高等代数 第6章线性空间 6.4 线性空间的子空间

高等代数知识点总结大一高等代数知识点总结在大一学习高等代数时，我们会接触到一系列的知识点，它们是我们理解和掌握高等代数的基础。

本文将对这些知识点进行总结，并给出一些例子来帮助读者更好地理解。

1. 向量和矩阵高等代数的基础是向量和矩阵。

向量是具有大小和方向的量，用于表示物理量或数学对象。

它可以进行加法、标量乘法和内积等运算。

矩阵是由一组排列成矩阵形式的数所构成的矩形阵列，可以进行加法、标量乘法和矩阵乘法等运算。

2. 行列式行列式是一个方块矩阵的标量值，用于确定矩阵的某些性质。

行列式可以用来解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等。

3. 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合，其未知数以线性的方式出现。

解线性方程组意味着找到满足所有方程的解。

可以使用矩阵和行列式的方法来解线性方程组。

4. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中非常重要的概念。

特征值表示矩阵的重要特性，特征向量是对应于特征值的向量。

5. 基变换和相似矩阵基变换是指改变向量的基准从而表示同一个向量的不同坐标。

相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一个基变换相互转化。

6. 线性空间和子空间线性空间是指满足线性运算法则的向量空间。

子空间是指线性空间中的一个子集，它同样满足线性运算法则。

7. 线性变换线性变换是指保持向量空间运算法则不变的变换。

线性变换是高等代数中的核心概念之一，它可以用矩阵表示。

8. 内积空间和正交性内积空间是指在向量空间中定义了一种内积运算的空间。

正交性是指两个向量的内积为零，表示它们之间的垂直关系。

9. 特征向量空间和对角化特征向量空间是指由一个矩阵的所有特征向量生成的向量空间。

对角化是指将一个矩阵相似化成一个对角矩阵的过程，可以简化计算。

10. 线性相关性和线性无关性线性相关性是指向量之间存在线性关系的情况。

线性无关性是指向量之间不存在非平凡的线性关系。

以上是大一学习高等代数中的一些重要知识点的总结。

高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。

第六章 线 性 空 间例6.1 设线性空间V 的两组基分别为12,,,n ααα；12,,,n βββ.(1) 证明：任给{}1,2,,i n ∈，则存在{}1,2,,i j n ∈使111,,,,,,i i j i n ββαββ-+为V 的一组基.(2) 若3n =，对于任意{}1,2,3i ∈，是否存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使,,i j k βαα为V 的一组基？说明理由.解 (1) 令()111,,,,,i i i n V L ββββ-+=，则dim 1i V n =-，因此12,,,n ααα中必存在向量不在i V 中，所以存在{}1,2,,i j n ∈使i j i V α∉，则111,,,,,,i i j i n ββαββ-+线性无关，构成V 的一组基.(2) 对于任意{}1,2,3i ∈，则存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使得,,i j k βαα为V 的一组基. 我们采用反证的方法说明：对于i β，假设123,,ααα中每两个向量与i β合并均不构成V 的一组基，则()12,i L βαα∈，()13,i L βαα∈，()23,i L βαα∈，那么()()(){}121323,,,0i L L L βαααααα∈=，所以0i β=，矛盾.例6.2 设V 是n 维线性空间，12,,W W W 均为V 的子空间，并且21W W ⊂，12W W W W =，21W W W W +=+.证明：21W W =.证 由题目假设，则必有21dim()dim()W W W W =,)dim()dim(12W W W W +=+；那么11dim()dim()W W W W ++22dim()dim()W W W W =++.由维数公式，则12dim()dim()dim()dim()W W W W +=+，因此)dim()dim(21W W =. 但21W W ⊂，则1W 的基也必然构成2W 的基，所以21W W =.例6.3 （s 个子空间的维数公式）设V 为线性空间，且12,,,s V V V 均是V 的有限维子空间. 证明：()11121dim dim dim ()s s si i i ik i i i k V V V V -====⎛⎫⎛⎫=-I ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑证 由维数公式，则有211212dim()dim()dim()dim()V V V V V V =+-+，()312312123dim ()dim()dim()dim()V V V V V V V V V +=++-++，22111111dim dim()dim dim s s s s k s k k k k k V V V V V -----===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 11111dim dim()dim dim s s s sk s k k k k k V V V V V --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 将上述各式左右两边分别相加，即得()12111dim dim dim si s s i k i i i k i i V V V V -====⎛⎫⎛⎫⋂=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑, 所以)(I 式成立.例6.4 设12,,,s V V V 为线性空间V 的有限维子空间，证明：下述结论等价：1）{}111()0,1,2,,ii i s V V V V V i s -++++++=∀=；2）1212dim()dim dim dim s s V V V V V V +++=+++.