四川省成都七中2018-2019学年高二数学上册期中考试题1

NMD 1C 1B 1A 1DCBABCDA 1B 1C 1D 1四川成都七中18-19高二上学期年中考试--数学2018级半期考试数学试卷〔理科〕考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题〔每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求、〕 1、以下对于几何体的描述，错误的选项是〔 〕A 、以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球、B 、一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180º形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥、C 、用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台、D 、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱、2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AB ，DD 1中点，那么异面直线A 1M 与C 1N 所成的角是〔 〕 A 、0B 、4πC 、3πD 、2πA 、经过两条相交直线，有且只有一个平面、B 、经过一条直线和一点，有且只有一个平面、C 、假设平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点、D 、假设两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合、4、棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四面体AB 1CD 1的体积为〔〕A 、41B 、31C 、21D 、325、假设a ，b 是两条直线，α是一个平面，那么以下命题正确的选项是〔〕 A 、假设a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面、B 、假设a ∥α，那么a 与α内任何直线平行、C 、假设a ∥α，b ∥α，那么a ∥B 、D 、假设a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α、6.D.237.执行如下图的程序框图,输出的S 值为〔〕A 、4B 、8C 、16D 、648.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是〔〕A 、三棱锥B 、球C 、圆柱D 、正方体9、如图，在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=2，∠ACB=90º，中点，过直线EF 作棱柱的截面，假设截面与平面ABC 所成的二面角的大小为60º，那么截ED 1C 1B 1A 1DC BA面的面积为()、A 、3或1B 、1C 、4或1D 、3或4 10、用一个平面去截正方体，对于截面的边界，有以下图形：①钝角三角形；②直角梯形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形。

2018-2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=04．圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣26．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．7．若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（）A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣48．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1 9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．12．在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为．15．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O 为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．16．关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列说法正确的有：．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．三、解答题：本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：平面CBC1⊥平面EAD．18．直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．19．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA ⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．22．点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第（II）问中Q的轨迹于不同两点E，F，=λ，判断λ的取值范围并证明．2018-2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可．【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣，θ=120°，故选：C．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．3．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=0【考点】圆的一般方程．【分析】将圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1求其圆心G（﹣1，0），根据直线垂直的斜率关系，求出与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，根据点斜式即可写出所求直线方程．【解答】解：圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1∴圆心G（﹣1，0），∵直线x+y=0的斜率为﹣1，∴与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，∴由点斜式方程可知，所求直线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0，故选：A．4．圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．【解答】解：圆（x﹣4）2+y2=9，表示以（4，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+（y﹣3）2=4，表示以（0，3）为圆心，半径等于2的圆．两圆的圆心距等于=5=2+3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选：C．5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【考点】两条直线平行的判定；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意可知直线L1：ax+3y+1=0，斜率存在，直线L2：2x+（a+1）y+1=0，斜率相等求出a的值．