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高等代数第六章 线性空间小结 太原理工大学

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高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学

高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学

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a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
高等代数第六章

高等代数第六章


数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R

a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
高等代数第6章线性空间

高等代数第6章线性空间

1集合映射映射2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质3维数基与坐标基与坐标4基变换与坐标变换基变换与坐标变换5线性子空间线性子空间6子空间的交与和子空间的交与和7子空间的直和子空间的直和8线性空间的同构第第6章章线性空间1集合映射一集合?集合的定义
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
高等代数第六章线性空间小结太原理工大学

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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判内容及其内在联系可用下图来说明： 线性空间
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 递性；
(4) 数域P上两个有限维线性空间同构<＝>它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个n维线性空间都 与n元数组所成的线性空间Pn同构.
线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) (–1)α=-α，kα=0<＝>k=0，或α=0
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量
α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是V的一个基.
(4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间V的两 个基，A是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量α在这两 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为.
第六章 1第一节 集合.映射 太原理工大学

第六章 1第一节 集合.映射 太原理工大学

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例6
设M是一个集合，定义 σ(a)=a，a∈M， 即σ把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的 恒等映射或单位映射，记为1M . 在不致引起混淆 时，也可以简单地记为1 . 例7 任意一个定义在全体实数上的函数 y=f(x)
都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为
是映射的一个特殊情形.
作为本章的准备，在这一节我们先来介绍一些
基本概念，主要的是集合和映射. 熟悉这些基本概
念不但对于代数的学习是必要的，对于一般数学的
学习也是ห้องสมุดไป่ตู้可少的.
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一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，简单地说， 所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 组成集合 的东西称为这个集合的元素. 例如，一个班就是由一些同学组成的集合，这 些同学就是这个集合的元素； 例如，一个线性方程组的解的全体组成的一个 集合，即所谓的解集合，这些解就是这个集合的元 素； 例如，在几何中，我们通常是把点看作基本的 对象，这样，一条直线就是一个由点组成的集合； 一条曲线，一个平面也是由一些点组成的集合；组 成这些集合的元素就是点.
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又如，对于集合M到M’的任何一个映射σ显然都有 1M’σ=σ1M =σ
映射的乘法适合结合律.设σ,τ,ψ分别是集合
M到M’，M’到M’’，M’’到M’’’的映射，映射乘法
的结合律就是 (ψτ)σ=ψ(τσ) 等式两端显然都是M 到M’’’的映射，要证明它们
相等，只需要证明它们对于M中每个元素的作用
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a M 用 表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用 a M , 或 aM 表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.
太原理工大学 高等代数第七章 线性变换小结

太原理工大学 高等代数第七章 线性变换小结


四、对角化问题 基本概念:不变子空间 不变子空间， 标准形. 1. 基本概念 不变子空间，Jordan标准形 标准形 2. 基本结论 基本结论: 是数域P上 维向量空间V的一个线性变换， 的一个线性变换 设A是数域 上n维向量空间 的一个线性变换，则 是数域 (1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵 ＝> 可以在某一组基下为对角形矩阵 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵<＝ A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量. <＝> V可以分解为n个一维不变子空间的直和 ＝ 可以分解为 个一维不变子空间的直和. 可以分解 A的所有不同的特征子空间的维数之和等于 的所有不同的特征子空间的维数之和等于 等于n. 必在某个基 因而， 有 个不同特征值时 必在某个 因而，当A有n个不同特征值时， A必在某个基下 的矩阵是对角形式 矩阵是对角形式.
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、特征值与特征向量 1.基本概念 线性变换 或矩阵 的特征值与特征向量 基本概念:线性变换 或矩阵)的特征值与特征向量 基本概念 线性变换(或矩阵 的特征值与特征向量; 特征多项式与最小多项式；特征子空间. 特征多项式与最小多项式；特征子空间 2.基本结论 基本结论: 基本结论 (1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特 线性变换与相应矩阵 特征值、特征向量及 矩阵的 征子空间的关系(略 征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 线性无关的 (3) 相似矩阵有相同的特征多项式，反之不然 相似矩阵有相同 特征多项式，反之不然. 有相同的 (4) Hamilton-Caylay定理：设线性变换 在某个基 定理： 线性变换A在某个 在某个基 定理 下的矩阵 矩阵为 ， 下的矩阵为A， f(λ)=|λE-A|, 则f(A)=0, f(A)=0. 返回 上页 下页
高等代数6-9小结与习题

