高中数学选修1-1 第三章 3.1.3创新设计题_1571

一、选择题1．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞2．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820195．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．D ．6．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 9．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 10．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e11．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或412．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 22．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．23．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．2．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.3．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．5．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.6．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.7．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+，可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．8．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．B解析：B【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．10．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121x x k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=14．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.15．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.18．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=【分析】由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程． 【详解】由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2(1)(1)17f g =+=-，(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出 解析：1y x =+【分析】求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】ln y x =的导数为1y x'=,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．三、解答题21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

§1.3简单的逻辑联络词课时目标 1.认识逻辑联络词“或”、“且”、“非”的含义 .2.会用逻辑联络词联络两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联络词组成新命题(1)用联络词“且”把命题 p 和命题 q 联络起来，就获得一个新命题，记作__________，读作 __________ ．(2)用联络词“或”把命题 p 和命题 q 联络起来，就获得一个新命题，记作________，读作__________ ．(3) 对一个命题p 通盘否认，就获得一个新命题，记作________，读作________ 或____________ ．2．含有逻辑联络词的命题的真假判断p q p∨ q p∧q綈 p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知 p： 2＋2＝ 5； q： 3>2 ，则以下判断错误的选项是()A．“p∨ q”为真，“綈 q”为假B．“p∧ q”为假，“綈 p”为真C．“p∧ q”为假，“綈 p”为假D．“p∨ q”为真，“綈 p”为真2．已知 p：? {0} ，q： {2} ∈ {1,2,3} ．由它们组成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧ q”，“p ∨ q”中，真命题有 ()A．1个B．2 个C．3个D．4 个3．以下命题：①2010 年 2 月 14 日既是春节，又是情人节；② 10 的倍数必定是 5 的倍数；③梯形不是矩形．此中使用逻辑联络词的命题有()A．0个B．1 个C．2 个D．3 个4．设p、 q 是两个命题，则新命题“綈 (p∨ q)为假，p∧ q 为假”的充要条件是()A． p、 q 中起码有一个为真B． p、 q 中起码有一个为假C． p、 q 中有且只有一个为假D． p 为真， q 为假5．命题 p：在△ ABC 中，∠ C>∠ B 是 sin C>sin B 的充足不用要条件；命题q： a>b 是ac2 >bc2的充足不用要条件．则()A． p 假 q 真 B ． p 真 q 假C． p∨ q 为假D． p∧ q 为真6．以下命题中既是p∧ q 形式的命题，又是真命题的是 ()A．10 或 15 是 5 的倍数B．方程 x2－3x－ 4＝ 0 的两根是－ 4 和 1C．方程 x2＋1＝ 0 没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“ 2≤中3”的逻辑联络词是 ________，它是 ________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈ [2,5] 或 x∈ {x|x<1或 x>4} ”是假命题，则x 的范围是 ____________．9．已知 a、 b∈R，设 p： |a|＋ |b|>|a＋ b|， q：函数 y＝ x2－ x＋ 1在 (0，＋∞)上是增函数，那么命题： p∨ q、 p∧ q、綈 p 中的真命题是 ________．三、解答题10．写出由以下各组命题组成的“p或 q”、“p且 q”、“綈 p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p： 1 是质数； q：1 是方程 x2＋2x － 3＝ 0 的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线相互垂直；(3)p： 0∈ ?； q： {x|x 2－ 3x－ 5<0} ? R；(4)p： 5≤5； q： 27 不是质数．11．已知 p：方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0 有两个不等的负根；q：方程 4x2＋ 4(m－ 2)x ＋ 1＝0 无实根，若p 或 q 为真， p 且 q 为假，求m 的取值范围．能力提高12．命题 p：若 a，b∈ R，则 |a|＋ |b|>1 是 |a＋ b|>1 的充足而不用要条件；命题q：函数 y ＝|x－1|－ 2 的定义域是 (－∞，－ 1]∪[3 ，＋∞)，则 ()A．“p或 q”为假B．“p且 q”为真C． p 真 q 假 D ． p 假 q 真13．设有两个命题．命题 p：不等式 x2－ (a＋ 1)x＋ 1≤0的解集是 ?；命题 q：函数 f(x) ＝(a＋1)x 在定义域内是增函数．假如p∧ q 为假命题， p∨ q 为真命题，求 a 的取值范围．1．从会合的角度理解“且”“或”“非”．设命题 p： x∈ A. 命题 q： x∈B. 则 p∧ q? x∈ A 且 x∈B ? x∈ A∩B ；p∨ q? x∈A 或 x∈ B ? x∈A ∪B ；綈 p? x?A ? x∈ ?U A.2．对有逻辑联络词的命题真假性的判断当 p、q 都为真， p∧ q 才为真；当 p、 q 有一个为真， p∨ q 即为真；綈 p 与 p 的真假性相反且必定有一个为真．3．含有逻辑联络词的命题否认“或”“且”联络词的否认形式：“p或 q”的否认形式“綈 p 且綈 q”，“p且 q”的否认形式是“綈U UA)∩(?UU(A∩B)＝(?UA) ∪(?U B)”．p 或綈 q”，它近似于会合中的“?(A ∪B) ＝ (?B) ，?§ 1.3 简单的逻辑联络词答案知识梳理1． (1)p∧ q “p且 q” (2)p ∨q“p或 q”(3)綈 p“非 p” “p的否认”作业设计1． C[p 假 q 真，依据真值表判断“p∧ q”为假，“綈 p”为真． ]2． B[ ∵ p 真， q 假，∴綈 q 真， p∨ q 真． ]3． C[ ①③命题使用逻辑联络词，此中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C[因为命题“綈 (p∨ q) ”为假命题，所以 p∨ q 为真命题．所以 p、q 一真一假或都是真命题．又因为 p∧ q 为假，所以 p、q 一真一假或都是假命题，所以 p、q 中有且只有一个为假． ] 5． C[ 命题 p、 q 均为假命题，∴ p∨ q 为假． ]6．D[A 中的命题是 p∨ q 型命题， B 中的命题是假命题， C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p∧ q 型，且为真命题．]7．或真8． [1,2)分析x∈ [2,5] 或 x∈( －∞， 1)∪ (4，＋∞)，即 x∈(－∞， 1)∪ [2，＋∞)，因为命题是假命题，所以 1≤x<2，即 x∈ [1,2) ．9．綈 p分析关于 p，当 a>0， b>0 时， |a|＋ |b|＝ |a＋ b|，故 p 假，綈 p 为真；关于q，抛物线 y＝x2－ x＋ 1 的对称轴为 x＝1，故 q 假，所以 p∨ q 假， p∧ q 假．2这里綈 p 应理解成 |a|＋ |b|>|a＋ b|不恒建立，而不是 |a|＋ |b| ≤＋|ab|.10．解(1)p 为假命题， q 为真命题．p 或 q： 1是质数或是方程x2＋ 2x－3＝ 0 的根．真命题．p 且 q： 1既是质数又是方程x2＋ 2x－ 3＝ 0 的根．假命题．綈 p：1 不是质数．真命题．(2)p 为假命题， q 为假命题．p 或 q：平行四边形的对角线相等或相互垂直．假命题．p 且 q：平行四边形的对角线相等且相互垂直．假命题．綈 p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)∵ 0??，∴ p 为假命题，又∵ x2－ 3x－ 5<0，∴3－29<x<3＋29，22∴ {x|x 2－ 3x－ 5<0}＝x|3－29<x<3＋ 29?R 建立．22∴ q 为真命题．∴ p 或 q： 0∈ ?或 {x|x 2－3x－ 5<0} ? R，真命题，p 且 q： 0∈ ?且{x|x2－ 3x－5<0} ? R，假命题，綈 p：0??，真命题．(4)明显 p： 5≤5为真命题， q： 27 不是质数为真命题，∴p 或 q： 5≤5或 27 不是质数，真命题，p 且 q： 5≤5且 27 不是质数，真命题，綈 p：5>5 ，假命题．11．解若方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0 有两个不等的负根，＝m2－ 4>0，解得 m>2，即 p： m>2.则－ m<0，若方程 4x2＋ 4(m－ 2)x ＋ 1＝0 无实根，22则＝ 16(m－ 2) － 16＝ 16(m － 4m＋ 3)<0 ，因 p 或 q 为真，所以 p、q 起码有一个为真．又p 且 q 为假，所以 p、q 起码有一个为假．所以， p、 q 两命题应一真一假，即 p 为真， q 为假，或 p 为假， q 为真．m>2，m≤2，所以或m≤1或 m≥3，1<m<3.解得 m≥3或1<m≤2.12．D [当 a＝－ 2，b＝ 2 时，从 |a|＋ |b|>1 不可以推出 |a＋ b|>1，所以 p 假， q 明显为真． ]13．解关于 p：因为不等式 x2－ (a＋ 1)x＋ 1≤0的解集是 ?，所以＝ [ － (a＋ 1)]2－ 4<0.解不等式得：－3<a<1.关于 q： f(x) ＝(a＋1) x在定义域内是增函数，则有 a＋ 1>1 ，所以 a>0.又 p∧q 为假命题， p∨ q 为真命题，所以 p、 q 必是一真一假．当 p 真 q 假时有－ 3<a≤0，当 p 假 q 真时有 a≥1.综上所述， a 的取值范围是 (－ 3,0]∪ [1，＋∞)．。

