a，b，c.因为a∥b，所以直线a，b确定一个平面α，同理直线b，c确定一个平面β.又因为l⊂α，l⊂β，所以α与β重合，所以a，b，c，l在同一平面内，故②正确；③由直线与直线外一点确定一个平面知，空间四点若不在同一平面内，则其中任意三点不在同一条直线上，故③正确；④一条直线与两条平行线中的一条垂直，说明两条直线所成角为90°，由空间直线与直线所成角的定义可知，它和另一条直线所成角为90°，也就是垂直，故④正确；⑤若a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥b，所以a与b共面，故⑤错误；⑥若平面α和β有两个公共点，则平面α与β相交于一条直线，所以有无数个公共点在同一直线上，故⑥正确，故填②③④⑥.3. 已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确命题的个数是 2 .解析：命题①③正确，命题②④错误，其中命题②中a与b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面α，β有可能不垂直.1. 几个公理各有作用，如：公理1可判断线在平面内或点在平面内；公理2可判断两个平面是否相交和点是否在直线上；公理3是确定平面的依据.2. 判定两条直线是否异面时，常常需依托某一平面.求两条异面直线所成角的关键是通过平行关系，转化为两相交直线所成的角，但要注意其取值范围是(0°，90°].3. 你还有哪些体悟，请写下;：。

直线与平面的位置关系---垂直教学目标:1、理解直线与平面垂直的定义；2、点到面的距离；3、线到面的距离；4、掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理并会应用；5、培养学生的空间想象能力和辨证思维。

教学重点、难点:重点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的理解及推导。

难点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的灵活运用。

教学过程:活动一、阅读下列文字，并回答问题观察圆锥SO ，它给我们以轴SO 垂直于底面的形象，轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？为什么？思考：为什么轴SO 垂直于底面内的所有半径，就有SO 垂直于底面内的所有直线？1、直线与平面垂直：如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 与平面α___________，记作________。

直线a 叫做平面α的_______，平面α叫做直线a 的______，垂线和平面的交点叫做______。

思考：在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么，在空间： （1）过一点有几条直线与已知平面垂直？ （2）过一点有几个平面与已知直线垂直？小结： ___________________________________________________________ __________________________________________________________________. 问：你能证明这个结论吗？ASOB2、点到平面的距离： ________________________________________________ ___________________________________________________________________.3、问题：（1）将一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面的位置关系？（2）学校的旗杆与地面的位置关系？ 归纳：直线与平面垂直的判定定理： ________________________________________ ___________________________________________________________________.上面的定理用符号语言如何表示？两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象。

空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④B[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C DD[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BCC[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.]5．(2019·陕西省第三次联考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.34 B.34C.54 D.54B[如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD＝32，A1D＝12，A1B＝22，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝A 1A 2＋AB 2－A 1B 22A 1A ·AB ＝1＋1－122×1×1＝34.故选B.]二、填空题6．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定 个平面．4 [首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．]7．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为 ．12或32 [如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF .因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32.]8．(2019·长白山模拟)下列命题中不正确的是 ．(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．①② [没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a 和b 异面，c ∥a ，则c 与b 不可能平行，用反证法证明如下：若c ∥b ，又c ∥a ，则a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不平行；命题④正确，若c 与两异面直线a ，b 都相交，可知，a ，c 可确定一个平面，b ，c 也可确定一个平面，这样，a ，b ，c 共确定两个平面．]三、解答题9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[解](1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC 12AD，BE12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH 12AD.又BC12AD，∴GH BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE 12AF，G为F A的中点，∴BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．30°B．60°C．75°D．90°D[将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD ＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.] 3．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是．①③[如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.]4．(2019·上海高考改编)如图，在正三棱锥P-ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB ＝BC＝AC＝ 3.(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；(2)求P-ABC的体积．[解](1)∵M，N分别为PB，BC的中点，∴MN∥PC，则∠PCA为AC与MN所成角，在△P AC中，由P A＝PC＝2，AC＝3，可得cos∠PCA＝PC2＋AC2－P A22PC·AC＝32×2×3＝34，∴AC与MN夹角的余弦值为3 4.(3)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN＝3 2，AO ＝23AN ＝1. ∴PO ＝22－12＝ 3.∴V P -ABC ＝13×12×3×32×3＝34.1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32A [如图所示，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，FO ，OG ，GE ，GF ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，FO ⊥OG ，∴∠FEG 或其补角为异面直线AC 与BD 所成的角． 设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ， ∴△EFG 是等边三角形，∴∠FEG ＝60°， ∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]2．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A1-ABCD的体积；(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值．[解](1)∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，连接AC，∴AC＝22＋22＝2 2.又易知AA1⊥平面ABCD，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，即∠A1CA＝60°，∴AA1＝AC·tan 60°＝22×3＝2 6.∵S正方形ABCD＝AB·BC＝2×2＝4，∴VA1-ABCD＝13·AA1·S正方形ABCD＝13×26×4＝863.(2)连接BD，易知BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角(或所成角的补角)．∵BD＝22＋22＝22，A1D＝A1B＝22＋(26)2＝27，∴cos∠A1BD＝A1B2＋BD2－A1D22·A1B·BD＝28＋8－282×27×22＝1414，即异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值是14 14.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。