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数列求和 公开课

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第五章 第四节 数列求和(优秀经典公开课比赛课件)

第五章 第四节 数列求和(优秀经典公开课比赛课件)

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教材通关
2．常见数列的求和公式 (1)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1 (2)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12
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教材通关
[小题诊断]
1．(2018·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3
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教材通关
3．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．
解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ＝11－－xxn－nxn， ∴Sn＝11－－xxn2－1n－xnx. 答案：11－－xxn2－1n－xnx
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教材通关
[必记结论]
1．常见的裂项公式
(1)nn1＋1＝n1－n＋1 1.
(2)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
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a1＋4d＝5， ∴5a1＋5×25－1d＝15，
∴ad1＝＝11，，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴ana1n＋1＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
∴数列
1 anan＋1
的前100项和为
1－12
＋
12－13
＋…＋
1010－1101
＝1－1101＝110001. 答案：A

数列求和法-公开课ppt课件

数列求和法-公开课ppt课件

Sn2
an (Sn
1), 2
Qan SnSn1
∴ S n 2 (S n S n 1 )(S n 1 2 ) 1 2 (S n 1 S n ) S n S n 1
递
1 1 2 Sn Sn1
推
∴数列
∴1
Sn
S1n S1是1以2(nS111)1首2项n，12为即. 公差S的n 等差2数n1列
14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n 3 3n1 3n.1
错位相减法
错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列 对应项相乘得的新数列求和，此法即为等比数列求 和公式的推导方法.
1
法
数列求和法小结
公式法求和
分组求和法
倒序相加法
裂项相消法
错位相减法
周期法求和
其它方法:递推法、合并法
.
( a 1 9 a 1 9 9 3 9 a 1 4 ) 9 a 1 9 9 8 a 2 9 0 a 9 2 0 0 a 0 2 0 0
a19 9a 9 20 0a 0 20 0a 1 2002
a1a2a3a45
.
其它方法求和
例7：求和 1 3 5 ( 1 )n(2 n 1 )
而 a 6 k 1 a 6 k 2 a 6 k 3 a 6 k 4 a 6 k 5 a 6 k 6 0
∴ S 2002 ( a 1 a 2 a 3 a 6 ) ( a 7 a 8 a 1 ) 2 ( a 6 k 1 a 6 k 2 a 6 k 6 )

数列求和公开课教案(1)

数列求和公开课教案(1)

数列求和公开课教案(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。

本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。

采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。

先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。

化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。

2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。

教学难点：解题过程中方法的正确选择。

3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。

高考数学一轮复习第六章数列第4节数列求和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

高考数学一轮复习第六章数列第4节数列求和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
14/64
5．数列{1＋2n－1}的前 n 项和为(
)
A．1＋2n
B．2＋2n
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
[解析] Sn＝n＋11－ －22n＝n＋2n－1，故选 C.
[答案] C
15/64
6．数列22，242，263，…，22nn 的前 n 项和 Sn 为________． [解析] 由 Sn＝22＋242＋263＋…＋22nn ，① 得12Sn＝222＋243＋264＋…＋22nn＋1，② ①－②，得1－12Sn＝22＋222＋223＋224＋…＋22n－22nn＋1＝2－ 2n1－1－22nn＋1，∴Sn＝4－n2＋ n－21 . [答案] 4－n2＋ n－21
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn＝SanSn＋ n＋ 1 1，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.
41/64
[解] (1)由题设知 a1a4＝a2a3＝8，又 a1＋a4＝9， 可解得aa41＝ ＝81， 或aa41＝ ＝18， (舍去)． 由 a4＝a1q3 得公式 q＝2，故 an＝a1qn－1＝2n－1.
1n－n＋1 2
；
③
1 2n－12n＋1
＝
1 2
2n1－1－2n1＋1
；
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
36/64
1．[角度 1](2016·浙江五校联考)已知数列{an}满足 an＝
n2＋ 1 n，且 Sn＝190，则 n 的值为(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
37/64
[解析] ∵an＝n2＋ 1 n＝1n－n＋1 1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝190，解得 n＝9.

