高等代数(第三版)10.4 辛空间

课程：高等代数 第10.1.1页第十章 双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．§1 对偶空间教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．教学内容本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．1.1 线性函数设V 是数域F 上的一个向量空间．定义1 设f ∈Hom(V ，F )，即∀α，β∈V ，∀k ∈F ，都有f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，则称f 为V 上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．由于f ∈Hom(V ，F )，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数,并⎰ba dx x f )(且满足 ．⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )nn 对应F 中的一个元素,并且有∑=n i ii a 1Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．所以矩阵的迹是M n (F )上的一个线性函数．例3 在数域F 上的一元多项式环F [x ]中，未定元x 用F 中的一个元素t 代入，它把每一个多项式f (x )对应F 中的元素f (t )．由于未定课程：高等代数第10.1.2页元x 用t 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用t (t ∈F )代入是向量空间F [x ]上的一个线性函数．例4 给定F 中的n 个元素a 1，a 2，…，a n ，∀()∈n x x x ，，， 21F n ，规定， (1)n n n x a x a x a x x x f +++= 221121),,,(容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f 是F n 上的一个线性函数．请注意，在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n 的n 元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，b x a n n +也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F n ααα,,,21 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基上的作n ααα,,,21 用所决定．即只要知道，就可以知道V 中任一)(,),(),(21n f f f ααα 向量在f 作用下的象∑==ni i i x 1αβ． (2)∑==ni i i f x f 1)()(αβ(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明，f 在β上的函数值f (β)是β的坐标x 1，…，x n 的一次齐次多项式．进而考虑数域F 上n 维向量空间V 上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见定理10.1.1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1，α2，…，αn 是V 的一个基，a 1，a 2，…，a n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一确定的线性函数f ，使得f (αi )=a i ， i =1，2，…，n ． (3)因此，∈V ，则β在f 下的象为．∑==∀n i i i x 1αβ∑==ni i i a x f 1)(β1.2 对偶空间课程：高等代数第10.1.3页设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V)．以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有dimHom(V，F)=dim F n⨯1=n．这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)= …=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存2在V上唯一的线性函数f n，使得f n(αn)=1，f n(αj)=0，j≠n．这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，f n，其中f i(1≤i≤n)在基向量上的函数值为f i(αj)=δij，(4)这里δij是Kronecker记号．现在我们断言f1，f2，…，f n是线性无关的．设k1 f1+k2 f2+…+k n f n=0，(5)并作用αj，则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+…+k n f n(αj)=0．于是由(4)推得k j=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，f n线性无关．综上所述，f1，f2，…，f n是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，…，f n是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，f n∈V*是α1，α，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，α2下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，f nn课程：高等代数第10.1.4页下的坐标．设，由(4)得∑==n j j j x 1αβ， (6)i nj j i j i x f x f ==∑=1)()(αβ即β在基α1，…，αn 下的坐标的第i 个分量等于f i (β)．因此． (7)∑==ni i i f 1)(αββV *中任取一个向量，比较左右两边的函数在αj 上的函数值∑==ni i i f c f 1得． (8)j j n i i i j c f c f ==∑=)()(1αα这表明f 在基f 1，f 2，…，f n 下的坐标的第j 个分量等于f (αj )．因此． (9)∑==n j j j f f f 1)(α例5 设V =M 2(F )，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式． 解 从(4)得f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0，f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0，f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．任取A =(a ij )22∈M 2(F )，由于，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，∑∑===2121i j ij ij E a A f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f ,设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得)()()()()(2222212112121111A f c A f c A f c A f c A f +++=． (10)2222212112121111a c a c a c a c +++=例6 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R [x ]n ．对任意取定的n 个不同实数a 1，a 2，…，a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式，i =1,2,…,n ． )())(()()())(()()(111111n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x x p --------=+-+- 它们满足p i (a j )=δij ，因此p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )线性无关．因为由c 1 p 1(x )+x 2 p 2(x )+…+c n p n (x )=0，用a i 代入，即得课程：高等代数第10.1.5页 ，i =1，2，…，n ． 0)()(1===∑=i nk i i i i k k c a p c a p c 又V 是n 维的，所以p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )是V 的一组基． 设L i ∈V *(i =1，2，…，n )是在a i 点的取值函数：L i (p (x ))=p (a i ) p (x )∈V ，i =1，2，…，n ，则线性函数L i 满足L i ( p j (x ))=p j (a i )=δij ．因此，L 1，L 2，…，L n 是的对偶基． )()()(21x p x p x p n ，，， V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是定理10.1.3 设V 是数域F 上n 维向量空间，α1，…，αn 与β1，…，βn 是V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1，…，f n 与g 1，…，g n ．若V 中基α1，…，αn 到基β1，…，βn 的过渡矩阵是A =(a ij )nn ，则V *中基f 1，…，f n 到基g 1，…，g n 的过渡矩阵为．)(1'-A 证 由已知条件，有(β1，…，βn )=(α1，…，αn )A (11)于是 ． (12) ∑==nk k ki i a 1αβ设f 1，…，f n 到g 1，…，g n 的过渡矩阵为B =(b ij )nn ，则(g 1，…，g n )=( f 1，…，f n )B (13)于是．将此式的两边作用于βi ，并注意到，∑==n k k kj j f b g 1ki i k a f =)(β则得 ． (14)∑∑=====n k n k ki kj i k kj i j ij a b f b g 11)()(ββδ因此，A 'B =I n ．故B =( A ')－1=( A －1)'．1.3 双重对偶空间考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们知道，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．于是，在V 中取一个基α1，α2，…，αn ，而f 1，f 2，…，f n ∈V *是α1，α2，…，αn 的对偶基，则有V 到F n 的一个同构映射σ1：．),,,()(2111n ni i i a a a a =∑=ασ又有F n 到V *的一个同构映射σ2：课程：高等代数 第10.1.6页．∑==ni i i n f a a a a 1212),,,( σ从而有V 到V *的一个同构映射σ=σ2σ1：． (15)∑∑===ni i i n i i i f a a 11)(ασ设，记σ(α)=，则由(15)得∑==ni i i a 1αααf ． (16)∑==ni i i f a f 1α对于V 中任一向量，由(16)、(15)得∑==ni i i b 1αβ． (17)∑∑====ni i i n i i i b a f a f 11)()(ββα因此，α在上述同构映射下的象在β上的函数值(β)等于α与βαf αf 的坐标的对应分量乘积之和．以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V *，F )(也记成T 1(V *))，它是V *的对偶空间，简记成V **．据定理10.1.2得，dim V **=dim V *=dim V ．因此V ≌V **． (18)V **叫做V 的双重对偶空间．进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1，…，αn ，设它的对偶基是f 1，…，f n ．任取V 中一个向量，则由上讨∑==ni i i a 1αα论有V 到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**( f )等于f α与f 在基f 1，…，f n 下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有．因此∑∑====ni i i n i i i f f f f a f 11)(αα，． (19)∑∑==**===n i ni i i i i f a f f a f 11)()()()(αααα这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中α**( f )=f (α)，f ∈V * ． (20)∀因此证得定理10.1.4 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空课程：高等代数第10.1.7页间，则V ≌V **；并且V 到V **的一个同构映射是σ：αα**，其中α**( f )如(20)所 示．必须指出，V 到V **的上述同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1，…，αn ，我们找到了V 至V **的一个同构映射σ：αα**，其中α**( f )=f (α)，∀f ∈V *，即σ(α) f =f (α)，∀f ∈V *．又在V 中另取一个基β1,…,βn ，设它的对偶基是g 1,…,g n ．则类似地有V 到V *的一个同构映射τ1,它把V 中向量映成g α；∑==n i i i b 1βα且有V *到V **的同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α)，其中τ2(g α) f 等于g α与f 在基g 1，…，g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为，并且f =，所以∑==n i i i g b g 1α∑=n i i i g f 1)(β (21) ∑∑=*=∈∀===n i ni i i i i V f f b f f b f g 112),()()()(αββτα于是得到V 到V **的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V 中向量α映成τ(α)，其中τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g α) f =f (α)，∀f ∈V *． 因此σ(α) f =τ(α) f ，∀f ∈V *．由此得出σ(α)=τ(α)，∀α∈V ．故σ=τ．这就证明了V 到V **的同构映射：αα**，其中α**( f )=f (α)不依赖于V 中 基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把V *称为V 的对偶空间的原因．由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．课外作业：P513：2、1)；3；4；5。

