6.4 线段的和差

第6章　图形的初步知识6.4　线段的和差基础过关全练知识点1　线段的和、差、倍、分1.如图,点A、B、C在同一直线上,下列关系式与图形不符合的是( )A.AB+BC=ACB.AC-AB=BCC.AC-BC=ABD.AB=AC+BC2.如图,点C,B在线段AD上,且AB=CD,则AC与BD的大小关系是( )A.AC>BDB.AC=BDC.AC<BDD.不能确定知识点2　画线段的和差3.如图,已知线段a、b,画一条线段c,使它的长度等于已知线段的长度的和.4.已知线段a、b(如图),画出线段AB,使AB=3a-b,并写出画法.知识点3　线段的中点5.点O为AB的中点,若OA=5 cm,则AB的长为( )A.2.5 cmB.5 cmC.10 cmD.20 cm6.如图,CB=4 cm,DB=7 cm,点D为AC的中点,则AB的长为( )A.7 cmB.8 cmC.9 cmD.10 cm7.如图,已知线段AB=10 cm,点N在AB上,NB=2 cm,M是AB的中点,求线段MN的长.能力提升全练8.如图,线段AB=DE,点C为线段AE的中点,下列式子中不正确的是( )A.BC=CDB.CD=AC-ABC.CD=AD-CED.CD=DE9.(2022浙江新昌期末)已知,点C是线段AB的中点,点D是线段BC 的中点,且AB=12,则线段AD的长为( )A.3B.6C.9D.1210.如图,点C、B是线段AD上的两点,若AB=CD,BC=2AC,则AC与CD 的关系是 .11.如图,点M、N都在线段AB上,且M分AB为2∶3的两部分,N分AB为3∶4的两部分,若MN=2 cm,求AB的长.12.(2020浙江杭州期末)如图,某建筑物的立柱AB=6 m,底座BD与中段CD的比为2∶3,中段CD是上沿AC的3倍.求AC,CD,BD的长.素养探究全练13.[数学运算]如图,已知点O在线段AB上,点C、D分别是AO、BO 的中点.(1)AO= CO,BO= DO;(2)若CO=3 cm,DO=2 cm,求线段AB的长度;(3)若线段AB=10 cm,小明很轻松地求得CD=5 cm.他在反思过程中突发奇想:若点O在线段AB的延长线上,原有的结论“CD=5 cm”是不是仍然成立呢?请帮小明画出图形分析,并说明理由.14.[数学建模]如图,O为原点,A是数轴上表示-30的点,B是数轴上表示10的点,C是数轴上表示18的点,点A、B、C在数轴上同时向数轴的正方向移动,点A移动的速度是6个单位长度/秒,点B和点C移动的速度都是3个单位长度/秒.设三个点移动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AC=6?(2)当t≠5时,设线段OA的中点为P,线段OB的中点为M,线段OC的中点为N,求2PM-PN=2时,t的值.答案全解全析基础过关全练1.D　AB=AC-BC.2.B　∵AB=CD,∴AB-BC=CD-BC,∴AC=BD.3.解析　如图,线段AC=c.4.解析　①画射线AM,并在射线AM上顺次截取AC=CD=DE=a;②在线段EA上截取EB=b,则线段AB就是要画的线段(如图).5.C　∵点O为AB的中点,OA=5 cm,∴AB=2OA=10 cm.6.D　∵CB=4 cm,DB=7 cm,∴DC=BD-BC=3 cm.∵点D为AC的中点,∴AD=DC=3 cm,∴AB=AD+DB=10 cm.7.解析　∵M是AB的中点,AB=10 cm,AB=5 cm.∴AM=BM=12∵NB=2 cm,MN+BN=BM,∴MN=BM-BN=5-2=3(cm).能力提升全练8.D　∵点C为线段AE的中点,∴AC=CE,∵AB=DE,∴AC-AB=CE-DE, ∴BC=CD,∴A中的式子正确;∵CD=BC,BC=AC-AB,∴CD=AC-AB,∴B 中的式子正确;∵CD=AD-AC, AC=CE,∴CD=AD-CE,∴C 中的式子正确;由已知不能得出CD=DE,∴D 中的式子错误.故选D.9.C 根据题意画图如下:∵点C 是线段AB 的中点,AB=12,∴AC=CB=12AB=6.∵点D 是线段BC 的中点,∴CD=12BC=3.∴AD=AC+CD=6+3=9.10.CD=3AC解析　∵AB=CD,∴AC+BC=BC+BD,即AC=BD.又∵BC=2AC,∴BC=2BD,∴CD=3BD=3AC.11.解析　设AB=x cm,∴AM=25x cm,AN=37x cm,∴MN=AN-AM,∴37x-25x=2,解得x=70,∴AB=70 cm.12.解析　∵底座BD 与中段CD 的比为2∶3,中段CD 是上沿AC 的3倍,∴BD ∶CD ∶AC=2∶3∶1,∵AB=6 m,∴AC=6×12+3+1=1(m),CD=6×32+3+1=3(m),BD=6×22+3+1=2(m).素养探究全练13.解析　(1)∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,∴AO=2CO,BO=2DO.故答案为2;2.(2)∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,CO=3 cm,DO=2 cm,∴AO=2CO=6 cm,BO=2DO=4 cm,∴AB=AO+BO=6+4=10(cm).(3)仍然成立.理由如下:如图:∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,∴CO=12AO,DO=12BO,∴CD=CO-DO=12AO-12BO=12(AO-BO)=12AB=12×10=5(cm).14.解析　(1)A 、B 、C 三点在数轴上同时向正方向移动.当点A 在点C 的左侧时,因为线段AC=6,所以6+6t=30+18+3t,解得t=14;当点A 在点C 的右侧时,因为AC=6,所以6t-6=30+18+3t,解得t=18.综上,当t=14或18时,AC=6.(2)当A 、B 、C 三个点在数轴上同时向数轴的正方向移动t 秒时,A 、B 、C 三个点在数轴上表示的数分别为6t-30、10+3t 、18+3t,所以OA=|6t-30|,OB=10+3t,OC=18+3t.因为P 、M 、N 分别是OA 、OB 、OC 的中点,所以OP=|6t -30|2,OM=10+3t 2,ON=18+3t 2,所以MN=ON-OM=4.当P 在点M 的左侧时,由2PM-PN=2,得PM=2+(PN-PM)=2+MN=6.①当t<5时,PM=OP+OM=|6t -30|2+10+3t 2=30-6t 2+10+3t 2=20-3t 2=6,解得t=283.因为283>5,所以当t<5时,不存在满足条件2PM-PN=2的t 值;②当t>5时,PM=OM-OP=10+3t 2-|6t -30|2=10+3t 2-6t -302=-3t +402=6,解得t=283.当P 在M 、N 之间时,2PM-PN=2(OP-OM)-(ON-OP)=3OP-2OM- ON=9t-45-10-3t-18+3t 2=9t 2-64=2,解得t=443.当P 在点N 的右侧时,由2PM-PN=2,得PM=2+(PN-PM)=2-(PM-PN)=2- MN=2-4=-2.因为线段PM 的长不能为负数,所以P 在点N 的右侧时,不存在满足条件2PM-PN=2的t 值.综上,当t=283或443时,2PM-PN=2.。

