高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

一．椭圆二．双曲线四．椭圆、双曲线及抛物线的性质对比(焦点在x轴上)名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2︱)|PF|= 点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程12222=+byax（a>b>0)12222=-byax(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图象几何性质范围byax≤≤,ax≥0≥x顶点),0(),0,(ba±±)0,(a±(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c,0 ）)0,2(p轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b准线cax2±=2px-=通径abAB22=pAB2=渐近线xaby±=...——知识就是力量，学海无涯苦作舟!——不要担心知识没有用，知识多了，路也好选择，也多选择。

比如高考，高分的同学，填报志愿的时候选择学校的范围大，而在分数线左右的就为难了，分数低的就更加不要说了。

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数学备课组椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(, ).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n-个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。

（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ，成立 存在某x ，不成立p 或q p ⌝且q ⌝对任何x ，不成立 存在某x ，成立p 且q p ⌝或q ⌝6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

高考数学中的椭圆形与双曲线椭圆形和双曲线是高中数学中的一些重要知识点，而在高考数学中，也是经常被考察的难点。

这些曲线形状各异，但是在多年的教学实践中，我们可以发现它们之间存在着一些共性和联系。

本文将从这些方面对椭圆形和双曲线进行深入的探讨。

一、基本概念首先，我们需要明确椭圆形和双曲线的基本概念。

椭圆形是一个闭合曲线，通常可以看做一个长方形的两个顶点之间的点集。

这个长方形的长短轴分别为a和b，其方程一般写作(x²/a²)+(y²/b²)=1。

而双曲线则是两个分离曲线连成的一个形状，一般来说，它可以看做平面上所有离定点F1和F2距离之差等于2a的点的集合。

它的方程一般写作(x²/a²)-(y²/b²)=1。

二、椭圆形和双曲线的公共特征虽然椭圆形和双曲线的形状差别很大，但是它们在数学理论中是非常相似的。

这是因为它们都属于一类称为“锥体曲线”的曲线。

锥体曲线的一个基本特征是它们是由一个截面与一个两端都有点的圆锥相交而形成的。

具体来说，椭圆形和双曲线都可以看做锥体曲线中的一种，它们的方程都可以写成像上文中提到的那样的标准式。

此外，它们也有一些共性特征，比如都具有对称性等等。

三、椭圆形和双曲线的不同特征虽然椭圆形和双曲线有不少共性特征，但是它们之间的不同点也是很明显的。

首先，我们可以看到它们的形状就不同，椭圆形是一个闭合的几何形状，而双曲线则是一个开口向两侧的形状。

另外，它们的方程也有差别，椭圆形的方程是一个含有加号的二次函数，而双曲线的方程则是一个含有减号的二次函数。

这就导致它们的奇点也不同，椭圆形的奇点在轴的两端，而双曲线的奇点则是在焦点F1和F2处。

四、高考数学中的应用在高考数学中，椭圆形和双曲线都是比较重要的知识点，经常会被考察到。

这时候，学生需要掌握一些相关方法和技巧，比如化简方程、求极值、求导数等等。

举个例子来说，如果考到一道关于椭圆形的题目，比如给出某个椭圆形的方程，要求求出其长短轴长度或者离心率等参数，学生需要使用相关的数学方法进行求解。

课题1：抛物线二级结论的应用一、基本结论1.AB （倾斜角为 ）是过抛物线 220y px p 的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A 在x 轴上方，M 为AB 的中点.1AF =��+�2=�1−퐶� �，BF =��+�2=�1+퐶� �（当AB x 轴(=90 )时，称弦AB 为通径.通径是过焦点的所有弦中最短的，其长度为2p .）21222sin pAB x x p( 为直线AB 的倾斜角)；3211sin 222sin AOBF p S OA OB AOB OF h4���∙��=p ；5112AF BF p6若CD AB 和分别过抛物线交点且互相垂直的弦，则pCD AB 2111．2.AB 是过抛物线 220x py p 的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A 在y 轴右侧，M 为AB 的中点.1AF =��+�2=�1−푠� �，1sin p BF=��+�2，21222cos pAB y y p( 为直线AB 的倾斜角).3211sin 222sin AOBF p S OA OB AOB OF h�22푐�푠41���∙��=p ；5112AF BF p三、焦半径倒数之和为定值已知AB 是过抛物线 220y px p 的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，则.1.已知抛物线 220y px p ，经过其焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AB 的倾斜角为 ，AF FB ，1 (其中tan k )；2.已知抛物线 220x py p ，经过其焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AB 的倾斜角为 ，AF FB ，1 (其中tan k ).四、定点弦横纵坐标乘积为定值已知直线l 过定点 ,0M m ，与抛物线 220y px p 交于,A B 两点，若 11,A x y ， 22,B x y ，则212x x m ，122y y pm ，当2pm 时，2124p x x ，212y y p .五、阿基米德三角形1.如图所示，以,A B 两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点Q ，M 为AB 中点，则有：1BQ ⊥AQ,QF ⊥AB;2Q 点必在准线上；QM Ⅱx 轴，即Q （-�2,�1+�22)3A ，O,B 1三点共线，B ，O,A 1三点共线4四边形ABB 1A 1的面积为2�2푠� 3�(为直线AB 的倾斜角).5四种相切以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∠A 1FB 1＝90°；以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；2.如图所示，AB 是抛物线x 2＝2py (p >0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A ，B 作抛物线的切线，交于点P ，连接PF ，则有以下结论：图(7)1BP ⊥AP,PF ⊥AB;2P 点必在准线上；PM ⅡY 轴，即P （�1+�22,-�2)3A ，O,B 1三点共线，B ，O,A 1三点共线4四边形ABB 1A 1的面积为2�2푐�푠3�(为直线AB 的倾斜角).六、抛物线最值1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；【2009•四川理9】已知直线l 1：4x﹣3y+6=0和直线l 2：x=﹣1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（）【解析】直线2l ：1x是抛物线24y x 的准线， 1,0F 是其焦点，如图所示，由抛物线的定义知P 到直线2l 的距离|PE|=|PF|,因此本题可转化为在抛物线24y x 上找点P 使P 点到点 1,0F 和到1l 距离|PD|的和最小，最小值是1,0F 到直线1l ：4360x y 的距离。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

