高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间

第三章n维向量空间3.1 n维向量空间的概念3.1n维向量空间的概念一、n 维向量空间的概念几何向量的线性运算: 加法, 数乘k • = (k a 1, k a 2, k a 3).+ = (a 1+b 1, a 2 +b 2, a 3+b 3),设 = (a 1, a 2, a 3), = (b 1, b 2, b 3), 规定几何空间中：点P 的坐标123,,OP a a a所有3 维几何向量所成集, 按上述线性运算, 满足:称此集合构成一个3维实向量空间, 记为ℝ3.四条加法规则o 300o1o2 o40两条数乘规则o5 1o6 k l kl两条加法与数乘结合的规则o7 k k ko8 k l k l实(复)向量:分量为实(复)数的向量n 维向量空间F n :n 维行向量:(有序数组) 12(,,,)n a a a n 维列向量:12n b b bF n 是行空间还是列空间?取决于出现F n 时的上下文 的分量i a F确定飞机的状态, 需要6个参数：飞机重心在空间的位置参数P (x , y , z )机身的水平转角)20( 机身的仰角)22(机翼的转角)( 所以, 确定飞机的状态, 需用6维向量n 维向量的实际意义,,,,,x y z向量相等 = (a 1, a 2, …, a n ), =(b 1, b 2, …, b n )= a i = b i零向量0= (0, 0, …, 0)F n数域F 上全体n 维向量所成集F n 中向量的线性运算:= (a 1, a 2, …, a n ), =(b 1, b 2, …, b n ),+ = (a 1 +b 1, a 2+b 2, …, a n +b n ), k =(k a 1, k a 2, …, k a n ), k F .负向量11,,,,n n a a a a 八条线性规则: 4条加法, 2条数乘, 2条运算相结合的规则称F n 关于如上线性运算构成一个n 维F -向量空间.线性方程组与n 维向量的线性运算:12,n x x X x12m b b b b11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b1112112122221212,n n n m m mn m a a a b a a a b x x x a a a b1122,n n x x x b 12,,,,n X b AX b。

多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。

第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。

形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。

定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。

定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。

我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。

第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。

Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。

第三章 向量与线性方程组Ⅰ.授课题目:§3.1 线性方程组的解 §3.2 n 维向量空间 §3.3 向量组的线性相关性 §3.4 线性方程组解的结构 Ⅱ.教学目的与要求:1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换 Ⅲ.重点与难点:重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换 难点: 伴随矩阵，逆矩阵，初等矩阵、矩阵秩的概念 Ⅳ.教学内容§3.1 线性方程组的解例3.1 用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）123123123253336212434x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩；（2）123451234512345232222283536x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪++--=⎨⎪-+-+=⎩；（3）12341234123222253335x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪-+=⎩.提示或答案：（1）()(),3R A R A b ==，原方程组有唯一解()1,1,2T--；（2）增广矩阵行等价于1-23-12205-40-5400000-4⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()2,,3R A R A b ==，原方程组无解； （3）增广矩阵行等价于411013*********0⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()(),4R A R A b =<，原方程组的通解为()12124113011,1003010x c c c c R ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.定理3.1 n 元线性方程组Ax b =（1）无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； （2）有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； （3）有无穷多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.练习：用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）1231231242232101138x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩； （2）2312312325227x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（3）12341234123423133128x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪-++=⎩答案：（1）无解；（2）有无穷多解0310,12c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）有无穷多解()21108201x c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 定理3.2 n 元齐次线性方程组0Ax =， （1）只有零解的充要条件是()R A n =； （2）有非零解的充要条件是()R A n <.