、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。

（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

专题6.4 线段的和差模块一：知识清单1.线段的和与差：如下图，有AB +BC ＝AC ，或AC ＝a +b ；AD ＝AB -BD .2.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 如下图，有：12AM MB AB ==.①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M ,N ,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA模块二：同步培优题库全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）已知点M 在线段AB 上，在①AB ＝2AM ；②BM ＝12AB ；③AM ＝BM ；④AM +BM ＝AB 四个式子中，能说明M 是线段AB 的中点的式子有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据线段中点的定义，借助图形逐一判断即可． 【详解】解：如图：∵AB =2AM ，∴点M 是线段AB 的中点， ∵BM =12AB ，∴点M 是线段AB 的中点， ∵AM =BM ，∴点M 是线段AB 的中点， 故①②③都能说明点M 是线段AB 的中点，根据：④AM +BM =AB ，不能判断点M 是线段AB 的中点，故选：C ．【点睛】本题考查了线段中点的定义，借助图形分析是解题的关键．2．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，已知线段AB＝4 cm，延长AB至点C，使AC＝11 cm．点D 是AB的中点，点E是AC的中点，则DE的长为（）A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm【答案】B【分析】根据线段中点得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，结合图形即可得出结果．【详解】解：∵AB＝4 cm，点D是AB的中点，∴AD＝12AB＝2cm．∵AC＝11cm，点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝5.5 cm．∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm故选：B．【点睛】题目主要考查线段中点的计算，找准线段间的数量关系是解题关键．3．（2022·浙江·七年级期末）如图，已知A B C D E、、、、五点在同一直线上，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，若线段12AC=，则线段DE等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】首先根据D点是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，可得AD=BD，BE=CE；然后根据线段AC=12，可得BD+CD=12，据此求出CE+CD=6，即可判断出线段DE等于6．【详解】解：∵D点是线段AB的中点，∴AD=BD，∵点E是线段BC的中点，∴BE=CE，∵AC=12，∴AD+CD=12，∴BD+CD=12，又∵BD=2CE+CD，∴2CE+CD+CD=12，即2（CE+CD）=12，∴CE+CD=6，即线段DE等于6．故选：A．【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确线段的中点的性质，并能推得AD=BD，BE=CE．4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（）A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm【答案】C【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出AN、AM的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．【详解】解：如图，∵16AC=cm，又∵AC 的中点为N ，∴8cm AN =， ∵10AB =cm ，∵AB 的中点为M ，∴5cm AM =，∴853cm MN AN AM =-=-=．故选：C【点睛】本题考查中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题． 5．（2022·浙江·七年级期中）如图，点M 为线段AB 的中点，C 为线段MB 上的任意一点（不与点M ，B 重合）．在同一直线上有一点N ，若1223CN AC <<，则（ ）A ．点N 不能在射线AP 上B ．点N 不能在线段AM 上C ．点N 不能在线段MB 上D ．点N 不能在射线BQ 上【答案】A【分析】当N 在C 点的左侧时，根据题意，可知CN AC <，结合图排除B ， 当N 在C 点的右侧时，当C 点接近M 点时，111222AC AM MB <=,可排除C ；当C 点接近B 点时，1122AC AB MB <=，则可排除D ． 【详解】213CN AC <<，CN AC ∴<， ①当N 在C 点的左侧时，结合图则，点N 不能在射线AP 上，故A 符合题意； N ∴在线段AM 上，故B 错误；②当N 在C 点的右侧时，当C 点接近M 点时，111222AC AM MB <=,此时点N 在线段MB 上；故C 错误；当C 点接近B 点时，1122AC AB MB <=，此时点N 在射线BQ 上，故D 错误故选A ． 