【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．7．若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（）A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条平行直线间的距离．【分析】先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于且小于，求出整数b的值．【解答】解：设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+c=0，把点（5，b）代入直线的方程解得c=4b﹣15，∴过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15=0，由题意知，直线在y轴上的截距满足：＜＜，∴＜b＜5，又b是整数，∴b=4．故选C．8．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r==，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选B．10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由题设条件，结合向量法求出CD的长．【解答】解：如图，∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，AB=AC=1，BD=2，∴，＜＞=120°，∴==1+1+4+2×1×2×cos120°=4．∴|CD|=．故选：C．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x ﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．12．在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A﹣BD﹣C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=，利用互补得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．【解答】解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F，过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO 交CD延长线于M，∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，AB=，BD=AC，∴△ABD为等边三角形，∴BD⊥AE，BD⊥EF，∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AO⊥面BCD，垂足为O，∵面AEF⊥面BCD，∴O在EF上，理解BO交CD延长线于M，当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM，∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，∴OE=AE，cos∠AEO=，∴cos∠AEF=，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】由于给出的直线恒过定点（0，﹣1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围．【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是两个正四棱锥的组合体，根据图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部也为四棱锥的组合体，且两个四棱锥是底面边长为1的正方形，高为正四棱锥；所以该几何体的表面积为S=8××1×=2．故答案为：2．15．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O 为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4．【考点】直线的一般式方程．【分析】设AB方程为，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值．【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，点P （2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB面积S=ab≥4，故答案为4．16．关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列说法正确的有：①②③．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：①中，BD∥B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又P∈BD，∴棱锥P﹣AB1D1体积不变是正确的，故①正确；②中，P点在线段BD上运动，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，直线AP⊂平面ABCD，∴直线AP与平面A1B1C1D1平行，故②正确；③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，故③正确；④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形，故④错误；⑤中，截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长不变，故⑤错误．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：平面CBC1⊥平面EAD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知及三角形中位线的性质可得DE∥CB1，AE∥FB1，即可证明平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）先证明AD⊥BC，又CC1⊥AD，即可证明AD⊥平面BCC1，从而证明平面CBC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F 分别为BC，BB1，AA1的中点．∴DE∥CB1，AE∥FB1，∵DE∩AE=E，CB1∩FB1=B1，DE，AE⊂平面EAD，CB1，FB1⊂平面B1FC∴平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．∴AD⊥BC，又∵CC1⊥AD，BC∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1，又∵AD⊂平面EAD，∴平面CBC1⊥平面EAD．18．直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0），AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1），利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0）AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y﹣）2=；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，所以=1，所以k=0或﹣，所以弦AB所在直线的方程为y=或3x+4y﹣5=0．