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第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/7/29
数学与计算科学学院
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
2020/7/29§6.8 线性空间的同数构学与计算科学学院
为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应
: V Pn, (a1,a2 , ,an ) V
这里(a1,a2 , ,an )为 在 1, 2 , , n 基下的坐标，
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
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二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) 可得 (k11 k22 krr ) 0.
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kr (r ) 0
而 是一一对应，只有 (0) 0. 所以可得 k11 k22 krr 0. 因此，1,2 , ,r 线性相关（线性无关） (1), (2 ), , (r ) 线性相关（线性无关）.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
iii) k k , k P, V
则称 是V到V 的一个同构映射，并称线性空间
V与V 同构，记作 V V .
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例1、V为数域P上的n维线性空间，1, 2 , , n
从而有 W , k W .
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所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
是的 V 子空间，且 dimW dim (W ).
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证： 1）在同构映射定义的条件iii) k k
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
任取 , V , 设
a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n 则 ( ) (a1,a2 ,an ), ( ) (b1,b2 , ,bn ) 从而 ( ) (a1 b1,a2 b2 ,an bn )
(a1,a2 ,an ) (b1,b2 , ,bn ) ( ) ( )
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
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一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
任取 , V ,
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
同理，有 1(k) k 1(), V ,k P
所以， 1为 V 到V 的同构映射.
2020/7/29§6.8 V 且 0= 0 W , W 其次，对 , W , 有W中的向量 , 使 , . 于是有
k k k , k P
由于W为子空间，所以 W , k W .
引 入 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量的
坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.
这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 对应，就 得到V到Pn的一个单射 : V Pn , (a1,a2, ,an )
4）设 dimV n, 1, 2 , , n 为V 中任意一组基. 由2）3）知， (1), ( 2 ), , ( n )为 的一组基.
所以 dimV n dimV .
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5）首先 1 :V V 是1－1对应，并且
1 IV , 1 IV , I为恒等变换.
反过来，对于 Pn 中的任一元素 (a1,a2 , ,an ),
1a1 2a2 nan 是V中唯一确定的元素， 并且 ( ) (a1,a2 , ,an ), 即 也是满射.
因此， 是V到 Pn 的一一对应.
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这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.
2、设 V ,V 是数域P上的线性空间， 是V到V 的
同构映射，则有
1） 0 0, .
2） (k11 k22 krr )
k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ), i V , ki P, i 1, 2, , r .
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