【点睛】本题考查了线段的和差关系，比例关系，根据C 是动点，分情况讨论是解题的关键． 6．（2022·河北唐山·七年级期末）如图所示，长为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 将线段MB 分为MC 和CB ，且:1:3MC MB =，则线段AC 的长为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C【分析】根据中点的定义，可求出AM 和BM 的长度，根据MC 和MB 的比例关系，可求出MC 的长度，最后用AM 加上CM 即可求出AC 的长．【详解】∵点M 为AB 中点，∴AM =BM =12AB =6cm ， ∵:1:3MC MB =，∴13MC MB ==2cm ，∴AC =AM +MC =8cm ；故选：C【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键．7．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D 为线段AB 的中点，点C 为DB 的中点，若16AB =，13DE AE =，则线段EC 的长（ ）A ．7B ．203C ．6D ．5【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵点D 为线段AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝12AB ＝12×16＝8，∵AD ＝AE ＋DE ，DE ＝13AE ，∴AE ＋13AE ＝8，∴AE ＝6，DE ＝2，∵点C 为DB 的中点，∴CD ＝12BD ＝12×8＝4， ∴CE ＝DE ＋CD ＝2＋4＝6，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．8．（2022·浙江·）定义：当点C 在线段AB 上，AC nAB =时，我们称n 为点C 在线段AB 上的点值，记作A C B d n =※．甲同学猜想：点C 在线段AB 上，若2AC BC =，则23C AB d =※．乙同学猜想：点C 是线段AB 的三等分点，则13C AB d =※ 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ） A ．甲正确，乙不正确 B ．甲不正确，乙正确 C ．两人都正确D ．两人都不正确【答案】A【分析】本题根据题目所给A C B d n =※的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．【详解】解：甲同学：点C 在线段AB 上，且2AC BC =， ∴23AC AB =，∴23C AB d =※，∴甲同学正确．乙同学：点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的三等分点，∴有两种情况， ①当13AC AB =时，13C AB d =※，②当23AC AB =时，23C AB d =※，∴乙同学错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可． 9．（2022·绍兴市柯桥区七年级开学考试）如图，线段 CD 在线段 AB 上，且 CD =1，若线段AB 的长度是一个正整数，则图中以A ，B ，C ，D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC +CD +DB +AD +CB +AB ，然后根据CD =1，线段AB 的长度是一个正整数，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，图中以A ，B ，C ，D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是： AC +CD +DB +AD +CB +AB =(AC +CD +DB )+(AD +CB )+AB =AB +AB +CD +AB =3AB +CD ，∵CD =1，线段AB 的长度是一个正整数，AB ＞CD ，∴长度之和减1是3的倍数，而只有4-1=3是3的倍数，故选A ．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差，解题的关键是数形结合，找出所求问题需要的条件． 10．（2022•松江区期末）如图，已知点C 为线段AB 的中点，D 为CB 上一点，下列关系表示错误的是（ ）A ．CD ＝AC ﹣DB B ．BD +AC ＝2BC ﹣CD C ．2CD ＝2AD ﹣ABD ．AB ﹣CD ＝AC ﹣BD【思路点拨】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD 、BD 、AD 进行和、差转化，即可发现错误选项．【答案】解：∵C 是线段AB 的中点， ∴AC ＝BC ，AB ＝2BC ＝2AC ，∴CD ＝BC ﹣BD ＝AB ﹣BD ＝AC ﹣BD ； ∵BD +AC ＝AB ﹣CD ＝2BC ﹣CD ； ∵CD ＝AD ﹣AC ，∴2CD ＝2AD ﹣2AC ＝2AD ﹣AB ；∴选项A 、B 、C 均正确． 而答案D 中，AB ﹣CD ＝AC +BD ； ∴答案D 错误符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）C 是线段AB 上一点，D 是BC 的中点，若12cm AB =，2cm =AC ，则BD 的长为______．【答案】5cm【分析】根据题意画出图形，先求出BC ，再根据线段中点的定义详解． 【详解】解：如图，12cm AB =，2cm =AC ，12210(cm)BC AB AC ∴=-=-=．D 是BC 的中点，11105(cm)22BD BC ∴==⨯=．故答案是：5cm ．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解题的关键，作出图形更形象直观．12．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，P 是线段MN 上一点，Q 是线段PN 的中点．若MN =10，MP =6，则MQ 的长是____．