高中数学选修1-1课后习题答案高中数学选修1-1课后习题答案在高中数学的学习过程中，选修课是一个很重要的部分。

选修课的内容相对于必修课来说更加深入和拓展，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

本篇文章将为大家提供高中数学选修1-1课后习题的答案，希望能够帮助到学习这门课程的同学们。

第一章：函数与导数1. 设函数f(x) = x^2 + 2x - 3，求f(1)的值。

答案：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = 1^2 + 2*1 - 3 = 0。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(-1)的值。

答案：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) + 2 = 0。

3. 设函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(2)的值。

答案：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2*(2)^2 - 4*2 + 1 = 5。

4. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 + x，求f(0)的值。

答案：将x = 0代入函数f(x)中，得到f(0) = 0^3 + 2*0^2 + 0 = 0。

5. 设函数f(x) = x^2 - 4x，求f(3)的值。

答案：将x = 3代入函数f(x)中，得到f(3) = (3)^2 - 4*3 = 9 - 12 = -3。

第二章：三角函数1. 已知sinθ = 1/2，求θ的值。

答案：根据sinθ = 1/2，可以知道θ = π/6 或5π/6。

2. 已知cosθ = -1/2，求θ的值。

答案：根据cosθ = -1/2，可以知道θ = 2π/3 或4π/3。

3. 已知tanθ = √3，求θ的值。

答案：根据tanθ = √3，可以知道θ = π/3 或 4π/3。

4. 已知cotθ = -√3，求θ的值。

答案：根据cotθ = -√3，可以知道θ = 5π/6 或11π/6。

5. 已知secθ = 2，求θ的值。

一、选择题1．已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-3．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞5．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞6．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦7．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－18．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x = B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+9．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3 B ．8C ．8-D ．3-10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为23t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 12．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________. 15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．函数()2ln 2f x x x x =-+过原点的切线方程为____________________．17．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___．18．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(,,,,0)a b c d R a ∈≠有如下定义：设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''fx 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数32()5(,)g x x ax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是__________．19．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．20．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.三、解答题21．已知曲线()3:C f x x x =-.(1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程. 22．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程；（Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.23．已知函数()2ln f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 25．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

【三维设计】高中数学 第三章 §3 计算导数应用创新演练 北师大版选修1-11．若f (x )＝log 3x ，则f ′(3)等于( )A.13B ．ln 3 C.13ln 3 D.1ln 3解析：f ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(3)＝13ln 3. 答案：C 2．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的切线的斜率为( ) A ．3B.13C.19 D ．－19解析：y ′＝－1x 2，∴点(3，13)处切线斜率k ＝－19. 答案：D3．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝s in α，则f ′(x )＝cos α；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：对于②y ＝3x ，y ′＝13x 113-＝13x 23-＝133x2，故②错；对于③f (x )＝sin α，为常数函数，∴f ′(x )＝0，故③错；①④都正确．答案：B4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 012(x )等于( )[A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，故f n (x )以4为周期，∴f 2 012(x )＝f 503×4(x )＝f 4(x )＝sin x .[答案：A5．y ＝sin x 在(π4，22)处的切线方程为________．解析：y ′＝cos x ，故在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线斜率k ＝cos π4＝22.故切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， 即42x －8y ＋2(4－π)＝0. 答案：42x －8y ＋2(4－π)＝06．f (x )＝cot x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：f ′(x )＝－1sin 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1sin 2π4＝－2.答案：－27．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝12log x ；(5)y ＝2cos 2x2－1. 解：(1)∵c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵(x n )′＝n ·x n －1， ∴y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝34x 34－1＝34x －14＝344x.(3)∵(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10.(4)∵(log a x )′＝1x ·ln a ，∴y ′＝(12log x )′＝1x ·ln 12＝－1x ·ln 2.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .8．若直线y ＝－x ＋b 为曲线y ＝1x 的切线，求切点坐标及b 的值．解：设切点为(x 0，y 0)，∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x 2.∴切线的斜率为－1x 20.又∵切线斜率为－1，∴－1x 0＝－1.∴x 0＝±1.∴当x 0＝1时，y 0＝1，代入直线得b ＝2；当x 0＝－1时，y 0＝－1，代入直线得b ＝－2.∴切点为(1,1)时，b ＝2；切点为(－1，－1)时，b ＝－2.。