19．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1C，∵OD⊂平面A1DB，B1C⊄平面A1DB，∴B1C∥平面A1DB．解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，∴B（0，，0），D（0，0，0），A1（﹣1，0，2），C1（1，0，2），=（0，﹣，0），=（﹣1，﹣，2），=（1，﹣，2），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，2，3），设直线BD与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=||=∴直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA ⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．（2），设平面PDC的法向量为，则，取z=1得B点到平面PCD的距离…．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）设出弦AB中点M，求出直线L，利用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程利用韦达定理，以及定点P（1，1）分弦AB为，求出A 的坐标，代入圆的方程，求出m，即可求l方程．【解答】解：（1）圆心C（0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=，∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（2）设中点M（x，y），因为L：m（x﹣1）﹣（y﹣1）=0恒过定点P（1，1）斜率存在时则，又，k AB•K MC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0，即：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆；斜率不存在时，也满足题意，所以：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，∴，①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1，1﹣y1），即：2x1+x2=3②联立①②解得，则，即A（）将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，∴直线方程为x﹣y=0和x+y﹣2=022．点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第（II）问中Q的轨迹于不同两点E，F，=λ，判断λ的取值范围并证明．【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求出Q的轨迹方程，令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，利用直线与圆的位置关系，即可求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值；（Ⅲ）设过A的直线方程为x=ty﹣2（一定存在），与Q的轨迹方程联立，消去x 得（1+t2）y2﹣（8t+4）y+16=0，利用韦达定理，结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（I）设点P（x，y），由题意可得|PA|=2|PB|，即=2．化简可得（x﹣2）2+y2=4．（II）设Q（x0，y0），由题可得x=4﹣x0，y=2﹣y0代入上式消去可得（x0﹣2）2+（y0﹣2）2=4，即Q的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，即x2+y2+4=4x+4y．令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，d=≤2，所以13≤z≤53．因此|QA|2+|QC|2的最大值为53，最小值为13．（III）λ的取值范围是（1，]．证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）且y1＜y2．因为=λ，所以，且λ＞1．设过A的直线方程为x=ty﹣2（一定存在），与Q的轨迹方程联立，消去x得（1+t2）y2﹣（8t+4）y+16=0．△＞0，解得t＞．而y1+y2=，y1y2=， +2=，因此+2=4+=4+≤5，当且仅当t=2时等号成立．所以﹣3≤0（k＞1），解得1＜λ≤．2018年1月15日。

2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（）
A．x=1 B．x=﹣C．y=﹣1 D．y=﹣
2．（5分）“a=3”是“直线y=x+4与圆（x﹣a）2+（y﹣3）2=8相切”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）
A．相离B．相交C．外切D．内切
5．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y轴的距离为（）
A．B．1 C．D．
6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）
A．B．
C．D．
7．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．。

四川省成都市第七中学高2020届高二上学期入学考试数学试卷（文科）考试时间:120分钟满分:150分一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）1.sin 390°的值为( )A. B. C. － D. －【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求值.【详解】.故答案为：A.【点睛】(1)本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.2.直线在轴上的截距是( )A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】C【解析】【分析】令y=0得到x=-2即得解.【详解】令y=0得到x=-2,故答案为：C.【点睛】(1)本题主要考查直线的截距的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)注意横截距指的是直线与x轴交点的横坐标，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是坐标的绝对值,所以本题不要错选A.3.点关于直线的对称点的坐标是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），利用垂直及中点在轴上这两个条件求出m、n的值，可得结论．【详解】设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），则由题意可得故答案为：B．【点睛】（1）本题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求点关于直线l:对称的点的坐标，可以根据直线l垂直平分得到方程组，解方程组即得对称点的坐标.4.已知数列的首项，且，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用递推公式递推得解.【详解】由题得故答案为：C【点睛】本题主要考查递推公式的运用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.5.