《高等代数I、II》课程教学大纲撰写人：***撰写时间：2006年3月1日开课院系：数学系课程编号：（由教务处统一编制）课程英文名称：Advanced Algebra I、II课程总学时：68+68总学分：4+4含实验或实践学时：学分：推荐使用教材：《高等代数》编者：北京大学出版社：高等教育出版社出版时间及版次：2003年7月第3版课程教学目标与基本要求：本大纲主要内容分为两大部分，多项式理论和线性代数；线性代数又大致可分为两部分，其一是以算法为主的行列式、线性方程及矩阵的理论，其二是空间论，主要包括线性空间、线性变换、标准形、欧几里德空间等。

多项式理论是中学有关内容的推广，是培养数学意识的最早、最合适的材料之一，这一点在教学中要充分给予体现，而不要简单地认为是线性代数等数学课的预备知识。

矩阵和约当标准形的推导是很漂亮的理论，要求从理解数学的完美、培养数学素质的角度去掌握基本内容。

通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。

本课程共讲授两个学期，计划总学时数为136。

考试形式：笔试（开卷或闭卷）、口试、写小论文等。

学习参考书（注明编者，出版社，出版时间及版次）：[1] 萧树铁等.《代数与几何》. 高等教育出版社. 2001年第1版[2] 张禾瑞，郝炳新.《高等代数》.高等教育出版社. 2001年第3版编写工作小结：高等代数是数学专业重要的基础课之一，它为后续课程提供基本理论和方法；也为其他学科及工程技术学科提供最常用的表示语言、分析的思想方法和应用工具。

本课程要注重基本理论讲解，注重培养学生理论素养，提高逻辑分析能力。

在适当的情况下可利用多媒体技术辅助教学。

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

高等代数第11章双线性函数与辛空间<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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</i> §1 线性函数定义设V是数域上的线性空间f是V到是数域P上的线性空间是数域上的线性空间, 是到P的映射如果α,β∈V, k∈P, f满足的映射, 满足: 的映射如果∈ 满足(1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称为f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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</i> 第11章双线性函数与辛空间章§1 线性函数§2 对偶空间§3 双线性函数*§4 辛空间§<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

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</i> 例 1 设a1,a2,…,an是P中任意数中任意数, … 中任意数X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量函数… 是中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数上的一个线性函数.零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时一般地Pn上的任一个线性函数都可表成一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。