数列求和【公开课教学PPT课件】

数列求和【公开课教学PPT课件】


1 2
Tn

1 2

3 22

5 23

2n 3 2n 1
2n1
2n
(1
1 2
)Tn

2
1 2

1 22

1 23

Tn

6

2n 3 2n1

1 2n2

2n 1 2n

3
2n 3 2n
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(2)Sn

a1(1 qn ) 1 q
2n 1, bn

an1 Sn Sn1

Sn1 Sn Sn Sn1

1 Sn
1 Sn1
Tn b1 b2 b3 bn
( 1 1 )( 1 1 ) ( 1 1 )
S1 S2
S2 S3
Sn

1 S1
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点二 分组、并项求和法
例2. 设等比数列{an}的通项公式为an＝3n ，等差数列{bn}的通项 公式为bn＝2n＋1.
(1)记cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. (2)记dn＝(-1)nbn ，求数列{dn}的前n项和Tn.
解：(1)
cn an bn，an,bn分别为等差、等比数列。
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点一 倒序相加法
例1. 若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求
S Cn0a1 Cn1a2 Cn2a3 + Cnnan1

高中阶段最全的数列求和(10种)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

高中阶段最全的数列求和(10种)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

4．处理非等差、等比数列旳求和，主要有两种思绪
(1)转化旳思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想措施往往经过通项分解或错位相减来完 毕．
(2)不能转化为等差或等比数列旳数列，往往经过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最主要 旳措施．是高考要点考察旳内容，应熟练掌握．
(其中d＝an＋1－an)．
常见旳拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1
1[ 1
1
]
即数列an的周期是 4,
a4=-1 又 a3 2 ,
故 a1+a2 +a3 +a4 =2 , a2009 a45021 a1 ,
a1+a2 +a3 +a4 +.......+a2009 502(a1+a2 +a3 +a4 ) a2009 1003
练习：
已知在数列 an
中，
a1
2
，
an1
(3)求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10， …，前n项和Sn.
例1：求和：
1. 4 6 8 ……+（2n+2）
2.
11 1 1 2 22 23
1 2n
3. x x2 xn
10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数
例2、已知lg(xy) 2

第四节 数列求和 课件(共48张PPT)


－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝

数列求和(公开课课件)


思维升华
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差 或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝abnn，，nn为为奇偶数数，，其中数列{an}， {bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n项和.
d≠0，
解得a1＝1，d＝1， ∴数列{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)设bn＝2an ＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
(√ ) (2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根
据错位相减法求得.( × )
(4)求数列21n＋2n＋3的前 n 项和可用分组转化法求和.( √ )
1.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为
设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，
①
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，
②
①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100项和S100.

高考数学复习第六章数列6.4数列求和理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

37/85
考点 4 裂项相消法求和
38/85
裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以 相互抵消，从而求得其和．
39/85
(2)常见的裂项技巧：
①nn1＋1＝1n－n＋ 1 1.
②nn1＋2＝121n－n＋ 1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
24/85
考点 3 错位相减法求和
25/85
错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
26/85
(1)[教材习题改编]数列 1，1＋1 2，1＋12＋3，…，1＋2＋1…＋n 2n
34/85
[2015·天津卷]已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是 等差数列，且 a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
35/85
解：(1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题 意知 q>0.
32/85
2Tn＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n ＝23＋11－ －331－－1n－(n－1)×31－n ＝163－62n×＋33n ， 所以 Tn＝1132－64n×＋33n ， 经检验，n＝1 时也适合． 综上知，Tn＝1132－64n×＋33n .
33/85
设数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则 S9＝___3_7_7___.
18/85
[典题 2] 已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.