【答案】8【分析】首先求得NP =4，根据点Q 为NP 中点得出PQ =2，据此即可得出MQ 的长． 【详解】解：∵MN =10，MP =6，∴NP = MN- MP =4， ∵点Q 为NP 中点，∴PQ =QN =12NP =2，∴MQ =MP +PQ =6+2=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了两点之间的距离，根据中点的定义得出PQ =2是解题关键．13．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，点C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB 上，AB ＝10，DB ＝4，则CD ＝________．【答案】1【分析】先根据线段中点的定义可得5BC =，再根据CD BC DB =-即可得．【详解】解：点C 为线段AB 的中点，且10AB =，152BC AB ∴==， 4DB =，541CD BC DB =∴=--=，故答案为：1．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．14．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，AD =12BD ，E 是BC 的中点，BE =15AC =2cm ，则线段DB的长为_______cm ．【答案】4【分析】根据BE =15AC =2cm 可以求得AC 长，进而得出AB 、BC 的长，即可求得DB 的长．【详解】解：∵BE =15AC =2(cm)，∴AC =5BE =10(cm)，∵E 是BC 的中点，∴BC =2BE =2×2=4(cm)，∴AB =AC -BC =10-4=6(cm)， ∵AD =12DB ，∴AD +DB =AD +2AD =6(cm)，∴AD =2cm ，∴DB =4cm ，故答案为：4．【点睛】本题主要考查的是线段的和差倍分计算和线段中点的概念，找出线段间的数量关系是解决此类问题的关键．15．（2022·山东威海·期末）如图，点C ，点D 在线段AB 上，点E ，点F 分别为AC ，BD 的中点．若AB m =，CD n =，则EF 的长为________．【答案】12m +12n【分析】先根据中点的定义可得EC =12AC 、DF =12BD ，再根据线段的和差可得AC +BD =AB -CD =m -n ，最后根据EF =EC +CD +DF 求解即可．【详解】解：∵点E 、点F 分别为AC 、BD 的中点∴EC =12AC ,DF =12BD ∵AB m =，CD n =∴AC +BD =AB -CD =m -n∴EF =EC +CD +DF =12AC +CD +12BD =12(AC +BD )+CD =12( m -n )+n =12m +12n ．故答案为12m +12n ． 【点睛】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间的关系成为解答本题的关键．16．（2022·浙江·）已知 A B C 、、三点在同一条直线上，且线段4cm,6cm AB BC ==，点D E 、分别是线段AB BC 、的中点点F 是线段DE 的中点，则BF =_______cm ．【答案】12或52【分析】根据中点定义求出BD 、BE 的长度，然后分①点C 在AB 的延长线上时，求出DE 的长度，再根据中点定义求出EF 的长，然后根据BF =BE -EF 代入数据进行计算即可得解；②点C 在AB 的反向延长线上时，求出DE 的长度，再根据中点定义求出EF 的长，然后根据BF =BE -EF 代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：D 、E 分别是线段AB 、BC 的中点，4AB cm =，6BC cm =，114222BD AB cm ∴==⨯=，116322BE BC cm ==⨯=， ①如图1，点C 在AB 的延长线上时，235DE BD BE cm =+=+=，点F 是线段DE 的中点，1155222EF DE cm ∴==⨯=，此时，51322BF BE EF cm =-=-=； ②如图2，点C 在AB 的反向延长线上时，321DE BE BD cm =-=-=，点F 是线段DE 的中点，1111222EF DE cm ∴==⨯=，此时，15322BF BE EF =-=-=， 综上所述，12BF =或52cm ．故答案为：12或52．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 17．（2022•和平区期末）已知线段AB ＝12，M 是AB 的中点，点C 是直线AB 上一点，且AC ＝5BC ，则C 、M 两点间的距离为 ．【思路点拨】根据线段中点的性质推出AM ＝BM ＝AB ＝×12＝6，并分点C 在点B 左侧和点C 在点B 左侧两种情况进行讨论，由题意作出相关的图形，结合图形当点C 在点B 左侧时，MC ＝BM ﹣BC ；当点C 在点B 右侧时，MC ＝BM +BC ，利用线段之间的和差关系进行求解即可． 【答案】解：∵AB ＝12，M 是AB 的中点， ∴AM ＝BM ＝AB ＝×12＝6， 当点C 在点B 左侧时，如图1，∵AC ＝5BC ，∴AB ＝AC +BC ＝6BC ，∴MC＝BM﹣BC＝AB﹣AB＝AB＝×12＝4；当点C在点B右侧时，如图2，∵AC＝5BC，∴AB＝AC﹣BC＝4BC＝12，∴BC＝3，∴MC＝BM+BC＝6+3＝9，综上所述，C、M两点间的距离为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据题意进行分类讨论（点C在点B 左侧时和点C在点B左侧时），注意结合图形联系线段中点的性质和线段之间的和差关系进行求解．18．（2022·北京海淀区·七年级期末）已知线段6cmAB=，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为________．【答案】1cm或2cm【分析】分两种情况考虑点M是AB的三等分点，求出AM的长，由中点定义求出MN即可．【详解】当M是AB的左三等分点，∵AB=6cm，∴AM=11AB=6=233⨯cm，∵N是AM的中点，∴AN=NM=11AM=2=1 22⨯，当M是AB的右三等分点，∵AB=6cm，∴AM=22AB=6=433⨯cm，∵N是AM的中点，∴AN=NM=11AM=4=2 22⨯，线段MN的长度为1cm或2cm．