例3.2 求齐次线性方程组的通解1234123412342403230340x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩.答：()1212132211,221001x c c c c R⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3.3 设有线性方程组()()()12312312310131x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.解法1 对增广矩阵(),A b 作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，有()()()()1110111,11130311100313A b λλλλλλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+→⋅⋅⋅→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭. （1）当0λ≠且3λ≠-时，()(),3R A R A b ==，方程组有唯一解；（2）当0λ=时，()()1,,2R A R A b ==，方程组无解； （3）当3λ=-时，()(),2R A R A b ==，方程组有无穷多个解. 这时，()21101011,1213011211230000A b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭于是，原方程组等价于132312x x x x =-⎧⎨=-⎩. 此时，原方程的通解为()111210x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法2 因系数矩阵A 为方阵，故方程有唯一解的充要条件是系数行列式0A ≠. 而()()()21111111111113111300311111100A λλλλλλλλλλλ+=+=++=+=+++， 因此，当0λ≠且3λ≠-时，方程组有唯一解. 当0λ=时，()11101110,1113000111100000A b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 知()()1,,2R A R A b ==，方程组无解. 当3λ=-时，()21101011,1213011211230000A b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 知，()(),2R A R A b ==，方程组有无穷多个解. 且通解为()111210x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.练习：1. 求解齐次线性方程组12341234123422020320x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩. 2.当,a b 为何值时，线性方程组()1234234123412341212343565x x x x x x x x x ax x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++++=⎩ （1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.答案或提示：1. ()()1211221231,,1,0,0,1,0,1,,55TT x c c c c R ξξξξ⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭2. ()1111101121,0010300010A b a b a ⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-- ⎪-⎝⎭.（1）当1,3a b =≠时，()()2,,3R A R A b ==此时，方程组无解；（2）当1,a b ≠为任意实数时，()(),4R A R A b ==此时，方程组有唯一解；（3）当1,3a b ==时，()(),24R A R A b ==<，方程组有无穷多解. 此时，()1021001121,0000000000A b -⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组可化为134234212x x x x x x =-+⎧⎨=+-⎩. 通解为()1212021112,010001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.小结：课外作业：§3.2 n 维向量空间1. n 维向量空间定义 3.1 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数12,,,n a a a 组成的有序数组,其中i a 称为第i 个分量.通常地，n 维向量可以写成一列12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，也可以写成一行()12,,,n a a a ，前者称之为n 维列向量，用,,,a b c ，或,,,αβγ⋅⋅⋅表示，后者称之为n 维行向量，用,,,TTTa b c ，或,,,T T Tαβγ⋅⋅⋅表示.今后，如无特别声明，我们提到的n 维向量都是指的n 维列向量.如果两个n 维向量()()1212,,,,,TTn n a a a a b b b b ==对应分向量相等，即i i b a =()1,2,,i n =⋅⋅⋅,则称为这两个向量相等，记作.a b =定义零向量()00,0,,0T=⋅⋅⋅，负向量()12,,Tn a a a a -=---.设P 是一个数域，用nP 表示数域P 上全体n 维向量组成的集合，在nP 中如下定义向量加法和数量乘法（统称为向量的线性运算）：对P λ∀∈，()()1212,,,,,TTn n n a a a a b b b b P ==∈()()()12121122,,,,,,,TTTn n n n a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++，()()1212,,,,TTn n a a a a a a a λλλλλ==.这样定义的向量的线性运算满足如下八条运算律：以下,P λμ∈，,,na b c P ∈ 加法的交换律：a b b a +=+；加法的结合律： ()()a b c a b c ++=++； 右零元律：0a a +=； 右负元律：()0a a +-=； 1乘向量律：1a a =；数乘向量的结合律：()()a a λμλμ=； 数对向量加法的分配律：()a b a b λλλ+=+； 向量对数加法的分配律：()a a a λμλμ+=+.定义3.2 设n P 是以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，在nP 中定义如上的向量加法和数量乘法（并满足以上八条运算律），我们称nP 是数域P 上的n 维向量空间.2. 子空间定义3.3 设V 是向量空间nP 的非空子集，如果V 对于向量的加法和数量乘法两种运算都封闭，那么就称集合V 对于向量空间nP 的向量加法和数乘向量构成一个向量空间，称之为向量空间nP 的子空间.