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2- 2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-4．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣5．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．06．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．67．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．8．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦9．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A ．3B ．23C ．2D ．2210．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+ D ．()32f x x x =--12．设，则在点处的切线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.15．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______16．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____. 17．函数的图象在点处的切线方程为______．18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．19．若过点32(,)(0,0,3)P a b a b b a a >>≠-可作曲线32()3f x x x =-的切线恰有两条，则11a b+的最小值为__________ 20．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.三、解答题21．设()2(0)f x ax bx c a =++≠，()22f x x '=+.且方程()0f x =有两个相等的实根.（1）求y ＝f (x )的表达式；（2）求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.22．已知函数21()ln 2()2f x ax x a =--∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.23．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.24．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围25．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x'=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<，即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.4．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =，则相切时斜率6k =-故要满足题意，只需(0,6k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.5．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.6．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．7．C【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.9．B【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =, 所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.10．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．A解析：A 【解析】 【分析】 曲线在点处的切线的斜率为.【详解】，.【点睛】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.二、填空题13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b的值，即可得21xm -=有两个不等实根，转化为21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,1 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2afx a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.15．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222xx S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.16．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+， 即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．17．x-y-1=0【解析】【分析】求得f(x)的导数可得切线的斜率和切点坐标由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f(x)=lnxx 的导数为f(x)=1-lnxx2可得f(x)在x=1处的切线斜率为k 解析：【解析】 【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】 函数的导数为， 可得在处的切线斜率为，，即，可得切线方程为，即， 故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.18．【分析】根据导数的几何意义得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜率为根据两直线垂直可得到参数值再求出在两点处的切线方程求出两直线的交点即可【详解】对函数求导得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜解析：11(1,1)e e+-【分析】根据导数的几何意义得到在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，根据两直线垂直可得到参数值，再求出在两点处的切线方程，求出两直线的交点即可. 【详解】对函数求导得到()21ln 1x f x ax -'=-，在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，因为两直线垂直，故得到a=12,()22(1ln )1x f x x'-=-, 切线1l 的切点为()()1,1f ，即()1,1，切线2l 的切点为2,e e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，根据点斜式写出直线方程得到：1l 为y=-x+2,2l 为2y x e =-，联立两条直线得到交点坐标为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.故答案为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【解析】【分析】求出f （x ）的导数设切点（x0f （x0））求得切线的方程代入切点整理化简可得2x03﹣（3+3a ）x02+6ax0+b=0（*）由条件切线恰有两条方程（*）恰有两根令u （x ）=2x3解析：4+【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，设切点（x 0，f （x 0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值． 【详解】 f′（x ）=3x 2﹣6x ，过点P （a ，b ）作曲线的切线，设切点（x 0，f （x 0）），则切线方程为：y ﹣b=（3x 02﹣6x 0）（x ﹣a ）， 将（x 0，f （x 0））代入得：f （x 0）=（3x 02﹣6x 0）（x 0﹣a ）+b=x 03﹣3x 02， 即2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，u′（x ）=6x 2﹣（6+6a ）x+6a=6（x ﹣a ）（x ﹣1）， 可得u （1）=0或u （a ）=0， 即有3a+b=1或b=a 3﹣3a 2（舍去）， 则11a b +=（3a+b ）（11a b +）=4+3b a a b +当且仅当a=12时，取得等号． 即有11a b+的最小值为， 故答案为：【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把11a b +化成11a b +=（3a+b ）（11a b+），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误. 【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=， 所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错； 当0a <时，0a e >，201a ->-， 则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点.因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x ex =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x e x +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）()221f x x x =++；（2）13【分析】（1）求导得到()222f x ax b x '=+=+，得到1a =，2b =，再根据0∆=解得答案. （2）直接利用定积分计算面积得到答案. 【详解】（1）()2(0)f x ax bx c a =++≠，故()222f x ax b x '=+=+，故1a =，2b =，方程()0f x =有两个相等的实根，故()220f x x x c =+=+，440c ∆=-=，故1c =，故()221f x x x =++.（2）()01f =，取()2210f x x x =+=+，则1x =-，故()()0023211111121011333S f x dx x x dx x x x ---⎛⎫==++=++=--+-= ⎪⎝⎭⎰⎰.【点睛】本题考查了根据导数求参数，定积分求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）32y =-（2）当0a ≤时， ()f x 的减区间是()0,∞+.当0a >时，()f x 的减区间是0,a ⎛ ⎝⎭，增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据21()ln 2()2f x ax x a =--∈R ，求导1()f x ax x '=-，因为1a =，求得3(1)0,(1)2f f '==-，写出切线方程；（2）由（1）知1(),(0)f x ax x x'=->，分0a ≤， 0a >两种情况，按照求单调区间的步骤求解. 【详解】 （1）因为21()ln 2()2f x ax x a =--∈R . 所以1()f x ax x'=-， 当1a =时，3(1)0,(1)2f f '==-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程32y =-； （2）由（1）知1(),(0)f x ax x x'=-> 当0a ≤时，()0f x '<()f x 在()0,∞+上递减， 当0a >时，令()0f x '=，得x a=，当0x <<时，()0f x '<，()f x在⎛ ⎝⎭上递减，当x >()0f x '>，()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 综上：当0a ≤时， ()f x 的减区间是()0,∞+.当0a >时，()f x 的减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的单调性，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）7e ；（2）21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）将2a =代入函数解析式，并求得导函数()f x '.代入(1)f '即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）将()f x 代入可得()g x ，并求得导函数'()g x .由12a >，列表讨论'(),()g x g x 的变化情况.即可求得()g x 的极大值，结合1M >即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()2()e 21xf x x=+，依题意()()22()214241xx x f x e xxe e x x '=++=++，故(1)7f e '=.（2）依题意，()2()()1,xxx g x f x xe e axxe =+=++则()(2)(1)xg x e x ax '=++ 当12a >时，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：由上表可知，2(2)(41)1M g e a -=-=->，解得14e a +>，故实数a 的取值范围为21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题. 24．(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-.【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 25．（1）()33f x x x =-；（2）22m -<<.【分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a ，b 的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得()f x 的导数和单调区间、极值，由题意可得m 介于两极值之间． 【详解】解：（1）函数32()3f x ax bx x =+-的导数为2()323f x ax bx '=+-，根据在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=， 得12f ，()10f '=，即32a b +-=-，3230a b +-=，解得1a =，0b =， 则3()3f x x x =-； （2）令2()330f x x '=-=， 解得1x =-或1，令()0f x '>，得1x >或1x <-； 令()0f x '<，得11x -<<；()f x ∴的单调增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调减区间是(1,1)-，有两个极值为()12f -=，12f ，图象如图所示：方程()f x m =有三个根，即为()y f x =和y m =有三个交点，22m ∴-<<． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题． 26．b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b ＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解。

1．将 3－22化为分数指数幂，其形式是( ) A ．212 B ．－212C ．2－12D ．－2－12 解析： 3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212. 答案：B2．下列等式中，正确的个数为( )①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③ 3x 4＋y 3＝x 43＋y ； ④3－5＝6（－5）2.A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①中，若n 为偶数，则不一定成立;②中，因为a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，所以(a 2－a ＋1)0＝1是正确的；③是错误的；④左边为负数，右边为正数，是错误的．答案：B3．(－x )2－1x 等于( ) A.xB ．－x －xC ．x xD ．x －x 解析：由－1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2 －1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .答案：B4．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( ) A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2解析：(36a 9)4·(63a 9)4＝(6a 9)43·(3a 9)46 ＝(a 96)43·(a 93)23＝a 96×43·a 93×23＝a 4. 答案：C5．有下列说法：①3－27＝3；②16的4次方根是±2；③481＝±3； ④ （x ＋y ）2＝|x ＋y |.其中，正确的有________(填上正确说法的序号)． 解析：负数的3次方根是一个负数，故3－27＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；（x ＋y ）2是正数，故2（x ＋y ）2＝|x ＋y |，故④正确．答案：②④6．83－312－613＋333＝________． 解析：原式＝83－63－23＋3＝ 3. 答案： 37．化简下列各式： (1) 3a a ； (2)(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)； (3)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝a 13·a 16＝a 13＋16＝a 12； (2)原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝－23； (3)原式＝(m 14)8(n －38)8＝m 2n －3.8．计算：(1)(－338)－23－23＋(0.002) －12－10(5－2)-1＋(2－3)0； (2)(a 85·b －65)－12·5a 4÷5b 3(a >0，b >0)； (3)(14) －12·（4ab －1）30.1－2（a 3b －4）12(a >0，b >0)． 解：(1)原式＝(－1) －23 (338)－23＋(1500)－12－105－2＋1＝(278)－23＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679；(2)原式＝a 85×(－12)·b (－65)×(－12)·a 45÷b 35＝a －45·b 35·a 45÷b 35＝a －45＋45b 35－35＝a 0b 0＝1. (3)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 12＝425a 0·b 12＝425b 12.。