高等代数6-9小结与习题

则 A1B 就是基 1,2 , ,n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵。
行变换
用（A, B) （E, A1B) ，可求出 A1B .
此法对 Pn 中的基向量最为有效.
2.求向量 在某组基下的坐标.可用两种方法
一是将向量 由基向量线性表示，然后根据具体元素 的特点，求出这些系数，即为坐标，此为“待定系数 法”.
在这两组基下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn )与( x1, x2 , , xn )
x1 x1
则
x2
A
x2
或
xn xn
x1
x1
x2
A1
x2
.
xn
பைடு நூலகம்
xn
三、子空间及其形成
1、基本概念
线性子空间、生成子空间、子空间的和与直和
2、基本结论
(1) 线性空间V的非空子集W作成V的一个子空间
x2 x4
|
x1
x2
x3
x4
0}
W2 L(B1, B2 ), B1
1 2
0 3
, B2
1 0
1 1
求W1 W2 与W1 W2 的基与维数.
五、直和的判定或证明
1、定义法 2、利用几个充要条件
六、线性空间同构的判定或证明
1、证维数相等 2、构造同构映射
例9：设A是数域P上的n阶矩阵，令
P[ x]n
维数
一组基
n
i (0,
, 0,1, 0, i
, 0),
i 1,2, ,n
mn
Eij ,
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
n
1, x, x2 , , xn1
高等代数第六章 线性空间

高等代数第六章 线性空间

(7) (kl) k(l)
(8) 1
则称 Rn 是数域 R 上的 n 维向量空间
数域 F上的 n 维向量空间 F n
在数域F上，类似可以定义
Fn a1, a2, , an | ai F
有向量的加法
a1, a2, , an , b1, b2, , bn Fn
a1, a2, , an b1, b2, , bn
线性空间中向量的线性相关性
定义2
设V 是数域F上的一个线性空间，
1,2 ,,r (r 1) 是V 中一组向量，
k1, k2 ,, kr
是数域F 中的数，那么向量
k11 k22 krr
称为向量组 1,2 ,,r 的一个线性组合。 有时我们也说向量 可以用向量组 , ,
12
,r 线性表出
例1
设
V
a11 a21
a12
a22
aij
R
那么 V 对于矩阵的加法和数乘构成数域 R
上的线性空间.
1 0
0 1
0 0
0 0
E11
0
0
,
E12
0
0
,
E21
1
0
,
E22
0
1
是 V 的一个极大线性无关组
例2 问 F[x]4 中的向量组
f1(x) 3x3 x 2
f3(x) x
素 都有 0
(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；
4)对于V中每一个元素 ,都有V中的元素 ，
使得
( 称为 的负元素)。
0
数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 6) k(l) (kl).
数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k l) k l; 8) k( ) k k.
第六章 5第五节 线性子空间 太原理工大学

