数列求和(公开课)

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求和方法称 为裂项相消法.
5.倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加， 有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来， 这一求和的方法称为倒序相加法。
课堂诊断
1 1 1 1 ． 数 列 ， ， ， „ ， 2· 5 5· 8 8· 11 1 ，„的前 n 项和为( B ) (3n－1)· (3n＋2) n n A. B. 3n＋2 6n＋4 n＋1 3n C. D. 6n＋4 n＋2
2 －1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ， 2 321 其前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( D ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
1 2 n 变式、求和： S n 2 n a a a
【解析】 (1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋„＋n＝ n(n＋1) ； 2 1 2 3 n (2)a≠1 时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n① a a a a n－1 1 1 2 n S n ＋ n＋1② n＝ 2＋ 3＋„＋ a a a a a 由①－②得
1 1 1－ n 2 2 1 ＝2 n－ ＝2n－1－ + 1 2n 1－2 1 ＝2n－2＋ n－1. 2

思维升华：要求和，先弄清通项（长什么 样用什么样的方法）！
错位相减法
例3、数列 {an }中a1 3,已知点（an , an 1）在 直线y x 2上， （ 1 ）求数列 {an }的通项公式； （2）若bn an 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
祝愿同学们学业有成，前途似锦！
细心、用心是制胜的法宝！
数列求和（一）
高三数学组 鲁云霞
循 环 教 研 、 实 证 推 进 研 讨 课
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考 1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 纲 2.能利用等差、等比数列的前n项和公式 点 击 及其性质求一些特殊数列的和。
热 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 提 示
1.多以选择题或填空题的形式 考查等差、等比数列的前n项和. 2.以考查等差、等比数列的前n项和为主， 同时考查分组求和法、错位相减法、 裂项相消法、倒序相加法等常用方法.
1 1 1 1 1 n (1－a)Sn＝a＋ 2＋ 3＋„＋an－ n＋1 a a a 1 1 (1 － n) a a n ＝ － n＋1， 1 a 1－a n a(a －1)－n(a－1) ∴Sn＝ . n 2 a (a－1) 综 上 所 述 ， Sn
n(n＋1) 2 n a(a －1)－n(a－1) n 2 a (a－1)
1 1 1 1 3. ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 4. [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
1 5. ( n k n) n nk k
1
利用裂项相消法求和时，应注意: ①将通项公式裂项后，有时候需要 调整前面的系数，使裂开的两项之 差和系数之积与原通项公式相等． ②抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项， 后面也剩两项，
n
3．数列{(－1) · n}的前 2 010 项的和 S2 为( D ) A．－2 010 B．－1 005 C．2 010 D．1 005
n
010
4、已知数列 {an }满足：a1 2t , t 2an 1t an 1an 0, n 2, n N ,
2
(其中t为常数，且t 0) 1 （ 1 ）求证：数列 { }为等差数列； an t （2）求数列 {an }的通项公式；
sn
a1（1－q ） a1－anq 1－q 1 － q ＝__________＝_________
(其中
n
a1 为首项，q为公比)
例1.: 求和
1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法：直接求和法
找漏洞，辨错因
方法：分组转化求和法
【思考】 用裂项相消法求数列前n项和
的前提是什么？
【提示】 裂项相消法的前提是将数列的每一项 拆成二项或多项，使数列中的项出现 有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
常见的拆项公式有：
1 1 1 1. n(n 1) n n 1
1 1 1 1 2. ( ) n( n k ) k n n k
an （3）设bn , 求数列{bn }的前n项和S n . 2 (n 1)
反思小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式 2.分组转化法：有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可 分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和，再将其合并即可. 3.错位相减法：如果一个数列的各项是由 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积 组成，此时求和可采用错位相减法.
n
1.一般地，如果数列{an}是等差 数列，{bn}是等比数列，求数列{an· bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法． 2．用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列 公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn－qSn”的表达式．
——基础知识梳理 —— 1、等差数列的前n项和公式：
s
(其中 a1为首项，d为公差) 2、等比数列的前n项和公式： na1 当q＝1时， ＝__________ n
n（n－1） n（a1＋an） na ＋ d 1 ＝ ________________ ． 2 n ＝____________ 2
s
当q≠1时，
＝
(a＝1) . (a≠1)
利用错位相减法求和时，转化为等比 数列求和．若公比是个参数(字母)， 则应先对参数加以讨论，一般情况下 分等于1和不等于1两种情况分别求和．
题型三、裂项相消法
1 2 n 例4、在数列 {an }中，an , n 1 n 1 n 1 2 又bn , 求数列{bn }的前n项和。 an an 1
1 1 1 1 例2、求数列 2 、 4 、 6 、 8 、 的前 n项和 S n . 4 8 16 32
【思路点拨】 先求通项 →转化为几个容易求和的数列形式 →分别求和 →得结论
解：
1 1 1 1 sn 2 4 6 (2n n1 ) 4 8 16 2 1 1 1 (2 4 6 2n) ( n 1 ) 4 8 2 1 1 n [1 ( ) ] 4 2 n(n 1) 1 1 2 1 1 n 1 2 n n ( ) 2 2
练习：试卷78页夯基释疑T3
Answer:C
变式：78页跟踪训练1
解析： 和式中的第 k 项为：
1 1－2k 1 1 1 1 1－ k ak＝1＋2＋4＋„＋ k－1＝ ＝ 2 2 1 2 1－ 2
Sn=a1 +a2 +a3 +……. +an
n个 1 1 1 ＝2 1＋1＋„＋1 － ＋ 2＋„＋ n 2 2 2