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一线三等角在相似三角形中的应用首先，我们先来看一线三等角的特殊构造：如图，A、D、E在一条直线上，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC = 90°，BD⊥DE，CE⊥DE。
这里，我们容易得到：△ABD≌△CAE。
最初形式这个就是一线三等角的最初形式。
然后，我们再看更一般的形式，如果△ABC不是等腰，AB≠AC，如图，这个时候△ABD和△CAE肯定不全等，那么，它们是什么关系呢？很容易，可以得到∠DAB=∠ECA，△ABD∽△CAE，它们相似。
一线三直角注意看这张图，点D、A、E在一条直线上，并构成三个直角，这张图就叫做一线三直角。
注意，是一线三直角，还没进化成一线三等角。
那么，得出它们相似有什么用处呢？当然是得到比例线段，比如AD/BD = CE/AE。
根据比例线段求线段长是这类模型的主要用途。
我们得到一线三直角后，还可以继续探讨。
如果这三个角不是直角，但是它们相等，还能得到相似吗？如图，A、D、E在一条直线上，∠D=∠1=∠E=80°, 我们同样可以得到：△ABD∽△CAE。
道理和之前的差不多。
同样可以得到比例线段。
一线三等角如果把图中三个80°的角变成其他度数的角，同样可以得出相似以及比例线段。
一般地，只要A、D、E在一条直线上，并且，∠BAC=∠D=∠E，我们都有：△ABD∽△CAE这就是一线三等角的一般形式。
进而有比例线段：实际解题时，往往将一线三等角伪装起来，比如包含在等边三角形中。
例1：如图，已知等边△ABC的边长为2，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，并且，BD=1，BE=1/3，∠DEF = 60°，求CF的长。
例1图这里，易得∠DEF =∠B =∠C，构成一线三等角，从而有△BDE∽△CEF，得到BE/BD = CF/CE，很容易可以求出CF的长。
一线三等角可以隐藏在一般的等腰三角形中。
问题的关键就是找出隐藏的一线三等角。
我们再看坐标系中隐藏的一线三等角。
相似三角形基本模型——一线三等角模型模型解读：“一线三等角模型”图谱 (1)点P 在线段AB 上锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP ∽△BPD(2)点P 在线段AB 延长线上锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP ∽△BPD 模型分析 三个相等的角的顶点在同一直线上，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形。
典型示例 例1.如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC=4M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠＝45°,AC 与MG 的延长线相交于点F(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对(2)联结结EG ，当AE ＝3时，求EG 的长(3)证明：△MEG ∽△AEM例2.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90AB=8，AD=12，tanC=43 ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD AM 上的动点(点E 与A 、D 不重合)且∠FEM=∠AMB ，设DE=x5.如图在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．(1)求证：△ABE∽△ECM；(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积6.已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． (1)如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证：△ABP ∽△DPC ②求AP 的长(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 取值范围②当CE ＝1时，写出AP 的长7．已知△ABC 中，角平分线BD ，CD 交于点D ，过D 作直线EF 交AB 于E ，交AC 于F ，且AE=AF (1)求证：AD⊥EF(2)求证：∠BDC=1/2∠A+90°(3)若CF=2，CD=4，BD=6，求BE 的长8.等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . (1)如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状； (2)如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.。
全等三角形——一线三等角模型一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
二、一线三等角的类型同侧：锐角 直角 钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？ ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE B ACl FEB AC lFEBAC DCC A BDDC DBADB CAAB2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ， 若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（ ）A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°★演练题：（勾股定理）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.练习1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =； ⑤DE=CD+BE. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2．（1）已知△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，分别从点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E ．当点B ，C 位于直线l 的同侧时（如图1），易证△ABD ≌△CAE ．如图2，若点BC 在直线l 的异侧，其它条件不变，△ABD ≌△CAE 是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B 、C 位于l 的同一侧，如果∠CEA ＝∠ADB ＝∠BAC ，求证：△ABD ≌△CAE ．（3）变式二：如图4，△ABC 中，依然有AB ＝AC ，若点B ，C 位于l 的两侧，如果∠BDA+∠BAC ＝180°，∠BDA ＝∠AEC ，求证：BD ＝CE+DE ．4321EB DC AEC DA。
一线三等角模型一线三等角定义：指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。
起源与基本类型DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。
基本类型同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”性质1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。
（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）3.中点型“一线三等角”如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“一线三等角”的各种变式应用1.“一线三等角”应用的三种情况。
a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。
如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。
模型建立例如图2，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，试说明：ΔADE∽ΔBFE。
分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角即可。
