高中数学数列求和公开课优秀获奖课件-

常见的裂项公式
(1)n（n1＋1）＝1n－n＋1 1.
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1
＝
n＋ n＋1
n＋1－
n.
(4) 1 1 ( 1 1 ) n(n 2) 2 n n 2
(2)对 n∈N*,设 Sn= 1 + 1 + 1 a1a2 a2a3 a3a4
第4节 数列求和
考纲概述
考查热点
考查频次 备考指导
(1)掌握等差、等比数列求和; 利用公式转化为
(2)掌握非等差等比数列求 等差、等比数列的 ★★★★★ 通过近几年的考题分析,数列的递推关系,
和的几种常用方法;
求和
非等差、等比数列的求和是高考的热点,常
(3)能在具体的问题情景中
用到裂项相消法、错位相减法等方法求和
(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数 列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类 型，可采用两项合并求解.
基础自测：
1成.(等20比17数课列标，3理则9数)等列差数an列an前6的项首的项和为为1=，_公2_4差__不__为_ 0．若a2 , a3, a6
an1
an )
(4)
1 an
an2
1( 2d
an2
an )
考点二：错位相减求和
例2.(2017山东,19,12分)
已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1) 得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn .
②等比数列的前n项和公式
(ⅰ)当q＝1时，Sn＝__a_n1（_a_1 1_－；qn）
a1－anq
(ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q_____＝____1_－__q_____.
Leabharlann Baidu
(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
解析 本题考查等比数列基本量的计算,错位相减法求和.
(1)设数列{xn}的公比为q,由已知知q>0.
由题意得
x1 x1q2
x1q x1q
3,
2.所以3q2-5q-2=0.
因为q>0,所以q=2,x1=1.
因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1.
(2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.
(3) 情感、态度与价值观： 通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知 精神；
教学重点.难点： 错位相减法与裂项相消法求数列的前 n 项和
几种常见数列求和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
Sn＝_n_（__a_12＋__a_n_）_＝____n_a_1＋__n_（__n_－ 2__1_）__d_____.
a1a2 a2a3 a3a4
anan1 2 3 2n 3
= 3n . 2n 3
证明：略
思考交流：若
Sn
3t 恒成立，求 4n
t的范围
小结：
(1) 1 1 ( 1 1 ) anan1 d an an1
1 11 1
(2)
( )
anan2 2d an an2
(3)
1 an
1( an1 d
①-②得 -Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1
= 3+ 2(1 2n1) -(2n+1)×2n-1.
2 12
所以Tn=
(2n
1) 2
2n
1
.
解题关键 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,以几何图形为背景确定{bn}的通项公式是关键.
思考：如何求数列{Tn} 的前n项和呢？
识别数列的等差关系或等比
或者根据周期性等数列的性质求和,另外数
关系,并能用等差数列、等比 数列综合应用 ★★★★★ 列求和常与不等式、最值、函数等知识相
数列的有关知识解决相应的
结合进行考查.
问题.
考点分析
考点
考查方向
考例
分组求和法
分组后利用等差数列、等 比数列的求和公式求和
2016全国卷Ⅱ17,
考查热度 ★★☆
+…+ 1 anan1
,求证：
3 5
S
n
3 2
解:(2)因为 an= 2n 1 ,所以 an+1= 2n 3 ,
3
3
所以 1 =
9
= 9 ( 1 - 1 ).
anan1 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
则 Sn= 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 9 ( 1 - 1 )
由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,
记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,
由题意bn=
(n
n 2
1)
×2n-1=(2n+1)×2n-2,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2,①
2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.②
变式练习：
课时小结：
1.数列求和的注意事项：（1）首项：从哪项开始相加；（2）有 多少项求和；（3）通项的特征决定求和的方法 2.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为1进行讨论
3.裂项相消后，注意抵消后不一定只剩首尾两项，也可能前面剩两项，后面 也剩两项
4.错位相减法中两式相减后，成等比数列的有n-1项，整个式子共有n+1项
n
2.(2015全国.17.2)设bn
(2n
1 1)(2n
3)
,
则数列bn
的前n项和
_6_n___9__
3.1 1 3 1 5 1 7 1 (2n 1) 1
2 4 8 16
2n
__n_2 __1__2_1n_
4.sin 2 1。 sin 2 2。 sin 2 3。 sin 2 88。 sin 2 89。___4_4_._5_
错位相减法
等差数列与等比数列对应 项之积构成的数列的求和
（2014全国卷文）17
★☆☆
裂项相消法 裂项后能消去大部分项
2017全国卷Ⅱ15,2015全国 卷Ⅰ17,2013全国卷文17
★★☆
教学目标：
(1) 知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用错位相减法法与裂项相消法求数 列的前 n 项和 (2) 过程与方法： 通过阶梯性练习提高学生分析问题和解决问题的能力