故答案为：1cm或2cm．【点睛】本题考查线段的三等分点，线段的中点计算，掌握线段三等分的性质，线段的中点的性质，会利用分类思想求线段AM是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（D ），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到C 地），过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息（休息处E ），司机说：再走从C 地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：A ，B 两市相距多少千米．【答案】A ，B 两市相距600千米．【分析】根据题意可知DE 的距离且可以得到12AD DC =，12EB CE =，11()22AD EB DC CE DE +=+=，由1=2AB AD EB DE DE DE =+++计算即可得出结果．【详解】如图，由题意可知，400DE =千米，12AD DC =，12EB CE =， ∴ 111()400200222AD EB DC CE DE +=+==⨯=（千米）∴ 200400600AB AD EB DE =++=+=（千米） 答：A ，B 两市相距600千米．【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键． 20．（2022·辽宁大连市·）已知点D 为线段AB 的中点，点C 在线段AB 上．（1）如图1，若8cm,6cm AC BC ==，求线段CD 的长；（2）如图2，若2BC CD =，点E 为BD 中点，18cm AE =，求线段AB 的长． 【答案】（1）1cm ；（2）24cm【分析】（1）先求出AB 的长，再根据中点定义求出BD 的长，进而可求CD 的长； （2）设cm CD x =，用含x 的代数式表示出AE ，然后列方程求出x ，进而可求AB 的长． 【详解】解：（1）∵8cm,6cm AC BC ==，∴8614cm AB AC BC =+=+=， ∵点D 为线段AB 的中点，∴11147cm 22BD AB ==⨯=． ∵CD BD BC =-，∴761cm CD =-=．∴线段CD 的长为1cm ． （2）设cm CD x =．∵2BC CD =，∴2cm BC x =∵BD CD BC =+，∴23cm BD x x x =+=．∵E 为BD 中点，∴13cm 22DE BD x ==． 又∵D 为AB 中点，∴3cm AD BD x ==．∵AE AD DE =+，∴393cm 22AE x x x =+=． ∵18cm AE =，∴918,42x x ==，∴2624cm AB BD x ===，∴线段AB 的长为24cm ．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，如果点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 与BC ，那么点C 叫做线段AB 的中点，这时AC =BC =12AB ，或AB =2AC =2BC ． 21．（2022·浙江·七年级期末）如图，线段8cm AB C =,是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点．（1）3cm AC =，求线段CM NM 、的长；（2）若线段AC m =，线段BC n =，求MN 的长度（m n <用含,m n 的代数式表示）．【答案】（1）CM =1cm ，NM =2.5cm ；（2）12n【分析】（1）求出AM 长，代入CM =AM -AC 求出即可；分别求出AN 、AM 长，代入MN =AM -AN 求出即可；（2）分别求出AM 和AN ，利用AM -AN 可得MN ． 【详解】解：（1）8AB cm =，M 是AB 的中点，142AM AB cm ∴==， 3AC cm =，431CM AM AC cm ∴=-=-=；8AB cm =，3AC cm =，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点， 142AM AB cm ∴==，11.52AN AC cm ==，4 1.52.5MN AM AN cm ∴=-=-=；（2）AC m =，BC n =，AB AC BC m n ∴=+=+，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，11()22AM AB m n ∴==+，1122AN AC m ==，111()222MN AM AN m n m n ∴=-=+-=．【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM 、AN 的长． 22.（2022·平山县七年级期末）已知点A ，B ，C 在同一条直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．（1）如图1，若点C 在线段AB 上，AC =6cm ，CB =4cm ，则线段MN 的长为 cm ； （2）若点C 在线段AB 上，且AC +CB =acm ，则线段MN 的长度为 cm ；（3）如图2，若点C 在线段AB 的延长线上，且AC -BC =bcm ，猜测MN 的长度，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）5，（2）12a ，（3）MN =12b ．理由见解析．【分析】（1）根据中点的定义求解；（2）与（1）同理，根据中点的定义求解；（3）根据MN=CM-CN 求解．【详解】解：（1）由题意可得：113222MC AC CN CB====，，∴MN=MC+CN=3+2=5，故答案为5；（2）与（1）同理有：1122MC AC CN CB==，，∴()11112222MC CN AC CB AC CB a+=+=+=，故答案为12a，（3）结论为：MN=12b，理由如下：当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC＞BC，因为M是AC的中点，所以CM=12AC，因为点N是BC的中点，所以CN=12BC，所以MN=CM-CN=12（AC-BC）=12b．【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义、线段的四则运算及准确画图是解题关键．