一、选择题1．已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π2．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．eC ．ln 2D ．13．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．04．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e5．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e6．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值7．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 8．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞10．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 11．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0C ．m +13n ﹣3＝0D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝012．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．4二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.15．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 16．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 17．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．18．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ .19．已知函数(),()xf x eg x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.20．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数()ln 1f x ax x =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）讨论()f x 的单调性.（3）若()0f x =有两个不相等的实根，求a 的取值范围. 23．已知函数1()ln f x a x b x=++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b . （Ⅱ）求()f x 的最小值.24．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 25．已知函数()()321453f x x ax ax a a R =+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围；()2若0a >且()()313g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 26．已知函数322()2(63)1216f x x a x ax a =-+++.（1）若11a -≤≤，曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线经过点0(0,)y ，求0y 的最小值；（2）若()f x 只有一个零点0x ，且00x <，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】试题分析：当x≤0时，由y =2291y x -=，（x≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=-3x ，此时渐近线的斜率1k =-3， 当x ＞0时，()11x f x xe-=+，当过原点的直线和f （x ）相切时，设切点为()1,1a a ae -+，函数的导数()()1111x x x f x exe x e ---=+=+'，则切线斜率()()121a k f a a e -=+'=，则对应的切线方程为()()()1111a a y aea e x a ---+=+-，即()()()1111a a y a e x a ae --=+-++，当x=0，y=0时，()()()11110a a a e x a ae --+-++=，即21111a a a a e ae ae ---+=+，即211a a e -=，得a=1，此时切线斜率22k =， 则切线和y=-3x 的夹角为θ， 则32tan 1123θ--==-⨯，则4πθ=，故∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是(0,)4π2．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 3．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xx e f x x x e =-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.4．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】求得函数的导数)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.6．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.7．B解析：B 【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．10．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1，若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.11．B解析：B 【分析】设32(,),22A x t y x x =-+的导数234y x x '=-，可得切线的斜率为234x x -，然后根据切线方程尽量关于,x t 的方程组，再结合条件，即可求得,m n 的关系，得到答案． 【详解】设32(,),22A x t y x x =-+的导数234y x x '=-， 可得切线的斜率为234x x -，又由切线方程为46y x =-，所以232344,4622x x t x x x -==-=-+， 解得2,2x t ==，因为点A 在直线20+-=mx ny 上，所以10m n +-=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．12．C解析：C 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =. 故选C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．1或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标求出导数值得到两切线方程由两切线重合得斜率和截距相等从而求得切线方程的答案【详解】设与和的切点分别为由导数的几何意义可得曲线在在点处的切线方程为即曲线在点处解析：1或1e【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案． 【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e -=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．14．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222x x S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.16．【分析】由题意可得据此可得切线的斜率结合切点坐标即可确定切线方程【详解】由函数的解析式可得：所求切线的斜率为：由于切点坐标为故切线方程为：【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要 解析：1()y x ππ=--【分析】 由题意可得2cos sin 'x x xy x⋅-=，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程. 【详解】由函数的解析式可得：2cos sin 'x x xy x ⋅-=，所求切线的斜率为：2cos sin 1'x k y ππππππ=-===-，由于切点坐标为(),0π，故切线方程为：()1y x ππ=--.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.17．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='，所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.18．【分析】先由因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点可知当直线为函数的切线时切点为进而可求出切线的方程结合函数图像即可判断结果【详解】因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点所以当直线为函数解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先由因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，可知当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，进而可求出切线的方程，结合函数图像，即可判断结果. 【详解】因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，所以当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，由()2sinx f x cosx =+得()()()()222cosx cosx sinx sinx f x cosx +=+'--，所以切线斜率为210193+-=， 所以可得切线方程为13y x =，结合图像可得13k ≥. 故答案为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程的问题，常用数形结合的方法，结合导数的几何意义来解决，属于中档试题.19．①③【分析】根据绝对值定义分类讨论函数单调性即可判断①；结合函数图象以及利用导数求切线斜率可判断②；根据函数图象得即可确定进而可判断③【详解】当时单调递增；当时单调递减所以函数的单调递减区间为；即①解析：①③ 【分析】根据绝对值定义分类讨论函数()f x 单调性，即可判断①；结合函数图象以及利用导数求切线斜率可判断②；根据函数图象得1230,1x x x +==，即可确定b ，进而可判断③. 【详解】当0x ≥时()xx f x e e ==单调递增；当0x <时1()()x xx f x e ee-===单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；即①正确；由图可知y kx =分别与,(0)x y e x =≥以及,(0)x y e x -=<相切时，()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，设y kx =与,(0)xy e x =≥切点为00(,)xx e ，因为0000,1,x xx y e e =k e kx x k e '=∴=∴==；同理可得y kx =与,(0)xy e x -=<相切时，k e =-，因此②错误；由图可知1230,1x x x +==,则b k =，所以③正确； 故答案为：①③ 【点睛】本题考查函数单调性、函数图象与零点、导数几何意义，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.20．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误. 【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=，所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错； 当0a <时，0a e >，201a ->-，则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---， 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点.因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x e x =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x e x +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2()f x x x=-；（2）证明见解析，定值为4. 【分析】（1）由曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=，可得3(2)42(2)212b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩'⎪，从而求出,a b 的值，进而可得()f x 的解析式； （2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，则可得点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可求出切线与直线0x =和直线y x =的交点坐标，进而可求出所求面积 【详解】（1）将点(2,(2))f 的坐标代入直线3240x y --=的方程得(2)1f =，()b f x ax x =-，则2()b f x a x '=+，直线3240x y --=的斜率为32， 于是3(2)42(2)212b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩'⎪，解得12a b =⎧⎨=⎩，故2()f x x x =-；（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知2()f x x x=-， 22()1f x x'∴=+，又()0002f x x x =-， 所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即200241y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 令0x =，得04y x =-，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 联立200241y xy x x x =⎧⎪⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为0014242S x x =⋅-⋅=故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4. 【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 22．（1）220x y --= （2）见解析 （3）21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数以及1x =处的导数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求函数的导函数，根据导函数讨论a 的取值范围当0a ≥时与当0a <时，进而可求出单调性，（3）若()0f x =有两个不相等的实根，由（2）可得0a <，只需()max 0f x >即可求解. 【详解】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =+-，()1'1f x x=+， 此时()10f =，()'12k f ==，∴切线方程为22y x =-，即为220x y --= （2）()ln 1f x ax x =+-()0x >，()1'1ax a x f xx +=+=， ∴当0a ≥时，则()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+内单调递增， 当0a <时，令()0f x '>，则10x a <<-，所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，令()0f x '<，解得1x a >-，所以()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （3）∵()0f x =有两个不相等的实根，由（2）得0a <， ∴()max 11ln 20f a f x a ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即21a e >-，综上所述：21,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数判断含参函数的单调性、根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题. 23．（Ⅰ） 3a =，2b =. （Ⅱ）()f x 的最小值为53ln3-. 【解析】分析：（Ⅰ）由切线方程可知，切点为()1,3，斜线斜率为2，求导数'()f x ，则(1)=3f ，'(1)=2f ，求得a 和b 的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x ，再求导，根据导数和函数最值的关系即可求出最小值. 详解：解：（Ⅰ）由题意可得，点()1,3在曲线()1ln f x a x b x=++上，∴()11ln1131f a b b =++=+=， ∴2b =， 又∵()21'a f x x x =-， ∴()'112f a =-=，∴3a =， 综上可得：3a =，2b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()13ln 2f x x x=++， ∴()223131'x f x x x x-=-=， 令()'0f x =，得13x =， 当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增. ∴13x =为函数()13ln 2f x x x=++的极小值点， ∴()min 113ln3253ln333f x f ⎛⎫==++=- ⎪⎝⎭. 综上，()f x 的最小值为53ln3-.点睛：本题考查过曲线某点的切线方程的求法，利用导数研究函数的单调性和最值，考查计算能力.利用导函数研究函数最值的步骤; （1）求导（确定定义域）；（2）解方程'()=0f x ，求出函数定义域内的所有根；（3）检验()f x 在'()=0f x 的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 取极大值，如果左负右正，那么()f x 取极小值．（4）将函数()f x 各极值点的函数值和区间端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 24．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

3．1.3导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n趋近于点P时，割线PP n趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在________的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________．类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．类型二 求切点坐标例3 已知曲线y 1＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y 2＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值． 引申探究1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值．2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．反思与感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．类型三导数几何意义的应用例4已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)反思与感悟导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－13．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°4．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.5．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为________．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，即k ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点思考1 割线PP n 的斜率为k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0) (3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)题型探究例1 解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点坐标为P (2,4)． ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 跟踪训练1 －3例2 解 设切线在抛物线上的切点坐标为(x 0，14x 20)，∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0， ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1.∴切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程．跟踪训练2 解 设切点坐标为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线的斜率为k ＝1，过(－1，0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0；当x 0＝－2时，切线的斜率为k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0. 例3 解 y ′1|x ＝x 0＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－1－(x 20－1)Δx ＝2x 0，y ′2|x ＝x 0＝lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.引申探究1．解 ∵y ′1|x ＝x 0＝2x 0， y ′2|x ＝x 0＝－3x 20.又曲线y 1＝x 2－1与y 2＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直， ∴2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．解 由例3知，x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两条平行切线方程分别为 y ＝－1，y ＝1.当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两平行切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 跟踪训练3 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )|x ＝x 0＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝3x 20－4x 0，又由题意可知k ＝4，∴3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，解得a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 例4 k 1>k 3>k 2解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2.跟踪训练4 (1)A (2)－7 当堂训练1．C 2.A 3.C 4.－2 5.(3,30)。

双基达标（限时20 分钟）1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是()．A ．若a?A，则b?B B．若a∈ A，则b?BC．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A分析注意“∈”与“?”互为否认形式．答案B2．命题“若 A∩B＝A，则 A∪B＝B”的逆否命题是 ()．A．若 A∪B＝B，则 A∩B＝AB．若 A∩B≠A，则 A∪B≠BC．若 A∪B≠B，则 A∩B≠AD．若 A∪B≠B，则 A∩B＝A分析注意“A∩B＝A”的否认是“A∩B≠A”．答案C3．命题“对于正数a，若 a>1，则 lg a>0”及其抗命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为 ()．A ． 0B．1C． 2D．4分析原命题“对于正数a，若a>1，则 lg a>0”是真命题；抗命题“对于正数a，若 lg a>0，则 a>1”是真命题；否命题“对于正数 a，若 a≤ 1，则 lg a≤ 0”是真命题；逆否命题“对于正数 a，若 lg a≤0，则 a≤1.”是真命题．答案4．“若分析Dx、y 全为零，则 xy＝ 0”的否命题为 __________．因为“全为零”的否认为“不全为零”，所以“若 x、y 全为零，则xy＝ 0”的否命题为“若 x、 y 不全为零，则答案若 x、 y 不全为零，则 xy≠0xy≠0”．5．命题“当 AB＝ AC 时，△ ABC 是等腰三角形”与它的抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有 ______个．分析原命题为真命题，抗命题 “当△ ABC 是等腰三角形时， AB ＝ AC ” 为假命题，否命题 “当 AB ≠AC 时，△ABC 不是等腰三角形 ”为假命题， 逆否命题 “当△ ABC 不是等腰三角形时， AB ≠AC ”为真命题．答案26．将命题“正数 a 的平方大于零”改写成“若p ，则 q ”的形式， 并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解 原命题能够写成：若 a 是正数，则 a 的平方大于零；抗命题：若 a 的平方大于零，则 a 是正数；否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方不大于零；逆否命题：若 a 的平方不大于零，则 a 不是正数．综合提升（限时 25 分钟）7．命题“若 a>b ，则 ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R )”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ()．A ． 0B ．2C ．3D ． 4分析 原命题 “若 a>b ，则 ac 2 2，，∈ R ) ”为假命题，抗命题 “若 2 2，>bc (a b cac >bc 则 a>b(a ，b ，c ∈R )” 为真命题，否命题 “若 a ≤b ，则 ac 2≤bc 2， ， ， ∈ R ) ”(a b c2≤bc 2，则 ≤ ， ， ∈ ”为假命题．为真命题，逆否命题 “若 ac a b(a b c R )答案 B8．若命题 p 的否命题是 q ，命题 q 的抗命题是 r ，则 r 是 p 的抗命题的 ( )．A ．原命题B ．抗命题C ．否命题D ．逆否命题分析设命题 p 为 “若 k ，则 s ”；则其否命题 q 是 “若綈 k ，则綈 s ”；则命题q 的抗命题 r 是“ 若綈 s ，则綈 k ”，而 p 的抗命题为 “若 s ，则 k ”，故 r 是 p的抗命题的否命题．答案C9．命题“正数的绝对值等于它自己”的抗命题是________．分析将命题“正数的绝对值等于它自己”改写为“若一个数是正数，则其绝对值等于它自己”，所以抗命题是“ 若一个数的绝对值等于它自己，则这个数是正数”，即“ 绝对值等于它自己的数是正数”．答案绝对值等于它自己的数是正数10．已知原命题“两个无理数的积还是无理数”，则：(1)抗命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；(4)命题的否认是“两个不都是无理数的积也不是无理数”．此中全部正确表达的序号是________．分析原命题的抗命题、否命题表达正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．因为命题“若 p，则 q”的否认为“若 p，则非 q”，所以“ 两个无理数的积还是无理数” 的否认为“两个无理数的积不是无理数”．答案(1)(2)11．给出两个命题：命题甲：对于 x 的不等式 x2＋(a－ 1)x＋ a2≤0 的解集为 ?；命题乙：函数 y＝(2a2－a)x为增函数．(1)甲、乙起码有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题；分别求出切合 (1)(2)的实数 a 的取值范围．221或a<－1；即 A＝ a a>3乙为真时， 2a2－a>1 即 B＝ a a>1或a<－1；2(1)甲、乙起码有一个真命题时，应取A，B 两会合的并集，这时的 a 的取值范围1 1是 a a>3或 a<－2 .1(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种状况：当甲真乙假时，3<a≤1；当甲1假乙真时，－ 1≤a<－2，所以甲、乙中有且只有一个真命题时， a 的取值范围为11a 3<a≤1或－ 1≤ a<－2 .12．(创新拓展 )求证：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数， a，b∈R，若 f(a)＋f(b)≥ f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.证明法一原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，a，b∈R，若 a＋b<0，则 f(a)＋f(b)<f(－ a)＋f(－b)”．若 a＋b<0，则 a<－b，b<－a，又∵ f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，∴f(a)<f(－b)， f(b)<f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)<f(－ a)＋f( －b)．即原命题的逆否命题为真命题，∴原命题为真命题．法二假定 a＋b<0，则 a<－b，b<－ a，又∵ f(x)在(－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)<f(－b)， f(b)<f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)<f(－ a)＋f( －b)，这与已知 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋ f(－b)相矛盾，所以假定不建立，故a＋b≥0.。

第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念一.课时过关能力提升基础巩固1. 物体的自由落体运动方程为 s(t)- 若 ---------------- -A. 9.8 m/s 是0~1 s 这段时间内的平均速度B. 9.8 m/s 是从1 s 到(1+ A t)s 这段时间内的速度C. 9.8 m/s 是物体在t= 1 s 这一时刻的速度D. 9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+ A t)s 这段时间内的平均速度 答案：|C 2.已知一物体的运动方程是s=3+t 2,则在t=2时刻的瞬时速度是( )A.3B.4C.7D.5答案：|B 3. 将边长为8的正方形的边长增加 A a,则面积的增量A S为( )2A.16 A )B.64 2 2C. A ) +8D.16 A1+ A )解析：| A S=(8+ A a)2-82= 16 A a+ A a)2. 答案：|D则下面说法正确的是故t= 2时刻的瞬时速度为 4.4. 若函数y=ax+b在区间［1,2］上的平均变化率为3,则a等于()解析：根据平均变化率的定义答案：|C25. 函数y=5x +6在区间［2,2+ A x］上的平均变化率为---------- 1 2 2 2 解析：因为A y= 5(2+ A x) + 6-5 >2 -6= 20 A x+5 A),所以平均变化率一答案:20+5A x6. 如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为解析:■/ A y即所求斜率k — ---------当A x= 1 时,k=-答案:(1)当t1=4 1=0.01时，求A y和比值一⑵求t1=4时的导数.解| 1 A=f(t1+ A t)-f(t1)= •t A 3t1 •t A+ A)3,故当t1 = 4 A=0.01 时A=0.481 201 —1.A.-3B.2C.3D.-2答案7.若f(x)=3，则答案:68.已知曲线y -上两点当时割线的斜率为-tA A t)2]=(2故函数y=t 3+3在t1= 4处的导数是48,即y能力提升1. 如果一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是() A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s解析］s'(3) -------- -- -- -------------- ------------------ 二——答案：|C2. 若f(X0)= 2,则一二一等于A.-1B.-2C.1 D -解析：■/ f(X0)=2,答案：|A3. 若函数y=x2在X0到X0+ A x之间的平均变化率为k1,在X0- A x到X0之间的平均变化率为k2,则k1与k2 的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定解析］J k1 ----------- -- --- --------------- - ——--———•/ A x可正可负，••• k1与k2的大小关系不确定.答案：|D4. 已知函数y=f (X)=-4X2+16X在x=X0处的导数为0,则x°为()A.1B.2C.3D.4解析:f(x o)由-8x o+ 16 = 0,得x o=2.答案：|B5. 将半径为R的球加热，若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为——则的值为答案:2★6.路灯距地面为8 m,一个身高为1.7 m的人以每秒1.4 m的速度均匀地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，则人影的变化速率为m/s.解析:设t s后，人影长为x m,由几何知识得则人影的变化速率为-一7. —物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(1)求此物体的初速度；⑵求此物体在t=2时的瞬时速度；(3)求此物体在t= 0到t=2时的平均速度.解:(1——-—故V0=3.(2——=-A t-1.故t=2时的瞬时速度为-1.(3 _ 二★8.(1)求函数y 在处的导数⑵求函数y —在处的导数解析：由题意，得----- 解得m=2.人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题解:⑴••• A y二y'|x=1(2) •-A y--y lx=2。