高中数学第二章数列数列求和习题课省公开课一等奖新优质课获奖课件

3
由题意得 d=
=
12-3
=3.
3
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{bn-an}公比为q,
4 -4
1 -1
由题意得 q3=
=
20-12
=8,解得
4-3
q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
所以bn=2n-1+3n(n=1,2,…).
(2)由(1)知bn=3n+2n-1,
用错位相减法求和时,应注意:
在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方便下一步准确写
出“Sn-qSn”表示式.若公比是参数(字母),则应先对参数加以讨论,普通情况下分为
等于1和不等于1两种情况分别求和.
10/28
探究一
探究二
探究三
经典例题2
已知正项等差数列{an}前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
2
3
4
5
)
D.-2 016
解析:S2 016=-1+2-3+4+…+(-2 013)+2 014+(-2 015)+2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2
013+2 014)+(-2 015+2 016)=1 008.
答案:A
24/28
1
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=
1
项和.求
1
1
n为
1
1
+ +…+ .
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1 n＋1＋ n
∴a＝n＝f（n＋n＋11－）1＋n，f（n）＝
1 n＋1＋ n
＝
n＋1－ n，
＝ S2n0＋19＝1－a1＋n，a2＋a3＋…＋a2 019＝(
S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(
2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)
2－
1)＋(
3－
＋…＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1.]
＋S…2 ＋019＝( a21＋02a02－＋a32＋0…19＋)＝a2 02190＝20( －21－.] 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)
＋…＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1.] 12
裂项相消法求和的常见类型
an＝n（n1＋k）＝1k1n－n＋1 k.
k=2时，求和
an＝
1 n＋k＋
• 研究数列的前n项和的关键是分析数列 的构成规律，而数列的构成规律反应在 数列的通项公式。因此，求数列的和要： • 1、找到、找准数列的通项公式 • 2、观察分析数列通项公式的特征。
考点 1 分组转化法求和
例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． [解] (1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋2 n－（n－1）2＋2 （n－1）＝n. 当 n＝1 时，a1＝S1＝1 满足 an＝n，
分类讨论
故数列{an}的通项公式为 an＝n.
4
(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn.
16
17
18
(所2(所 (所 (所)222以因(所)))以 以 以2因 因 因)为T以因为 为 为TTTn＝nnnc为T＝ ＝ ＝ncccn3＝1nnn＝0333c＝ ＝ ＝111＋n000ba3＝＋ ＋ ＋1nnbbbaaa03＝3nnnnnn＋b1a333＝ ＝ ＝333＋nn11123＝＋ ＋ ＋33n222135n333－nnn＋－22333555nnn－ － －＋31n－ － －22213＋ ＋ ＋5n－111，－1112…＋1， ， ，… … …1＋，…＋ ＋ ＋2＋3n222n333－nnn－2nnn－ － －31－ － －n1n－ 111.－1111...等1. 差*等比展开和
记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则
T2n＝分组(2转1＋化22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记 A＝公21式＋法22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2，
并项求和
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
6
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组 求和法求{an}的前 n 项和．
bn，n为奇数， (2)通项公式为 an＝cn，n为偶数 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
提醒：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
当 n≥2 时，an1bn＝2n（21n＋2）＝141n－n＋1 1， 则 Sn＝214＋1412－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1， ＝214＋1412－n＋1 1，
＝12（2nn－＋11）， 当 n＝1 时满足上式，故 Sn＝12（2nn－＋11）.
11
裂项相消
例 3 、 已 知 函 数 f(x) ＝ xa 的 图 象 过 点 (4 ， 2) ， 令 an ＝
故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
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[变式训练] 在本例(2)中，若条件不变求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] 由本例(1)知 bn＝2n＋(－1)nn. 当 n 为偶数时， Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝ 2－1－2n2＋1＋n2＝2n＋1＋n2－2；
n＝1k(
n＋k－
n).
提醒：求和抵消后不一定只剩下首末两项，剩余的项对
称
【当堂演练】1、 (2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
n
a3＝3，S4＝10，则∑ k＝1
S1k＝________．
2n n＋1
[设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
依题意有4aa1＋1＋26dd＝＝31，0，解得ad1＝＝11，， 所以 Sn＝n（n＋ 2 1），S1n＝n（n2＋1）＝21n－n＋1 1，
f（n＋1）1＋f（n），n∈N*，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 019＝
(
[)由 f(4)＝2 得 A． 2 018－1
4a＝B．2，2解0得19－a＝1 12，C．则[由f2(xf0)(＝240)＝－x21.得
D4a．＝2，2 解02得0＋a＝1 12，则
f(x)＝
x.
[由∴af(n4＝)＝f（2 n得＋41a）＝12＋，f（解n得）a＝＝12，n＋则11f＋(x)∴＝ann＝x.f（n＋1）1＋f（n）＝
n
因此∑
k＝1
S1k＝2(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1)＝n2＋n1.]
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2、求和 S＝1＋1
＋ 3
1 3＋
＋…＋ 5
1 119＋
1
A
[S＝11－－33＋
3－ 3－5
5＋…＋
111199－－121121＝1－－211＝5，故选
A.]
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考点3 错位相减法求和
数学 人教A版 高三一轮复习 《数列》第四节
数列求和
高考定位
考纲要求：1、掌握一些简单的数列求和方法
2、能应用数列求和解决一些数列问题
考试热点：1、以选择题或填空题的形式考查等差、
等比数列的前n项和 2、以考查等差、等比数列前n项和为主，
同时考查错位相减法、裂项相消法、 分组求和法等常用方法。
怎么求数列的和呢？
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考点2 裂项相消法求和
例 2、 (2019·厦门一模)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列， 数列{bn}满足 b1＝6，b1＋b22＋b33＋…＋bnn＝an＋1.
(1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列an1bn的前 n 项和．
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(2)当 n＝1 时，S1＝a11b1＝4×1 6＝214.
例 4、 (2019·莆田模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，an＋1 ＝2Sn＋1，数列{bn}满足 a1＝b1，点 P(bn，bn＋1)在直线 x－y＋2＝0 上， n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.