例3.1 集合{}22(0,,,),,T n n V x x x x x P ==∈是向量空间nP 的子空间.事实上，若V a a T n ∈=),,,0(2 α，V b b T n ∈=),,,0(2 β则V b a b a T n n ∈++=+),,,0(22 βα，V a a T n ∈=),,,0(2λλλα .例3.2 集合{}22(1,,,),,T n n V x x x x x P ==∈不是n P 的子空间.事实上，若V a a T n ∈=),,,1(2 α，V b b T n ∈=),,,1(2 β则V b a b a T n n ∉++=+),,,2(22 βα.所以V 不是向量空间.例3.3 设βα,是两个已知的n 维向量，则集合{},V x P λαμβλμ==+∈是一个向量空间. 称为由向量βα,所生成的向量空间.一般地，由m ααα,,,21 所生成的向量空间为{}112212,,,m m m V x P λαλαλαλλλ==+++∈.小结：课外作业：§3.3 向量组的线性相关性1. 向量的线性表示以下我们总是讨论在某固定数域P 上的n 维向量空间，不再每次声明. 定义3.4 如果存在一组数s k k k ,,,21 ，使得.2211s s k k k βββα+++=则称向量α是向量组s βββ,,,21 的一个线性组合，或称向量α可由向量组s βββ,,,21 线性表示（或线性表出）称s k k k ,,,21 为组合系数.例如，对向量组()()()1232,1,3,1,4,2,5,4,2,1,4,1T T Tααα=-=-=--，容易看到，.3213ααα-= 因此，3α是21,αα的一个线性组合.又如，任一个n 维向量()12,,,Tn a a a α=都是向量组12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，因为.2211n n a a a εεεα+++=我们称向量组n εεε,,,21 为n 维单位向量组.由定义可以看出，零向量是任一向量组的线性组合(只要取系数全为0就行了)；其次，向量α是向量组s βββ,,,21 的线性组合的充要条件是方程组1122s s x x x βββα+++=有解.例3.4 证明向量()1,1,5Tb =-可由向量组()()()1231,2,3,0,1,4,2,3,6TTTa a a ===线性表示，并求出相应的组合系数.定义 3.5 如果向量组:A 12,,,l ααα中每一个向量(1,2,,)i i l α=都可以由向量组:B s βββ,,,21 线性表示，那么称向量组A 可以由向量组B 线性表示，如果两个向量组互相可以线性表示，就称这两个向量组等价.向量组之间的等价有以下的性质： 1) 反身性：每一个向量都与它自身等价；2) 对称性：如果向量组t ααα,,,21 与向量组s βββ,,,21 等价，那么向量组s βββ,,,21 与向量组t ααα,,,21 也等价;3) 传递性：如果向量组t ααα,,,21 与向量组s βββ,,,21 等价，s βββ,,,21 与pγγγ ,,21等价，那么向量组t ααα,,,21 与p γγγ ,,21等价.如果向量组12,,,r ααα可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，则()11,2,,si ij j j k i r αβ===∑即()()1212,,,1,2,,i i i s is k k i r k αβββ⎛⎫⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.因此，()()111112222121212,,,,,,i r r r s ss rs k k k k k k k k k αααβββ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以，如果()12,,,r A ααα=，()12,,,s B βββ=分别表示以12,,,r ααα和s βββ,,,21 为列向量的矩阵，向量组12,,,r ααα可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，则存在矩阵s r K ⨯，使得A BK =.例3.5 证明向量组1211:1,210A a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组等价.证 对向量组(),A B 施行初等行变换()111011101021,120101110111102101110000A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以看出来1122122,b a a b a a =-=-+，即()()121221,,11b b a a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，显然121111112--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()()121211,,12a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112212,2a b b a b b =+=+.故向量组A 与向量组B 等价.本题后面部分也可以这样做，进一步作初等行变换102111100111120100000000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可以得到112212,2a b b a b b =+=+.2. 向量组的线性相关性定义3.6 对向量组)2(,,,21≥s s ααα ，如果存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得11220s s k k k ααα+++=，则称向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关.否则称向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关.注（1）任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的；（2）如果一个向量组线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（3）两个向量21,αα线性相关⇔21ααk =，即它们的分量对应成比例. 从几何的角度看，就是这两个向量共线；（4）如果三个向量321,,ααα线性相关，则其中一个向量是另外两个向量的线性组合，譬如123k l ααα=+，因此，这三个向量共面,反之也成立；（5）设()12,,,s A ααα=，则向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关⇔齐次方程组0Ax =有非零解⇔()R A s <（即A 是列降秩矩阵）；（6）向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关⇔齐次方程组0Ax =只有零解⇔()R A s =（即A 是列满秩矩阵）. 