23．（2022·杭州市七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或243；（2）1742或116【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝13 DE＝83或CE＝23DE＝163，则CD＝163或83，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，∴CD＝163或CD＝83，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=243；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵32AD ECBE+=，∴0.532x y yx y++=-，∴y＝27x，∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x，∴171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵32AD ECBE+=，BE＝EC+BC＝x+y，∴0.532y x yx y-+=+，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴5.51136==CD xAB x，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述CDAB的值为1742或116．故答案为：1742或116．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．24．（2022·浙江·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即13AM AC=，13BN BC=，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即1AM ACn=，1BN BCn=，则MN＝___________；∴MN=12 a；故答案为：12 a；②∵AM=13AC，BN=13BC，∴CM=23AC，CN=23BC，∴MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，∵AB=a，∴MN=23 a；③∵AM=1nAC，BN=1nBC，∴CM=1nn-AC，CN=1nn-BC，∴MN=CM+CN=1nn-AC+1nn-BC=1nn-AB，∵AB=a，∴MN=1nn-a，故答案为：1nn-a．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．25．（2022·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B 出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm分析：(1) 观察图形可以看出，图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点C和D的运动路程. 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可以得到线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 结合条件PD=2AC，可以得到PB=2AP. 根据上述关系以及线段AB的长，可以求得线段AP的长.(2) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间，可以求得线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 根据BD=2PC和PD=2AC的关系，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP 的长.(3) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知，只要运动时间一致，点C 与点D 运动路程的关系与它们运动速度的关系一致. 根据题目中给出的运动速度的关系，可以得到BD =2PC . 这样，本小题的思路就与前两个小题的思路一致了. 于是，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP 的长. (4) 由于题目中没有指明点Q 与线段AB 的位置关系，所以应该按照点Q 在线段AB 上以及点Q 在线段AB 的延长线上两种情况分别进行求解. 首先，根据题意和相关的条件画出相应的示意图. 根据图中各线段之间的关系并结合条件AQ -BQ =PQ ，得到AP 和BQ 之间的关系，借助前面几个小题的结论，即可求得线段PQ 的长.【解析】(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以111PC =⨯=(cm). 因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以212BD =⨯=(cm).故BD =2PC. 因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP . 因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==⨯=(cm). (2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以122PC =⨯=(cm). 因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以224BD =⨯=(cm).故BD =2PC. 因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP . 因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==⨯=(cm). (3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以PC t =(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以2BD t =(cm).故BD =2PC. 