第六章 5第五节 线性子空间 太原理工大学

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证毕. 证毕
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数域P上线性空间V的一个非空子集 的一个非空子集W是 的 结论 数域 上线性空间 的一个非空子集 是V的 一个子空间 ＝ 任意 任意a, ∈ , , ∈ , 一个子空间<＝>任意 ,b∈P,α,β∈W,都有 子空间 aα+bβ ∈W.
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2) 设向量组α1,α2,L,αr的秩是s，不妨设向量组 设向量组 L ， α1,α2,L,αs (s≤r) 是它的一个极大线性无关组 是它的一个极大线性无关组 一个极大线性无关组. L 因而 α1,α2,L,αr 与 α1,α2,L,αs 等价，所以有 L L 等价， L(α1,α2,L,αr)=L(α1,α2,L,αs). L L 由定理1知 的一组基 由定理 知 α1,α2,L,αs 就是 L 就是L(α1,α2,L,αr)的一组基， L 的一组 因而L(α1,α2,L,αr)的维数就是 就是s. 因而 L 的维数就是 证毕. 证毕
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有限维线性空间中 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可 以这样得到. 以这样得到 事实上，设W是V的一个子空间， W当然也是 事实上， 是 的一个子空间， 当然也是 的一个子空间 当然 有限维的 有限维的. 设 α1,α2,L,αr 是W的一组基，就有 L 的一组基， W=L(α1,α2,L,αr) L
返回上页下页定理4 设W是数域 上n维线性空间V的一个 维子 定理 是数域P上 维线性空间 的一个m维 是数域 的一个 空间， 的一组基 那么这组向量 这组向量必 空间， α1,α2,L,αm是W的一组基，那么这组向量必 L 的一组 扩充为整个空间的基. 也就是说， 中必定可 可扩充为整个空间的基 也就是说，在V中必定可 以找到n- 个向量 个向量α 以找到 -m个向量 m+1,αm+2,L,αn使得 1,α2,L,αn是 L 使得α L V的一组基 (称为基的扩充定理 的一组基. 称为基的扩充定理). 称为基的扩充定理 证明 对维数差 -m作归纳法， 维数差n- 作归纳法， 当n-m=0，定理显然成立，因为 1,α2,L,αm已 ，定理显然成立，因为α L 经是V的 经是 的基. 假定n现在假定 时定理成立， 现在假定 -m=k时定理成立， 我们考虑 我们考虑n-m=k+1的情形 考虑 的情形.
线性空间 知识点总结

线性空间 知识点总结

线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。

一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。

线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。

加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。

具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。

2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。

3. 加法满足结合律和交换律。

4. 加法单位元（零向量）存在。

5. 数乘满足分配律。

6. 数乘满足标量乘1等于自身。

换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。

二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。

下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。

对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。

2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。

即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。

3. 线性空间中的元素满足分配律。

即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。

4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。

即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。

5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。

即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。

6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。

即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。

高代 第六章知识点

高代 第六章知识点

第六章知识点
1、集合，映射：def, 单射/满射，双射
2、线性空间：def, 加法和数乘（八条运算规则），四条简单性质
考查点：检验给定空间能否构成线性空间？P267（T3）
3、维数、基、坐标：线性组合，线性相关、无关，维数，基，坐标
考查点：1、考察向量之间的线性关系
2、求给定空间的维数和基（T8）
3、求已知向量在某组基下的坐标（T7）；
4、基变换，坐标变换：一组基向量组在另一组基下的坐标按列排构成过渡矩阵；向量
在不、同基下的坐标之间的关系依赖于基之间的过渡矩阵考查点：1、求基之间的过渡矩阵，2、求已知向量在不同基下坐标之间的关系式
（T9-10）
5、线性子空间：def, 平凡子空间，非平凡，生成子空间；TH3-4;
考查点：1、线性子空间的检验，求符合条件的子空间以及基和维数（T13,14,16,17）
2、证明子空间相互之间关系（理论依据：TH3，T12，补充T4-5）
6、子空间的交与和：def, 性质；TH7（维数公式），推论
考查点：1、计算：求子空间的交与和空间的维数和基（T18）
7、直和：def, 与之等价的三个充要条件；多个子空间直和def, 充要条件
考查点：1、证明空间之间的直和关系（三个充要条件的应用，T19-22，补充T3）
计算重点：1、求线性空间的维数和基，向量在某组基下的坐标
2、求基变换的过渡矩阵，向量在不同基下的坐标变换关系式
3、求子空间基和维数，包括一般线性子空间、子空间的和，子空间的交
证明重点：1、向量组线性无关
2、子空间的相互关系
2、直和。