或者说，向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关⇔若11220s s k k k ααα+++=，则120s k k k ====；（7）1n +个n 维向量一定线性相关（这是因为，以这1n +个n 维向量为列向量构成的矩阵的秩必定小于1n +）；（8）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关；反之，如果一向量组线性无关，那么它们的任何一个非空的部分组也线性无关.（即“部分相关⇒整体相关”；“整体无关⇒部分无关”）（向量个数增加）（9）如果向量组11112221221212,,,s s srs r r a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，则各向量加多一个分量得到的向量组111212122212121,11,21,,,,s s s r r rs r r r s a a a a a a a a a a a a βββ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关；反之，若向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关，则向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性相关（即“截断组无关⇒加长组无关”；“加长组相关⇒截断组相关”）（向量维数增加）；（10）如果向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关，添加一个向量β后，12,,,,s αααβ⋅⋅⋅线性相关，则β一定可以由12,,,s ααα⋅⋅⋅线性表示，而且表示法是唯一的.例3.6 n 维单位向量n εεε,,,21 组成的向量组线性无关.事实上，由,02211=+++n n k k k εεε也就是由1212,(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)(,,)(0,0,,0)T T Tn T n Tk k k k k k +++==可以推出.021====n k k k故n εεε,,,21 线性无关.例3.7 讨论向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T a a a =-==-的线性相关性.例3.8 已知向量组123,,a a a 线性无关，112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+.证明向量组123,,b b b 线性无关.例3.9 已知向量1231021,2,4157a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关性；（2）向量3a 能否由向量组12,a a 线性表示？如果能，求其组合系数. 练习：1.判断向量组()()()1231,0,1,2,1,1,2,4,2,3,5,10TTTααα=-=---=-线性相关还是线性无关.2.设向量组：()()()()12341,1,1,1,2,3,1,3,,3,4,5TTTTt αααα====.（1）问t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关？线性无关？（2）问t 为何值时，向量组1234,,,αααα线性相关？线性无关？3.证明：如果向量组123,,ααα线性无关，则向量组1122233312,23,3βααβααβαα=+=+=+也线性无关.4.设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，问： （1）1α能否由23,αα线性表示？说明理由； （2）4α能否由123,,ααα线性表示？说明理由.3. 向量组的极大无关组与向量组的秩定义3.7 向量组的一个部分组称之为是这个向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）. 如果这个部分组本身线性无关，但是从这个向量组中任意加一个向量（如果还有的话）后都线性相关.例如，在向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)T T T ααα=-=-=--中，由21,αα一个极大线性无关组. n 维单位向量组n εεε,,,21 就是nR 的一个极大无关组.注（1）向量组的极大无关组可能不是唯一的；（2）一个线性无关的向量组，其极大无关组就是它本身； （3）任一向量组与它的极大无关组等价； （4）向量组的任意两个极大无关组一定等价.定理 3.3 如果向量组r ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，且r s >，那么向量组r ααα,,,21 必线性相关.证 记()12,,,r A ααα=，()12,,,s B βββ=.由于向量组r ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，故存在矩阵s r K ⨯，使得A BK =.注意到，齐次方程组0Kx =的解都是齐次方程组0Ax =的解. 而(){}min ,R K r s s r ≤=<（r是未知量的个数），所以，前者一定有非零解，故后者也有非零解. 所以向量组r ααα,,,21 必线性相关.注 （1）定理3.3可以叙述成：如果一个较多的向量组可以由一个较少的向量组线性表示，则较多的向量组一定线性相关.（2）定理3.3的逆否命题是：如果向量组r ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，且r ααα,,,21 线性无关，那么.s r ≤推论1 两个等价的线性无关的向量组，必有相同个数的向量. 推论2 向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.定义3.8 向量组的极大无关组所包含的向量个数称为这个向量组的秩.注 （1）向量组线性无关的充分必要条件为它的秩等于它所含有向量的个数； （2）等价的向量组必有相同的秩；（3）含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组. 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组. 规定这样的向量组的秩为零；（4）矩阵的秩等于矩阵的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. 练习：设121311:,1113A a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，123213011:,,102120B b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明向量组A 与向量组B 等价.