因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP . 因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==⨯=(cm). (4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==. 故13PQ AB AP BQ AB =--=.因为AB =12cm ，所以1112433PQ AB ==⨯=(cm).(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②). 因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ . 因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=.因为AB=12cm，所以411233PQ AQ AP AB AB AB=-=-==(cm).综上所述，PQ的长为4cm或12cm.点睛：本题是一道几何动点问题. 分析图形和题意，找到代表动点运动路程的线段是解决动点问题的重要环节. 利用速度、时间和路程的关系，常常可以将几何问题与代数运算结合起来，通过运算获得更多的线段之间的关系，从而为解决问题提供有利条件. 另外，分情况讨论的思想也是非常重要的，在思考问题时要注意体会和运用.。

6.4 探索三角形相似的条件（1）教学目标： 1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学重点：探索“见平行，得相似”的相关结论． 教学难点：成比例的线段中对应线段的确定． 教学过程：活动一：如图，画三条互相平行的直线l 1、l 2、l 3，再任意画2条直线 a 、b ，使 a 、b 分别与l 1、l 2、l 3相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．探索新知： 活动一：提出问题（1）度量所画图中AB 、BC 、DE 、EF 的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？ （2）如果任意平移l 3，再度量AB 、BC 、DE 、EF 的长度．这些比值还相等吗？活动二：如图，在△ABC 中， 点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，△ADE 与△ABC 有什么关系？问题1：的设置仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况由学生思考、解答．a ba bba得出结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．尝试交流：1．如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？2．如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来．拓展延伸如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC．（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4探索三角形相似的条件（2）教学目标：1．探索“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法；2．运用三角形相似解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”．教学难点：1．“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法的探究证明；2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程：回顾思考：1．判定两个三角形全等有哪些方法？2．如果要判定两个三角形是不是相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？3．我们学过哪种判定三角形相似的方法？探索新知：如图，小明用一张纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗？提出问题：（1）如图，如果∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，那么第一个三角形与第二个三角形全等吗？为什么？如图，如果∠A＝∠E，∠B＝∠F，2AB＝EF，那么第一个三角形与第三个三角形相似吗？如果把2AB＝EF改为3AB＝EF呢？创设情境，引导学生积极思考，小组合作，带领学生画图探究．关于三角形相似的判定“两角对应相等的两个三角形相似”的证明尽量通过两种方法，培养学生合情推理和说理的能力．通过操作使学生感悟到只要满足∠A＝∠E，∠B＝∠F的条件，两个三角形就能相似．两种方法的证明培养学生合情推理和说理的能力．得出结论:两角分别相等的两个三角形相似．尝试交流:例1、如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高．找出图中所有的相似三角形．练习1、判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）所有的等腰三角形都相似．( )（2）所有的等腰直角三角形都相似．( )（3）所有的等边三角形都相似．( )（4）所有的直角三角形都相似．( )（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似．( )（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似．( )练习2、如图，在△ABC中BD⊥AC，AE⊥BC，图中一定和△BDC相似的三角形有几个? 它们分别是哪些三角形？EOA D拓展延伸:过△ABC （∠C＞∠B）的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC 相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来．课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4 探索三角形相似的条件（3）教学目标:1．