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+=D ．320x y ++=4．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 5．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+6．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x ⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．07．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ） A．BCD8．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]9．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－110．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()2,1--11．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e12．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题13．已知f （x ）＝lnx ，g （x ）12=x 2+mx 72+（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，且与函数f （x ）的图象的切点为（1，f （1）），则m 的值为_____．14．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．函数f （x ）＝sin x +a e x 的图象过点（0，2），则曲线y ＝f （x ）在（0，2）处的切线方程为__ 17．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________．18．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.19．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.20．已知函数f （x ）＝f '（1）e x +x 2﹣1，其中f '（x ）是f （x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为_____．三、解答题21．已知函数()(1)ln f x b x x =--与2()(1)g x a x =-在公共点(1,0)处有共同的切线． （1）求实数b 的值；（2）设()()()h x f x g x =-，若存在(1,2)k ∈，使得当(0,]x k ∈时，()h x 的值域是[(),)h k +∞，求实数a 的取值范围．22．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 23．已知函数()sin xxf x e =（1）求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程；（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围．24．已知函数()ln x f x ae b x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)1y e x =-+． （1）求a ，b 的值； （2）求证：()2f x >．25．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．26．已知函数()f x =()1ln e 1(ax x x +--a 为实数). (1)若e 1y x =--是曲线()f x 的一条切线,求a 的值; (2)当0e a <≤时,试判断函数()f x 的零点个数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x '=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =，两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数 ∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.3．A解析：A 【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+， 1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=，又(1)1f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，即320x y --=. 故选：A本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．4．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x -恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 5．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.6．B【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),01 11,13 xe exg xxx⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx=的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx=与()11g xx=-相切时的斜率及经过点23,3B⎛⎫-⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x<≤时，令()0f x=得x e e kx-=；当13x<≤时，令()0f x=得1xkxx-=即11kxx-=，设(),0111,13xe e xg xxx⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x=与y kx=的图象，如图所示：函数()f x有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x=的图象与y kx=的图象有且仅有3个不同的公共点，当直线y kx=与()11g xx=-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为1,1A xx⎛⎫-⎪⎝⎭，由()21g xx'=-可得此时直线y kx=的斜率()021k g xx'==-，所以0200111xx x-=-，解得02x=，14k=-；当直线y kx=经过点23,3B⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时22339k-==-.所以实数k 的最大值为29-. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.7．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.8．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．9．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x-'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 10．B解析：B 【分析】求出导数()f x '，设切点为00(,)x y ，写出切线方程，由切线过点(1,0)可得0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，由根的分布可求得a 的范围． 【详解】由题意22()x af x x -'=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为200020()x a y y x x x --=-， 切线过点(1,0)，则22000200(1)x a x a x x x +--=-，化简得20020x ax a +-=，由题意此关于0x 的方程的两根为,A B x x ，由0A B x x <<得0A B x x a =->，0a <，2440a a ∆=+>，0a >或1a <-，∴1a <-，记2000()2g x x ax a =+-，则(1)10g a =+<，所以1(,)A B x x ∈，∵1是(,)A B x x 上的唯一整数，∴(0)0(2)430g a g a =->⎧⎨=+≥⎩，解得43a ≥-，∴413a -≤<-． 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题．解题方法是求出导数，设出切点坐标得出切线方程，由切线过点10（，）得出0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，问题转化为二次方程根的分布问题．11．A解析：A 【分析】求出y Inx =在区间[]1,e 上的过坐标原点的切线的斜率，只需a 小于该斜率，且为正数即可. 【详解】根据函数()f x 的解析式，可知，函数的图像如下：要使得方程()()F x f x ax =-有4个零点，只需a 小于y Inx =在区间[]1,e 上的过坐标原点的切线的斜率即可.1y x'=，设切点为()00x ,y ，故可得切线方程为： ()0001y Inx x x x -=-，又其过()0,0 代入解得0x e =故此时切线的斜率为011x e= 故10,?a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查函数的零点问题，涉及数形结合，利用导数求切点，属函数综合题.12．C解析：C 【分析】 设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y e e x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解.【详解】 设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C . 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意g′（x ）＝x+m （m ＜0）从而可得直线l 的斜率为切点为（10）；从而求出直线方程联立令△＝0即可求出m 的值【详解】解：由题意故直线l 的斜率为切点为（10）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1 解析：2-【分析】由题意，1'()f x x=，g ′（x ）＝x +m （m ＜0），从而可得直线l 的斜率为11k f '＝（）＝，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0即可求出m 的值. 【详解】解：由题意，1'()f x x=， 故直线l 的斜率为11k f '＝（）＝， 切点为（1，0）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1；即x ﹣y ﹣1＝0；由12x 2+mx 72+=y ，y ＝x ﹣1消y 得， x 2+2（m ﹣1）x +9＝0,故241490m ∆⨯=（﹣）﹣＝，解得，m ＝﹣2（m ＜0）； 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．14．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点， 利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-，因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.16．【分析】先根据求得的值然后利用导数求得切线的斜率由此求得切线方程【详解】由可得从而故在处的切线方程为即切线方程为【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法考查在函数图像上一点处切线方程的求法属于基础题 解析：320x y -+=【分析】先根据()02f =求得a 的值，然后利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程. 【详解】由()02f =可得2a =，从而()sin 2xf x x e =+，()cos 2x f x x e =+'，()03f '=故在()02，处的切线方程为32y x =+，即切线方程为320x y -+=. 【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查在函数图像上一点处切线方程的求法，属于基础题.17．【解析】本小题考查导数的几何意义切线的求法令得故切点为代入直线方程得所以 解析：ln21-【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．1y x'=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-．18．【分析】由函数的解析式求得根据导数求得结合直线的点斜式即可求解【详解】由题意函数可得又由可得即切线的斜率为根据直线的点斜式方程可得即所求切线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方 解析：210x y --=【分析】由函数()f x 的解析式，求得()11f =，根据导数求得()12k f '==，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，函数()1ln x f x ex -=+，可得()11f =，又由()11x f x e x-'=+，可得()12f '=，即切线的斜率为2k =， 根据直线的点斜式方程，可得12(1)y x -=-， 即所求切线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=. 【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.19．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=【分析】由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程．【详解】由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2(1)(1)17f g =+=-，(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．20．2x+（e ﹣1）y+2e ﹣2＝0【分析】先求导可得则求得也为曲线在点处的切线的斜率且求得进而求解即可【详解】由题所以所以则曲线在点处的切线的斜率为所以当时所以切线方程为即故答案为:【点睛】本题考查在解析：2x +（e ﹣1）y +2e ﹣2＝0 【分析】先求导可得()()12x f x f e x ''=+,则()()1112f f e ''=+,求得()211f e'=-,也为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率,且()2211xf x e x e=+--,求得()1f ,进而求解即可 【详解】由题,()()12xf x f e x ''=+,所以()()1112f f e ''=+,所以()211f e'=-, 则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为21e-, 所以()2211xf x e x e=+--, 当1x =时,()2211111e f e e e=+-=--, 所以切线方程为()22111e y x e e-=---,即()21220x e y e +-+-=, 故答案为:()21220x e y e +-+-= 【点睛】本题考查在某点处的切线方程,考查导函数的几何意义的应用三、解答题21．（1）1b =；（2）(1ln 2,)-+∞． 【分析】（1）由题意知(1)(1)f g ''=，可得实数b 的值；（2）对函数求导，分0a ≤，12a =，102a <<和12a >几种情况讨论函数的单调性，求出最值，列不等式解出实数a 的取值范围． 【详解】（1）1()f x b x'=-，()2(1)g x a x '=-， 由题意知(1)(1)f g ''=，即10b -=，得1b =．（2）由题得2()1ln (1)h x x x a x =----，定义域为(0,)+∞．1(1)(21)()12(1)x ax h x a x x x--'=---=-． ①当0a ≤时，210ax x-<． 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增．所以当(0,](12)x k k ∈<<时，min ()(1)0()h x h h k ==<，()h x 的值域是[0,)+∞，不符合题意．②当0a >时，12(1)2()a x x a h x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-（ⅰ）当112a=，即12a =时，()h x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．（ⅱ）当112a>，即102a <<时，()h x ，()h x '的变化情况如下：只需满足(2)(1)0h h <=，且22a<， 解得11ln 22a -<<． （ⅲ）当112a <，即12a >时，()h x ，()h x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1(2)2h h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即21111ln 11ln 2222a a a a a ⎛⎫---->-- ⎪⎝⎭． 