例3.10 设向量组A ：123452*********,,,,4622436979a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求A 的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示.（P101～102）练习：设矩阵122121221143A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭,求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.例3.11 设m n m s s n C A B ⨯⨯⨯=，那么()()()(),.R C R A R C R B ≤≤ （教材P103）例3.12 设()ijm nA a ⨯=，证明()1R A =⇔存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使得TA ab =.证 ⇒：（必要性）设矩阵()12,,,n A ααα=⋅⋅⋅ ，由于()1R A =，所以，列向量组12,,,nααα⋅⋅⋅的极大无关组只含一个向量，不妨假定1α是它的一个极大无关组.设2211,,n n k k αααα=⋅⋅⋅=，则()()121112,,,1,,,T n n A k k k k ab αααα=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=. 令()12,1,,,Tn a b k k α==⋅⋅⋅，则TA ab =.⇐：（充分性）由T A ab =知，()1R A ≤.其次，由于a 和Tb 都是非零向量，因此，A O ≠，因此()1R A ≥，故()1R A =. 证毕.例3.13设A 是m n ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则()(){}()()()max ,,R A R B R A B R A R B ≤≤+. 证 设()()12,R A r R B r ==，矩阵,A B 的列向量的极大无关组分别是112,,,r ααα和212,,,r βββ. 于是(),A B 的全体列向量，一定可以由向量组121212,,,,,,,r r αααβββ线性表示，即()()(),R A B R A R B ≤+.另一方面，A 的列向量个数小于(),A B 的列向量个数，因而()(),R A R A B ≤；同时()(),R B R A B ≤. 因而，()(){}()max ,,R A R B R A B ≤.故()(){}()()()max ,,R A R B R A B R A R B ≤≤+.例3.14已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量2,,x Ax A x 线性无关. （1）记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）求A .例3.15 设1212,,,ααββ都是3维列向量，且12,αα线性无关，12,ββ线性无关，证明：存在非零向量γ，使得既可以由12,αα线性表示，也可以由12,ββ线性表示.当121212300,1,2,12351ααββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，求出所有的向量γ.提示 4个3维向量1212,,,ααββ必线性相关，故有不会为0的数1212,,,k k l l ，使得112211220k k l l ααββ+++=，显然12,k k 不全为零，取11221122k k l l γααββ=+=--.解方程组112211220x x y y ααββ+++=，求其通解可知()0,1,1Tk γ=4. 向量空间的基、维数与向量的坐标§3.4 线性方程组解的结构在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件.设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1）引入向量,,,,,2121222122121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s sn nn n s s b b b a a a a a a a a a βααα （2）于是线性方程组（1）可以改写成向量方程.2211βααα=+++n n x x x （3）显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组n ααα,,,21 的线性组合. 用秩的概念，方程组（1）有解的条件可以传述如下：定理7（线性方程组有解的判别定理） 线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s sn s s n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211__有相同的秩.证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就是说，β可以经向量组n ααα,,,21 线性表出，向量组n ααα,,,21 与向量组βααα,,,,21n 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别是矩阵A 与__A 的列向量组. 因此，矩阵A 与__A 有相同的秩.再证充分性，设矩阵A 与__A 有相同的秩，就是说，它们的列向量组n ααα,,,21 与βααα,,,,21n 有相同的秩，令它们的秩为r ，n ααα,,,21 中的极大线性无关组的是由r 个向量组成，无妨设r αα,,1 是它的一个极大线性无关组. 显然r αα,,1 也是向量组βααα,,,,21n 的一个极大线性无关组，因此向量β可以经r αα,,1 线性表出. 既然β可以经r αα,,1 线性表出，当然它可以经n ααα,,,21 线性表出. 因此，方程组（1）有解.应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的，我们知道，用消元法解线性方程组（1）的第一步就是用初等变换把增广矩阵__A 化成阶梯形. 这个阶梯形矩阵在适当调动前n 列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000000`000000000001222221111211 r r rn rr nrn r d d c c d c c c d c c c c 或者 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000`000000000000222221111211r rn rr n rn r d c c d c c c d c c c c 其中.0,,,2,1,01≠=≠+r ii d r i c 在前一种情形，我们说原方程组无解，而在后一种情形方程组有解，实际上，把这个阶梯形矩阵中最后一列去掉，那就是线性方程组（1）的系数矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯形. 这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证明.