解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°∵EF⊥DE∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°又∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2∴ΔADE∽ΔBFE小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角，两边的ΔADE与ΔBFE相似。
这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
几何模型：一线三等型模角．一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇D D C D C C BA BAP P ABP同侧锐角直角钝角D DDAP A A B P PB BC C C异侧相似篇D D C D C C BA BA P P ABP同侧钝角直角锐角D DDAP A B PB APB C C C异侧三、“一线三等角”的性质BDE.∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE.AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2.3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且D 是 BC) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用．1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
中考专题：一线三等角模型的多个用途本文介绍一个基本数学模型，并运用该基本模型的构建来解决问题.一、基本模型如图1，点,,B E C 三点共线，且已知90AEF ECF ABE ∠=∠=∠=︒，易得ABE ECF ∆∆:.当然，如果这两个三角形中只要有一组边对应相等，则有ABE ECF ∆≅∆的结论.此模型中，我们还可以将条件一般化:如图2，若ADE B C α∠=∠=∠=∠，则ABD DCE ∆∆:.我们从上面的图形中可得出一种几何基本模型:“一线三等角”模型.二、用途1.直接用途当图形中出现基本模型时，我们可以直接应用模型高效地解决问题.例1 如图3，已知抛物线与x 轴交于,A B 两点，点A 的坐标为(2,0)，它与y 轴交于C 点，点C 的坐标为(0,3)，它对称轴是直线4x =. (1)求此抛物线的函数关系式;(2)若抛物线上有一点P ，且90PBC ∠=︒，求点P 坐标.解析 第(1)题易得此抛物线的函数关系式为:21234y x x =-+.第(2)题，我们可以从原图中直接得出基本模型如图4，易证BCO PBD ∆∆:， 所以12DB CO DP BO ==.设BD x =，则2DP x =，∴点P 的坐标为(6,2)x x +. 将其代入抛物线的函数关系式，得212(6)2(6)34x x x =+-++. 解得124,0x x ==(舍)，∴点P 的坐标为(10,8).2.补形用途(1)当图形中的基本模型不完整时，我们可以通过添加辅助线补形得出我们需要的模型，再运用模型以便高效地解决问题.例2 如图5，平面内4条直线1l ，2l ，3l ，4l 是一组平行线，每相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度.正方形ABCD 的4个顶点,,,A B C D 都在这些平行线上，其中点,A C 分别在直线1l 和4l 上，则此正方形的面积是 .解析 在四条平行线的背景下，我们可以画出符号题意得两个图形，如图6、图7，要求正方形的面积，须先求其边长.图6中的正方形边长显然是3，则其面积为9;而图7可以添加辅助线构建出“一线三等角”模型即可解决问题.如图7，过点D 作1DH l ⊥于点H ，延长HD 交直线4l 于点G ，则Rt ADH Rt DCG ∆≅∆.由“一线三等角”模型，可得1AH DG ==.由于2DH =，根据勾股定理，得, 2225AD AH DH =+=，所以此时正方形面积为5.(2)当图形中没有基本的模型图形时，我们可以考虑“无中生有”，构造出我们需要的基本模型，再运用此基本模型解决问题.例3 如图8，在边长相同的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 都在这些小正方形的顶点上，,AB CD 相交于点P ，则tan APD ∠的值为 .解析 本题求tan APD ∠的值的方法不是唯一的，要求一个角的三角函数值，一般情况下，我们要将其置于一个直角三角形中.本题我们构造“一线三等角”的基本模型是高效的解决方案之一如图9，取格点E ，连结AE ，BE ，可知ABE ∆是等腰直角三角形.过点E 作EF AB ⊥于点F ，由“三线合一”和“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”的知识点可得12EF BF AB ==，由题意知//BD AC ，所以13BP BD AP AC ==. 因此1142BP AB BF ==， 即12BP PF BF ==， ∴tan 2EF APD PF ∠==运用建模的数学思想可以将复杂问题简单化，将未知转化为已知，它也能提高我们的数学应用能力和创新能力.我们在解题的过程中，要遵循我们的认知规律:一方面，我们要注意以解决问题为契机建构知识，并学会联系与联想;另一方面，我们应该掌握分析问题的途径，经历思考和选择的过程，从多种方法策略中寻找和筛选合适的解决方案，从而将问题逐步分解加以解决.。
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。
“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。
其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。
【例1】如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ ACB=Rt ∠，AC=BC ，AE ⊥ CE 于点E，BD ⊥CE 于点 D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长为多少？一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD ，于是CD=AE=5cm CE=BD=2cm ，DE=5-2=3 （cm ）【例2】如图，在△ ABC 中，CA=CB ，点 D 为BC 中点，CE⊥ AD 于点E，交AB 点F，连接DF 。
求证：AD=CF+DF.则易证△ ACD ≌△ CBG ，于是AD=CG=CF+FG ；BG=CD=BD ，BF=BF ，∠ DBF= ∠ GBF=45o ，故△ BDF ≌△ BGF ，于是FD=FG ，所以AD=CF+DF 。
【解析】此题乍一看起来和【例从要证明的结论来看，需要把BG ⊥ CB ，交CF 的延长线于1】相同，却不能照搬照抄。
AD 这条线段“转化”到直线CF 上。
如图，过点 BG。
关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。
【例3】如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠ BAC=90o ，分别过B，C 向过 A 点的直线作垂线，垂足分别为E，F。
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90º，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。
“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。
“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。
【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）【例2】如图，在△ABC中，CA=CB，点D 为BC中点，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接DF。
求证：AD=CF+DF.【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。
从要证明的结论来看，需要把AD这条线段“转化”到直线CF上。
如图，过点B作BG⊥CB，交CF的延长线于点G。
则易证△ACD≌△CBG，于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD，BF=BF，∠DBF=∠GBF=45º，故△BDF≌△BGF，于是FD=FG，所以AD=CF+DF。
关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，分别过B，C向过A点的直线作垂线，垂足分别为E，F。