下列说法中正确的是( )A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台【答案】D【解析】【分析】利用几何体的概念对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A, 斜棱柱的每个侧面是平行四边形,但是全部展开以后,那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形.所以是假命题.对于选项B, 水平放置的正方形的直观图是平行四边形，不可能是梯形，所以是假命题.对于选项C, 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱不一定是长方体，因为底面可能不是矩形，所以是假命题.对于选项D, 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台,是真命题.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查空间几何体的概念，考查三视图和直观图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于空间几何体的概念的判断，一定要准确理解几何体的内涵和外延，不能凭想象解答,要严格推理.6.【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.7.两个公比均不为的等比数列，其前．项的乘积．．．．分别为，若，则( )A. 512B. 32C. 8D. 2【答案】A【解析】【分析】直接利用等比数列的性质化简,再代入即得解.【详解】由题得.故答案为：A.【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织尺，经过一个月（按天计）后，共织布九匹三丈．问从第天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：匹丈，丈尺）那么此问题的答案为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】D【解析】【分析】设每天多织布d尺，利用等差数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设每天多织布d尺，由题意得：30×5+=390，解得d=．∴每天多织布尺．故答案为：D．【点睛】(1)本题主要考查等比数列求和公式的运用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式9.函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A. 向右平移长度单位B. 向左平移长度单位C. 向左平移长度单位D. 向右平移长度单位【答案】D【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再得到变换方式.【详解】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象可得A=1，再根据=×=，求得ω=2，最小正周期T=π．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．=,所以应该向右右平移长度单位.故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数图像的变换，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求三角函数的解析式，常用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式，再求待定系数，最值确定函数的,周期确定函数的,非平衡位置的点确定函数的.10.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的( )A. 北偏东15°B. 北偏西15°C. 北偏东10°D. 北偏西10°【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故答案为：B.【点睛】本题主要考查方位角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.已知等差数列中，若是方程的两根，单调递减数列通项公式为．则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和单调性，结合根与系数之间的关系进行求解即可．【详解】由是的两根，∴．（或两根为）∵等差，∴，∴．∵递减，∴对恒成立，，∴对恒成立．∵，∴．∴故答案为：B.【点睛】（1）本题主要考查一元二次方程的韦达定理，考查等差数列的性质，考查数列的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)数列单调递增,数列单调递减.（3）处理参数的问题常用到分离参数法,本题就用到了分离参数对恒成立.12.△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.且sin B＋sin C＝1，则△ABC是( )A. 等腰钝角三角形B. 等腰直角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理余弦定理化简2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C得A＝120°,再利用三角恒等变换化简sin B ＋sin C＝1得B＝30°，C＝30°，即得解.【详解】由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，A＝120°.∴B＋C＝60°，则C＝60°－B，∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋cos B－sin B＝sin B＋cos B＝sin(B＋60°)＝1，∴B＝30°，C＝30°.∴△ABC是等腰的钝角三角形．故答案为：A.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角恒等变换化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解三角形时，通常利用正弦定理余弦定理角化边或边化角.二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．）13.已知，则的最大值为___________．【答案】4【解析】【分析】设x=,即得x+y=,再利用辅助角公式化简即得最大值.【详解】因为，所以设x=，所以x+y=，所以x+y的最大值为4.故答案为：4.【点睛】(1)本题主要考查三角换元和三角恒等变换，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是三角换元，设x=,大大提高了解题效率.14.已知，则_________．【答案】【解析】【分析】先利用诱导公式化简，【详解】由题得原式=故答案为：.【点睛】（1）本题主要考查三角诱导公式和三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解题的关键是的分子分母同时除以得到.15.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为．【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，由于点C1在底面的射影为C，那么可知得到线面角为CAC1,然后借助于已知的边长和三角函数定义可知则直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值为，故可知角的大小为。

四川省成都市第七中学高2020届高二上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．） 1．化简 15 45 75 45cos cos cos sin ︒︒︒︒－的值为( )A ．12 B ．2 C ． 12- D ．2-【答案】A【解析】 15 45 75 45cos cos cos sin ︒︒︒︒－15 45 15 45cos cos sin sin ︒︒︒︒=－1602cos ==o ，故选A ． 【考点】余弦和差公式 【难度】★★★ 2．直线123x y-=-在x 轴上的截距是( ) A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-【答案】C【解析】令0y =得到2x =-，故选C ． 【考点】直线的截距 【难度】★★★3．点()25P ，关于直线1x y +=的对称点的坐标是( ) A ．()52--，B ．()41--，C ．()63--，D ．()42--， 【答案】B【解析】设点()25P ，关于直线1x y +=的对称点Q 的坐标为m n （，）， 则由题意可得()511225122n m m n -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，41m n ∴=-=-，，故选B ．【考点】点关于直线对称的点的求法 【难度】★★★4．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11n n n a na ++=，则5a = ( )A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C【解析】由题得()11n nn a an++=，()211141a a+==，()322162a a+==，()433183a a+==，()5441104a a+==，故选C ．【考点】递推公式 【难度】★★★5．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 【答案】D【解析】对于选项A ，斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后，那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形.所以是假命题．对于选项B ，水平放置的正方形的直观图是平行四边形，不可能是梯形，所以是假命题．对于选项C ，一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱不一定是长方体，因为底面可能不是矩形，所以是假命题．对于选项D ，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，是真命题．故选D【考点】空间几何体的概念+三视图和直观图 【难度】★★★★6．两个公比均不为1的等比数列{}n a ，{}n b ，其前n 项的乘积分别为n A ,n B ，若552a b =，则99A B = ( ) A ．512 B ．32 C ．8 D ．2【答案】A【解析】由题得()()()()()()919285599129991291928552512a a a a a a A a a a B b b b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．故选A ． 【考点】等比数列的性质 【难度】★★★★7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( )A ．12尺 B ．815尺 C ．1631尺 D ．1629尺 【答案】D【解析】设每天多织布d 尺，由题意得：30293053902d ⨯⨯+=， 解得1629d =．∴每天多织布1629尺．故选D ． 【考点】等比数列求和公式 【难度】★★★★8．函数()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭（）的部分图象如图所示，要得到函()24g x sin x π=+（）的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ． 向右平移12π长度单位B ． 向左平移24π长度单位C ． 向左平移12π长度单位D ． 向右平移24π长度单位【答案】D【解析】由函数()f x Asin x ωϕ=+（）的部分图象可得1A =，再根据127==44123T πππω⨯-，求得2ω=，最小正周期T π=．再根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=∴函数()23f x sinx π=+（）．()224243g x sinx sin x πππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（）=（）+，所以应该向右右平移24π长度单位．故选D ．【考点】角函数解析式的求法+三角函数图像的变换 【难度】★★★★9．若点A 在点C 的北偏东30︒，点B 在点C 的南偏东60︒，且AC BC ＝，则A 在点B 的( )A ． 北偏东15︒B ． 北偏西15︒C ．北偏东10︒D ． 北偏西10︒ 【答案】B【解析】由90ACB ∠=︒，又AC BC ＝，∴45CBA ∠=︒，而30β=︒，∴90453015α=︒-︒-︒=︒．∴点A 在点B 的北偏西15︒．故选B ．【考点】方位角的计算 【难度】★★★★10．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知：PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有：PAD ∆，PCD ∆，PAB ∆共三个，故选C ．【考点】三视图 【难度】★★★★11．已知等差数列{}n a 中，若3a ，11a 是方程220x x --=的两根，单调递减数列{}()n b n N *∈通项公式为27n b n a n λ=+⋅．则实数λ的取值范围是()A ．(),3-∞-B ． 1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ． 1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ． ()3,-+∞ 【答案】B【解析】由3a ，11a 是220x x --=的两根，∴3111a a +=．（或两根为3112,11a a -⇒+=）∵{}n a 等差，∴31177122a a a a +=⇒=，∴212n b n n λ=+． ∵{}n b 递减，∴10n n b b +-<对恒成立，()()221111022n n n n λλ⎛⎫⇒+++-+<⎪⎝⎭ ()12102n λ⇒++<，∴142n λ<-+对恒成立．∵min11426n ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，∴16λ<-．故选B ． 【考点】韦达定理+等差数列的性质+数列的单调性+等式的恒成立问题 【难度】★★★★★12．在锐角ABC ∆中，A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c , 且cos cos b A a a B =+，则11tan tan A B-的取值范围为( ) A ．233⎛ ⎝ B ．22,63 C ．(3 D ．()1,+∞【答案】A【解析】由cos cos b A a a B =+化边为角整理可得：()sin sin B A A -=，由此 2B A =．结合在锐角ABC ∆中，有32B ππ<<，由11123tan tan sin A B B ⎛-=∈ ⎝⎭． 故选A ．【考点】正余弦定理 【难度】★★★★★二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．） 13.已知228x y +=，则x y +的最大值为___________． 【答案】4【解析】因为228x y +=，所以设22sin ,22cos x y αα==， 所以，()22sin cos 4sin ,4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭所以x y +y 的最大值为4. 故答案为：4.【考点】三角换元+三角恒等变换 【难度】★★★14.在长方体1111ABCD A B C D -中，1345AB AD AA ===，，，则直线1AC 与平面ABCD所成角的大小为__________ 【答案】45o 【解析】试题分析：根据题意，由于长方体1111ABCD A B C D -中， 1345AB AD AA ===，，，由于点1C 在底面的射影为C ，那么可知得到线面角为1CAC ,然后借助于已知的边长和三角函数定义可知则直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，故可知角的大小为45o 。

2018-2019学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不在曲线x 2−xy +2y +1=0上的点的坐标是( )A. (1,−2)B. (2,−3)C. (3,10)D. (0,−12) 2. 抛物线y 2=12x 的焦点为( )A. (6,0)B. (0,6)C. (3,0)D. (0,3) 3. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是( )A. y =±34xB. y =±43xC. y =±169xD. y =±916x 4. 直线2x +y =2在y 轴上的截距为( )A. 2B. 1C. −2D. −15. 直线3x −4y +12=0与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. 12B. 6C. 3D. 26. 若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤1y ≥−1，则2x +y 的最小值为( )A. −3B. 0C. 32D. 3 7. 设P 为双曲线y 2−x 23=1上任一点，F(0,−2)，则以FP 为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆( ) A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含 8. 已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆焦点，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆离心率的范围是( )A. (0,13]B. [13,1)C. (0,12]D. [12,1) 9. 点M(x,y)满足关系式√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=6，则点M 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段10. 圆C ：x 2+y 2−x +2y =0关于直线l ：x +y +1=0对称的圆的方程为( )A. x 2+y 2+4x −3y +4=0B. x 2+y 2−2x +y =0C. x 2+y 2+3y +1=0D. x 2+y 2+2x −y =011.设点A(−5,0)，B(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当k=−1时，点M的轨迹方程为；x2+y2=25；②当k=49时，点M的轨迹方程为x225−9y2100=1(x≠±5)；③当k=0时，点M的轨迹方程为y=0．其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 312.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M作圆O的两条切线，切点为A，B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的范围是()A. −1≤a≤1B. a≤−1或a≥1C. −12<a≤12D. a≤−12或a≥12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线25x2−16y2=400的实轴长为______．14.F1，F2为椭圆x25+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则△F1PF2的面积最大值为______．15.已知x，y满足约束条件{2x+y−2≥0x−y+4≥03x−y−3≤0，则z=x2+y2的最小值为______．16.点M为椭圆x29+y25=1上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的重心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，并且与x轴的交点分别为A(−2,0)，B(6,0)．(1)求圆C的方程；(2)若直线l过原点且垂直直线3x+2y=0，直线l交圆C于M，N，求△MCN的面积．18.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√2x，焦距为2√3.过点M(2,1)作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．(1)求双曲线E的方程；(2)求直线l的方程．19.从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E．(1)求曲线E的方程；(2)若直线y=x−4与曲线E相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．20.某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？21.已知圆P过A(5,−2),B(0,3),C(4,1)．(1)求圆P的方程；(2)若过点M(−3,−3)的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程．22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A，B，P(1,0)，直线AP，BP分别交椭圆于C，D，且直线AD，BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在．(1)求椭圆方程；(2)求证：k AD⋅k BD=−49；(3)求证：点M在定直线上．答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线x 2−xy +2y +1=0，(1,−2)代入方程，可得1+2−4+1=0，所以(1,−2)在曲线x 2−xy +2y +1=0上，(2,−3)代入方程，可得4+6−6+1≠0，所以(2,−3)不在曲线x 2−xy +2y +1=0上， (3,10)代入方程，可得9−30+20+1=0，所以(3,10)在曲线x 2−xy +2y +1=0上， (0,−12)代入方程，可得−1+1=0，所以(0,−12)在曲线x 2−xy +2y +1=0上， 故选：B ．利用点的坐标代入方程，验证即可．本题考查切线与方程的应用，是基本知识的考查．2.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=12x 的焦点在x 轴上，且p =6，∴p 2=3，∴抛物线y 2=12x 的焦点坐标为(3,0)．