根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法，这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组（1）有解，矩阵A 与__A 的秩都等于r ，而D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式（当然它也是__A 的一个不为零的子式），为了方便起见，无妨设D 位于A 的左上角.显然，在这种情形下，__A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第s r ,,1 +行都可以经它们线性表出，因此，方程组（1）与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++rn rn r rr r n n r r n n r r b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 11222121111111,, （4） 同解.当n r =时，由克拉默法则，方程组（4）有唯一解，也就是方程且（1）有唯一解. 当n r <时，将方程组（4）改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++---=++---=++++++++.,,11,11211,222121111,111111n rn r r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a （5） （5）作为r x x ,,1 的一个方程组，它的系数行列式.0≠D 由克拉默法则，对于n r x x ,,1 +的任意一组值，方程组（5），也就是方程组（1），都有唯一的解，n r x x ,,1 +就是方程组（1）的一组自由未知量，对（5）用克拉默法则，可以解出r x x ,,1 ：⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=++++.```,```11,111,111n rn r r r r rn n r r x c x c d x x c x c d x（6） （6）就是方程组（1）的一般解.§6 线性方程组解的结构在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构. 在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题. 在有多个解的情况下中，所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 下面我们将证明，虽然在这时有无穷多个解，但是全部的解都可以用有限多个解表示出来. 这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果. 下面的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就不再每次都说明了.上面我们提到，n 元线性方程组的解是n 维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢？我们先看齐次线性方程组的情形. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,02211222221211212111n sn s s n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面的两个重要的性质：1：两个解的和还是方程组的解.设（n k k k ,,,21 ）与（n l l l ,,,21 ）是方程组（1）的两个解. 这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式中，即∑==nj jij ka 10 （s i ,,2,1 =）∑==nj jij la 10 （s i ,,2,1 =）把两个解的和),,,(2211n n l k l k l k +++ （2）代入方程组，得000)(111=+=+=+∑∑∑===nj j ij n j j ij nj j j ijl a k a l k a（s i ,,2,1 =）这说明（2）确实是方程组的解.2：一个解的倍数还是方程组的解.设（n k k k ,,,21 ）是（1）的一个解，不难看出（n ck ck ck ,,,21 ）还是方程组的解，因为∑∑===⋅==nj j ij nj j ijc k a c ck a1100)( （s i ,,2,1 =）从几何上看，这两个性质是清楚的，在3=n 时，每个齐次线性方程组表示一个过原点的平面. 于是方程组的解，也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面. 以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多有解. 基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来？回答是肯定的. 为此，我们引入下面的定义：定义17 齐次线性方程组（1）的一组解t ηηη,,,21 称为（1）的一个基础解系，如果 1）（1）的任意一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合； 2）t ηηη,,,21 线性无关.应该指出，定义中的条件2）是为了保证基础解系中没有多的解. 事实上，如果t ηηη,,,21 线性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说t η可以表成121,,,-t ηηη 的线性组合，那么121,,,-t ηηη 显然也具有性质1）.现在就来证明，齐次线性方程组的确有基础解系.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含有的解的个数等于,r n -这里r 表示系数矩阵的秩（以下将看到，r n - 也就是自由未知量的个数）定理的证明实际上就是一个具体找基础解系的方法.证明 设方程组（1）的系数矩阵的秩为r ，无妨设左上角的r 级子式不等于零，于是按上一节最后的分析，方程组（1）可以改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++---=++---=++++++++.,,11,11211,22121111,11111n rn r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a （3） 如果，n r =，那么方程组没有自由未知量，方程组（3）的右端全为零，这时方程组只有零解，当然也就不存在基础解系，以下设.n r <我们知道，把自由未知量的任意一组值（n r c c ,,1 +）代入（3），就唯一地决定了方程组（3）＿＿也就是方程组（1）的一个解. 换句话说，方程组（1）的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样，特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定就是零解.