证 1)2)⇒ 对s 作归纳. 2s =时，由维数公式得到121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-12dim dim V V =+.假设1s -时成立(3)s ≥. 下证s 时也成立.12dim()s V V V +++[]121121dim dim()dim ()s s s s V V V V V V V V --=++++-+++121dim dim(),s s V V V V -=++++而当1,2,,1i s =-时，均有1111()i i i s V V V V V -+-+++++111(){0}i i i s V V V V V -+⊆+++++=；那么由归纳假设，则可以得到1212dim()dim dim dim s s V V V V V V +++=+++.2)1)⇒当1,2,,1i s =-时，均有[]111dim ()ii i s V V V V V -++++++1111dim()dim()dim 0si i i s i i V V V V V V -+==++++++-≤∑所以111(){0}ii i s V V V V V -++++++=.例6.5 设V 为n 维线性空间，1V 为其非平凡子空间. 证明：存在不只一个V 的子空间W ，使W V V ⊕=1.证 设s ααα,,,21 为1V 的一组基)(n s <，由基扩充定理，则可将其扩充为V 的一组基s ααα,,,21 n s s ααα,,,,21 ++. 令1W ),,(1n s L αα +=，由于1V ),,(1s L αα =，那么11W V V ⊕=.由于1V ,1W 均为V 的非平凡子空间，则存在V ∈1β，使得11V ∉β，11W ∉β，那么121,,,,βαααs 线性无关（否则1β可由s ααα,,,21 线性表出，矛盾），将此组扩充成V的一组基s ααα,,,21 s n -βββ,,,,21 ，取2W ),,,(21s n L -=βββ ，则21W V V ⊕=，由于11W ∉β,21W ∈β，所以有21W W ≠.提示 仍利用基扩充定理,则121(,,,)(,,)s s n V L L ααααα+=⊕.易知向量组12111,,,,,,s s n ααααααα+++与向量组121,,,,,,s s n ααααα+等价，则向量组12111,,,,,,s s n ααααααα+++也线性无关，所以也有12111(,,,)(,,)s s n V L L ααααααα+=⊕++.但是111(,,)s s n L αααα+++∉.问题 设V 为n 维线性空间，1V 是V 的非零子空间，若存在唯一的子空间2V ，使得21V V V ⊕=，证明：V V =1.补1 1)证明:在[]n P x 中，多项式)())(()(111n i i i a x a x a x a x f ----=+- ,n i ,,2,1 =是一组基,其中n a a a ,,,21 是互不相同的数;2)在1)中, 取n a a a ,,,21 是全体n 次单位根, 求由基1,,,1-n x x 到基n f f f ,,,21 的的过渡矩阵.证 1)记)())(()(21n a x a x a x x F ---= ,则)()()(x f a x x F f i i i =-=.n x P x g ][)(∈∀,设0111)(b x b x b x g n n +++=-- ,记i i d a g =)(),2,1(n i =,则)()(')(')()()(11x f a F d a F a x x F d x g i iini i i i ni ∑∑===-=.设0)()()(2211=++x f k x f k x f k n n ,1a x =令代入,则0)()(112===a f a f n ,因此0)(111=a f k ,但0)(11≠a f ,则01=k ,同理02===n k k ,所以多项式组n f f f ,,,21 线性无关,则构成一组基.2)当n a a a ,,,121 =为全体n 次单位根时,1)(-=nx x F 则,由综合除法,则121111--++++=--=n n n x x x a x x f1221222221n n n n n x f a a x a x x x a -----==++++-12211----++++=--=n n n n n n n nn n x x a x a a a x x f则基1,,,1-n x x 到基n f f f ,,,21 的的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1111112222112 n n n n n nn a a a a a a . 说明 1)也可根据dim []n P x n =,且n f f f ,,,21 线性无关来证. 补2 设n ααα,,,21 是n 维线性空间V 的一组基，A 是一s n ⨯矩阵，且()()1212,,,,,,s n A βββααα=.证明：()12dim ,,,()s L R A βββ=证1 设()12,,,s A A A A =，即A 由s 个n 维列向量构成，记r A R =)(，不妨设部分组12,,,r A A A 为组12,,,s A A A 的一极大无关组，那么()()()11111,,,,,,,,,,n r n r s n s A A A βααβααβαα===.设011=++r r k k ββ ，即()()1111,,,,0n r n r k A k A αααα++=，则有()()111,,0n r r k A k A αα++=，但n ααα,,,21 为V 的一组基，则011=++r r A k A k ，因此01===r k k ，所以r βββ,,,21 线性无关.当1,,j r s =+时，可设1rj i i i A c A ==∑，那么()()()111111,,,,,,r rrj n j n i i i n i i i i i i A c A c A c βααααααβ=====∑=∑=∑，说明部分组r βββ,,,21 是s βββ,,,21 的一个极大线性无关组，因此r βββ,,,21 为生成空间()12,,,s L βββ一组基，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.