故选：C确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是x 29−y 216= 0，即y =±43x ， 故选：B ．把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．【解析】解：由直线2x+y=2，令x=0，可得y=2，∴直线2x+y=2在y轴上的截距为2．故选：A．利用截距的定义即可得出．本题考查了截距的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：直线3x−4y+12=0与坐标轴的交点分别为(−4,0)，(0,3)．×4×3=6，∴直线3x−4y+12=0与坐标轴围成的三角形的面积=12故选：B．求出直线3x−4y+12=0与坐标轴的交点，即可得出直线3x−4y+12=0与坐标轴围成的三角形的面积．本题考查了直线与坐标轴的交点、三角形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,−1)，令z=2x+y，化为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故选：D．由约束条件作出可行域，令z=2x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．【解析】解：P为双曲线y2−x23=1上任一点，F(0,−2)，则以FP为直径的圆，以双曲线实轴长为直径的圆如图：由双曲线的定义可知：||PF2|−|PF||=2a，Q与O分别为两个圆的圆心，也是所在线段的中点，所以|QO|=12|PF|+a，所以两个圆的位置关系是外切．故选：A．画出图形，利用双曲线的定义，转化求解判断即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力数形结合的应用．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=32a≤a+c，∴e≥12．∴椭圆离心率的范围是[12,1)故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：点M(x,y)，等式√x2+(y+3)2+√x2+(y−3)2=6的几何意义为动点M到两定点A(0,−3)，B(0,3)的距离和为6，直接由√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=6的几何意义，即动点M 到两定点A(0,−3)，B(0,3)的距离和为6得点M 的轨迹．本题考查轨迹方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆关于直线对称的圆的方程，求出圆心的对称点即可得【解答】解：圆C 方程标准化为(x −12)2+(y +1)2=54，得圆心C(12,−1)，根据特殊对称，得C 关于l 的对称点C′(0,−32)从而得圆C′的方程为x 2+(y +32)2=54整理得x 2+y 2+3y +1=0．故选C ． 11.【答案】B【解析】解：设M(x,y)，k =y x+5⋅y x−5，①当k =−1时，即有x 2+y 2=25点M 的轨迹方程为；x 2+y 2=25(x ≠±5)，故①错误；②当k =49时，即有x 225−9y 2100=1， 点M 的轨迹方程为x 225−9y 2100=1(x ≠±5)，故②正确；③当k =0时，即有y =0，点M 的轨迹方程为y =0(x ≠±5)，故③错误．故选：B ．本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O(0,0)，半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A，B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=√2，则M的轨迹为以O为圆心，√2为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=√1+a2≤√2，解可得：a≤−1或a≥1．故选：B．首先将原问题转化为直线与圆的位置关系的问题，然后由题意得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围．本题主要考查直线与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于基础题．13.【答案】8【解析】解：双曲线25x2−16y2=400的标准方程为：x216−y225=1，可得a=4，所以双曲线的实轴长为8．故答案为：8．利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】2【解析】解：F1，F2为椭圆x25+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则△F1PF2的面积取得最大值时，P在短轴的端点，所以三角形的面积的最大值为：12×2c⋅b=12×2×2=2．本题考查了椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】2√55【解析】解：画出满足条件{2x +y −2≥0x −y +4≥03x −y −3≤0的平面区域，如图所示： ， 而z =x 2+y 2的几何意义表示平面区域内的点到原点的最小值，显然(0,0)到直线2x +y −2=0的距离是最小值，由d =√4+1=2√55，得最小值是2√55， 故答案为：2√55． 画出满足条件的平面区域，结合z =x 2+y 2的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．16.【答案】x29+9y 25=1【解析】解：由椭圆的方程可得a 2=9，b 2=5，所以可得c 2=a 2−b 2=4，解得c =2，所以可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)，设△F 1MF 2的重心G(x,y)，M(x 0,y 0)，则{x =−2+2+x03y =0+0+y 03，可得{x 0=3x y 0=3y ，而M 在椭圆上，所以(3x)29+(3y)25=1，即△F 1MF 2的重心的轨迹方程为：x 29+9y 25=1； 故答案为：x 29+9y 25=1．由椭圆的方程可得左右焦点F 1，F 2的坐标，设三角形的重心G 及M 的坐标，由重心的定义可得M ，G 的坐标的关系，将M 的坐标代入椭圆的方程可得重心G 的轨迹方程． 本题考查椭圆的性质及相关点法求点的轨迹方程，属于中档题．17.【答案】解：(1)设圆C 的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，AB 中垂线方程：x =2，则{3a +2b =0a =2， ∴{a =2b =−3，r =|AC|=√(2+2)2+(−3−0)2=5， ∴圆C 的方程为(x −2)2+(y +3)2=25；(2)l ：2x −3y =0由{2x −3y =0(x −2)2+(y +3)2=25得13x 2−108=0， ∴x 1+x 2=0，x 1x 2=−10813， |MN|=√1+49√4×10813=4√3，圆心C 到直线l 的距离d =4+9=√13， S △MCN =12|MN|d =12×4√3×√13=2√39．【解析】(1)先求圆心坐标，即两直线3x +2y =0，AB 中垂线x =2的交点坐标，再求半径r =|AC|，得圆的标准程；(2)求弦长|MN|，圆心C 到直线l 的距离d ，利用三角形面积公式可得结果．本题主要考查圆的方程求法，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，熟练掌握方程和公式是关键．18.【答案】解：(1)∵双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±√2x ，焦距为2√3． ∴{b a =√22c =2√3c 2=a 2+b 2，解得a =1，b =√2，∴双曲线E 的方程为x 2+y 22=1．