在（3）中我们分别用r n -组数)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( （4）来代自由未知量（n r r x x x ,,,21 ++），就得出方程组（3）——也就是方程组（1）的r n -个解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===---).1,,0,0,,,(),0,,1,0,,,),0,,0,1,,(,1,22121111 r r n r n r n r r c c c c c c ηηη （5） 我们现在来证明，（5）就是一个基础解系. 首先证明r n -ηηη,,,21 线性无关，事实上，如果02211=+++--r n r n k k k ηηη ，即).0,,0,0,0,,0(),,,,*,(*,212211 ==+++---r n r n r n k k k k k k ηηη比较最后r n -个分量，得 .021====-r n k k k 因此，r n -ηηη,,,21 线性无关.再证明方程组（1）的任意一个解都可以由r n -ηηη,,,21 线性表出，设),,,,,,(211n r r r c c c c c ++=η （6）是（1）的一个解，由于r n -ηηη,,,21 是（1）的解，所以线性组合r n n r r c c c -+++++ηηη 2211 （7）也是（1）的一个解. 比较（7）和（6）的最后r n -个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两个解完全一样，即.2211r n n r r c c c -+++++=ηηηη （8）这就是说，任意一个解η都能表成r n -ηηη,,,21 的线性组合. 综合以上两点，我们就证明r n -ηηη,,,21 确为方程组（2）的一个基础解系，因而齐次线性方程组的解有基础解系. 证明中具体给出的这个基础解系是由r n -个解组成. 至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量. 这就是定理的第二部分. ¶由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系（读者自己证明）.下面来看一般线性方程组的解的结构. 如果把一般线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （9） 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组（1）. 方程组（1）称为方程组（9）的导出组. 方程组（9）的解与它的导出组（1）的解之间有密切的关系：1：线性方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解. 设（n k k k ,,,21 ），),,,(21n l l l 是方程组（9）的两个解，即 ∑∑====nj nj i j ij i j ijb l a b k a11, （s i ,,2,1 =）它们的差是).,,,(2211n n l k l k l k ---显然有∑∑∑====-=-=-n j nj i i j ij j ij nj j j ijb b l a k a l k a1110)( （s i ,,2,1 =）这就是说，).,,,(2211n n l k l k l k --- 是导出组（1）的一个解. ¶2：线性方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解. 设（n k k k ,,,21 ）是（9）的一个解，即∑==nj i j ijb k a1 （s i ,,2,1 =）又设),,,(21n l l l 是导出组（1）的一个解，即∑==nj jij la 10 （s i ,,2,1 =）显然∑∑∑====+=+=+n j nj i i j ij j ij nj j j ijb b l a k a l k a1110)( （s i ,,2,1 =）由这两点我们很容易证明下面的定理：定理9 如果0γ是方程组(9)的一个特解,那么方程组(9)的任一个解γ都可以表成 ,0ηγγ+= (10)其中η是导出组(1)的一个解,因此,对于方程组(9)的任一个特解0γ,当η取完它的导出组的全部解时,(10)就给出(9)的全部解.证明 显然),(00γγγγ-+= 由上面的1,0γγ-是导出组(1)的一个解,令 0γγ-=,η就得到定理的结论.既然(9)的任一个解都能表成(10)的形式,由2,在η取完(1)的全部解的时候,,0ηγγ+=就取完(9)的全部解.定理9说明了,为了找一线性方程组的全部解,我们只要找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就行了,导出组是一个齐次方程组,在上面我们已经看到,一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出.因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解:如果0γ是方程组(9)的一个特解,r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系,那么(9)的任一个解γ都可以表成 .22110r n r n k k k --++++=ηηηγγ推论 在方程组(9)有解的情况下,解是唯一的充分必要条件是它的导出组(1)只有零解. 证明 充分性:如果方程组(9)有两个不同的解,那么它的差就是导出组的一个非零解.因之,如果导出组只有零解,那么方程组有唯一解.必要性:如果导出组有非零解,那么这个解与方程组(9)的一个解(因为它有解)的和就是(9)的另一个解,也就是说,(9)不止一个解.因之,如果(9)有唯一解,那么它的导出组只有零解.¶ 线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.我们来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道,两个平面只有在平行而不重合的情形下没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211__232221131211b a a a b a a a A a a aa a a A 与 它们的秩可能是1,也可能是2.有三个可能的情形:1.A 的秩＝1，__A 的秩＝1，这就是说A 的两行成比例，因而两个平面平行，又因为__A 的两行也成比例，所以这两个平面重合，方程组有解.2．A 的秩＝1，__A 的秩＝2，这就是说，两个平面平行而不重合，方程组无解.3．A 的秩＝2.这时__A 的秩也一定是2,在几何上就是这两个平面不平行,因而一定相交,方程组有解.例2.18 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组123412341234123422244622436979x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩。