第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数

高等代数第四章矩阵练习题参考答案第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意阶矩阵,,有、错、2.如果则、错、如、3.如果,则为可逆矩阵、正确、,因此可逆,且、4.设都就是阶非零矩阵,且,则得秩一个等于,一个小于、错、由可得、若一个秩等于,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都就是非零矩阵矛盾、只可能两个秩都小于、5.为阶方阵,若则错、如,有但、6.为矩阵,若则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵,使正确、右边为矩阵得等价标准形,矩阵等价于其标准形、7.阶矩阵可逆,则也可逆、正确、由可逆可得,又、因此也可逆,且、8.设为阶可逆矩阵,则正确、又====、AB B A A BB A A B EA B AA A B E()(**)(*)*||*||*||||因此、由为阶可逆矩阵可得可逆,两边同时左乘式得逆可得二、选择题1.设就是阶对称矩阵,就是阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵得就是(B )、(A) (B) (C) (D)(A)(D)为对称矩阵,(B)为反对称矩阵,(C)当可交换时为对称矩阵、2、设就是任意一个阶矩阵,那么( A)就是对称矩阵、(A) (B) (C) (D)3.以下结论不正确得就是( C )、(A)如果就是上三角矩阵,则也就是上三角矩阵;(B)如果就是对称矩阵,则也就是对称矩阵;(C)如果就是反对称矩阵,则也就是反对称矩阵;(D)如果就是对角阵,则也就是对角阵、4.就是矩阵, 就是矩阵, 若得第列元素全为零,则下列结论正确得就是(B )(A ) 得第行元素全等于零; (B )得第列元素全等于零; (C ) 得第行元素全等于零; (D ) 得第列元素全等于零; 5.设为阶方阵,为阶单位阵,则以下命题中正确得就是(D ) (A) (B) (C) (D)6.下列命题正确得就是(B )、 (A) 若,则 (B) 若,且,则 (C) 若,且,则 (D) 若,且,则7、就是矩阵,就是矩阵,则( B)、 (A) 当时,必有行列式; (B) 当时,必有行列式 (C) 当时,必有行列式; (D) 当时,必有行列式、为阶方阵,当时,因此,所以、 8.以下结论正确得就是( C ) (A) 如果矩阵得行列式,则; (B) 如果矩阵满足,则;(C) 阶数量阵与任何一个阶矩阵都就是可交换得; (D) 对任意方阵,有9.设就是非零得四维列向量,为得伴随矩阵,已知得基础解系为,则方程组得基础解系为( C )、(A)、 (B)、(C)、 (D)、由得基础解系为可得、因此(A),(B)中向量组均为线性相关得,而(D)显然为线性相关得,因此答案为(C)、由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得均为得解、10、设就是阶矩阵,适合下列条件( C )时,必就是可逆矩阵(A) (B) 就是可逆矩阵 (C) (B) 主对角线上得元素全为零11.阶矩阵就是可逆矩阵得充分必要条件就是( D )(A) (B) (C) (D)12.均就是阶矩阵,下列命题正确得就是( A )(A)若就是可逆矩阵,则从可推出(B)若就是可逆矩阵,则必有(C)若,则从可推出(D)若,则必有13.均就是阶矩阵,为阶单位矩阵,若,则有(C )(A)(B) (C) (D)14.就是阶方阵,就是其伴随矩阵,则下列结论错误得就是( D )(A)若就是可逆矩阵,则也就是可逆矩阵;(B)若就是不可逆矩阵,则也就是不可逆矩阵;(C)若,则就是可逆矩阵; (Ｄ)15.设就是5阶方阵,且,则( Ｄ )(A)(B) (C) (D)16.设就是得伴随阵,则中位于得元素为(Ｂ )(A) (B) (C) (D)应为得第列元素得代数余子式与得第列元素对应乘积与、17、设, ,其中就是得代数余子式,则(C )(A)就是得伴随 (B)就是得伴随 (C)就是得伴随(D)以上结论都不对18.设为方阵,分块对角阵,则 ( Ｃ )(A)(B)(C) (D)利用验证、19.已知,下列运算可行得就是( C )(A)(B) (C) (D)20.设就是两个矩阵,就是阶矩阵,那么( D )(A)(B)(C)(D)21.对任意一个阶矩阵,若阶矩阵能满足,那么就是一个( Ｃ )(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)得逆矩阵与任意一个阶矩阵均可交换得矩阵为数量矩阵、22.设就是一个上三角阵,且,那么得主对角线上得元素( Ｃ )(A)全为零 (B)只有一个为零（C）至少有一个为零 (D)可能有零,也可能没有零23.设,则( D )(A)(B) (C) (D)24. 设,若,则( B )(A)(B) (C) (D)25.设阶矩阵,若矩阵得秩为1,则必为(A )(A)1 (B)-1 (C)(D)矩阵得任意两行成比例、26、设为两个阶矩阵,现有四个命题:①若为等价矩阵,则得行向量组等价;②若得行列式相等,即则为等价矩阵;③若与均只有零解,则为等价矩阵;④若为相似矩阵,则与解空间得维数相同、以上命题中正确得就是( D )(A) ①, ③、(B) ②, ④、(C) ②,③、(D)③,④、当时,为相似矩阵。

高等代数第四章线性变换第四章线性变换习题精解1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=8）在P nn ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则 A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是n n P ?上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2 并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z) 所以A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2(a)=(-x,-y,z) 所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k (k>1) 证采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可. 因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。

第五章 线性空间一、内容提要⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．注 向量组12,,,n ααα是V 的一组基⇔12,,,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V中的任一向量α可由12,,,n ααα线性表示.向量组12,,,s ααα生成的空间L (12,,,s ααα)的一组基就是12,,,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s ααα的秩.定义3 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若1122n n x x x αααα=+++则称数12,,,n x x x 为向量α 在基12,,,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.定义4 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1)称C 为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的基变换公式．定理1 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,nααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射（一一对应）σ, 且σ具有如下性质：,,(1) ()()()(2) ()()V k Pk k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.注 数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,（α,α）= 0这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=., , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数（）为向量的长度或模,α记作 即,ααα=（）向量αα是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化．βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为(),arccosαβωαβ=⋅ （ 0 ≤ ω ≤ π）若(,)αβ= 0, 则称α与β正交（或垂直）, 记作βα⊥ ．5.向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,,n ααα两两正交且都为单位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.向量组12,,,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是()01ij i ji j αα≠⎧=⎨=⎩,,, ,1,2,,i j n =.任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,,m βββ, 且12,,,m βββ与12,,,m ααα等价.取 11αβ=, ()()1222111βαβαβββ=-,,,()()()()()()121121112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=----（i = 3 , 4 , …, m ）将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令iii ββη=（i = 1 , 2 , … , m ） 则得到一个与原向量组12,,,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.6. 正交矩阵定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若TQ Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：（1）若Q 为正交阵，则 Q = 1 或－1 ；（2）若Q 为正交阵，则Q 可逆，且 1-Q=T Q ；（3）若P ，Q 都是n 阶正交矩阵，则P Q 也是n 阶正交矩阵；（4）n 阶实矩阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的列（行）向量组是n R 的标准正交基.二、重点难点1. 判定集合是否构成线性空间.2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式.3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明.4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化.5. 正交矩阵的概念及其性质.三、 学习要求1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式.2. 了解线性空间同构的概念.3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质.4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.5. 掌握正交矩阵的概念及其性质.四、典型题分析例1 全体n 维实向量集合V , 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算,,k V k R ααα=∈∈其中是否构成实数域上的线性空间.解 设,, k l R α∈是集合V 中的非零向量.因为()2k l k l ααααααα+=+=+=而,所以()k l k l ααα+≠+, 故此集合不构成实数域上的线性空间.注 检验集合是否构成线性空间的方法:如果所定义的加法和数乘运算是通常意义下的加法和数乘运算, 则它们满足线性运算的八条运算规则, 因此只需检验集合对运算的封闭性. 如果所定义的加法和数乘运算不是通常意义下的加法数乘运算, 则不仅要检验集合对运算的封闭性, 还要仔细检验加法和数乘运算是否满足八条线性运算规律. 例2 求向量空间(){1212,,,0,,1,2,,,n n i V x x x x x x x R i n =+++=∈=}2n ≥的基和维数.分析 先找出向量空间V 的一组基, 即找出一组线性无关的向量, 使得V 中任一向量可由这组向量线性表示.解 在向量空间V 中取1n -个向量1(1,1,0,0,,0)α=-, 2(1,0,1,0,,0)α=-,,1(1,0,0,,0,1)n α-=-, 显然121,,,n ααα-线性无关.对V 中任一向量12(,,,)n x x x α=, 以121,,,,n αααα-为行构造矩阵A ,则1123110010101001ni i nA x x x x x =--===-∑, 从而121,,,,n αααα-线性相关, 又因为121,,,n ααα-线性无关, 所以α可由121,,,n ααα-线性表示.故121,,,n ααα-是V 的基, V 的维数是1n -.注 这个向量空间V 就是齐次线性方程组120n x x x +++=的解空间, V 的一组基就是齐次线性方程组的一个基础解系. 例3 设12,,,n t t t 是互不相同的实数,证明向量组21(1,,,,),1,2,,n i i i i t t t i n α-==是n 维向量空间n R 中的一组基. 并求出向量()12,,,n b b b β=在这组基下的坐标.分析 12,,,n ααα是n 维向量空间n R 中的n 个向量, 只需证明12,,,n ααα线性无关即可.证 令21111121222221111n n n n nnn t t t t t t A t t t ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数,所以()121111121110n T ji i j nn n n nt t t A A tt ttt≤<≤---===-≠∏⇒12,,,n ααα线性无关.所以12,,,n ααα是n 个线性无关的n 维向量, 构成n 维向量空间n R 中的一组基. 设β在基12,,,n ααα下的坐标为()12,,,n x x x , 则有1122n n x x x βααα=+++⇒β=()()121212,,,,,,n n n x x x x x x A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为A 可逆, 所以()112,,,n x x x A β-=. 故β在基12,,,n ααα下的坐标为1A β-.例4 设3R 中的向量α在基1231032,1,2111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且11232123132y x x x y x x y x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ （1）123123,,,,;βββααα求由基到基的过渡矩阵（2）求基123,,βββ. 解 (1)由题有111232123233(,,)(,,)x y x y x y ααααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112323111(,,)110102x x x βββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123111(,,)(,,)110102αααβββ--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(*),所以123123,,,,C βββααα由基到基的过渡矩阵=111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 由（*）式得123(,,)βββ=123(,,)ααα1111110102---⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭123(,,)ααα=221231110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭111431342--⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭,故1231114,3,1342βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例 5 设,a b 是欧氏空间中的任意向量, 证明平行四边形法则(对角线的平方和等于四边的平方和).证 设,a b 是平行四边形的两条邻边, 则a b a b +-和为两条对角线. 因为22(,)(,)a b a b a b a b a b a b ++-=+++--(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)a a a b b b a a a b b b =+++-+ 222()a b =+.所以平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.例 6 1212,,,,(,)0i j ααββαβ=设线性无关线性无关且满足, 1,2,1,2.i j ==证明:1212,,,ααββ线性无关.证 设有数1212,,,,k k λλ使得112211220k k ααλβλβ+++= (*) 上式两边分别与12,αα做内积, 由(,)0i j αβ=,1,2,1,2.i j ==得111221112222(,)(,)0(,)(,)0k k k k αααααααα+=⎧⎨+=⎩ (**) 由柯西-布捏柯夫斯基不等式及12,αα线性无关得112121122211222(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)αααααααααααααα=->.故方程组(**)只有零解120k k ==, 将其代入(*), 由已知12,ββ线性无关, 得120λλ==. 于是得1212,,,ααββ线性无关.例7 将R 3的一组基1231100,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )利用施密持正交化方法将其正交化取1110,1βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1222111111/2(,)1101 (,)2011/2βαβαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,132333*********/22/3(,)(,)11/21012/323/2(,)(,)111/22/3βαβαβαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123,,βββ则是正交向量组.(2 ) 将123,,βββ单位化11122233322, 62, 3, 3T T Tβββββββββ====3121231236320, 26, 3 263βββηηηβββ⎡⎤⎡-⎡⎢⎥⎢⎢∴======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦,则123,,ηηη为R 3的一组标准正交基.例8 设m+n 阶矩阵P O A R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中P , Q 分别是m , n 阶矩阵, O 为零矩阵.证明: 若A 为正交矩阵, 则P 和Q 也是正交矩阵且R 为零矩阵. 分析 用正交矩阵的定义证 证 由题知TT TTT P R A OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因A 为正交矩阵, 所以 TT T T T mT TT T T n E P O P R P P R R R Q A A E R Q OQ Q R Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 上式最后一个等号两边比较得 T n Q Q E Q =⇒为n 阶正交矩阵.T R Q O =且Q 可逆⇒R O =.T T m P P R R E +=且R O =T m P P E ⇒=⇒P 是m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 11． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;()(8)()().a b ab ab a b a b a b λλλλλλλλλ⊕====⊕=⊕所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为A B AB BA ⊕=-按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.,()A B AB BA B A BA AB AB BA ⊕=-⊕=-=--A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 3 1 , , a a =-=或 时方程组有非零解这组向量线性相关. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111，=，=，=，3010解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 10110111100011101110101101000011 1100110100100112100111000011113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组1234512345123453642022353056860x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.316421568622353043751568600000A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 解 22221(1)2315α=+-++.2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2222(12)(10)(01)(13)7αβ-=-+--+-+-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，， 解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,22222222122318,31516,αβ+++=+++=,4618πβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,11147α=+++, 911011β=+++=,77αβ∴=.3． 设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+. 证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-22(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2αγαγαγγβγβαγγβγβαγαγαγγβγβγβαγαγγβγβ=--+--+--+--=--+--+--≤-+-⋅-+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1． 在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交, 则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 （*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2． 将3R 的一组基1231,2,1111ααα ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 132********1122113121020(1)()1(,)(,)2333100121(,)(,)3()()()11333123βαβαβαββββββ⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎪-⨯+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化***123362,,036236βββ⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组123451235300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113111011110100014---⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得齐次线性方程组的一个基础解系123100,,010004001ηηη ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组***12311/21/311/21/33,,011/326213004001βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3． 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则⎩⎨⎧=≠====j i j i A A A A A A j T i j T T i j T i j i10)()()(),(αααααααα (,1,2,,)i j n = 故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明112321233123111(22),(22),(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知()()1231232211,,,,2123122βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因为是一组标准正交基,且的行向量组是单位正交向量组.()1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以和都是正交矩阵.()123,,.βββ从而也是正交矩阵123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算 ()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 . 解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 （B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（ ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 331231223311223311223123123123123,,( )() ,, ()2,23,3() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.解 因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.33123122313122331122313122313,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 解 因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数） 解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选（B ）(B)1．已知4R 的两组基 （Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 （１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*） 齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.312312313123122323133123123123123123,, ,, ,, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是 的基,向量组满足证明 是的基;(2)求由基 到基的过渡矩阵求向量 在基 下的坐标.解 ( 1 ) 由题有123123110101(,,)011(,,)110101111βββααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒123123001(,,)(,,)100111222βββααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为412341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=，，且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++= 即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基. 设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++ 则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）. 5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 020010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E = 001002200100100010001a b a c bc ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222101002201001000102a ac acbc ⎛⎫++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪++⎪⎭⇒2221120 21a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩①121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明 因为α 是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T T T T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2224444()()T T T T T TTTTTE E Eαααααααααααααααααααα=-+=-+=故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A TTTTTTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=, 所以A 为正交阵.8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且T T T T T T TA AB E A B B B A B B A BB A B B A B+=+=+=+⋅=+⋅=⋅+（）()0200T A B A B A A B A B ⇒-⋅+=⇒⋅+=⇒+=.。

高等代数复习题高等代数复习题高等代数是数学中的一门重要课程，它涉及到向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。

在学习高等代数的过程中，掌握和理解相关的概念和定理是非常重要的。

为了帮助大家复习高等代数，下面将给出一些复习题，希望对大家的复习有所帮助。

1. 向量空间1.1 定义：什么是向量空间？请列举出向量空间的几个基本性质。

1.2 线性相关性：给定一组向量，如何判断它们是否线性相关？请举例说明。

1.3 基和维数：什么是基？什么是维数？请证明向量空间的任意两个基的维数相同。

2. 线性变换2.1 定义：什么是线性变换？请给出线性变换的一个例子。

2.2 线性变换的性质：线性变换是否满足加法和数乘的封闭性？请证明。

2.3 核和像：什么是线性变换的核和像？请解释它们的意义。

3. 矩阵理论3.1 矩阵的运算：给定两个矩阵A和B，如何计算它们的和、差和乘积？3.2 矩阵的秩：什么是矩阵的秩？请举例说明如何求矩阵的秩。

3.3 矩阵的特征值和特征向量：什么是矩阵的特征值和特征向量？请给出计算矩阵特征值和特征向量的方法。

4. 线性方程组4.1 解的存在性和唯一性：对于一个线性方程组，什么条件下它有解？有解时解是否唯一？请给出相应的定理和证明。

4.2 齐次线性方程组：什么是齐次线性方程组？请给出求解齐次线性方程组的方法。

4.3 非齐次线性方程组：什么是非齐次线性方程组？请给出求解非齐次线性方程组的方法。

5. 特殊矩阵5.1 对称矩阵：什么是对称矩阵？请给出对称矩阵的一个例子。

5.2 正交矩阵：什么是正交矩阵？请给出正交矩阵的一个例子。

5.3 相似矩阵：什么是相似矩阵？相似矩阵有什么特点？以上是一些高等代数的复习题，希望能够帮助大家回顾和巩固相关的知识。

在复习过程中，要注重理解概念和定理的含义，并能够熟练运用相关的方法和技巧。

通过大量的练习和思考，相信大家一定能够在高等代数中取得好成绩。

高等代数是数学中的一门基础课程，也是后续学习其他数学分支的重要基础。

习题与复习题详解线性空间高等代数集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==;(5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中 的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩. 由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. （3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数. 5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*） 因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T ，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解α.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解(,)d αβ=αβ-. 3．求下列向量之间的夹角 （1） ()()10431211αβ==--,,,，,,,（2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,,4παβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,α==β==,αβ∴=3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+- 所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交,则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 （*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基． 证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基.5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明 也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1. 3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换， 所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量,故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1.故答案为12a =.二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111（B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213 (D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（ ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A =123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）.解 因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.解 因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数） 解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选（B ）(B)1．已知4R 的两组基 （Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,,( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 （１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*） 齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 ( 1 ) 由题有因0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为 解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )112341234123411112(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）.5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明 因为是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT TT T TA E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, 所以22T T T TTA A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==--⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设T E A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A T T T T T T T =-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=,所以A 为正交阵.证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且。

习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为a b abk o a a k 其中a,b R ,k R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间答是. 设, R.因为a,b R a b ab R ,R,a R oa a R ,所以R 对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a ;(2) (a b) c (ab) c (ab)c abc a(bc) a (b c);(3) R 中存在零元素1, a R , 有a 1 a 1 a ;(4) 对R 中任一元素a ，存在负元素a 1 R n , 使a a 1 aa 1 1;1(5) 1oa a a; (6) o oa oa a a oa ; 3(7) oa a aa aa oa oa ;(8) o(a b) o(ab) ab a b a b oaob .所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.3 全体实n 阶矩阵，其加法定义为A B AB BA 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.Q A B AB BA, B A BA AB (AB BA)1 1A B 与B A 不一定相等•数乘不构成实数域上的线性空间A/ A 0, A P 22，判断W 是否是P 2 2的子空间•不封闭•习题5.2p 22中，A 2的线性相关性•3且 a 1时，方程组只有零解，这组向量线性无关; 3或a 1时,方程组有非零解，这组向量线性相关故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1） ,全体实 n 阶矩阵按定义的加法与例如1的行列式都为零，但 32 33的行列式不为零4 5,也就是说集合对加法2.在R 4中，求向量在基2、3,4下的坐标•其中X 1 1X 22 X30 0 0 11 1 0 12 13 11 1 0 00 1 1 1X 41 1 0 12 13 1 1 1 0 0M M M M 0 0 0 1初等行变换1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 M M M M4•在P 22中,解设x Ax 2A 2X 4A 4 aX X 2 X 3 X 4 X 1 ax 2 X 3 X 4X 1 X 2 ax 3 X4 X 1 X 2X 3 ax 4由系数行列式a 1 1 1(a 3)(a 1)3即0 0 0 01 2 3 1 1 1 即2 3 41 0 0C 1 4 311 13. 故向量在基1, 2, 3,4下的坐标 为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).3. 在 P 2 2中求 在基111 1 ，-11 -1 001 4=下的坐标 .解设 x 1 0x 2 x 3 x 42 x 1 x 2 x3 0x 43则有1x1x20x 3 0x 4 4 x10x 20x 30x 4 7x1 1x2 2 x3 3 x4 41 0 1 1 M 21 0 0 0 M 7 由1 1 1 0 M 3初等行变换0 1 0 0 M 11 1 1 0 0 M 40 0 1 0 M 21 1 0 0 0 M 70 0 0 1 M 30得 71 在基 1,211 2 21 3 30 4 .故向量 3, 4下的坐标 为（ -7， 11， -21，30）11 1 i)： 1= 1 ，2 = 0 ，3 = 01 -1 11 2 3 n)：1= 2 ，2= 3，3= 41434．已知 R 3的两组基 （1） 求由基（i ）到基（n ）的过渡矩阵; 2） 已知向量 在基 1, 2, 3下的坐标为 10 ,求 在基 1, 2, 3下的坐标 ; -13) 1已知向量 在基 1, 2, 3下的坐标为 -1 ,求 在基 1 22, 3下的坐标4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量解（1）设C 是由基（i ）到基（n ）的过渡矩阵1231, 2 , 3 C知基（i ）到基（n ）的过渡矩阵为 C11 11 12 323 41 0 0234 0 1 0 1 1 11 4 31 0 1（2）首先计算得C于是 11在基1, 2, 3下的坐标为C 0132 0 217 （3） 在基1,2,3下的坐标为C 11 2 3y 1 23 4 y 1 *⑷设在基1, 2, 3下的坐标为 y 2 ,据题意有 01 0 y2 y 2 y s1 01y ay 3y 1 0解此方程组可得 y 2 =k 4 , k 为任意常数.y 314k 2 3k 3 k0 ,k 为任意常数. 75 .已知P[X]4的两组基（I ）：f 1（x ） 1 x x 2 3 2x , f 2（x ） x x , f 3（x ） 1 x , f 4（x ） 1 2 3 2 3 32（n ） ： g 1（x ） XX x , g 2（x ） 1 x x , g 3（x ） 1 x x ,g 4（x ） 1 x x （1） 求由基（i ）到基（n ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式 f （x ）.解（1）设C 是由基（I ）到基（n ）的过渡矩阵 ，由g 1,g 2,g 3,g 4f 1, f2 , f3 , f 4C0 1 1 11 01 1 有(1,x, X 2,X 3) 10 1 1 231 (1,X,X , X )1 1 0 C1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 01 01 M0 1 1 11110 0 0 11 C 0 112 1113(2)设多项式f(x)在基(I)下的坐标为(X 1,X 2,X 3,X 4)T .习题5.33x X 2 6X 3 4X 4 2x 5 02% 2% 3X 3 5X 4 3X 5 0X 1 5X 2 6X 3 8X 4 6X 5 0的解空间与实系数多项式空间 R[X ]3同构.证明设线性方程组为AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换3 1 64 2 156 8 6A 2 2 33 初等行变换35 4 7 51 5 6 8 60 0 0 0 01 Q1 111 0 M1 01 11 0 0 M1 1 0 1 0 0 0 M1 1 1 0 初等行变换0 1 0 0 M0 0 001 0 M01X 1 X 1据题意有CX 2 X 2 (C X 3 X 3 X 4X 41 1 0 因为|C E0 1 1 1 0 1 0 21112X 1x 2E) 0(*)X 31 1 01 1 01 1 10 0 111 0 21 0 2所以方程组(*)只有零解，则f(x)在基(I)下的坐标为(0,0,0,0) T ，所以 f(x )= 0X 4Q R(A) 2 线性方程组的解空间的维数是 5- R(A) 3.实系数多项式空间 R[X ]3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空 R[X ]3同构. 习题5.41. 求向量 1, 1,2,3 的长度. || ( 1) 2 3 15.2. 求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.d(,) .(厂2厂( 0)-(0 1)L (厂3)2 .7.(1) 1,0,4,3 ,1,2,1 1 (2) 1,2,2,3 , 3,151 (3) 1,1,1,2 , 3, 1,0 解(1) Q , 1 ( 1) 0 2 4 1 3 ( 1) (2) Q, 1 3 2 1 2 5 3 1 18,求下列向量之间的夹角 3. 0, a,(3)3.设 证明因为3218才 1252 12 6,18 arccos —6山813 111114 1 ( 1) 2 0 3,11,3arccos ----- .为n 维欧氏空间中的向量，证明：d(,) d( , ) d(,).)( )2(2习题5.51.在R 4中，求一个单位向量使它与向量组(1 )正交化，取(2 )将1 , 2 , 3单位化解设向量(%,X 2,X 3,X 4)与向量 1,2,3正父 5(, 1) 0X 1 X 2 X X 4 0 则有(, 2)0即人 X 2 X X 4 0(,3)X 1 X 2 X X 0齐次线性方程组 (*)的一个解为X 1X 2 X 3 X 1.(*). 1所以)2,从而d(,d( ).11,1, 1, 1 , 2 1, 1,1, 1,1,1111=(1,1,1,1)即为所求. -2 2 2单位化所得向量2. 将R 3的一组基化为标准正交基. (1 ,2)1112 11 11111113 2 3 1 3 (1,3) (1,1) 12,3)2 , 2)21 2 ( 1) ( ^) 33 1 2 2 2 1 2 (-)2(-)2 ( -)2 3 33132 3 1 31 2 0 1 2；为R 3的一组基标准正交基3 •求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基 •分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解 系再将其标准正交化即可•解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11 11 31 1 1 0 11 1 1 0 10 00 1 4可得齐次线性方程组的一个基础解系1 1 110 01°,21,30 0 41由施密特正交化方法，取11/21/311/21/31 1 11 10 ， 2 2 —11，3_ 1 _ 21/322 30 04 01将1, 2 , 3单位化得单位正交向量组1 1/2 1/3 11/2 - 1/3*1 *2 * \ 312 0，26 1，3— 1/3 2.130 0 4 011 31 3，1 .31 6 26 1 ,61 2 0 1 2X 1 X 2 X X 2x 3 x 4 3X 5 0 X 3X 5因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以 1,2,3是解空间的一组标准正交基 n 是n 维实列向量空间 R n 中的一组标准正交基，A 是n 阶正交矩阵，n 是n 维实列向量空间 R n 中的一组标准正交基，所以(i, j 1,2,L , n).又因为A 是n 阶正交矩阵，所以A T A E . 则也是V 的一组标准正交基. 证明由题知1,2,3习题五所以从而1,2, 3也是正交矩阵.所以 3是单位正交向量组，构成V 的一组标准正交基.3.设 证明：A 1, A•- ,A n 也是R n 中的一组标准正交基.证明因为1,(i ， j ) T (A i ,A j ) (A i )T (A j )T(A TA).j (i,j 1,2,L , n)j故 A 1,A ,A n 也是R n 中的一组标准正交基5.设3是3维欧氏空间 V 的一组标准正交基证明1 13(2122 3),1 3(23),因为组标准正交基 12的行向量组是单位正交向量组一、填空题1 当 k 满足 _____________ 时，! 1,2,1 , 22,3,k , !3,k,3 为R 3的一组基.解三个三维向量为R 3的一组基的充要条件是1, 2, 30,即k 2且 k 6.2.由向量 1,2,3所生成的子空间的维数为 _____________ .解 向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组 的秩，故答案为1.足____________ .解 四个四维向量不是 R 4的一组基的充要条件是1, 2, 3, 40,则a -或1.2(A)3. R 3中的向量3,7,1在基11,3,5 , 26,3,2 , 33,1,0 下的坐标为解根据定义，求解方程组就可得答案设所求坐标为（石,x 2,x 3）,据题意有 为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算X1 1X2 2X3 3.初等行变换10 0 M 154 0 1 0 M 82 , 00 1 M 334. R 3中的基!, 2, 3到基12,1,3, 21,0,1 , 3 2, 5, 1的过渡矩阵为2 122 1 2 解因为(1, 2, 3)( 1, 2,3) 10 5 ,所以过渡矩阵为 1 0 5 .311311解A T A |E A 2 1 A 1.6•已知5元线性方程组 AX = 0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为 ________解 5元线性方程组 AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含 5 -3 =2个向量, 故解空间的维数为 2. 7.已知, 2,1,1,1 , 22,1,a,a , 33,2,1,a , 44,3,2,1 不是 R 4的基且 a 1,贝U a 满所以(x 1,x 2,x 3) = (33,-82,154). 5.正交矩阵 A 的行列式为 ______________1故答案为a 丄.2二、单项选择题1.下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是 （）.(A ) V 1 x 1,0, ,O,X n X 1,X n R(B ) V 2 X 1,X 2, ,XnX 1 X 2X n0, X R (C )V 3X 1,X 2,,XnX 1 X 2X n1,XiR(D) V 4X 1,0,L ,0,0R解 （C ）选项的集合对向量的加法不封闭 ，故选（C ）.12.在P 3 3中，由A2 生成的子空间的维数为（）•3（A ） 1 （B ）2 （C ） 3（D ）41解 向量组A= 2生成的子空间的维数是向量组 A 的秩，故选（A ）.3故选（B ）. 