探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，并能运用解题；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学重点:掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．教学难点: 1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学过程: 回顾思考:我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A ＝∠A'， ．能判断△ABC 与△A'B'C' 相似吗？ 提出问题：如果把21换成其他数值，再试一试． 已知： ，∠A ＝∠A'． 求证：△ABC ∽△A'B'C'．关于三角形相似的判定方法“ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明，通过操作、观察、探索等合情推理活动，使学生感悟到判断三角形相似的条件． 得出结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．尝试交流1．如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠B ＝∠E ，要 使△ABC ∽△DEF ，需要添加什么条件？12A B A C AB AC ''''==ABAC k A B A C ==''''2．如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？有哪些判断方法？3．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm．（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD ∽△ABC；（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝时，△AEB ∽△ABC；此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？拓展延伸有一池塘，周围都是空地．如果要测量池塘两端A、B间的距离，你能利用本节所学的知识解决这个问题吗？课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问BC'B'A'CBA6.4 探索三角形相似的条件（4）教学目标: 1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，并能解决简单的问题； 2．经历两个三角形相似判定的探索过程，体验用类比得出数学结论的过程． 教学重点:掌握“三边成比例的两个三角形相似”．教学难点: 1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学过程:（1）判定两个三角形全等有哪些方法？（2）如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ （3）我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:由三角形全等的SSS 判定方法，我们想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？提出问题：如何证明这个命题是真命题？关于三角形相似的判定方法“三边成比例的两个三角形相似”， 得出结论:三角形相似的判定方法：三边成比例的两个三角形相似．尝试交流:1．，试说明∠BAD ＝∠CAE . 如图已知 AEACDE BC AD AB = =2．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？3．根据下列条件，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由．AB＝3，BC＝5，AC＝6，A'B'＝6，B'C'＝10，A'C'＝12．题2也可以用判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．拓展延伸:要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4探索三角形相似的条件（5）教学目标: 1．理解黄金三角形、三角形重心的概念；2．运用黄金三角形、三角形重心的结论解决实际问题．教学重点:对黄金三角形、三角形重心的理解．教学难点:三角形三条中线相交于一点的证明．教学过程:回顾思考:1．如何判定两个三角形是否相似？2．什么叫黄金分割？探索新知:1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC 的角平分线．（1）△ABC与△BDC 相似吗？为什么？（2）判断点D是否是AC的黄金分割点，并说明理由．2．如何证明三角形的三条中线相交于一点？题2也可以用面积法证．假设中线CF与BE相交于点G，延长AG与BC相交于点D，可证△AFG、△BFG、△AGE、△CGE 面积都相等，再证△BDG与△DCG面积相等（同底等高三角形），推出BD＝DC，即D是BC的中点．得出结论：1．我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形．黄金△ABC 它具有如下的性质： （1）0.618BCAB； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点； （3）如再作∠C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形．2．三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．新知应用1．如图，正五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等． （1）找找看，图中是否有黄金三角形？ （2）点F 分别是哪些线段的黄金分割点？A B H F GNM ED C精品文档精心整理2．已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AD与中线BE相交于点G，AD＝18，GE＝5，求BC的长．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？。