曲线在高考数学中的分析高考数学中的曲线是一个重要而复杂的话题，它是解决关于函数、方程和几何的问题的必要工具。

曲线的研究需要涉及到解析几何、微积分、微分方程等知识，因此也成为了学生们备考高考的必修内容。

接下来，本文将从曲线的定义、性质、应用等方面进行分析。

一、曲线的基本概念曲线是指连续的点所组成的轨迹，通常用公式来表示。

在高考数学中，常见的曲线有直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

这些曲线都有其独特的性质和特点，需要我们掌握和理解。

二、曲线的性质不同的曲线有不同的性质，下面以常见的曲线为例进行简要说明：1、直线直线是最基本的曲线，它在解决几何问题中起到了重要的作用。

直线有以下两个基本性质：（1）一条直线可以由两个点唯一确定；（2）两条不重合的直线有且仅有一个交点。

2、圆圆是一个弧度为2π的曲线，它有以下几个性质：（1）圆上任意两点之间的弧长相等；（2）半径相等的圆互相等价；（3）圆的内切线与半径垂直。

3、椭圆椭圆是一个中心对称的曲线，它的性质有以下几个：（1）椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于定值2a；（2）椭圆的离心率为e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴。

4、抛物线抛物线是一个非常特殊的曲线，它的性质有以下几个：（1）抛物线是关于其对称轴对称的；（2）抛物线的焦距等于1/4抛物线弦长；（3）抛物线与其对称轴之间的距离为横坐标的平方与纵坐标之比。

5、双曲线双曲线是一个复杂但广泛应用的曲线，它的性质有以下几个：（1）双曲线的两个渐近线之间的距离为2a；（2）双曲线上的任意一点到两个焦点之间的距离之差等于定值2c。

三、曲线的应用曲线在高考中的应用非常广泛，在各个学科中都有其应用范畴。

下面以数学、物理、化学等学科为例，简要介绍曲线的应用：1、数学在数学中，曲线是解决函数、方程和几何等问题的必要工具。

我们需要用曲线来解决构造图形、求解方程组、求极值、求定积分等问题。

2、物理物理中涉及到的曲线主要有速度曲线、路程曲线、加速度曲线等。

高考数学中的椭圆与双曲线相关知识点详解椭圆和双曲线是高中数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题和代数问题中都有广泛的应用。

在高考数学中，椭圆和双曲线都是重点考查的内容，因此对于这两个概念，学生需要掌握其相关知识点。

一、椭圆的定义与特征椭圆是平面上一点集合，其到两个不同定点的距离之和等于常数，这两个定点叫做椭圆的焦点。

椭圆上任意一点到这两个定点的距离之和等于椭圆上任意一点到其所在直线的垂足的距离之和。

根据椭圆的定义，我们可以得出以下特征：1. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a；2. 椭圆的两个直径的长度之和为常数2a；3. 椭圆的两条焦弦的长度之和为常数2a；4. 椭圆的中心点位于两个焦点的中垂线上，中心到两个焦点的距离之和等于常数2a。

二、双曲线的定义与特征双曲线是平面上一点集合，其到两个不同定点的距离之差等于常数。

这两个定点叫做双曲线的焦点。

在双曲线上任意一点到这两个定点的距离之差等于椭圆上任意一点到其所在直线的垂足的距离之差。

双曲线的定义可以得出以下特征：1. 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a；2. 双曲线的两个直径的长度之差为常数2a；3. 双曲线的两条焦弦的长度之差为常数2a。

三、椭圆和双曲线的方程椭圆和双曲线都可以用方程表示。

以椭圆为例，如果椭圆的中心点为（h，k），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么椭圆的标准方程为：（x-h）²/a² + (y-k)²/b² = 1而双曲线的标准方程为：（x-h）²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，a和b分别代表长轴的长度和短轴的长度。

当a²> b²时，方程表示的是椭圆；当a² < b²时，方程表示的是双曲线；当a² = b²时，方程表示的是圆。

四、椭圆和双曲线的参数方程椭圆和双曲线的参数方程也可以帮助我们更好地了解它们的特征。