3是R 3的基,则下列向量组(2 , 23 , 1 3 ( B) 1 22,23,13( D) 123.已知 (A) (C)是R 3的基,则下列向量组（）是R 3的基.2,2 2 3 2 3 ,2 2,23,3(B) 1 (D)3 ,33 132122 3,3 1 5 2 5 3又因 （B ）选项中（,1, 2, 3线性无关且2,233 ,331)=( 1,2,3)10可逆, 32 2,23,3 31线性无关.4.已知 (A) 1 (C)1)不是R 3的基. 2 2 3,3 21 223 , 123解 因 ( 1 2 ) ( 2 3) ( 1 3) 0, 所以( C )选项中向量组线性相关 , 故选( C ) 5. n 元齐次线性方程组 AX = 0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为 s,则 ( ). (A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r选(B)6. 已知 A, B 为同阶正交矩阵 , 则下列 ( )是正交矩阵 . (A) A+B(B) A-B(C) AB (D) kA ( k 为数)解 A, B 为同阶正交矩阵AB(AB)TABB T A T AA TE 故选( C ) .7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵( ).(A) 一定不可逆 (B)一定可逆(C) 不一定可逆(D) 是正交矩阵选( B )(B)1 .已知 R 4 的两组基(I)：,, ,1 2 3 4(n)： 1 1 2 34,2 23 4,3 3 4,4 4(1 )求由基(n )到(1)的过渡矩阵；( 2 ) 求在两组基下有相同坐标的向量 . 解(1)设C 是由基(I)到基(n)的过渡矩阵，已知00 001 0 , 11所以由基(n)到基(I )的过渡矩阵为1 0 0 011 1 0 0 C 1.0 1 1 0 01 1(2)设在两组基下有相同坐标的向量为，又设 在基(I)和基(n)下的坐标均为(x 1,x 2,x 3,x 4), 由坐标变换公式可得1011 ( 1, 2, 3, 4) ( 1, 2, 3, 4)11 11x X XX 2X 2 rX 2 cC即(E C)(*)X 3 X 3 X 3X 4X 4X 4齐次线性方程（*）的一个基础解系为 （0,0,0,1）,通解为X故在基（I ）和基（n ）下有相同坐标的全体向量为010203 k 4k 4 （kR ）.2.已知1, 2, 3是R 3的基，向量组1, 2, 3满足13121 22 3,23 1 3（1）证明1 ,2 ,3是R 3的基；⑵求由基 1,2, 3到基1, 2 , 3 的过渡矩阵；（3）求向量12 23在基 1, 2 ,3下的坐标 解（1 ） 由题有1 1 01 01 ( 1,2,3)0 1 1 ( 1,2,3)1 1 01 0 11 110 1 0( 1 , 2 , 3)(1 ,2 , 3)-1 -1 21 00 0 1(1,2,3)( 1,2,3)1 0 01 1 122 20 0 1因 10 00, 所以1,2,3线性无关1 1 12 2 2故1, 2, 3是3个线性无关向量，构成 R 3的基.（2 ）因为0 1 0（1,2,3） （1,2,3） -1-121 0(0,0,0, k) (k R).( 1, 2, 3, 4)( 1 1, 2 2 ,30 4)C 10 0 1 3 0 0 0 1 -12 1 0 0-1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 2 -5 0 0 0 1 0 0 2 10 0-1 30 37所以130 1 0 0 , 2 , 3 0 2 0 3 0 0 0 3010所以从基 1, 2 , 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵 为 -1 -1 2 10010 1 0 12(3) 1 223(1, 2, 3) 2(1 , 2, 3) -1 -1 22 ( 1, 2 , 3) -511 0 0112所以 向量 在基1, 2 , 3下的坐标为 5 .1123.设R 4的两组基, , , 与 2,1, 2, 3 4 1,12, 3= 04，1 2 3 4 1212212 1 0 0且由基 1, 2 , 3,4到基 1, 2, 3, 4的过渡矩阵为 1 1 0 00 0 3 50 121)求基 2)求向量32 4 在基1, 2, 3,4下的坐标 .解 (1) 因为 由基234到基124的过渡矩阵为2 1 0 01 1 0 00 0 3 10 0, 所以 5 20 0 1 74；1, 2,3只有零解•故£（x ）, f 2（x ）, f 3（x ）线性无关，构成线性空间P[x]3的一组基•设 f(x) ydd) y 2 f 2(x) y s f s (x)*y 2 y s6% 1 则有 yy 2 2 y a 9 y 2 y 12y 2 3y 3 14*3所以f （x ）在基f'x ）, f 2（x ）, f 3（x ）下的坐标 为（1,2, 3）1 2 a 05.当当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 0 0 1 是正交阵bc 0(2 ) Q11 4)( 1,1 22， 3， 4)C 111 1 21， 2,3,4） 01127向量4在基下的坐标为1 12 -74.证明f'x) 并求f(x) 6f 2（X ） 21 x 2x , f s (x) 119x 14x 2在这组基下的坐标•2x 3x 2是线性空间P[xb 的一组基,证明 设 t 1f 1(x) t 2f 2(x)t s f 3(X ) 0, 则有t l （1t 2(122x ) t 3(12x 23xt 1 即 1 t lt 2 t 2 2t 2 t 3 2t s3t a因为系数行列式所以方程组（*）12都是正交矩阵.21 2 b 2b 2 ac 0c216•设 是n 维非零列向量 证明因为 又A T 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2ac,E 为n 阶单位阵，证明：A是n 维非零列向量，所以 T是非零实数.E T A,所以A T A AA (2/E 2 故A 为正交矩阵. 7•设 A E 2 T ,其中 (a 1 ,a 2,an), =1. 证明因为A T (E 2 T )TE T 2(T )T又 A T A (E 2 T)(E 2 T ) E 2 所以A 为正交阵. 8.设A,B 均为n 阶正交矩阵，且A B ,证明A0.证明 因为A, B 均为n 阶正交矩阵 ,所以A A TA T IA B E A T B B T B A T B (B A )T |B |B A B TA Tb —— ac .2b 21 .2 1 2 1 2 1 2 1 2. 1 2T为正交矩阵•证明A 为正交阵.A ，所以A 为对称阵.。