证2 设r A R =)(，则存在n 阶可逆矩阵P 和s 阶可逆矩阵Q 使000r E A P Q ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，那么()()12120,,,,,,()00rs n E P Q βββααα⎛⎫=⋅⋅I⎪⎝⎭令()()1212,,,,,,n n P δδδααα=，由于矩阵P 可逆，则12,,,n δδδ也是V 的一组基.由()I ，则()()()121210,,,,,,,,,0,,000rs n r E Q Q βββδδδδδ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，因此向量组12,,,s βββ与1,,r δδ等价，从而r βββ,,,21 的秩为r ，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.证3 任给V β∈，则可设1122n n x x x βααα=+++，记()12,,,n X x x x '=，则有()12,,,n X βααα=，建立映射:,()n V P X ϕϕβ→=，则ϕ是V 到nP 的同构映射. 记()12,,,s A A A A =，由题设，则(),1,2,,i i A i s ϕβ==，由于同构映射保持对应向量组的线性相关性，因此()()1212,,,,,,s s R R A A A βββ=，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.补3 设),,,(21n x x x f 为一实二次型,秩n f =)(,符号差s f =)(,记()1||2t n s =-.证明：存在nR 的一个t 维子空间1V ，使0)~,,~,~(,)~,,~,~(21121=∈∀n n x x x f V x x x .证 对于实二次型),,,(21n x x x f ，存在非退化线性替换CY X =，其中C 为实可逆矩阵，使得),,,(21n x x x f 222222111(1)(1)t t nt s t s y y y y y y δδ++++=+++-++----. 其中1δ=或1-.令t i Y i n i i ,,2,1,1 =+=+-εε,其中()0,,0,1,0,,0i ε'=（第i 分量为1的单位列向量），则t Y Y Y ,,,21 线性无关，令t i CY X i i ,,2,1, ==，那么组t X X X ,,,21 也线性无关. 取()112,,,t V L X X X '''=(行向量组所生成)，则t V =1dim .1V α∀∈，设1122t t k X k X k X α'=+++，则()1122t t C k Y k Y k Y α'=+++，但是()11221221,,,,0,,0,,,,t t t t k Y k Y k Y k k k k k k '+++=，所以有2222221221()0t t f k k k k k k α=+++----=.补4 设21,V V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：存在V ∈α使1V α∉，2V α∉同时成立.证 由于1V 为V 的非平凡子空间，则存在1V ∉α，若2V ∉α，则结论成立，可设2V ∈α；同理存在2V ∉β，且1V ∈β，那么必有21,V V ∉+∉+βαβα.其实,若1V ∈+βα,则1)()(V ∈-++ββα,即1V ∈α,矛盾;另一关系也同理可得.补5 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的s 个非平凡子空间. 证明：V 中至少有一向量不属于s V V V ,,,21 中任何一个.证 对s 作归纳.1=s 时,结论显然成立.假定k s =时成立.下证1+=k s 时也成立.设1+k 个非平凡子空间为121,,,,+k k V V V V ,对于k V V V ,,,21 ,由归纳假设,则存在V ∈α使得α不属于k V V V ,,,21 中任何一个.若1+∉k V α,则结论成立.下设1+∈k V α,由于1+k V 为V 的非平凡子空间，则存在1,+∉∈k V V ββ,考虑如下1+k 个向量:)()1(,,,2,I +++++ βαβαβαβαk k .若有某两个向量属于同一个i V )1(k i ≤≤,则必有m V m i (∈α为自然数),那么)1(k i V i ≤≤∈α,矛盾.所以)(I 中必有一个向量不属于k V V V ,,,21 中的任何一个.设向量βα+l 不属于k V V V ,,,21 中的任何一个.若1+∈+k V l βα, 则有1)(+∈-+=k V l l αβαβ,此与β的取法矛盾.所以121,,,,+∉+k k V V V V l βα.得证. 问题1 设12,,,s W W W 是向量空间n P 的s 个线性子空间，12s W W W W =. 证明：W 为nP 的线性子空间的充分必要条件是，存在(1)i i s ≤≤，使i W W =.证 充分性显然. 下证必要性. 对s 作归纳. 当1=s 时，结论显然成立. 假定1s -时成立，考察12s W W W W =. 如果s W W ≠，则存在\s W W β∈. 任给s W α∈，则必有\s k W W αβ+∈. 当1,2,,k s =时，s 个向量中必有两个向量属于同一个i W (11)i s ≤≤-. 此两个向量相减后可得i W α∈，因此11s s W W W -⊂，于是11s W W W -=. 利用归纳假设，则可得一个,11i i s ≤≤-使得i W W =. 结论成立.问题2 设dim V n =，证明：任给正整数m n ≥，V 中必有m 个向量12,,,m ααα使得其中任意n 个向量均构成V 的一组基.证 我们对正整数m 作归纳，当m n =时，结论显然成立. 假设()m k k n =≥时结论成立，即V 中存在向量组12,,,k ααα使得其中任意n 个向量均构成V 的一组基，则其中任意1n -个向量均线性无关，令其中每1n -个向量生成子空间记为()11,2,,n i k V i C -=，并记1n k C t -=. 由于子空间12,,,t V V V 均非平凡，由补充题5知，必存在()11,1,2,,k k i V V i t αα++∈∉=，那么121,,,,k k αααα+中每n 个向量均线性无关，可构成V 的一组基. 这说明1m k =+时结论也成立.。