即只需满足1ln 4104a a+-> 设11()ln 41,42F a a a a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭， 241()04a F a a -'=>，所以()F a 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当12a >时，11()ln 2022F a F ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，所以12a >满足题意． 综上，实数a 的取值范围是(1ln 2,)-+∞． 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和最值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 1. 先求出原函数的定义域； 2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调． 22．(1) 10x y --= (2) 1(,)2e+∞ (3) 1a = 【分析】（1）先利用导数求切线的斜率，再求切线方程；（2）原命题等价于2ln xa x<对()0,x ∈+∞恒成立，再令()2ln xh x x=求()max h x 即得解.（3）设切点为0x ，则0002ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解之得解. 【详解】（1）由题得21ln (),(1)1xf x k f x ''-=∴== 所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程y 0x 1-=-为10x y --=即；（2）由题得函数的定义域()0,+∞为. 即2ln xa x<对()0,x ∈+∞恒成立， 令()2ln x h x x =，所以()312ln xh x x-'=， 所以函数h(x)在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()max 12h x he==， 故a 的取值范围为1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （3）由题得ln x y ax x =-，所以21ln x y a x -='- 设切点横坐标为0x ，则000020ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得1a =.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和切线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）y x =（2）4,2π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】（1）求得函数的导数cos sin ()xx xf x e '-=，得到'(0)1f =，(0)0f =，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，求得函数4max ()2f x e π=，进而由max ()k f x >，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）由题意，函数sin ()x x f x e =，则cos sin ()xx x f x e '-=，可得'(0)1f =，又(0)0f =，所以函数()f x 在点(0,(0))M f 处的切线方程为y x =．（2）因为[0,]x π∈，令cos sin ()0x x xf x e '-==，解得4x π=，当x [0,)4π∈时，'()0f x >，当4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0f x <，所以函数()sin xf x ex -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，所以4max ()4f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()0f x k -≤，在[0,]x π∈恒成立，即max ()k f x >恒成立，所以42k e π-≥，所以k 的取值范围是4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 24．（1）1a =，1b =；（2）见解析 【分析】（1）计算导函数，结合切线方程，建立等式，计算参数，即可．（2）得到()f x ，计算导函数，计算最值，建立不等关系，即可． 【详解】(1)函数()ln xf x ae b x =-的导数为()'xb f x ae x=-， 函数()ln xf x ae b x =-在点()()1,1f 处的切线斜率为k ae b =-，由切线方程()11y e x =-+，可得1ae b e -=-，e ae =， 解得1a =，1b =；(2)证明：()ln xf x e x =-，导数为()1'xf x e x =-，0x >，易知()'f x 为增函数，且()110,02f f ⎛⎫>< '⎪⎝⎭'. 所以存在1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,有()0f m '=,即1me m =，且x m >时，()'0f x >，()f x 递增；0x m <<时，()'0f x <，()f x 递减，可得x m =处()f x 取得最小值()ln mf m e m =-12m m=+>， 可得()2f x >成立． 【点睛】考查了函数导数计算方法，考查了利用导数计算最值问题，做第二问关键利用导数计算最值，难度偏难． 25．b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b ＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解26．（1）1a =-；（2）见解析.【解析】试题分析：(1) 设切线与曲线()f x 的切点为()00,P x y ,由题意,()()00000001ln e e,1ln e 1f x a x a y ax x x x =++-=--'=+-且00e 1y x =--,联立求解可得1a =-；(2)进行二次求导,判断函数()'f x 的单调性,可得()min 1''f x f a ⎛⎫=⎪⎝⎭,设()ln 2e(0e)h x x x x x =-+-<≤,求导并判断函数的单调性,可得得()()()min e 0,'0(h x h f x ≤=≤仅当e a =时取“=”),再分e a =与0a e <<讨论函数()f x 的单调性,即可得函数()f x 的零点个数. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+,()11'ln e ln e ax f x a x a x a x x+=+-=++-, 设切线与曲线()f x 的切点为()00,P x y , 则切线的斜率为()0'f x , 即001ln e e a x a x ++-=-,化简得()00ln 11(ax x +=-*), 又()00001ln e 1y ax x x =+--且00e 1y x =--, 得()001ln 0ax x +=, ∴0ln 0x =或010ax +=, 联立(*)式,解得1a =-. (2)设()g x =()'f x =1ln e a x a x++-, 由()21'0ax g x x -=>得1x a>, ∴()g x 即()'f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 得()min 1''ln 2e f x f a a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭,其中0e a <≤, 设()ln 2e(0e)h x x x x x =-+-<≤, 由()'ln 10h x x =-+>,得0x e <<,∴()h x 在(]0,e 上单调递增,得()()e 0h x h ≤=, ∴()min '0(f x ≤仅当e a =时取“=”),当e a =时,()min '0f x =,得()'0f x ≥,∴()f x 在()0,∞+上单调递增,又()2e 1e 10f e a =+--=, ∴函数()f x 仅有一个零点,为e;②当0a e <<时,()min 1''0f x f a ⎛⎫=<⎪⎝⎭, 又e e 'e e 0a a f a -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭, ∴存在11x a>,使()1'0f x =, 又1'e e 0e f a a ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭,而11e a <, ∴当()110,,e x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时,()'0f x >, 当11,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x <, ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,x ∞+上单调递增,在11,e x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 又e 1e 30,e 10e e a a f f a⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 仅有一个零点,综上所述,函数()f x 仅有一个零点．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-3．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<4．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A ．4B ．4C ．10D ．10-5．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦6．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A B ．C ．2 D ．7．已知函数()2bf x xax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1n n +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++8．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－110．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-2511．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B距离最小值为t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 12．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．233二、填空题13．已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则441tan x x +=________． 14．已知函数()2e ,143,13x x f x x x x ⎧≤=⎨-+-<<⎩，若函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______.15．直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(2,2)A ，则2a b -+=_________. 16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x =18．曲线()12f x x x=-在点()()1,1f 处的切线与圆222x y R +=相切，则R =______． 19．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 20．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-3的距离最小值_________三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 22．已知函数()()()32231610f x x m x mx m m R =---+∈.（1）若0m =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0m >，且当[]13,x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围.23．已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围. 24．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.25．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.26．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =. 因为()2xxf x e xe x '=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】令()()xf xg x e =，则()()()x f x f x g x e '-'=，因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e <， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.3．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.4．C解析：C 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称， 所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 5210+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．5．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.6．B解析：B 【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =,所以()g b 的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.7．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++， 因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++.故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题8．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x-'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 10．A解析：A 【分析】由导数的运算可得：2()6(1)f x x f ''=--，再由导数的几何意义，即函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为()2f '，求解即可. 【详解】由题得2()6(1)f x x f ''=--，所以()()161f f ''=--，解得()13f '=-，所以()221f '=-.故选A. 【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.11．C解析：C 【分析】设点B 的坐标为(),ln m m ，根据直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，得到t 关于m 的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB 的最小值为m 的值，即可得出实数t 的值. 【详解】设点B 的坐标为(),ln m m ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 由题意可知，直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，则ln AB t mk m m-==--， 得2ln t m m =+，由两点间的距离公式得AB ==由于AB 的最小值为4212m m +=，0m >，解得m =，因此，133ln 32t =+=+.故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．二、填空题13．【分析】因为直线恒过画出图像可知符合条件时点为切点此时则进而求得的值【详解】由题直线恒过则画出图像如图所示因为直线与函数的图像恰有四个公共点则是切点即与相切且则所以因为所以则所以故答案为：【点睛】本 解析：2-【分析】因为直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,画出图像,可知符合条件时,点()44,D x y 为切点,此时4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则444cos sin 2x a x x -==+,进而求得441tan x x +的值 【详解】由题,直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,则画出图像如图所示,因为直线()()20y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点,则()44,x y 是切点,即()2y a x =+与cos y x =-相切,且4,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则()442cos a x x +=-,所以44cos 2x a x -=+, 因为()cos sin x x '-=,所以444cos sin 2x x x -=+,则4412tan x x --=, 所以4412tan x x +=- 故答案为：2- 【点睛】本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想14．【分析】函数有三个零点可知和的图象有三个交点进而作出图形结合图形分类讨论可求出答案【详解】令函数有三个零点则和的图象有三个交点当时且；当时；是过点的折线先考虑特殊情况若折线与在上存在相切设切点为由可 解析：(e 0,6421,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，可知()f x 和1y k x =+的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案.【详解】令()()()1,111,1k x x h x k x k x x -+<-⎧⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则()f x 和()h x 的图象有三个交点， 当1x ≤时，()e xf x =，且()1e f =；当13x <<时，()()()24313f x x x x x =-+-=---；()h x 是过点1,0的折线.先考虑特殊情况，若折线与()f x 在(],1-∞上存在相切，设切点为()00,ex x ，由()e xf x '=，可得切线斜率为0e x ，则切线方程为()000e e x x y x x -=-，因为切线过点1,0，所以()0000e e 1x x x -=--，解得00x =，即切点为0,1，切线斜率为1， 切线方程为1y x =+，此时1k =；若折线与()f x 在()1,3上相切，设切点为(),x y ''， 由图象可知()1,2x '∈，且01k <<， 令()2431x k x x =-++-，方程整理得()2403k x x k -++=+，则()()24430k k ∆=--+=，解得6k =± 因为()f x 在()1,3上最大值为()2224231f =-+⨯-=，所以()101213k ->=--，即113k <<，计算可知61+>，1613<-<，所以6k =-； ①当0k ≤时，()10h x k x =+≤，两个函数没有交点，不符合题意； ②当06k <<-()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[]1,1-上没有交点，在()1,3上有2个交点，共有3个交点，符合题意； ③当61k -≤时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[)1,3-上至多有1个交点，不符合题意； ④当()e 0e1112k -<≤=--，即e12k <≤时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[]1,1-上有2个交点，在()1,3上没有交点，共有3个交点，符合题意.⑤当e2>k 时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[)1,3-上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意. 综上所述，实数k 的取值范围是()e 0,6421,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：(e 0,6421,2⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.15．40【分析】把点代入直线方程求得再由导数的几何意义得到求得进而代入曲线方程求得的值即可求解得到答案【详解】由题意直线与曲线相切于点把点代入直线可得又由则所以解得即把点代入解得所以【点睛】本题主要考查解析：40 【分析】把点(2,2)A 代入直线方程，求得12k =，再由导数的几何意义，得到()12122f a '=+=，求得a ，进而代入曲线方程，求得b 的值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(2,2)A ， 把点(2,2)A 代入直线1y kx =+，可得12k =， 又由()3f x x ax b =++，则()23f x x a '=+， 所以()12122f a '=+=，解得232a =-，即()3232f x x x b =-+，把点(2,2)A 代入()3232222f x b =-+=，解得17b =， 所以2322()17402a b -+=-⨯-+=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．【解析】【分析】通过判断函数为偶函数即可得到在的解析式从而求导求出直线的斜率再求出切线方程【详解】由于函数的图像关于直线对称故为偶函数令则从而因此则切线斜率为因此切线方程为【点睛】本题主要考查函数的 解析：2y x =【解析】 【分析】通过判断函数为偶函数即可得到()f x 在0x >的解析式，从而求导求出直线的斜率，再求出切线方程. 【详解】由于函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，故()f x 为偶函数，令0x >，则0x -<，从而1()()x f x f x ex -=-=+，因此(1)2f =，1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)112f '=+=，因此切线方程为2y x =.【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，利用奇偶性求函数解析式，导数的几何意义，综合性强；意在考查学生的转化能力及逻辑分析能力.17．①④⑤【分析】理解新定义的意义借助导数的几何意义逐一进行判断推理即可得到答案【详解】对于①所以是曲线在点处的切线画图可知曲线在点附近位于直线的两侧①正确；对于②因为所以不是曲线：在点处的切线②错误；解析：①④⑤ 【分析】理解新定义的意义，借助导数的几何意义逐一进行判断推理，即可得到答案． 【详解】对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为22(2),|0x y x y =-''=+=，所以:2l x =-不是曲线C ：2(2)y x =+在点()2,0P -处的切线，②错误；对于③，e x y '=,00|1x y e ='==，在(0,1)P 的切线为1y x =+，画图可知曲线C 在点(0,1)P 附近位于直线l 的同侧，③错误；对于④，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，画图可知曲线C ：sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，图可知曲线C ：tan y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，⑤正确．【点睛】本题以新定义的形式对曲线在某点处的切线的几何意义进行全方位的考查，解题的关键是已知切线方程求出切点，并对初等函数的图像熟悉，属于中档题．18．【解析】【分析】求切线的斜率和切点由点斜式方程得切线方程再由圆心到切线的距离等于半径计算可得所求值【详解】的导数为可得切线的斜率为切点为即有在处的切线方程为即为由切线与圆相切可得可得故答案为：【点睛 10 【解析】 【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值． 【详解】()12f x x x=-的导数为()21'2f x x =+，可得切线的斜率为3k =，切点为()1,1， 即有在1x =处的切线方程为()131y x -=-， 即为320x y --=，由切线与圆222x y R +=相切，可得00210d R --==，可得10R =． 故答案为：105． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d r =，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．【解析】【分析】求导函数确定切线的斜率可得所求直线的斜率再利用点斜式可得直线方程【详解】当时即曲线在点处的切线斜率为与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2直线过点所求直线方程为即故答案为【点睛】本题 解析：210x y -+=【解析】 【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程． 【详解】11x y x +=-， 22'(1)y x ∴=--，当3x =时，1'2y =-，即曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线斜率为12-， ∴与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的斜率为2， 直线过点()0,1，∴所求直线方程为12y x -=，即210x y -+=．故答案为210x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．20．【分析】由题意知当曲线上过点P 的切线和直线y=x-3平行时点P 到直线y=x-3的距离最小求出曲线对应的函数的导数令导数值等于1可得切点的坐标此切点到直线y=x-3的距离即为所求【详解】点P 是曲线y=解析：2【分析】由题意知，当曲线上过点P 的切线和直线y=x-3平行时，点P 到直线y=x-3的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x-3的距离即为所求． 【详解】点P 是曲线y=x 2-lnx 上任意一点，当过点P 的切线和直线y=x-3平行时，点P 到直线y=x-3的距离最小．直线y=x-3的斜率等于1，令y=x 2-lnx 的导数 y′=2x -1x =1，x=1，或 x=-12（舍去），故曲线y=x 2-lnx 上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x-3的距离为2.故答案为2. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．三、解答题21．y ex e =-. 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】()(1)x f x x e =-，(1)0f ∴= ()x f x xe '=，(1)e f .()f x ∴在1x =处的切线方程为：0e(1)yx ，即y ex e =-【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题. 22．（1）1270x y --=；（2）(]0,2. 【分析】（1）先对函数()y f x =求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）问题可转化为求解函数()y f x =在区间[]1,3-上的最小值()min f x ，求导后对实数m 分3m ≥和03m <<两种情况讨论，求出()min f x ，然后解不等式()min 0f x ≥，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）当0m =时，()3223f x x x +=，()266f x x x '=+，由题意可得，()15f =，切线斜率()112k f '==，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程()5121y x -=-，即1270x y --=；（2）()()()()2661661f x x m x m x x m '=---=+-.①若3m ≥，则对任意的[]13,x ∈-，()0f x '≤，则函数()y f x =在[]1,3-上单调递减，则只要()335810f m =-+≥， 解可得，81335m ≤<，不合题意，舍去； ②若03m <<，当1x m -≤≤时，()0f x '≤，当3m x <≤时，()0f x '>， 故函数()y f x =在[]1,m -上单调递减，在(],3m 上单调递增， 故只要()323100f m m m m =--+≥，0m >，解得02m <≤.综上可得，m 的范围为(]0,2. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.23．（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞.【分析】（1）由已知设抛物线方程为：22x py =，求出抛物线方程，从而可求出抛物线的焦点，进而求出椭圆的标准方程.（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，求出A ，B 两点切线的斜率，根据121k k =-可得 1212116x x k k ⋅==-，由A ，B 两点直线的斜率从而可求出212x x m +=，再由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上， 所以抛物线C 的方程为28x y =， 所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =， 在B 点处的切线的斜率224x k =， 又1212116x x k k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m=212x x m +=，而12|||AB x =-===所以42g()8644m m m =++，又20m ≥，所以()8g m ≥. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题. 24．（1）220x y +-=；（2）(),1-∞. 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），由点斜式可求切线方程；（2）g （x ）=f （x ）+x 2﹣a ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数g （x ）的单调性，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当1a =时, ()10f =,()()()44ln 24f x x x x =+'--,()'12,f =- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =-- 即220x y +-=.（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥' 当1a ≤时, ()g x 在[)1,+∞上单调递增,所以,对任意1x ≥,有()()110g x g a ≥=->,所以 1.a <当1a >时, ()g x 在[)1,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--,由条件知, ()212ln 0a a a -->, 即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a a a =-'-所以()h a 在()1,+∞上单调递减,又()10h =, 所以()()10h a h <=与条件矛盾.综上可知,实数a 的取值范围为(),1.-∞【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．25．【解析】 【分析】先求出切线方程为，设，则，再对分类讨论，利用导数分析解答得解. 【详解】 解：，在处切线的斜率为，所以切线方程为，即.设，则. 依题意，当时，恒成立.①当时，在区间上，，是增函数， 所以；②当时，在区间上，，是减函数，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.26．（1）()33f x x x =-；（2）22m -<<.【分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a ，b 的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得()f x 的导数和单调区间、极值，由题意可得m 介于两极值之间． 【详解】解：（1）函数32()3f x ax bx x =+-的导数为2()323f x ax bx '=+-，根据在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=， 得12f ，()10f '=，即32a b +-=-，3230a b +-=，解得1a =，0b =， 则3()3f x x x =-； （2）令2()330f x x '=-=， 解得1x =-或1，令()0f x '>，得1x >或1x <-； 令()0f x '<，得11x -<<；()f x ∴的单调增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调减区间是(1,1)-，有两个极值为()12f -=，12f ，图象如图所示：方程()f x m =有三个根，即为()y f x =和y m =有三个交点，22m ∴-<<．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．。