高等代数第五版第六章学习心得

高等代数第五版第六章学习心得如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。

这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。

高等代数是数学中主干部分，其在科学技术中应用非常广泛，无处不在。

二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。

由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。

于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

那什么是高等代数，它和初等代数又有什么联系呢？初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。

沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分:线性代数初步，多项式代数。

高等代数又是怎样发展起来的呢？在高等代数中，一次方程组即线性方程组发展成为线性代数理论;而二次以上方程发展成为多项式理论。

前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。

作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。

高次方程组即非线性方程组发展成为一门比较现代的数学理论-代数几何。

线性代数是高等代数的一大分支。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。

在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

高等代数第六章 8第八节 线性空间的同构 太原理工大学

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条件2)可以同样证明 可以同样证明. 对条件 可以同样证明 即 σσ-1(kα’)=kα’=kσσ-1(α’)=σ(kσ-1(α’)) 两边用σ 作用，即得条件 条件2) 两边用 -1作用，即得条件 σ1(kα’)=kσ-1(α’) . 再设σ和 分别是线性空间V到 和 到 的 分别是线性空间 再设 和τ分别是线性空间 到V’和V’到V’’的同构 映射, 我们来证明乘积τσ是 到 的一个同构映射. 的一个同构映射 映射 我们来证明乘积 是V到V’’的一个同构映射 显然， 是 对应的 显然，τσ是1—1对应的映射 由 对应 映射. τσ(α+β) = τ(σ(α)+σ(β))=τσ(α)+τσ(β)， ， τσ(kα)=τ(kσ(α))=kτσ(α) . 看出， 还适合定义11的条件1)与 ，因而是同构 还适合定义 看出， τσ还适合定义 的条件 与2)，因而是同构 映射. 映射
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3. V 中向量组 α1,α2,…,αr 线性相 无)关<＝>它们 线性相(无 关 ＝ 它们 的象σ(α 线性相(无 的象 1),σ(α2),…,σ(αr)线性相 无) 关. 线性相 因为由 k1α1+k2α2+…+krαr=0. 可得 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 反过来， 反过来，由 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 有 σ(k1α1+k2α2+…+krαr)=0. 对应的 只有σ(0)=0 ，所以 因为σ是 因为 是1—1对应的，只有 对应 k1α1+k2α2+…+krαr=0.
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高等代数(第6章)


4)若k 0, 则当k 0时, 1 ( k 1k ) k 1 ( k ) k 1 0 0.
例1 记全体正实数的集合为R , 在其中定义加法与数乘如下：
k
对 , R , ；对 R , k R, k .求证： R 构成线性空间. 证明：首先，对 , R , R
(5)映射的乘法 定义 设 、分别是集合M到M及M到M的映射， 规定 ()(a)= ( (a)) , aM 称为 与的乘积. 如例1中2 1： A A E 为M到自身的映射. 性质 ()= (), 1M = 1M =
(6)逆映射 设映射:MM .如果存在映射: MM 使 =1M ， =1M 则称映射 可逆，并称为 的逆映射 . 结论:可逆映射:MM的逆映射: MM 是唯一的; 若映射可逆，其逆映射记为 -1 . 映射:MM可逆的充要条件是 是双射. (证明略)
k k
因此，R确实构成线性空间.
思考与练习 教材P267 3.
P267 3.(5) 证明：全体实数的二元数列集合V按如下规定的加法 与数乘运算构成线性空间.
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 a1a2 ) k ( k 1) 2 k (a1 , b1 ) ( ka1 , kb1 a1 ) 2
解：设有P中一组数k1, k2, k3, k4使 k1G1 +k2G2 +k3G3+k4G4 =O 比较分量，得
ak1 k 2 k 3 k4 k1 ak 2 k 3 k4 k1 k 2 ak 3 k4 k1 k 2 k 3 ak4 0 0 0 0
a在下的一个原像

第六章 2第二节 线性空间的定义与简单性质 太原理工大学


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定义1 是一个非空集合， 是一个数域 是一个数域. 定义 令V是一个非空集合，P是一个数域 在集 是一个非空集合 加法； 合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法； 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法 这就是说给出了一个法则 对于V中任意两个向 法则， 这就是说给出了一个法则，对于 中任意两个向 中都有唯一的一个 量 α与β，在V中都有唯一的一个元素 γ 与它们对 与 ， 中都有唯一的一个元素 称为α与 的 记为γ 应，称为 与β的和，记为 =α+β. 在数域 P 与集 的元素之间还定义了一种运算 合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘 这就是说，对于数域P中任一个数 中任一个数k与 中任 法；这就是说，对于数域 中任一个数 与V中任 一个元素α， 中都有唯一的一个元素δ与它们 一个元素 ，在V中都有唯一的一个元素 与它们 中都有唯一的一个元素 对应，称为k与α的数量乘积，记为δ=kα. 如果加 对应，称为 与 的数量乘积，记为 法与数量乘法满足下述规则 满足下述规则， 法与数量乘法满足下述规则，那么 V称为数域 P 称为数域 上的线性空间 这两种运算封闭) 线性空间. 上的线性空间 (这两种运算封闭)
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一、线性空间的定义 解析几何里 我们讨论过三维空间 三维空间R 例1 在解析几何里,我们讨论过三维空间 3中 的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律 的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律 基本属性是可以按平行四边形 相加,也可以与实数作数量乘法 相加,也可以与实数作数量乘法. 不少几何和力学对 实数 象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的 向量的这两种运算来描述的 我们知道解析几何中向量的这两种运算满足 我们知道解析几何中向量的这两种运算满足 解析几何 下面的性质. 下面的性质. 10 按平行四边形法则所定义的向量的加法 按平行四边形法则所定义的向量的加法 的一个运算 运算; 是R3的一个运算;

高等代数线性空间课堂笔记

⊕ = ,
∀, ∈ V;
° = ,
∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ+ .
证：∀, ∈ ℝ+ , ∈ ℝ有° = , ⊕ = ∈ ℝ+ ，因此所定义的加法⊕、数乘°满足线性空间定义.
∀, ∈ ℝ+ , ⊕ = = = ⊕ ,
(1) α1 , α2 , … , α 线性无关；
(2)∀ ∈ , 可由α1 , α2 , … , α 线性表出.
则称为n维线性空间，α1 , α2 , … , α 称的一组基.
证：只需验证∀n + 1个向量线性相关。如果1 , 2 , … , , +1 线性无关，又可由α1 , α2 , … , α 线性表
②( + ) = + ;
③( ∙ ) = ∙ ( ∙ );
④1 ∙ = .
补例 2
用P × 表示数域P上所有 × 的矩阵集合，在第四章中我们定义了两种运算：
(1). P × 中矩阵加法，满足类似于P 中向量加法的四条性质;
(2). P中数与P × 中矩阵的数乘，满足类似于上面的四条性质.
定义 1 (P243 定义 1)
线性空间元素称为向量.
性质 1
性质 2
性质 3
性质 4
零元素是唯一的;
P244
负元素是唯一的;
P245
0 ∙ = , ∙ = , (−1) = −;
若 ∙ = ，则 = 0或 = .
P245
P245
二、用定义证明线性空间：
例 1.用ℝ+ 表示全体正实数的集合，证明ℝ+ 关于下面定义的加法与数乘运算构成ℝ的线性空间.
向量组等价：可以相互线性表出.

高等代数 讲义 第六章


3
2、映射的乘积
设映射σ : M → M ', τ : M ' → M ''，乘积 τ o σ
定义为：τ o σ(a)＝τ(σ(a)) ∀a ∈ M 即相继施行σ和τ的结果，τ o σ 是 M 到 M" 的一个
映射．
注：①对于任意映射σ : M → M '，有 IM′ oσ = σ o IM = σ
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 （不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, ∀n ∈ Z τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z
（不是） （是）
§6.1 集合 映射
3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
§6.1 集合 映射
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A 的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集． M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,∀n∈ Z
力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完
满地阐明了线性方程组的解的理论．
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
言 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，
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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 重点 维数； 基与维数； 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和 难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 直和. 空间的直和 空间的直和 本章的基本题型主要有：线性空间， 本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 基本题型主要有 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明， 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判定或证明. 的判定或证明
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二、基、维数和坐标 1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价； ）；向量组等价 线性相关(无关 无关)； 维数和坐标；过渡矩阵. 线性相关 无关 ；基、维数和坐标；过渡矩阵 2．基本结论 ． (1) 线性相关性的有关结论 线性相关性的有关结论. (2) 在n维线性空间 中，任意 个线性无关的向量 维线性空间V中 任意n个线性无关的向量 维线性空间 都作成V的一个基；任意个m(m<n)线性无关的向 线性无关的向 都作成 的一个基；任意个 线性无关 量都可扩充 扩充为 的一个基；任意s(s>n)个向量都是 量都可扩充为V的一个基；任意 个向量都是 线性相关的 线性相关的.
线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容， 线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 是线性代数的中心内容 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性. 数理论的抽象性和应用的广泛性 一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的； 线性空间的零元 每个元素的负元都是唯一的 零元， 都是唯一的； (2) (–1) -α，kα=0<＝>k=0，或α=0 1)α=- ， 1) ＝ ，
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、线性子空间及其形式 1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 ．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和 直和. 与直和 2．基本结论： ．基本结论： (1) 线性空间 的非空子集合 作成 的子空间 ＝> 线性空间V的非空子集合W作成 作成V的子空间<＝ W对于 的两种运算封闭； 对于V的两种运算封闭； 对于 (2) 线性空间 的两个子空间的交与和仍为子空间 线性空间V的两个子空间的交 仍为子空间. (3)(维数公式 若V1,V2是线性空间 的两个有限维子 维数公式) 是线性空间V的 维数公式 空间， 空间，则
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 若在线性空间 线性无关的向量 α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 中任意向量都可由它线性表示 线性表示， 维的， 就是V的一个基. 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是 的一个基 是 维的 (4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间 的两 维线性空间V的 是由基α 到基β 个基， 是由基 个基，A是由基 1,α2,…,αn到基 1,β2,…,βn的过渡矩 分别是向量α在这两 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量 在这两 和 分别是向量 个基下的坐标 坐标， 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为. 是可逆的， 坐标关系为
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本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明： 基本内容及其内在联系可用下图来说明 线性空间 线性相关性 极大无关组 基、维数和坐标 同构
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子空间 子空间的交与和 子空间的直和 余子空间
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 I V2 )
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(4)
dim L(α1,α2,…,αn)=rank(α1,α2,…,αn) ( ( α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βm 等价 等价.
L(α1,α2,…,αn)= (β1,β2,…,βm)<＝>向量组 ( )=L( ＝ 向量组
(5) 设U是线性空间 的一个子空间，则存在一个子 是线性空间V的一个子空间，则存在一个子 空间W，使得V= ⊕ 此时称W为 的一个 的一个余子 空间 ，使得 =U⊕W ，此时称 为U的一个余子 空间. 空间
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(6) 设V1,V2,…,Vs是线性空间V的子空间，下面这些 线性空间 的子空间， 条件等价： 条件等价： 等价 直和； ① W=∑Vi 是直和； 零向量的表示法唯一； ② 零向量的表示法唯一； ③ Vi I ∑ V j = {0}
j≠i
( i = 1 , 2 ,L , s ) ;
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质： 同构映射的基本性质： (1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 线性空间的同构映射保持零元，负元， 保持零元 线性相关性； 合，线性相关性； (2) 同构映射把子空间映成子空间； 同构映射把子空间映成子空间 把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和 具有反身性 递性； 递性； (4) 数域 上两个有限维线性空间同构 ＝>它们有相 数域P上两个有限维线性空间同构<＝ 它们 它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个 上的每一个n维线性空间都 同的维数，因而，数域 上的每一个 维线性空间都 元数组所成的线性空间P 元数组所成的线性空间 同构. 与n元数组所成的线性空间 n同构