线性代数习题答案第四章第四章线性相关性与线性无关性线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。

在线性代数的学习过程中，理解线性相关性与线性无关性是非常重要的一部分。

本文将针对线性代数习题第四章中的相关问题进行讨论和解答。

一、线性相关性与线性无关性的定义在开始解答具体问题之前，我们先来回顾一下线性相关性与线性无关性的定义。

定义1：对于向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，则称向量组V是线性相关的；否则，称向量组V是线性无关的。

定义2：如果向量组V中的任意一组向量都是线性无关的，则称向量组V是极大线性无关的。

根据以上定义，我们可以通过求解线性方程组来判断向量组的线性相关性与线性无关性。

二、线性相关性与线性无关性的判断1. 问题一已知向量组V1={(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。

解答：我们可以将向量组V1写成矩阵形式，即：A = [(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)]然后，我们将矩阵A进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(-1,2,1), (0,0,0), (0,0,0)]由于矩阵B中存在一行全为零的情况，因此向量组V1是线性相关的。

2. 问题二已知向量组V2={(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。

解答：同样地，我们将向量组V2写成矩阵形式：A = [(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)]进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(1,1,1), (0,1,2), (0,0,0)]由于矩阵B中不存在一行全为零的情况，因此向量组V2是线性无关的。

3. 问题三已知向量组V3={(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。

第四章 矩阵1.设1）311212123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111210101B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2）111a b c A c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111a c B b b c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭计算AB ，AB BA -。

解 1）622610812AB -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ ，400410434BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭222200442AB BA -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭ 2）22222222223a b c a b c ac b AB a b cac b a b c a b c a b c ⎛⎫+++++⎪=+++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ⎛⎫+++++ ⎪=+++++ ⎪ ⎪+++++⎝⎭33()ij AB BA a ⨯-=， 其中11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =-2.计算22111)310012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭5322)42⎛⎫ ⎪--⎝⎭113)01n⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos sin 4)sin cos nϕϕϕϕ-⎛⎫⎪⎝⎭()15)2,3,111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，()112,3,11⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ()1112132122313132336),,11a a a x x y a a a y a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111111117)11111111---⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1111111111111111n---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭108)0100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 22117441)310943012334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。