(2)∵过点M(2,1)作直线l 交双曲线E 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4y 1+y 2=2， 把A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入双曲线方程，得：{x 12−y 122=1x 22−y 222=1， 二式相减，得：2(x 12−x 22)−(y 12−y 22)=0，即4(x 1−x 2)=2(y 1−y 2)=0，∴直线l 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=2， ∴直线l 的方程为y −1=2(x −2)，即2x −y −3=0．【解析】(1)由双曲线的渐近线方程为y =±√2x ，焦距为2√3，列方程组，求出a =1，b =√2，由此能求出双曲线E 的方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4y 1+y 2=2，把A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入双曲线方程，利用点差法能求出直线l 的方程．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查双曲线、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设点E 的坐标(x,y)，则过E 作与x 轴的垂线与抛物线的交点的坐标为(x,2y)，将点(x,2y)代入抛物线的方程可得：4y 2=16x所以点E 的轨迹方程为：y 2=4x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =x −4y 2=4x消x 可得：y 2−4y −16=0， 可得y 1y 2=−16，所以可得x 1x 2=(y 1y 2)24×4=16，所以可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=16−16=0， 所以：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即证得OA ⊥OB ．【解析】(1)设E 的坐标，由题意可得抛物线的点的坐标，代入抛物线的方程可得E 的轨迹方程；(2)设A ，B 的坐标直线与抛物线联立求出两根之积，求出数量积OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为0，可得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得证得的结论． 本题考查相关点法求点的轨迹方程及直线与抛物线的综合，用数量积为0证明直线的相互垂直，属于中档题．20.【答案】解：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：{ 4x +y ≤1018x +15y ≤66x ≥0y ≥0x,y ∈Z；(6分) 再设分别生产甲、乙两种肥料各x 、y 车皮产生的利润为z =10000x +5000y =5000(2x +y)，由{4x +y =1018x +15y =66得两直线的交点M(2,2).(10分) 令t =2x +y ，当直线L ：y =−2x +t 经过点M(2,2)时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时z =30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30000元．(13分)．【解析】先设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可．利用线性规划知识解决的应用题．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．21.【答案】解：(1)设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{25+4+5D −2E +F =09+3E +F =016+1+4D +E +F =0，解得{D =0E =4F =−21，∴圆P 的方程为：x 2+y 2+4y −21=0；(2)圆P 的标准方程为：x 2+(y +2)2=25，圆心P(0,−2)，半径r =5，设直线l ：y +3=k(x +3)，即kx −y +3k −3=0，圆心P 到直线l 的距离d =|3k−1|√1+k 2，∵d =√52−42=3，∴k =−43，l ：y +3=−43(x +3)，即4x +3y +21=0；当直线l 斜率不存在时，即x =−3，圆心P 到直线l 的距离为3，弦长为2√52−32=8，满足题意．综上可知，直线l 的方程为：4x +3y +21=0或x =−3．【解析】本题考查圆的方程求法，方法是待定系数法；考查了半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用．本题需注意斜率不存在的情况．(1)设圆的一般方程，把三点坐标代入得方程组，解之可得；(2)斜率存在时，利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形可得，斜率不存在也满足题意．22.【答案】(1)解：因为椭圆的短轴长为4，则2b =4，所以b =2，又椭圆的离心率为√53，则e =c a =√1−4a 2=√53，解得a 2=9，所以椭圆的方程为x 29+y 24=1；(2)证明：设A(x 0,y 0)，D(x 1,y 1)，则B(−x 0,−y 0)，所以{x 029+y 024=1①x 129+y 124=1②， 由①−②可得，(x 0−x 1)(x 0+x 1)9+(y 0−y)(y 0+y 1)4=0， 即(x 0−x 1)(x 0+x 1)9=−(y 0−y 1)(y 0+y 1)4， 所以−49=(y 0−y 1)(y 0+y 1)(x 0−x 1)(x 0+x 1)， 故k AD ⋅k BD =−49；(3)证明：由(2)可知，k AD ⋅k BD =−49，设A(3cosθ,2sinθ)，则B(−3cosθ,−2sinθ)，又k BD =k BP =2sinθ1+3cosθ，所以k AD =−2(1+3cosθ)9sinθ，则直线AD 的方程为y −2sinθ=−2(1+3cosθ)9sinθ(x −3cosθ)③，同理可得k BC⋅k AC=−4，9，又k AC=k AP=2sinθ3cosθ−1，故k BC=−2(3cosθ−1)9sinθ(x+3cosθ)④，所以直线BC的方程为y+2sinθ=−2(3cosθ−1)9sinθ[(1+3cosθ)(x−3cosθ)−(3cosθ−1)(x+3cosθ)]，由③−④可得，−4sinθ=−29sinθ化简可得x=9，又直线AD，BC交于点M，故段M在定直线x=9上．【解析】(1)利用短轴长求出b，由离心率求出a，即可得到椭圆的方程；(2)设A(x0,y0)，D(x1,y1)，则B(−x0,−y0)，利用“点差法”两点间斜率公式化简即可得到证明结论；(3)设A(3cosθ,2sinθ)，则B(−3cosθ,−2sinθ)，分别求出直线AD和直线BC的方程，联立方程组，求解得到x=9，即可证明结论．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分 别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、 选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、 解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。